平面向量和空间向量的类比学习方法
3.1空间向量及其运算
3.1.1空间向量及其线性运算教学目标：1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质；2.理解空间向量共线的充要条件 ;3.运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程. 教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质； 教学过程： 一.问题情境由于实际问题的需要,在必修4中,我们学习了平面向量,研究了平面向量的概念、运算及其性质,进而解决了平面上有关点,线的位置关系及度量问题. 但向量未必都在同一平面内,如下问题:已知物体受三个大小都为1000N 的力F 1 ，F 2，F 3， 且这三个力两两之间的夹角都为60°，则物体所受的合力为多少？ 是否为F 1→+F 2→+F 3→?此问题中,三个向量不在同一平面内,问题不好直接用平面向量来解决,为此需要将向量由平面向空间推广! 二.数学理论1.平面向量与空间向量的有关概念(1)在平面上，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量.平面上的向量一般用有向线段表示,同向等长的有向线段表示同一或相等的向量. 长度为0的向量叫零向量，记作0，0的方向是任意的； 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量；F 12方向相反但模相等的向量叫做相反向量;向量a 的相反向量记作－a ．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(共线向量)，规定0与任一向量平行； 记作：a ∥b ，0∥a ．由向量的实际背景,平面向量的有关概念都可以移植到空间中 (2)空间向量的有关概念：在空间，我们把既有大小又有方向的量叫做空间向量.空间向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量. 在空间中，长度为0的向量叫零向量，记作0，0的方向是任意的； 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量；方向相反但模相等的向量叫做相反向量;向量a 的相反向量记作－a ．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(共线向量)，规定0与任一向量平行； 记作：a ∥b ，0∥a ．2.平面向量与空间向量的线性运算我们现在研究的是自由向量,大小相等方向相同的向量是相等向量,而与它们的起点无关. 所以任意两个空间向量都可以平移到同一平面内因此,空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示.这样,空间两个向量的线性运算的意义与平面向量完全一样.已知空间向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b .由O ，A ，B 三点确定一个平面或共线可得，空间任意两个向量都可以用同一平面内的两个有向线段来表示.ab空间向量的加法、减法与数乘运算的意义如下（如图）OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b （三角形法则） OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b （平行四边形法则） BA →＝OA →－OB →＝a －b OP →＝λa (λ∈R )平面向量的线性运算满足下列运算律 运算律：⑴加法交换律：a ＋b ＝b ＋a⑵加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) ⑶数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb (λ∈R ) 那么,空间向量的运算是否仍满足上述规律?aλaO PaAOb Ba －b ab ab OABa ＋b(1),(3)中只涉及两个向量,显然满足,但(2)中涉及三个向量,在空间中是否成立?这一规律关系到空间中三个向量和的定义问题? 结合律的验证：三个向量中有共线向量时规律显然成立. 平面向量共线的充要条件在空间也是成立的3．共线向量定理：共线向量定理：空间任意两个向量a ,b (a ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使b ＝λa . 三.数学运用例1. 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (1)CB →＋BA 1→; (2)AC →＋CB →＋12AA 1→;(3)AA 1→－AC →－CB → 解：(1)CB →＋BA 1→＝CA 1→(2)因为M 是BB 1的中点, 所以BM →＝12BB 1→，AC →＋CB →＋12AA 1→AOABCabca ＋ba ＋b ＋cb ＋cA /A /又AA 1→＝BB 1→，所以AC →＋CB →＋12AA 1→＝AB →＋BM →＝AM →.(3)AA 1→－AC →－CB →＝CA 1→－CB →＝BA 1→.例2.如图，在长方体OADB-CA ’D’B’中，OA ＝3,OB ＝4,OC ＝2,OI ＝OJ ＝OK ＝1,，点E ,F 分别是DB ,D ’B ’的中点，设OI →＝i , OJ →＝j , OK →＝k , ,试用向量i , j , k 表示OE →和OF →解：∵BD →＝OA →＝3OI →＝3i ，∴BE →＝12BD →＝32 i .又OB →＝4OJ →＝4j ,∴OE →＝OB →＋BE →＝32i ＋4j .∵EF →＝ BB ’→＝OC →＝2k ，∴OF →＝OE →＋EF →＝32i ＋4j ＋2k .例3.已知平行六面体ABCD -ABCD .求证：AC →＋ AB ’→＋ AD ’→＝2 AC ’→. 证明：∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →， AB ’→＝AB →＋ AA ’→， AD ’→＝AD →＋ AA ’→，∴AC →＋ AB ’→＋ AD ’→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋ AA ’→) +(AD →＋ AA ’→)＝2(AB →＋AD →＋ AA ’→). 又∵ AA ’→＝ CC ’→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋ AA ’→＝AB →＋BC →＋ CC ’→＝AC →＋ CC ’→＝ AC ’→， ∴AC →＋ AB ’→＋ AD ’→＝2 AC ’→. 【课堂练习】已知空间四边形ABCD ，连结AC ，BD ，设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量： (1)AB →＋BC →＋CD →； (2)AB →＋12(BD →＋BC →)；(3)AB →－12(AB →＋AC →)．BCDMGAABCDA ’B ’C ’D ’四、回顾总结空间向量的定义与运算法则五、布置作业3.1.2 共面向量定理教学目标：1.了解向量共面的含义，理解共面向量定理；2.能运用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题． 教学重点、难点：空间向量共面定理的证明及其应用． 教学过程： 一.知识回顾复习空间向量的概念以及空间向量的线性运算和性质． 二.问题情境在同一平面中,向量之间有共线与不共线之分; 在空间中,我们当然要关心向量共面问题.为此首先要明确什么叫做向量共面? 能平移到同一平面的向量叫做共面向量 问题: 空间中两个向量是否共面? 空间中三个向量是否共面?在平面向量中，向量b 与向量a (a ≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得b ＝λa .那么，空间的任意一个向量p 与两个不共线向量a ,b 共面时，它们之间存在怎样的关系呢？ 三.数学理论共面向量定理：如果两个向量a ,b 不共线，那么向量p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在有序实数组(x ,y )，使p ＝x a ＋y b .证明：（必要性）向量a ,b 不共线，当p 与向量a ,b 共面时，它们可以平移到同一个平面内，根据平面向量的基本定理，存在惟一的有序实数组(x ,y )，使得p ＝x a ＋y b ．（充分性）对于空间的三个向量p ,a ,b ，其中a ,b 不共线，如果存在有序实数组(x ,y )，使p ＝x a ＋y b ，那么在空间任意取一点M ，作MA →＝a , MB →＝b , MA '→＝x a ,过点A ’作A'P →＝y b ,（如图），则MP →＝MA'→＋A'P →＝ x a ＋y b ＝ p ,，于是点P 在平面MAB 内，从而MP →,MA →,MB →共面，即向量p 与向量a ,b 共面．这就是说，向量p 可以由两个不共线的向量a ,b 线性表示．四．数学运用例1．如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M ,N 分别在对角线BD ,AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE ．求证：MN ∥平面CDE ．分析：要证明MN ∥平面CDE ，只要证明向量NM →可以用平面CDE 内的两个不共线的向量DE →和DC →线性表示．证明：如图，因为M 在BD 上，且BM ＝13BD ，所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →．同理AN →＝13AD →＋13DE →，又CD →＝BA →＝－13AB →，所以MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝(13DA →＋13AB →)＋BA →＋(13AD →＋13DE →)＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →．又CD →与DE →不共线，根据共面向量定理，可知MN →,CD →,DE →共面． 由于MN 不在平面CDE 内，所以MN ∥平面CDE ．例2．设空间任一点O 和不共线的三点A ,B ,C ,若点P 满足向量关系OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →（其中x ＋y ＋z ＝1），试问：P , A ,B ,C 四点是否共面？分析：类比证明三点共线的方法，要判断P , A ,B ,C 是否共面，可考察三个共起点的向量AP →，AB →，AC →是否共面．解：由x ＋y ＋z ＝1，可得x ＝1－z －y ．则OP →＝(1－z －y )OA →＋yOB →＋zOC →＝OA →＋y (OB →－OA →)＋z (OC →－OA →)， 所以OP →－OA →＝y (OB →－OA →)＋z (OC →－OA →)，即AP →＝yAB →＋zAC →.由A ,B ,C 三点不共线，可知AB →和AC →不共线， 所以AP →，AB →，AC →共面且具有公共起点A ．从而P , A ,B ,C 四点共面．思考：如果将x ＋y ＋z ＝1整体代入，由(x ＋y ＋z ) OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →出发，你能得到什么结论？例3．从□ABCD 所在平面外一点O 作向量OE →＝kOA →,OF →＝kOB →,OG →＝kOC →,OH →＝kOD →, （1）求证：四点E ,F ,G ,H 共面；（2）平面AC ∥平面EG ． 解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →， ∵EG →＝OG →－OE →＝kOC →－kOA →＝k (OC →－OA →)＝kAC →＝k (AB →＋AD →) ＝k (OB →－OA →＋OD →－OA →)＝OF →－OE →＋OH →－OE →＝EF →＋EH →， ∴EG →,EF →,EH →共面且共起点，∴E ,F ,G ,H 四点共面． （2）∵EF →＝OF →－OE →＝k (OB →－OA →)＝kAB →，∴EF →∥AB →，∴EF →∥平面AC ，同理EG →∥平面AC ，又EF →∩EG →＝E ，∴平面AC ∥平面EG ． 练习：已知两个非零向量e 1, e 2不共线，如果AB →＝e 1＋ e 2, AC →＝2 e 1＋8 e 2, AD →＝3 e 1－3 e 2. 求证：A ,B ,C ,D 四点共面． 五．回顾小结1．共面向量定理的证明； 2．共面向量定理的简单运用． 六．布置作业3.1.3空间向量基本定理教学目标：1.掌握空间向量基本定理及其推论；2.理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示，而且这种表示是唯一 的；3.在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量． 教学重点，难点：空间向量基本定理及其推论． 教学过程： 一.知识回顾共线向量定理：空间任意两个向量a ,b (a ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使b ＝λa . 平面向量基本定理：如果e 1，e 2那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数x ,y ，使a = x e 1+ y e 2 . 二.问题情境平面向量基本定理表明，平面内任一向量可以用该平面的两个不共线的向量来线性表示．对于空间向量是否有相应的结论呢？ 三.数学理论 空间向量基本定理：如果三个向量 e 1, e 2 , e 3不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个惟一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3.证明：（存在性）设e 1, e 2 , e 3不共面过点O 作OA →＝e 1, OB →＝e 2, OC →＝e 3, OP →＝p ,， 过点P 作直线PP’平行于OC ，交平面OAB 于点P’， 在平面OAB 内，过点P’作直线P’A’∥OB , P’B ∥OA , 分别与直线OA ,OB 相交于点A ’,B ’，于是，存在三个实数x ,y ,z ，使OA'→＝xOA →＝x e 1，OB'→＝yOB →＝y e 2，OC'→＝zOC →＝z e 3，∴OP →＝OA'→＋OB'→＋OC'→＝xOA →＋yOB →＋zOC →＝x e 1＋y e 2＋z e 3．1/ （惟一性）假设还存在x’,y’,z’使p＝x’ e1＋y’ e2＋z’e3，那么x e1＋y e2＋z e3＝x’ e1＋y’ e2＋z’e3∴(x－x’)e1＋(y－y’)e2＋(z－z’)e3＝0不妨设x≠x’即x－x’≠0，∴e1＝－y－y’x－x’e2－z－z’x－x’e3,∴e1, e2, e3共面此与已知矛盾，∴有序实数组(x,y,z)是惟一的.空间向量基本定理告诉我们，若三向量e1,e2,e3不共面，那么空间的任一向量都可由e1, e2, e3线性表示，我们把{ e1, e2, e3}叫做空间的一个基底，e1, e2, e3叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i,j,k}表示.推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在惟一的三个有序实数x，y，z，使OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→.四.数学运用例1如图，在正方体OADB-CA’D’B’中，，点E是AB与OD的交点,M是OD’与CE的交点，试分别用向量OA→,OB→,OC→表示OD'→和OM→.解：∵OD→＝OA→＋OB→,∴OD'→＝OD→＋DD'→＝OA→＋OB→＋OC→.由△OME∽△D’MC,可得OM＝12MD’＝13OD’,∴OM→＝13OD'→＝13OA→＋13OB→＋13OC→.例2 .如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB,AC,M,N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，用基底向量OA→，OB→，OC→表示向量OG→.解：OG→＝OM→＋MG→＝OM→＋23MN→A＝12OA →＋23(ON →－OM →) ＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－12OA →] ＝12OA →＋13(OB →＋OC →)－13OA → ＝16OA →＋13OB →＋13OC →, ∴OG →＝16OA →＋13OB →＋13OC →.五、回顾总结空间向量基本定理及其证明 六、布置作业§3.1.4 空间向量的坐标表示教学目标（1）能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算； （2）会根据向量的坐标判断两个空间向量平行． 教学重点，难点空间向量的坐标的确定及运算． 教学过程 一.知识回顾复习平面向量的坐标表示及运算律：（1）若p ＝x i ＋y j （i ，j 分别是x ，y 轴上同方向的两个单位向量），则p 的坐标为(x , y )； （2）若a ＝(a 1, a 2)，b ＝(b 1, b 2)，则加（减）法：a ＋b ＝(a 1＋b 1, a 2＋b 2)；a －b ＝(a 1－b 1, a 2－b 2) 数乘：λa ＝(λa 1, λa 2)（λ∈R ） 数量积：a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2特别地，a ∥b ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2（λ∈R ）；a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0（3）若A (x 1, y 1)，B (x 2, y 2)，则AB →＝(x 2－x 1, y 2－y 1)． 二.问题情境在平面“解析几何初步”一章中，我们已经学习过空间直角坐标系，并能用坐标表示空间任意一点的位置．如何用坐标表示空间向量？怎样进行空间向量的坐标运算？ 三．数学理论1．空间向量的坐标表示如图，在空间直角坐标O －xyz 中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量i ，j ，k 作为基向量，对于空间任意一个向量a ，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x , y , z )，使a ＝x i ＋y j ＋z k ．有序实数组(x , y , z )叫做向量a 在空间直角坐标O －xyz 中的坐标，记作a ＝(x , y , z )．2．在空间直角坐标O －xyz 中，对于空间任意一点A (x , y , z )，向量OA →是确定的，容易得到OA →＝x i ＋y j ＋z k ，因此，向量OA →的坐标为OA →＝(x , y , z )．这就是说，当空间向量a 的起点移至坐标原点时，其终点的坐标就是向量a 的坐标． 3．向量坐标运算法则（类似于平面向量的坐标运算） （1）设a ＝(a 1, a 2, a 3)，b ＝(b 1, b 2, b 3)，则a ＋b ＝(a 1＋b 1, a 2＋b 2, a 3＋b 3)，a －b ＝(a 1－b 1, a 2－b 2, a 3－b 3) λa ＝(λa 1, λa 2, λa 3)（λ∈R ）（2）若A (x 1, y 1, z 1)，B (x 2, y 2, z 2)，则AB →＝(x 2－x 1, y 2－y 1, z 2－z 1)． 4．空间向量平行的坐标表示a ∥b （a ≠0）⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3（λ∈R ） 说明：即对应的坐标成比例（但没有平面向量平行的等积式）四．数学运用 1．例题：【例1】已知a ＝(1, －3, 8)，b ＝(3, 10, －4)，求a ＋b ，a －b ，3a ． 解：a ＋b ＝(1, －3, 8)＋(3, 10, －4)＝(1＋3, －3＋10, 8－4)＝(4, 7, 4)，a －b ＝(1, －3, 8)－(3, 10, －4)＝(1－3, －3－10, 8＋4)＝(－2, －13, 12)， 3a ＝3×(1, －3, 8)＝(3, －9, 24)【例2】已知空间四点A (－2, 3, 1)，B (2, －5, 3)，C (10, 0, 10)和D (8, 4, 9)，求证：四边形ABCD 是梯形．证：依题意OA →＝(－2, 3, 1)，OB →＝(2, －5, 3)，所以AB →＝OB →－OA →＝(2, －5, 3)－(－2, 3, 1)＝(4, －8, 2)同理DC →＝(2, －4, 1)，AD →＝(10, 1, 8)，BC →＝(8, 5, 7) 由AB →＝2DC →可知，AB →∥CD →，|AB →|≠|DC →|，又AD →与BC →不共线，所以四边形ABCD 是梯形． 说明：与平面向量一样，若A (x 1, y 1, z 1)，B (x 2, y 2, z 2)，则AB →＝OB →－OA →＝(x 2－x 1, y 2－y 1, z 2－z 1)．这就是说，一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．【例3】已知a ＝(1, 6, －3)，b ＝(1, －2, 9)，c ＝(4, 0, 24)，求证：a ，b ，c 共面． 解：因为a ＝(1, 6, －3)，b ＝(1, －2, 9)，所以a 与b 不共线．不妨设c ＝x a ＋y b ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝46x －2y ＝0－3x ＋9y ＝24解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝3，所以c ＝a ＋3b ，所以a ，b ，c 共面．【例4】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是CC 1，B 1C 1，C 1D 1的中点，试建立空间直角坐标系，证明：平面MNP ∥平面A 1BD ．解：以D 1为坐标原点，D 1A 1，D 1C 1，D 1D 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体棱长为1，则A1(1, 0, 0)，B (1, 1, 1)，D (0, 0, 1)，B 1(1, 1, 0)，C 1(0, 1, 0)，N (12, 1, 0)，M (0, 1, 12)，D 1(0, 0, 0)，P (0,12, 0)， 于是A 1B →＝(0, 1, 1)，A 1D →＝(－1, 0, 1)，NM →＝(－12, 0, 12)，PM→＝(0, 12, 12)，显然有NM →＝12A 1D →，PM →＝12A 1B →．所以，NM →∥A 1D →，PM →∥A 1B →，因此平面MNP ∥平面A 1BD ．说明：同平面解析几何坐标法解题一样，关键是如何建立适当的坐标系．当然本题不用坐标法而用向量的方法也不难证明． 五．回顾小结：1．会正确的确定空间向量及点的坐标；2．向量的坐标判断两个空间向量平行的方法；六．课外作业：§3.1.5 空间向量的数量积第一课时教学目标1.在充分了解平面向量及空间向量的概念、向量的加、减以及数乘等运算基础上,进一步类比探究并获得空间向量数量积的概念、性质及运算律．2.掌握空间向量夹角和模的概念，学会用向量数量积求两直线所成的角，能判断两直线（向量）的位置关系（平行、垂直）；3.了解空间向量数量积的几何意义． 教学重点，难点 空间向量数量积 教学过程一．问题情境 1.知识回顾（1）平面向量的数量积定义：已知两个非零向量a ，b ，有a ·b ＝|a ||b |cos θ，（0≤θ≤π），其中θ是向量a ，b 的夹角，并规定a ·b ＝0．（2）平面向量的夹角：将a →与b →平移至同起点处所成的0≤θ≤π 角．（同起点是关键） 2.问题：我们已经学过了平面向量夹角的定义和平面向量数量积的定义，那么类比平面向量知识，空间向量的夹角和数量积怎么定义？ 二.数学理论由于任意两个空间向量都是共面向量，因此，两个空间向量的夹角以及它们的数量积就可以像平面向量那样来定义． 1.空间向量的夹角及其表示：如图，已知两非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与向量b 的夹角，记作<a ,b >；范围：0≤<a ,b >≤π，在这种规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且有<a ,b >＝<b ,a >． 若<a ,b >＝0，那么向量a 与b 同向； 若<a ,b >＝π，那么向量a 与b 反向；若<a ,b >＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作：a ⊥b ．注意：正确使用两个向量夹角的符号<a ,b >．例如：<AB →,AC →>＝∠BAC ． 2.向量的模：设OA →＝a ，则有向线段OA →的长度叫做向量a 的长度或模，记作：|a |． 3.向量的数量积：已知a ，b 是空间两个非零向量，则|a ||b |cos<a ,b >叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos<a ,b >．规定：0向量与任何向量的数量积为0．注意：①两个向量的数量积是数量，而不是向量，符号由cos θ的符号所决定． ②零向量与任意向量的数量积等于零． 4.由空间向量数量积定义可知：空间两个非零向量a ·b 的夹角<a ,b >可以由cos<a ,b >＝a ·b|a ||b |求得．5.空间向量数量积的性质：（1）cos<a ,b >＝a ·b|a ||b |；（2）a ⊥b ⇔a ·b ＝0（a ，b 是两个非零向量）；（3）|a |2＝a ·a ＝a 2．注意：①性质（2）是证明两向量垂直的依据； ②性质（3）是求向量的长度（模）的依据。
空间向量的共线与共面问题
么条件？
bC
p
P
Aa B
O
结论:空间一点P位于平面ABC内
存在有序实数对x,y使 AP x AB y AC
或对空间任一点O,有 OP xOA yOB zOC (x y z 1)
可证明或判断四点共面
三.类似地,有空间向量基本定理:
如果三个向量 a 、b 、c 不共面,那么对于空间任一向
a
+
1 2
b+
1 2
c
A
C N
(C)
1 2
a
+
12b －
23 c
B
(D)
2 3
a
+
2 3
b
－
1 2
c
课外补充练习:
1.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：A
(A)若 OP OA t AB ，则P、A、B共线
(B)若 3OP OA AB ，则P是AB的中点
(C)若 OP OA t AB ，则P、A、B不共线
向量规．规定定a 平:: oo行与与于任任b一一记向向作量量aaa/是/是b共．共线线向向量量..
2.共线向量定理：空间任意两个向量
a
、b（
b
≠
0
），
a // b 的充要条件是存在实数 ，使 a b .
练习.已知A、B、P三点共线，O为直线外
一点，且OP OA OB，求 的值.
那么 A 、B 、P 三点共线吗?
思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
如何表示直线 l 上的任一点 P ?
A•
•• l
BP
a
O
注:我们把非零 向量 a 叫做直线 l 的方向向量.
数学第一章空间向量与立体几何1-1第1课时空间向量及其线性运算练习含解析新人教A版选择性必修第一册
第1课时 空间向量及其线性运算学习目标 1.理解空间向量的有关概念.2.类比平面向量，会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.3.理解向量运算的交换律、结合律和分配律．知识点一 空间向量的概念1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．长度或模：向量的大小． 3．表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|. 4．几类特殊的空间向量名称 定义及表示零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量 与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a ，都有0∥a相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量思考 空间中的两个向量是不是共面向量？答案 是，空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量． 知识点二 空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a ＋b ＝OA →＋ AB → ＝OB →减法a －b ＝OA →－OC →＝CA →数乘当λ>0时，λa ＝λOA →＝PQ →； 当λ<0时，λa ＝λOA →＝MN →；当λ＝0时，λa ＝0运算律 交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：a ＋(b ＋c )＝(a ＋b )＋c ，λ(μa )＝(λμ)a ；分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb .思考1 怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量是否与相加的顺序有关？答案 可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和．加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变． 思考2 由数乘λa ＝0，可否得出λ＝0? 答案 不能．λa ＝0⇔λ＝0或a ＝0.1．两个有公共终点的向量，一定是共线向量．( × ) 2．在空间中，任意一个向量都可以进行平移．( √ )3．空间两非零向量相加时，一定可以用平行四边形法则运算．( × ) 4．向量AB →与AC →是共线向量，则A ，B ，C 三点必在一条直线上．( √ )一、向量概念的应用例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( ) A ．方向相反的两个向量是相反向量 B ．空间中任意两个单位向量必相等C ．若向量AB →，CD →满足|AB →|＞|CD →|，则AB →＞CD →D ．相等向量其方向必相同 答案 D解析 A 中，方向相反，长度相等的两个向量是相反向量；B 中，单位向量模都相等而方向不确定；C 中，向量作为矢量不能比较大小，故选D. (2)(多选)下列说法中正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的加法满足结合律D ．任一向量与它的相反向量不相等 答案 BC解析 |a |＝|b |，说明a 与b 模相等，但方向不确定；对于a 的相反向量b ＝－a ，故|a |＝|b |，从而B 正确；空间向量的加法满足结合律，C 正确；零向量的相反向量仍是零向量．故选BC.反思感悟 空间向量的概念问题在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．跟踪训练1 下列关于空间向量的命题中，正确的命题的序号是________． ①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ②平行且模相等的两个向量是相等向量； ③若a ≠b ，则|a |≠|b |；④两个向量相等，则它们的起点与终点相同． 答案 ①解析 根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当a ＝－b 时，也有|a |＝|b |，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点和终点无关，④不正确．综上可知只有①正确． 二、空间向量的加减运算例2 如图，已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AA ′—→－CB →； (2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′———→.解 (1)AA ′—→－CB →＝AA ′—→－DA →＝AA ′—→＋AD →＝AA ′—→＋A ′D ′———→＝AD ′—→. (2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→＝(AA ′—→＋AB →)＋B ′C ′———→＝AA ′—→＋A ′B ′———→＋B ′C ′———→ ＝AB ′—→＋B ′C ′———→＝AC ′—→. 向量AD ′—→，AC ′—→如图所示．延伸探究试把本例中的体对角线所对应向量AC ′—→用向量AA ′—→，AB →，AD →表示． 解 在平行四边形ACC ′A ′中，由平行四边形法则可得AC ′—→＝AC →＋AA ′—→， 在平行四边形ABCD 中，由平行四边形法则可得AC →＝AB →＋AD →. 故AC ′—→＝AB →＋AD →＋AA ′—→.反思感悟 空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．跟踪训练2 (多选)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算结果为BD 1—→的是( )A.A 1D 1—→－A 1A —→－AB →B.BC →＋BB 1—→－D 1C 1—→C.AD →－AB →－DD 1—→D.B 1D 1—→－A 1A —→＋DD 1—→ 答案 AB解析 A 中，A 1D 1—→－A 1A —→－AB →＝AD 1—→－AB →＝BD 1—→； B 中，BC →＋BB 1—→－D 1C 1—→＝BC 1—→＋C 1D 1—→＝BD 1—→；C 中，AD →－AB →－DD 1—→＝BD →－DD 1—→＝BD →－BB 1—→＝B 1D —→≠BD 1—→；D 中，B 1D 1—→－A 1A —→＋DD 1—→＝BD →＋AA 1—→＋DD 1—→＝BD 1—→＋AA 1—→≠BD 1—→.故选AB. 三、空间向量的线性运算例3 在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F ，H 分别为边CD ，AD 和BC 的中点，化简下列各表达式． (1)AG →＋13BE →＋12CA →；(2)12(AB →＋AC →－AD →)．解 (1)因为G 是△BCD 的重心，所以|GE →|＝13|BE →|，所以13BE →＝GE →，又因为12CA →＝EF →，所以由向量的加法法则，可知AG →＋13BE →＋12CA →＝AG →＋GE →＋EF →＝AE →＋EF →＝AF →.从而AG →＋13BE →＋12CA →＝AF →.(2)如图所示，分别取AB ，AC 的中点P ，Q ，连接PH ，QH ，则四边形APHQ 为平行四边形，且有12AB →＝AP →，12AC →＝AQ →，而AP →＋AQ →＝AH →，12AD →＝AF →，所以12(AB →＋AC →－AD →)＝AP →＋AQ →－AF →＝AH →－AF →＝FH →.反思感悟 利用数乘运算进行向量表示的注意点(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点进行解题．跟踪训练3 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点．若A 1B 1—→＝a ，A 1D 1—→＝b ，A 1A —→＝c ，则下列向量中与B 1M —→相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c答案 A解析 B 1M —→＝B 1B —→＋BM →＝A 1A —→＋12(BA →＋BC →)＝c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c .1．“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 B2．向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论正确的是( ) A ．a ＝bB ．a ＋b 为实数0C ．a 与b 方向相同D ．|a |＝3答案 D解析 向量a ，b 互为相反向量，则a ，b 模相等，方向相反，故选D. 3．设A ，B ，C 是空间任意三点，下列结论错误的是( ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →＋BC →＋CA →＝0 C.AB →－AC →＝CB → D.AB →＝－BA → 答案 B4．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．空间四边形 C ．等腰梯形 D ．矩形答案 A解析 ∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →， ∴AB →＝DC →.∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|. ∴四边形ABCD 为平行四边形．5．化简：5(3a －2b )＋4(2b －3a )＝________. 答案 3a －2b1．知识清单： (1)向量的概念．(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘)． (3)向量的线性运算的运算律． 2．方法归纳：三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想． 3．常见误区：对空间向量的理解应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数．1．(多选)下列说法中，正确的是( ) A ．模为0是一个向量方向不确定的充要条件B ．若向量AB →，CD →满足|AB →|＝|CD →|，AB →与CD →同向，则AB →＞CD →C ．若两个非零向量AB →，CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →，CD →互为相反向量 D.AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合 答案 AC解析 A 正确，模不为0的向量方向是确定的． B 错误，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小． C 正确，由AB →＋CD →＝0，得AB →＝－CD →，所以AB →，CD →互为相反向量．D 错误，AB →＝CD →的充要条件是|AB →|＝|CD →|，且AB →，CD →同向．但A 与C ，B 与D 不一定重合． 2．化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是( ) A.PM → B.NP → C ．0 D.MN →答案 C解析 PM →－PN →＋MN →＝NM →＋MN →＝NM →－NM →＝0，故选C. 3．在空间四边形OABC 中，OA →＋AB →－CB →等于( ) A.OA → B.AB → C.OC →D.AC →答案 C4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列选项中化简后为零向量的是( ) A.AB →＋A 1D 1—→＋C 1A 1—→ B.AB →－AC →＋BB 1—→ C.AB →＋AD →＋AA 1—→ D.AC →＋CB 1—→答案 A解析 在A 选项中，AB →＋A 1D 1—→＋C 1A 1—→＝(AB →＋AD →)＋CA →＝AC →＋CA →＝0. 5．如果向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( ) A.AB →＝AC →＋BC → B.AB →＝－AC →－BC → C.AC →与BC →同向 D.AC →与CB →同向 答案 D6．设A ，B ，C ，D 为空间任意四点，则AC →－BC →＋BD →＝________. 答案 AD →解析 AC →－BC →＋BD →＝AC →＋CB →＋BD →＝AD →.7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简AB →－CD →＋BC →－DA →的结果是________． 答案 2AC →解析 AB →－CD →＋BC →－DA →＝AB →＋BC →＋DC →－DA →＝AC →＋AC →＝2AC →.8．已知向量a ，b ，c 互相平行，其中a ，c 同向，a ，b 反向，|a |＝3，|b |＝2，|c |＝1，则|a ＋b ＋c |＝________. 答案 29.如图所示的是平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，化简下列各式：(1)AB →＋AD →＋AA 1→； (2)DD 1—→－AB →＋BC →.解 (1)AB →＋AD →＋AA 1—→＝AC →＋AA 1—→＝AC 1—→.(2)DD 1—→－AB →＋BC →＝AA 1—→－AB →＋BC →＝BA 1—→＋BC →＝BD 1—→.10．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简：AB →＋BC →＋CD →，AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．解 AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.因为E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点， 所以BE →＝EC →，EF →＝GD →.所以AB →＋GD →＋EC →＝AB →＋EF →＋BE →＝AF →. 故所求向量为AD →，AF →，如图所示．11．已知空间中任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A.DB → B.AB → C.AC → D.BA →答案 D解析 方法一 DA →＋CD →－CB →＝(CD →＋DA →)－CB →＝CA →－CB →＝BA →. 方法二 DA →＋CD →－CB →＝DA →＋(CD →－CB →)＝DA →＋BD →＝BA →.12．在三棱锥A －BCD 中，E 是棱CD 的中点，且BF →＝23BE →，则 AF →等于( )A. 12AB →＋34AC →－34AD →B. AB →＋34AC →－34AD →C ．－5AB →＋3AC →＋3AD →D.13AB →＋13AC →＋13AD → 答案 D解析 因为 E 是棱 CD 的中点，BF →＝23BE →，所以 AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BE →＝AB →＋23(AE →－AB →)＝23AE →＋13AB →＝13(AC →＋AD →)＋13AB →＝13AB →＋13AC →＋13AD →. 13．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝________. 答案 －c －a ＋b 解析 如图，A 1B —→＝B 1B —→－B 1A 1—→＝B 1B —→－BA →＝－CC 1—→－(CA →－CB →) ＝－c －(a －b )＝－c －a ＋b .14．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．(1)化简A 1O —→－12AB →－12AD →＝________.(2)用AB →，AD →，AA 1—→表示OC 1—→，则OC 1—→＝________. 答案 (1)A 1A —→ (2)12AB →＋12AD →＋AA 1—→解析 (1)A 1O —→－12AB →－12AD →＝A 1O —→－12(AB →＋AD →)＝A 1O —→－AO →＝A 1O —→＋OA →＝A 1A —→.(2)因为OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，所以OC 1—→＝OC →＋CC 1—→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1—→＝12AB →＋12AD →＋AA 1—→.15．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC ′——→＝xAB →＋y 2BC →＋z 3CC ′——→，则x ＋y ＋z ＝________.答案 6解析 在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AC ′——→＝AB →＋BC →＋CC ′——→，又AC ′——→＝xAB →＋y 2BC →＋z 3CC ′——→， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y 2＝1，z 3＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，z ＝3，∴x ＋y ＋z ＝6.16.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1—→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N —→；(3)MP →.解 (1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1—→＋A 1D 1——→＋D 1P —→＝a ＋AD →＋12D 1C 1——→ ＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b . (2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N —→＝A 1A —→＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC → ＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c . (3)∵M 是AA 1的中点，∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A —→＋AP → ＝－12a ＋⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c .。
平面向量和空间向量的知识点对比
平面向量和空间向量的知识点对比知识点平面向量空间向量。
---定义既有大小又有方向的量，在平面内既有大小又有方向的量，在空间中。
表示方法通常用有向线段表示，如→AB，也可以用坐标表示(x,y)通常用有向线段表示，如→AB，坐标表示为(x,y,z)向量的模对于平面向量→a=(x,y)，|→a|=√(x^2)+y^{2}对于空间向量→a=(x,y,z)，|→a|=√(x^2)+y^{2+z^2}相等向量大小相等且方向相同的向量，在平面内大小相等且方向相同的向量，在空间中。
平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，在平面内→a=k→b(k∈ R)表示→a∥→b方向相同或相反的非零向量，在空间中→a=k→b(k∈ R)表示→a∥→b加法运算三角形法则和平行四边形法则。
<br>若→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a+→b=(x_1+x_2,y_1+y_2)三角形法则和平行四边形法则。
<br>若→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，则→a+→b=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)减法运算三角形法则。
<br>若→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a-→b=(x_1-x_2,y_1-y_2)三角形法则。
<br>若→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，则→a-→b=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)数乘运算若→a=(x,y)，k∈ R，则k→a=(kx,ky)若→a=(x,y,z)，k∈ R，则k→a=(kx,ky,kz)数量积若→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a·→b=x_1x_2+y_1y_2，→a·→b=|→a||→b|cosθ（θ为→a与→b的夹角）若→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，则→a·→b=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2，→a·→b=|→a||→b|cosθ（θ为→a与→b的夹角）向量的夹角设→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，cosθ=frac{→a·→b}{|→a||→b|}=frac{x_1x_2+y_1y_2}{√(x_1)^2+y_{1^2}·√(x_2)^2+y_{2 ^2}}，θ∈[0,π]设→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，co sθ=frac{→a·→b}{|→a||→b|}=frac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{√(x_1)^2+y_{1^2+z_1^2}·√(x_2)^2+y_{2^2+z_2^2}}，θ∈[0,π]向量垂直若→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，→a⊥→bLeftrightarrow→a·→b=0Leftrightarrow x_1x_2+y_1y_2=0若→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，→a⊥→bLeftrightarrow→a·→b=0L eftrightarrow x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0向量的应用在平面几何、物理（如力的合成与分解等）中有广泛应用在立体几何（如证明线面平行、垂直，求异面直线所成角、线面角、二面角等）、物理（如空间力的分析等）中有广泛应用。
高中数学人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算课件
学习重难点
• 重点：理解空间向量的概念
• 难点：掌握空间向量的运算及其应用
空间向量及其运算
向量
平面向量VS空间向量
左图是一个做滑翔运动员的场景，
可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到
来自不同方向大小各异的力，例如绳索
的拉力，风力，重力等，显然这些力不
在同一个平内。
向量．
另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可
以得到:有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其
和不变.
A'
B'
D
A
C
B
知识点二 空间向量的加减运算及运算律
探 对任意两个空间向量与，如果=λ (λ∈R)，与有什么位置关系?反过来，
究 与有什么位置关系时，=λ?
类似于平面问量共线的充要条件，对任意两个空间向量, (≠0)， ∥
联想，用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广
到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动员呢？
下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从空间上的概念和
表示开始。
知识点一 空间向量的概念
思考1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.
在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量。
空间向量的大小叫做向量的长度或模.
―→ ―→ ―→
(2)AA′＋ AB ＋B′C′.
解
→
→
→
→
→
→
AA′ ＋AB ＋B′C′ ＝(AA′ ＋AB )＋B′C′ ＝
→
→
→
→
→
AB′＋B′C′＝AC′.向量AD′、AC′如图所示.
课堂检测
如图，E，F分别是长方体ABCD -A'B'C'D'的棱AB，CD的中点．
高中数学第二章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量ppt课件
→ —→ (2)〈AB，C1A1〉； 解答 〈A→B，C—1→A1〉＝π－〈A→B，A—1→C1〉＝π－π4＝34π.
→ —→ (3)〈AB，A1D1〉.
解答
〈A→B，A—1→D1〉＝〈A→B，A→D〉＝π2.
引申探求 →→
在本例中，求〈AB1，DA1〉. 解答
如图，衔接B1C，那么B1C∥A1D， →→
梳理
间向量的夹角
(1)文字表达：a，b是空间中两个非零向量，过空间恣意一点O，作
→ OA
＝a，O→B＝b，那么∠AOB 叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉 .
(2)图形表示：
角度
表示
〈a，b〉＝__0_
〈a，b〉是_锐__角__
〈a，b〉是_直__角__ 〈a，b〉是_钝__角__〈a，b〉 Nhomakorabea_π__
第二章 空间向量与立体几何
§1 从平面向量到空间向量
学习目的 1.了解空间向量的概念. 2.了解空间向量的表示法，了解自在向量的概 念. 3.了解空间向量的夹角. 4.了解直线的方向向量与平面的法向量的概念.
内容索引
问题导学 题型探求 当堂训练
问题导学
知识点一 空间向量的概念
思索1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念. 答案 在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量.
答案 解析
研讨长方体的模型可知，一切顶点两两相连得到的线段中，长度为1 的线段只需4条，故模为1的向量有8个.
12345
5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的 是②__③____.(填序号)答案
No Image
12345
规律与方法
在空间中，一个向量成为某直线的方向向量的条件包含两个方面：一是 该向量为非零向量；二是该向量与直线平行或重合.二者缺一不可. 给定空间中恣意一点A和非零向量a，就可以确定独一一条过点A且平行 于向量a的直线.
空间向量及其运算(内容详细,题目典型,适合新授课)
即： (a b) a b （ ） a a a ( )a ( )a
四、空间向量加法与数乘向量运算律
化简( AB CD) ( AC BD)
解： 方法一： 将减法转化为加法进行 化简 AB CD AB DC ( AB CD ) ( AC BD) AB DC AC BD AB DC CA BD AB BD DC CA AD DA 0
五、共线向量: 1.空间共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.
2.空间共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b
由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题
你能对（3）（4）结论进行推广吗？
四、空间向量加法与数乘向量运算律
A1 A2 A2 A3 An 1 An _____ A1 An
(3) A1 A2 A2 A3 A3 A4 A1 A4
A1 An A2 A3
An－1
…
A 4 首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起 点指向末尾向量的终点的向量．
B
b
a
O
A
O′
结论：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内， 内，成为同一平面内的两个向量。
一、空间向量的基本概念
说明 ⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广．
2.凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平面向量 中有关结论仍适用于它们。
一、空间向量的基本概念
《空间向量基本定理》参考教案
2.3.2 空间向量基本定理 教案一、教学目标：1．知识目标：掌握空间向量基底的概念；了解空间向量的基本定理及其推论；了解空间向量基本定理的证明。
2．能力目标：理解空间任一向量可用空间三个不共面向量唯一线性表示，会在平行六面体、四面体为背景的几何体中选用空间三个不共面向量作基底，表示其它向量。
会作空间任一向量的分解图。
类比平面向量的基本定理学习空间向量基本定理，培养学生类比、联想、维数转换的思想方法和空间想象能力。
3．情感目标：创设适当的问题情境，从生活中的常见现象引入课题，开始就引起学生极大的学习兴趣，让学生容易切入课题，培养学生用数学的意识，体现新课程改革的理念之一，加强数学与生活实践的联系。
二、教学重难点：1.教学难点：空间向量的分解作图，用不同的基底表示空间任一向量。
灵活运用空间向量基本定理证明空间直线的平行、共面问题。
2.教学重点：运用空间向量基本定理表示空间任一向量，并能根据表达式判断向量与基底的关系。
三、教学方法：在多媒体和实物模型的环境下，学生分组自主与合作学习相结合，老师引导、参与学生活动和讨论的民主式的教学。
四、教学过程（一）、引入：对比平面向量的基本定理，生活实际需要向三维空间发展（播放美伊战争画面，地面的坦克如何瞄准空中的飞机画面），推广到空间向量的基本定理。
用向量来描述：若空间三个向量不共面，那么空间的任一向量都可以用这三个向量表示。
我们研究一下怎么表示。
（提示学生思考平面的任一向量怎么用平面向量的基底表示） 学生：1e 、2e 是平面内两个不共线的向量，则该平面内的任一向量都可以表1A P 示为a =λ11e +λ22e ，其中λ1、λ2是一对唯一的实数。
（二）、推广:请学生猜测推广到空间向量的基本定理如何？ 学生：空间向量的基本定理：如果空间三个向量、、不共面，则空间的任一向量p 都可表示为x +y +z 。
师：若猜想正确，则给出证明，若猜想不正确，先给出定理，再证明。
平面向量和空间向量的类比学习方法
平面向量和空间向量的类比学习方法1、向量在高中教材的分布向量（既有大小又有方向的量）能够简化三角、平面几何、立体几何、线性方程组及矩阵中的许多运算和证明，能够对复数运算的几何意义及多种几何变换作出合理的解释，这使向量成为除函数之外能够贯穿中学数学许多章节的内容。
必修的数学 4 的第二章以平面向量为内容，具体包括“向量的概念与表示”、“向量的线性运算”、“向量的坐标表示”、“向量的数量积”和“向量的应用”等知识点。
“空间向量”则是选修课程系列2-1 的第三章的主要组成部分，以空间向量及其在立体几何中的应用为主要内容，具体包括“空间向量及其运算”和“立体几何中的向量方法”两个知识点。
2、“平面向量”和“空间向量”的基本概念向量把代数和几何的知识点有机地联系起来，可以帮助学习者从整体上理解数学知识之间的内部联系。
向量的运算法则是以运算律的形式表现的，受这种形式影响，容易将向量与代数知识画上等号。
实际上，向量不仅属于代数范畴，也属于几何的范畴。
平面向量和空间向量是向量研究的两个维度，向量的本身所具有的代数（可以用有序实数对表示）和几何（可以用有向线段表示）双重属性，使向量体现出数学中的数形结合思想。
2.1 平面向量在一个平面内来考虑既有大小又有方向的量称为平面向量。
如果e1、e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使：a=λ1e1+λ2e2，其中不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
2.2 空间向量在一个空间内来考虑既有大小又有方向的量称为平面向量。
空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使p=x a +y b +z c ,其中{ a、b、c}叫做空间的一个基底，a、b、c都叫做基向量。
2.3 平面向量与空间向量的关系平面向量与空间向量研究的范围不同，平面向量从平面扩展到空间就变成了空间向量。
空间向量及其线性运算高二(人教A版2019选修一)
探究
如图1.1 6, 在平行六面体ABCD ABCD中,分别标出AB AD AA,
AB AA AD表示的向量.从中你能体会向量加法运算的交换律和结 合律吗 ? 一般地, 三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系?
可以发现, AB AD AA AB AA AD AC,
一般地, 对于三个不共面的向量a, b, c,以任意点O
为起点, a, b, c为邻边作平行六面体, 则a, b, c的和
等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向
量. 另外, 利用向量加法的交换律和结合律,还可
以得到 : 有限个向量求和, 交换相加向量的顺序,
与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空 间向量(space vector)，空间向量的大小叫做空间向量的长度或 模(modulus)．
空间向量用字母a, b, c, 表示. 空间中点的位移、物体运动的速度、 物体受到的力等都可以用空间向量表示.
与平面向量一样, 空间向量也用有向线段表示, 有向线段的长度表示 空间向量的模. 如图1.1 1, 向量a的起点是A, 终点是B, 则向量a也可以 记作 AB, 其模记为 a 或 AB .
模为1的向量叫做单位向量 (unit vector). 与向量a长度相等而方向相反的向量,叫做a的相反向量, 记作 a.
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么 这些向量叫做共线向量(colliner vectors)或平行向量( parallel vectors).
我们规定：零向量与任意向量平行,即对于任意向量a, 都有0 // a.
第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算
【教案】1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 教学设计-人教版(2019)选择性必修一
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系一、内容和内容解析1.内容空间中点、直线和平面的向量表示；直线的方向向量和平面的法向量.2.内容解析在本章前三节中，学生类比平面向量，学习了空间向量的概念、线性运算和数量积运算、空间向量基本定理及空间向量的坐标运算，体会了平面向量与空间向量的共性和差异．在这一节中，学生将会运用向量方法研究空间基本图形的平行、垂直等位置关系和距离、角度等度量问题，从中体会向量方法与几何方法的共性和差异，通过运用向量方法解决简单数学问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工具．为了用空间向量解决立体几何问题，首先要把点、直线、平面等组成立体图形的要素用向量表示，使其成为可以运算的对象，将几何问题转化为向量问题；进而利用空间向量的运算，研究空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系以及距离、夹角等度量问题；而解决这些问题经常要用到平面的法向量．结合以上分析，确定本节课的教学重点：平面法向量的概念及求法.二、目标和目标解析1.目标（1）能用向量表示空间中的点、直线和平面；（2）理解平面的法向量的概念，会求法向量；（3）经历用代数运算解决几何问题的过程，提升直观想象、数学运算素养．2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）理解用位置向量与空间中的点建立对应关系，理解一个点和一个定方向唯一确定一条直线，一个定点和两个定方向确定一个平面，能推导出直线和平面向量表示式．（2）理解与平面垂直的直线的方向向量是平面的法向量，从而法向量不是唯一的，清楚在用待定系数法求法向量的坐标时，为什么只需要两个方程．三、教学问题诊断分析对于问题“空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l．如何用向量表示直线l？”学生可能会感到比较抽象，不知道需要做什么．教师可以进行追问将问题描述地更加具体，起到提示和辅助学生的作用．比如换成思考“直线上任意一点P如何用向量表达式表示，式子中只含有点A和方向向量a”.上述问题解决后，在提出问题“一个定点和两个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？”时，学生可以利用直线的向量表示式的经验去思考．最后对于问题“一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？”，有的同学可能觉得“经过一条直线和直线外一点”也可以确定平面，这时教师要注意强调问题中的一个定点的任意性（即可能在直线上）．这样提出“经过定点A且垂直于l的平面是唯一确定的”就比较自然．另外与前几个问题不同的是，在表示平面上任意一点P时，用到数量积运算而不是线性运算，究其原因一是让学生结合线面垂直的定义理解法向量与平面内的任意向量垂直，二是向量垂直关系用运算表达等价于数量积为0．本节课的教学难点是空间中的点、直线和平面的向量表示.四、教学过程设计引言：我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素．因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面．（一）思考空间中点、直线和平面的向量表示问题1：如何用向量表示空间中的一个点？追问:取空间中一个定点O为起点,空间中的向量与向量的终点间有怎样的关系？师生活动：教师引导学生类比平面中用向量表示点．设计意图：引发学生思考起点确定时，空间中任意一个点作为终点都可以得到一个空间向量，这种一一对应关系决定能用向量OP表示点P．问题2：我们知道，空间中给定一个点A 和一个方向就能唯一确定一条直线l ．如何用向量表示直线l ？师生活动：教师在课件中给出图形，即点A 和直线l 的方向向量a ，并向学生阐明，用向量表示直线l ，就是用点A 和向量a 表示直线l 上的任意一点．学生观察图形，进行思考．追问：（1）P 是直线l 上的任意一点，由方向向量的定义可知，AP 怎样用a 来表示？（2）假设O 是空间任意一点，运用问题1中用位置向量表示点的方法，又可以怎样表示AP ？ 师生活动：教师引导学生观察、讨论、分析．设计意图：教材第1节就给出了直线的方向向量的概念，根据空间向量数乘运算的意义，AP =t a （t ∈R ）．通过追问2，让学生得到OA OP AP -=，从而得出直线的向量表示式a t OA OP +=，进一步深化理解点的向量表示．同时应指出，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使a t OA OP +=．问题3：一个定点和两个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？追问：（1）我们知道，经过两条相交直线可以确定一个平面α，设这两条直线的交点为A ，方向向量为a 和b ，P 为平面α内任意一点，根据平面向量基本定理，如何表示AP ？（2）取定空间任意一点O ，类似于问题2，你能得到平面ABC 的向量表示式吗？师生活动：教师展示图形，引导学生思考并进行演算．设计意图：根据平面向量基本定理，存在唯一实数对（x ，y ），使得b a y x AP +=．类比问题2的推导过程，学生容易得到平面的向量表示式AC y AB x OA OP ++=，由学生自行推导，强调前后知识的联系，形成解决同类问题的思想方法．（二）平面的法向量的概念及求法问题4：一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？师生活动：教师展示图形，经过定点A 且垂直于l 的平面是唯一确定的，给出平面法向量的概念，即l ⊥α，l 的方向向量a 叫做α的法向量．对于第二个问题可进行如下追问．追问：（1）对于平面内任意一点P ，AP 与a 有怎样的关系？可以用哪种运算来表示这种关系？（2）如果另有一条直线m ⊥α，在m 上取向量b ，则b 与a 有什么关系？设计意图：让学生在思考中理解垂直关系可以用向量数量积为0来表示，为后面求平面的法向量提供依据．教师给出集合{}|0P AP •=a 表示平面，加强知识间的联系，用集合的观点表示图形．例 如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB =4，BC =3，CC 1=2，M 是AB 中点，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）求平面BCC 1B 1的法向量．（2）求平面MCA 1的法向量．设计意图：第（1）问是通过定义法求法向量，第（2）问是用待定系数法求法向量，加深学生对法向量的概念理解，熟练空间直角坐标系和空间向量的坐标表示．问题5：如果设平面MCA 1的法向量为n=（x ，y ，z ），如何得到x 、y 、z 满足的方程？师生活动：学生通过观察结合本节课所学，可知平面MCA 1可以看成由MC ，1MA ，1AC 中的两个向量所确定，运用法向量与它们的垂直关系，可转化为数量积运算列出方程．追问：为什么只需用n 与两个不共线的向量数量积为0列方程组就可以？设计意图：让学生通过线面垂直的判定定理理解用待定系数法求法向量的过程．同时教师应指出方程组有无数个解，我们只需求出平面的一个法向量，求直线的方向向量也是如此．（三）归纳总结、布置作业教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题：（1）如何用向量表示空间中的点、直线和平面？（2）什么是平面的法向量，如何求平面法向量？（3）通过本节课对你今后解决立体几何问题有哪些启发？设计意图：从知识内容和研究方法两个方面对本节课进行小结．布置作业：教科书习题1.4第1，2题．思考：由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行、垂直关系，可以得到直线的方向向量和平面的法向量间的什么关系？五、目标检测设计1．如图，在三棱锥A -BCD 中，E 是CD 的中点，点F 在AE 上，且EF =2F A ．设a =BC ，b =BD ，c =BA ，求直线AE 、BF 的方向向量．设计意图：考查学生用基底法求直线的方向向量.2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=1，AA1=2．以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）求平面BCC1B1的法向量；（2）求平面A1BC的法向量．设计意图：考查学生用空间向量坐标运算求法向量.。
《空间向量的应用—距离》教学设计
全国名校高中数学优质学案汇编（附详解）《空间向量的应用—距离》教学设计一、教学内容解析本节课是参照新课标高中数学人教B版数学选修2-1第三章空间量与立体几何3.2.5距离一节．它是空间向量及其运算之后，将其方法在立体几何中的应用，属于概念性知识和程序性知识．本课虽篇幅不长，但从学生的角度讲仍占有较高的地位，是对以往所学知识的梳理、归纳和提升，使学生从另一个视角认识空间向量的应用．通过观察，思考，动手操作可使其深刻理解数学源于生活，应用于生活，进而产生浓厚的数学学习兴趣，体会综合几何法和向量方法各自的优势，在学习的过程中深刻体会类比思想、化归思想等数学思想方法，让学生初步形成数学抽象，逻辑推理，数学建模，直观想象，数学运算等学科核心素养．这部分知识的学习，不仅对学生核心素养的形成起到巨大的促进作用，更让学生深刻体会程序化思想，以及寻找一些问题的通性通法。
教学重点：四种距离的概念，点到平面距离的求法．二、教学目标设置课程目标：在必修课程学习的基础上，本主题将学习空间向量，并运用空间向量研究立体几何图形中图形的位置关系和度量关系。
单元目标：本单元的学习，可以帮助学生在学习平面向量的基础上，利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量的共性和差异；运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系，体会向量方法和综合几何法的共性和差异；运用向量方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工具。
课堂目标：通过本小节的教学，是学生达到以下要求：（1）理解图形F1与图形F2的距离的概念；（2）掌握四种距离的概念，会解决一些简单的距离问题．（3）学生能够独立用向量方法解决四类距离问题（4）学生能够利用数学抽象的方法发现生活中的距离问题；利用类比的方法总结并推广向量基本定理；利用化归的方法由点到平面的距离的向量解法推广到求直线与它平行平面、两平行平面的距离．三、学生学情分析教学主体——学生是普通高中二年级学生，已经掌握了立体几何初步以及空间向量与立体几何的基本内容．学生已经具有一定的观察、类比、化归、直观想象和逻辑推理的能力，具有初步的抽象思维和科学探究能力．学生在学习生活中可能已经遇到过求图形距离的相关事例，但对于空间向量求距离仍是比较陌生的．通过教师引导可以将学生已学过的空间向量知识应用到求解几何图形的距离上来，这是学生在老师的帮助下搭建图形距离与空间向量体系的桥梁。
从平面向量基本定理到空间向量基本定理
设计意图:帮助学生会根据求数量积的具体问题，选择 基底时兼顾向量的模和夹角，结合图形，应用向量的加 A1 法、相等向量和相反向量，将所涉及的向量均表示为基 向量的表示形式.
A
建议:根据基底的多种选择性，鼓励学生大胆表达自己 的思路.
D
C1
B1 C
B
活动一 “共线向量定理、平面向量基本定理推广到空间”设计思路及实施建议
➢ 问题：1.已知非零向量 a ，与 a 共线的任意向量是否都可以
表示成 a ( R )？
共线向量定理
2.上述 a 能否表示一个平面 内的所有向量？
平面向量基本定理 3.上面两个结论在空间中仍成立吗？
活动一 “共线向量定理、平面向量基本定理推广到空间”设计思路及实施建议
A1
D1
设计意图:帮助学生会用基底表示指定向量，掌握用向 量解决几何问题的基本途径.
c B1
建议:引导学生观察图形，利用向量的加法和减法，找 A
b
到所求向量的一个路径，再转化成基底表示.
a
B
例 3.如图所示，已知直三棱柱 ABC A1B1C1 中， D 为 A1C1 的中点， ABC 60， AB 2， BC CC1 1，求 AB1 CD .
建议:鼓励学生类比平面向量基本定理的唯一性证明进行自主探究和表 达，教师进行积极的评价.
活动二 “空间向量基本定理的应用”设计思路及实施建议
例1. 已知空间的一组基底 i, j,k， a i 2 j k ， b i 3 j 2k .
（1）写出一个与向量 a 平行的向量 c1 ；
（2）向量 a ， b 是否共线？是否共面？
➢ 课时分配： 第一课时 共线向量定理和平面向量基本定理向空间推广、共面向量定理、 以及空间向量基本定理的猜想 第二课时 空间向量基本定理的证明及应用
基于类比的延伸——“空间向量的坐标表示”教学实录与反思
基于类比的延伸———“空间向量的坐标表示”教学实录与反思徐德均 （江苏省南通中学 ２２６００１） 作者简介：徐德均，江苏南通人，１９８６年７月毕业于扬州师范学院（今扬州大学），现执教于江苏省南通中学．２０１８年被评为江苏省高中数学特级教师，２０１７年被评为中小学正高级教师．多篇论文发表在《数学教育学报》《数学通报》等中学数学教与学的专业刊物上．在长期的教育教学实践中，逐渐形成了“以思维训练为核心，以思考教学为主线”的教学观．１ 基本情况１．１ 授课对象学生来自江苏省四星级普通高中理科班，数学素养的基础较好，有一定的自学能力、推理能力及运算能力．１．２ 教材分析所用教材为《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修２ １）》（苏教版）．“空间向量的坐标表示”为第３章“空间向量与立体几何”第１节第４课的内容，它是将平面向量的有关概念与运算类比延伸到空间，定义空间向量及其线性运算、共面向量定理与空间向量基本定理后的一节知识内容，是后续学习空间向量的数量积与空间线面关系的判定、空间的角的计算等空间向量的知识基础与基本方法，是本章教与学的重点和难点，也是本章的主干知识点．教学过程中回顾由平面向量基本定理生成空间向量基本定理的过程与方法，体会类比的思想方法在空间向量中的应用；引导学生适时延伸得到空间向量的坐标表示与运算法则；通过空间向量的线性表示与运算，理解空间坐标运算法则及其运用；通过一题多变，融合共线、共面向量等有关知识的综合训练，为运用向量作为工具求解有关几何问题打好基础，发展推理能力和运算能力．教学目标 （１）经历用类比延伸出空间向量的坐标表示与运算法则的过程，体验数学在结构上的和谐性，感受数学发现和创造的快乐；（２）体会空间向量是在平面向量的基础上的螺旋升格，注意由“二维”类比延伸到“三维”的维数增加带来的影响；（３）能通过坐标运算发现向量的线性表示，判断向量共线、共面，从而确定交点位置等，理解向量的工具性作用；（４）能用空间向量的坐标表示进行简单向量式的化简、求值以及多边形的形状的判断，养成积极自主思考、主动探索的习惯．教学重点 引导学生类比延伸空间向量的坐标表示及其应用．教学难点 创设情境引导学生以向量为工具求解几何问题．２ 教学过程２．１ 创设情境，类比探究师：同学们好！还记得上节课我们学会了什么吗？又是如何研究的？生１：空间向量基本定理及其应用，是通过类比延伸平面向量基本定理得到的，并用向量加法法则验证，然后应用它证明向量共面等问题．师：回答得很好！（屏幕显示图１）图１师：我们知道，在平面直角坐标系中，可用坐 本文系江苏省中小学教学研究第１３期课题“基于深度学习的高中数学单元教学研究”（编号：２０１９ＪＫ１３ Ｌ１７１）的研究成果．标表示平面向量，同时可以通过坐标来进行平面向量的运算与运用．同学想一想，现在能否将平面直角坐标系中的坐标表示向量类比延伸到空间呢？（回答是肯定）这就是我们今天所要研究学习的内容：空间向量的坐标表示．（板书课题）２．２ 类比法则，升维验证师：请同学们小组讨论并汇报，如何将平面直角坐标系中向量的坐标表示类比延伸到空间？生２：仍然采用类比延伸的思想与方法．在空间坐标系犗 狓狔狕中，分别取与狓轴、狔轴、狕轴正方向相同的单位向量犻，犼，犽作为基向量．对于任意一个向量犪，根据空间向量基本定理，存在惟一的有序实数组（狓，狔，狕），使犪＝狓犻＋狔犼＋狕犽．有序实数组（狓，狔，狕）叫做向量犪在空间直角坐标系犗 狓狔狕中的坐标，记作犪＝（狓，狔，狕）．（在学生汇报的同时，教师在黑板上板书、作图，补充并标注，如图２所示）图２师：无论在平面直角坐标系上还是在空间直角坐标系内，当向量犪的起点移至坐标原点犗时，其终点的坐标就是向量犪的坐标．空间向量坐标就是在平面向量坐标上增加了“竖坐标”，从维度表示上来讲就是增加一个维度表示，即从二维表示延伸为三维表示．现在我们已经用坐标表示了空间向量，以下该如何研究？怎么研究？生３：研究空间向量坐标线性运算法则，还是用上节课的学习方法，类比、延伸、验证与应用．（教师在黑板上有目的地板书，得到空间向量坐标运算法则，整理如图３所示）师：回答得很好！上面类比延伸的运算法则一定正确吗？请举例验证说明．生４：犪＋犫＝（狓１犻＋狔１犼＋狕１犽）＋（狓２犻＋狔２犼＋狕２犽）＝（狓１＋狓２）犻＋（狔１＋狔２）犼＋（狕１＋狕２）犽＝（狓１＋狓２，狔１＋狔２，狕１＋狕２）．师：很好！其他类似可以验证．另外，运算法则中犃犅→ ＝犗犅→ －犗犃→ 表明的是在空间，一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标图３减去它的起点坐标．空间向量的运算法则就是在平面向量运算法则基础上增加了“竖坐标”，从维度计算上来看，就是增加一个维度计算，即从二维计算升格为三维的计算．２．３ 利用法则，线性运算师：刚刚我们学习了空间向量的坐标表示及其运算法则，下面请同学们完成以下例题：例１ 已知犪＝（１，－４，８），犫＝（３，１０，－４），求犪＋犫，犪－犫，３犪－２犫．（学生运算，引导作答）生５：根据运算法则直接求解（过程略）．师：很好！将此题变为“已知犪＋犫＝（１，－４，８），犪－犫＝（３，１０，－４），求３犪－２犫”．怎么求？生６：可以先将犪＋犫＝（１，－４，８），犪－犫＝（３，１０，－４）中的犪，犫看作未知量，类似解方程组求犪，犫的坐标，再代入求３犪－２犫的坐标．解答如下：法１：由犪＋犫＝（１，－４，８），犪－犫＝（３，１０，－４），得２犪＝（犪＋犫）＋（犪－犫）＝（４，６，４），２犫＝（犪＋犫）－（犪－犫）＝（－２，－１４，１２），所以犪＝（２，３，２），犫＝（－１，－７，６），故３犪－２犫＝３×（２，３，２）－２×（－１，－７，６）＝（８，２３，－６）．师：很好！法１的思路是发现３犪－２犫是犪，犫的线性表示，故而只要求得犪，犫的坐标就可以了．生７：可从整体角度来看，将３犪－２犫用已知犪＋犫，犪－犫线性表示，只需将犪＋犫，犪－犫的坐标整体代入，便可求解．（请生７自主求解，汇报解答）法２：设３犪－２犫＝λ（犪＋犫）＋μ（犪－犫）＝（λ＋μ）犪＋（λ－μ）犫，则λ＋μ＝３，λ－μ＝－２，｛解得λ＝１２，μ＝５２，故３犪－２犫＝１２（１，－４，８）＋５２（３，１０，－４）＝（８，２３，－６）．师：很好！法１是方程思想的运用，而法２则是整体思想的体现，两种解法都是通过已知向量的线性表示，再利用坐标法则运算达成．（两种解法在同一屏幕上展示）２．４ 一题多变，提高实效例２ 已知空间四点犃（－２，３，１），犅（２，－５，３），犆（１０，０，１０）和犇（８，４，９），试写出向量犗犃→ ，犇犆→ ，犃犅→ ，犃犇→ ，犃犆→ 的坐标．（学生口答，略） 图４师：同学们能从例２的图形与所求向量的坐标，找出图４中一些向量之间的等量关系吗？它又说明了什么？生８：犃犅→ ＝２犇犆→ ，犃犆→ ＝犃犇→ ＋犇犆→ ＝犃犇→ ＋１２犃犅→ 等．根据共面向量定理，等式犃犆→ ＝犃犇→ ＋１２犃犅→ 说明三个向量犃犆→ ，犃犇→ ，犃犅→ 在同一个平面内，即空间四点犃，犅，犆，犇在同一个平面内，从而空间四边形犃犅犆犇是平面四边形．生９（补充）：由犃犅→ ＝２犇犆→ 可知犃犅→ ∥犇犆→ ，狘犃犅→ 狘≠狘犇犆→ 狘，而且可发现犃犇→ 与犅犆→ 不共线，所以空间四边形犃犅犆犇不仅是平面四边形，而且是梯形．师：回答得很好！这样若将例２变为变题１ 已知空间四点犃（－２，３，１），犅（２，－５，３），犆（１０，０，１０）和犇（８，４，９），求证：四边形犃犅犆犇是梯形．师：回顾变题１的证明过程，是通过向量的坐标运算犃犅→ ＝２犇犆→ 及犃犇→ 与犅犆→ 不共线，从而推证空间几何图形的特征：梯形．这是由“数”到“形”的过程．如果将变题１的结论作为条件的一部分，且点犆和犇的部分坐标待定，变式１可变为变题２ 已知空间四点犃（－２，３，１），犅（２，－５，３），犆（１０，狀，１０）和犇（８，４，犿），又四边形犃犅犆犇是梯形，且犃犅∥犇犆，求实数犿，狀的值．生１０：由犃犅∥犇犆，可知犃犅→ ∥犇犆→ ，又因为犃犅→ ＝（４，－８，２），犇犆→ ＝（２，狀－４，１０－犿），所以４＝２λ，－８＝λ（狀－４），２＝λ（１０－犿），烅烄烆解得狀＝０，犿＝９．｛师：变题２的求解过程根据四边形犃犅犆犇是梯形这一几何图形特征，以及向量共线定理求得实数犿，狀的值，这是一个由“形”化“数”的过程．再看变题１中四边形犃犅犆犇是平面四边形，其对角线相交，那么又如何求对角线交点的坐标呢？变题３ 已知空间四点犃（－２，３，１），犅（２，－５，３），犆（１０，０，１０）和犇（８，４，９），求四边形犃犅犆犇对角线犃犆，犅犇交点犘的坐标．生１２：设点犘（狓０，狔０，狕０），由变式１可知四边形犃犅犆犇是以犃犅，犇犆为底的梯形，且犃犅→ ＝２犇犆→ ．根据△犆犇犘∽△犃犅犘，得犃犘→ ＝２犘犆→ ．又因为犃犘→ ＝犗犘→ －犗犃→ ＝（狓０，狔０，狕０）－（－２，３，１）＝（狓０＋２，狔０－３，狕０－１），犘犆→ ＝犗犆→ －犗犘→ ＝（１０，０，１０）－（狓０，狔０，狕０）＝（１０－狓０，－狔０，１０－狕０）．因此狓０＋２＝２（１０－狓０），狔０－３＝２（－狔０），狕０－１＝２（１０－狕０），解得狓０＝６，狔０＝１，狕０＝７．故点犘的坐标为（６，１，７）．师：变题３的求解过程是根据平面四边形犃犅犆犇是梯形且点犘在对角线犃犆上，由向量的共线定理求点犘的坐标．显然，这是结合图形的特殊性质来求解，属于特殊方法，因而不是求平面四边形对角线交点坐标的一般方法．那么如何求平面四边形对角线交点坐标呢？变题４ 已知空间四点犃（－２，３，１），犅（２，－５，３），犆（１０，０，１０）和犇（１０，７，１１），试判断四边形犃犅犆犇是否是平面四边形．若是，求四边形犃犅犆犇对角线犃犆，犅犇交点犘的坐标．生１３（合作讨论后回答）：先证明四边形犃犅犆犇是平面四边形，再根据犃，犘，犆三点共线与犅，犘，犇三点共线，求交点犘的坐标．求解如下：不妨设犃犆→ ＝狓犃犇→ ＋狔犃犅→ （狓，狔∈犚），则有（１２，－３，９）＝（１２狓＋４狔，４狓－８狔，１０狓＋２狔），故１２狓＋４狔＝１２，４狓－８狔＝－３，１０狓＋２狔＝９，烅烄烆解得狓＝狔＝３４．从而犃犆→ ＝３４犃犇→ ＋３４犃犅→ ，故四边形犃犅犆犇是平面四边形．又由于点犘在直线犃犆，犅犇上，由平面共线向量定理可设犃犘→ ＝λ犃犆→ ，犅犘→ ＝μ犅犇→ （λ，μ∈犚）．设点犘（狓０，狔０，狕０），所以犃犘→ ＝犗犘→ －犗犃→ ＝（狓０，狔０，狕０）－（－２，３，１）＝（狓０＋２，狔０－３，狕０－１），犅犘→ ＝犗犘→ －犗犅→ ＝（狓０，狔０，狕０）－（２，－５，３）＝（狓０－２，狔０＋５，狕０－３）．又犃犆→ ＝（１０，０，１０）－（－２，３，１）＝（１２，－３，９），犅犇→ ＝（１０，７，１１）－（２，－５，３）＝（８，１２，８），故（狓０＋２，狔０－３，狕０－１）＝λ（１２，－３，９），（狓０－２，狔０＋５，狕０－３）＝μ（８，１２，８）．解得λ＝２３，μ＝１２，狓０＝６，狔０＝１，狕０＝７．因此，点犘的坐标为（６，１，７）．２．５ 全课提炼，布置作业（略）３ 回顾与反思３．１ 教学设计的立意“明线”是将平面向量的坐标表示、运算法则及其运用直接类比到空间，从“二维平面”的内容延伸到“三维空间”；“暗线”是继续采用前一节学习“空间向量基本定理”的思想方法，先将平面的知识拓展到空间，再将空间向量的新知识当作工具应用．充分体现向量的工具性作用．一方面，要将所得到的向量的知识作为工具，应用到新问题情境中，作为发现新问题的途径、提出新问题的手段、解决新问题的方法；另一方面，坐标是向量的一种表示形式，它借助于坐标系表示向量的“代数”与“几何”两种属性，便于向量的运算与应用，其实，坐标本身就是研究向量的基本工具．３．２ 教学反思向量是高中数学教学过程中的主要概念之一，它在高中数学课程中的三角函数、平面向量、空间向量等不同的模块中多次呈现，是现行课程所倡导的“螺旋式提升”的整体教学思想的体现．（１）教学关注要具有“螺旋式”拔节的观点高中阶段的向量需要关注的是：从有向线段的向量的初步感知，到平面向量知识的内涵，再到空间向量的引导学生类比延伸、自主探索，得出相应的性质和法则，最后是通过向量法的应用，学生养成学会学习的思维方式与行为习惯等逐步“螺旋式”拔节提升．在已知空间两个犪＋犫，犪－犫的坐标求３犪－２犫的坐标表示时，学生往往关注的是用方程的方法，先求犪，犫的坐标，再求３犪－２犫．事实上，如果注意到在平面向量中的线性表示３犪－２犫＝１２（犪＋犫）＋５２（犪－犫），将其类比到空间，坐标代入求３犪－２犫，则可使学生体会到一种由已知走向未知的进程，体会到平面向量与空间向量的关系，在这过程中逐步地学会思考、学会运用、学会学习．（２）教学内容里要具备“螺旋式”生成的意识向量在不同模块中，其内容是从基本概念到规范定义，再从规范定义到知识推导，最后进行知识内容、方法运用等，不同模块中教学内容在逐渐增加，在“螺旋式”逐渐生成．空间向量的坐标表示是从二维的平面向量的坐标表示类比延伸而来，从内容形式表示看，增加了一个维度即增加了“竖坐标”，从而增加了新的坐标运算与法则；从新知识的应用看，如例２的变题１、３、４，这些变式都要先进行多向量共面的证明，将空间问题转化为平面问题，换言之，就是由平面问题“螺旋式”生成了空间问题．（３）教学目标里要明确“螺旋式”递增的方向学习向量的目的是运用向量，是借助向量法求解一些几何问题．教材的编排目标从简单了解到能用，再到学会、体会与灵活运用，具有明确的“螺旋式”递增的目标导向．空间向量的坐标表示的目的应该不是简单地借助空间坐标系，用坐标表示空间向量，再推到坐标运算法则及其应用，而是应该具有更高目的，是借助坐标表示，利用向量法解决一些数学问题，如例２的变式３等．（４）教学要求中要呈现“螺旋式”提高的过程课标中向量的教学要求是从了解到理解、能用，再到理解、掌握、能用，在不同阶段呈现的是逐步“螺旋式”提高的过程．向量法是数学知识应用的数学思想方法之一，它是从单纯的图形或代数特征求解，拓展延伸到数形结合求解的主要数学方法．向量法含直接利用有向线段、向量基本知识求解的简单过程，也含有用向量的知识求解复杂问题的综合过程．它既有平面中单纯的向量简单运算运用，也包含判断空间点、线、面的位置关系，求空间距离和空间角等综合应用．这些应用呈现的是由简单到综合的“螺旋式”提高的过程．虽然本节课从教学过程与效果看比较成功，但不足之处比较多．首先，由于各种原因，班级几十个学生在数学学习方面客观上总是存在差异，有少部分学生的思维处于“无为”状态，以后教学中要在因人而异、分层指导等方面多想些办法与措施；其次，课堂练习训练时，由于教学时间有限，课堂上学生的选择性、自主训练不够；再次，虽然教学中数学思想有所体现，但数学文化、数学史的教育等体现很少，今后教学中要有所改善．。
3.1.3空间向量的共线与共面问题
M
A
G
B
4.下列命题中a yb p与 a 、 b 共面 ; (2) p 与 a 、 b 共面 p xa yb ；
补充练习:已知空间四边形OABC，对角线OB、 AC，M和N分别是OA、BC的中点 ， G 在 MN 点 上，且使MG=2GN，试用基底 OA, OB, OC 表示向量 OG
O
解：在△OMG中，
C N
1 2 OG OM MG OA MN 2 3 1 2 OA (ON OM ) 2 3
它们一定是：
A.共面向量
C.不共面向量
B.共线向量
D.既不共线又不共面向量
６.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点 O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？
(2) OP 2OA 2OB OC ；
2 1 2 (1) OP OA OB OC ; 5 5 5
规定: o 与任一向量 a 是共线向量.
b（ b ≠ 0 ） 2.共线向量定理： 空间任意两个向量 a 、 ， a // b 的充要条件是存在实数 ，使 a b .
练习.已知A、B、P三点共线，O为直线外
一点，且 OP OA OB，求 的值. 解:∵ A 、 B、 P 三点共线,∴ t R ,使 OP OA t AB ∴ OP (1 t )OA tOB
思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
如何表示直线 l 上的任一点 P ?
空间向量及其线性运算——教学设计
选修2-1第3章3.1 空间向量及其线性运算高中数学教学设计师：同学们不仅能够善于动脑，而且能够团结互助，非常好！老师很高兴。
在各位同学的思考下我们完善了空间向量的相关概念。
老师这有一个疑问空间中任意两个向量是共面的。
对不对？（提问）那我们在计算空间向量时不就可以把空间向量移到同一个平面上进行计算了吗？同学们能不能根据这一想法结合课本总结一下空间向量的加法、减法、数乘的定义呢？各小组再次快速的讨论下。
教师巡视各小组给出指导及建议。
老师提问学生回答并且板书。
师：同学们都非常的棒，总结的很到位，那让我实际操作下，试试看各位同学是真本事还是纸上谈兵。
例1、（课件展示）请学生板演生：对学生讨论生：空间向量的加法减法数乘的定义与平面向量一样→→→→→→→→→→=-=+=+=aOPOAOBABbaABOAOBλ满足的预算律平面向量的运算律相同→→→→→→→→→→→→→→+=+++=+++=+babacbacbaabbaλλλ)()(分配率结合律交换律其余学生在座位完成例题，板书设计教学反思。
数学概念学习的几种方法
数学概念学习的几种方法数学概念学习的几种方法1.举例法：举例通常分成两种情况即举正面例子和举反面例子。
举正面例子可以变抽象为形象，变一般为具体使概念生动化、直观化，达到较易理解的目的。
例如在讲解向量空间的时候就列举了大量的实例。
在解析几何里，平面或空间中从一定点引出的一切向量对于向量的加法和实数与向量的乘法来说都作成实数域上的向量空间；复数域可以看成实数域上的向量空间；数域F上一切m*n矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法来说作成F上一个向量空间，等等。
举反面例子则可以体会概念反映的范围，加深对概念本质的把握。
2.温故法：不论是皮亚杰还是奥苏伯尔在概念学习的理论方面都认为概念教学的起步是在已有的认知的结构的基础上进行的。
因此在教授新概念之前，如果能先对学生认知结构中原有的概念作一些适当的结构上的变化，再引入新概念，则有利于促进新概念的形成。
例如：在高中阶段讲解角的概念的时候最好重新温故一下在初中阶段角的定义，然后从角的范围进行推广到正角、负角和零；从角的表示方法进行推广到弧度制，这样有利于学生思维的自然过渡较易接受。
又如在讲解线性映射的时候最好首先温故一下映射的概念，在讲解欧氏空间的时候同样最好温故一下向量空间的概念。
3.索因法：每一个概念的产生都具有丰富的背景和真实的原因，当你把这些原因找到的时候，那些鲜活的内容，使你不想记住这些概念都难。
例如三角形的四个心：内心、外心、旁心和重心，很多同学总是记混这些概念。
内心是三角形三个内角平分线的交点，因为是三角形内切圆的圆心而得名内心；外心是三角形三条边垂直平分线的交点，因为是三角形外接圆的圆心因而的名外心；旁心是三角形一个内角平分线和两个不相邻的外角平分线的交点，因为是三角形旁切圆的圆心而得名旁心；重心是三角形三条中线的交点，因为是三角形的重力平衡点而得名重心。
当你了解了上述内容，你有怎么可能记混这些概念呢？又例如：点到直线的距离是这样定义的，过点做直线的垂线，则垂线段的长度，便是点到直线的距离。
人教课标版高中数学选修2-1：《空间向量的数量积运算》教案-新版
3.1.3 空间向量的数量积运算一、教学目标（一）核心素养通过本节课的学习，同学们能掌握空间向量数量积运算的法则及运算律，能借助图形进行空间向量的运算，并通过空间几何体加深对运算的理解．会利用数量积的性质求空间向量的夹角和模，并能熟练应用于立体几何证明与求值．（二）学习目标1．了解向量夹角的定义，掌握空间向量数量积的运算法则及运算律．2．掌握利用数量积求空间向量夹角和模的方法．3．培养学生数形结合的思想和空间想象能力，并能解决向量的综合问题．（三）学习重点1．空间向量的数量积运算法则及运算律．2．空间向量的模长公式和夹角公式．3．空间向量数量积在立体几何中的应用．（四）学习难点1．利用空间向量的数量积求模与夹角．2．将立体几何问题转化为空间向量的数量积问题．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第90页至第91页，填空： 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则AOB ∠叫做向量a ，的夹角，记作><,． 如果2,π>=<，那么向量，互相垂直，记作⊥． 已知两个非零向量，，则><b a b a ,cos ||||叫做，的的数量积，记作⋅． 零向量与任何向量数量积为0． 特别地，⋅=><,cos ||||2||=．（2）写一写：和平面向量类似，空间向量的数量积满足哪些运算律？ ①数乘结合律：)()(b a b a ⋅=⋅λλ， ②交换律：⋅=⋅， ③分配率：⋅+⋅=+⋅)(．和平面向量类似，空间向量的数量积有哪些性质？ ①若为单位向量，则⋅=><,cos ||； ②若，⊥⇔⋅0=； ③==a ||；④若，为非零向量，则>=<,cos ||||a ba b ⋅； ⑤||||||≤⋅（当且仅当a ，b 共线时等号成立）． 2．预习自测（1）已知向量，满足：3||=，2||=，⋅6-=，则>=<,（ ）A ．0B ．3πC ．2πD ．π 【知识点】空间向量的夹角公式．【解题过程】∵6cos ,123||||a b a b a b ⋅-<>===-⨯rr r r r r ，∴>=<b a ,π．【思路点拨】理解并熟记空间向量的夹角公式．【答案】D ．（2）在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =，则1AB 与B C 1所成角的大小为（）A ． 60B ． 90C ． 75D ． 105【知识点】空间向量的垂直．【解题过程】设m BB =||1，则m AB 2||=，∴C AB 11⋅)()(11C BB +⋅+=C BB 11⋅+⋅= 180cos 60cos 22⋅⋅+⋅⋅=m m m m 022=-=m m ，故1AB 与B C 1所成角的大小为 90．【思路点拨】空间向量的垂直的充要条件数量积等于0．【答案】B ．（3）在平行六面体1111D C B A ABCD -中，4=AB ，3=AD ，51=AA ， 90=∠BAD ，6011=∠=∠DAA BAA ，则=||1AC ．【知识点】空间向量的模长． 【解题过程】=21||AC 2121)(AA AC ++=112122222AA AA AA ⋅+⋅+⋅+++=21532215420534222⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++++=85=，故=||1AC 85．【思路点拨】利用空间向量的模长公式，转化为数量积的运算． 【答案】85．（4）已知线段AB ，BD 在平面α内，AB BD ⊥，线段α⊥AC ，且a AB =，b BD =，c AC =，则C ，D 间的距离为 ．【知识点】空间向量的模长． 【解题过程】222)(||++==⋅+⋅+⋅+++=222222000222+++++=c b a 222c b a ++=，故C ，D 间的距离为222c b a ++．【思路点拨】利用空间向量的模长公式，转化为数量积的运算． 【答案】222c b a ++．(二)课堂设计1．知识回顾（1）空间向量线性运算法则和运算律；（2）共线向量定理的两种表达形式；（3）共面向量定理的两种表达形式．2．问题探究探究一 由平面向量类比空间向量的数量积运算★●活动① 类比提炼概念前面我们说过，两个非零向量a r ，b r 一定是共面向量．那在平面向量中，我们是怎样定义两个向量的夹角的呢？（抢答） 已知两个非零向量，，在空间任取一点O ，作OA a =uu r r ，OB b =uu u r r ，则AOB ∠叫做向量，的夹角，记作><,．如果2,π>=<，那么向量，互相垂直，记作⊥．也就是说，两个空间向量夹角的定义与平面向量一致．【设计意图】两个非零向量一定是共面，因此向量夹角的概念自然地从平面到空间，让学生体会概念的类比过程，为数量积的定义作好准备．●活动② 巩固理解，深入探究同样的，那数量积的定义呢？（抢答） 已知两个非零向量a ，b ，则><,cos ||||叫做a ，b 的的数量积（inner product ），记作a b ⋅r r ．零向量与任何向量数量积为0．特别地，2=||||cos ,||a a a a a a a ⋅<>=r r r r r r r ．【设计意图】通过抢答，使学生深入探究，进而得到数量积定义．●活动③ 深入探究，发现规律和平面向量类似，空间向量的数量积满足哪些运算律？（抢答） ①数乘结合律：)()(⋅=⋅λλ， ②交换律：⋅=⋅， ③分配率：⋅+⋅=+⋅)(．【设计意图】类比平面向量，得出空间向量数量积的运算律，理解更加深入．探究二 探究空间向量数量积的性质★▲●活动① 类比探究，研究性质和平面向量类似，空间向量的数量积有哪些性质？（抢答） ①若为单位向量，则=||cos ,a e a a e ⋅<>r r r r r ；（解释：1||=，转化为投影） ②若，为非零向量，则0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ；（解释：,cos 022a b ππ<>==r r ，）③||==；（解释：,0cos 01a b <>==r r ，） ④若，为非零向量，则||||,cos b a b a >=<；（解释：定义的变形式） ⑤||||||≤⋅（当且仅当，共线时等号成立）．（解释：,[0,]cos ,[1,1]a b a b π<>∈<>∈-r r r r ，）【设计意图】通过类比，得到空间向量数量积的各种性质，并给予合理解释，突破难点． ●活动② 巩固理解，深入探究以上五个性质中，大家认为最重要的有哪些，它们有什么作用？（抢答）第②条，0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ，可用于证明空间向量垂直；第③条，||=，是空间向量的模长公式；第④条，||||,cos b a b a >=<，是空间向量的夹角公式．【设计意图】让学生进行思考，在深刻理解性质的同时，指出公式的作用，为后面的计算打好基础．探究三 探究空间向量数量积的具体应用★▲●活动① 归纳梳理、理解提升通过前面的学习，由于两个向量必然共面，所以空间向量数量积的运算法则和运算律和平面向量基本一致．同时，我们理解了数量积的三个重要应用是？（抢答）模长、垂直、夹角．它们都是向量a ，b 的二次运算，是非线性的．【设计意图】通过学生归纳知识点和定理，培养学生数学对比、归类、整理意识． ●活动② 互动交流、初步实践例1 设，，是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题中：①()()0a b c c a b ⋅-⋅=r r r r r r ；②=||22a b b a =r r r r ； ④22||4||9)23()23(-=-⋅+．正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④【知识点】空间向量的数量积运算法则和运算律．【数学思想】转化思想．【解题过程】向量的数量积不满足结合律，所以①不正确；由向量的数量积的定义知，②正确；，不一定共线，向量不一定相等，所以③不正确；利用数量积的运算律，④正确．【思路点拨】空间向量数量积运算不满足结合律．【答案】D ．同类训练 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别为AB ，AD ，DC 的中点，则以下运算结果为2a 的是（ ）A ．⋅2B ．⋅2C ．CA FG ⋅2D ．CB EF ⋅2【知识点】空间几何体中向量的数量积运算．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】由已知可得3,π>=<， 所以><=⋅,cos ||||22223cos 2a a ==π． 【思路点拨】在空间几何体中先找出向量的夹角再根据定义计算．【答案】B ．【设计意图】通过空间几何体中的向量，让学生对数量积的定义和运算更加熟练． 活动③ 巩固基础、检查反馈例2 已知空间四边形OABC 中，OB =OC ，且3π=∠=∠AOC AOB ，则><BC OA ,cos 的值为（ ）A ．0B ．21C ．22D ．23 【知识点】空间向量的线性表示及夹角公式．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】设a OA =，b OB =，c OC =，由已知得3,,π>=>=<<，且||||=． 所以()OA BC a c b a c a b ⋅=⋅-=⋅-⋅uu r uu u r r r r r r r r 3cos ||||3cos ||||ππ-=0|)||(|||21=-=， 所以0||||,cos =>=<BC OA ．【思路点拨】求向量夹角的重点就是求数量积和模长．【答案】A ．同类训练 已知空间向量，，两两夹角为 60，其模都为1，则|2|+-等于（ ）A ．5B ．5C ．6D ．6【知识点】空间向量的模长公式．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵1||||||===c b a ， 60,,,>=>=<>=<<a c c b b a ，∴21=⋅=⋅=⋅， ∴2|2|+-a c c b b a c b a ⋅+⋅-⋅-++=4424222214214212411⨯+⨯-⨯-++=5=， ∴|2|+-5=． 【思路点拨】先计算⋅，⋅，⋅，再利用模长公式展开计算．【答案】A ．【设计意图】运用向量的夹角和模长公式，学生对数量积的运算更加熟练，基础更加牢固． ●活动④ 强化提升、灵活应用例3 已知PO ，P A 分别是平面α的垂线、斜线，AO 是P A 在平面α内的射影，α⊂l 且OA l ⊥，求证：PA l ⊥．【知识点】利用空间向量数量积解决直线垂直问题．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】取直线l 的方向向量，同时取向量PA ，，∵OA l ⊥，∴0=⋅．∵α⊥PO ，且α⊂l ，∴PO l ⊥，∴0=⋅． 又∵=⋅)(+⋅0=⋅+⋅=，∴PA l ⊥．【思路点拨】将向量用，来表示，从而利用数量积解决垂直问题．这是三垂线定理的向量证法，同理也可用来证明：若PA l ⊥，则OA l ⊥．【答案】见解题过程．同类训练 已知m ，n 是平面α内的两条相交直线，如果m l ⊥，n l ⊥，求证：α⊥l ．【知识点】利用空间向量数量积解决线面垂直问题．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】在α内任作一直线g ，分别在l ，m ，n ，g 上取非零向量l ，m ，，． ∵m 与n 相交，∴向量，不平行，由向量共面的充要条件知，存在唯一的有序实数对),(y x ，使y x +=． ∵0=⋅m l ，0=⋅n l ，∴y x ⋅+⋅=⋅0=，即g l ⊥．∴l 垂直于α内的任意直线，∴α⊥l ．【思路点拨】将α内的任意直线的方向向量表示为，的线性组合，从而利用数量积证明0=⋅g l ，再由线面垂直的定义可证．这是线面垂直判定定理的向量证法．【答案】见解题过程．【设计意图】垂直问题的证明是常见题型，通过数量积的计算，避免了立体几何中辅助线的添加，极大地降低了难度．3. 课堂总结知识梳理（1）已知两个非零向量，，在空间任取一点O ，作=，=，则AOB ∠叫做向量，的夹角，记作><,．如果2,π>=<b a ，那么向量，互相垂直，记作⊥． （2）已知两个非零向量，，则><,cos ||||叫做，的的数量积（inner product ），记作⋅．零向量与任何向量数量积为0．特别地，⋅=><,cos ||||2||=．空间向量的数量积满足的运算律有：①数乘结合律：)()(⋅=⋅λλ，②交换律：⋅=⋅，③分配率：⋅+⋅=+⋅)(．（3）空间向量的数量积的性质有：①若e 为单位向量，则a e ⋅=><,cos ||；②若a ，b 为非零向量，则a b ⊥⇔a b ⋅0=；③||==a ，b 为非零向量，则||||,cos b a >=<；⑤||||||≤⋅（当且仅当，共线时等号成立）．重难点归纳（1）空间向量的数量积是向量的二维计算，是三个实数的乘积，不满足结合律．（2）空间向量的数量积主要解决向量的垂直，模长和夹角问题，在立体几何中应用非常广泛．（三）课后作业基础型 自主突破1．下列命题中正确的是（ ）A ．222)(⋅=⋅ B ．||||||≤⋅C ．)()(⋅⋅=⋅⋅D ．若)(-⊥，则0=⋅=⋅【知识点】向量数量积的概念和运算．【数学思想】转化思想． 【解题过程】对于A 项，><=⋅,cos )(222222≤，故A 错误；对于C 项，数量积不满足结合律，故C 错误；对于D 项，有0)(=-⋅，所以⋅=⋅，但不一定等于0，故D 错误．B 项是数量积的性质．【思路点拨】深刻理解各种概念和运算．【答案】B ． 2．已知，为单位向量，其夹角为 60，则=⋅-)2(（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【知识点】向量数量积的运算．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵1||||==，>=<, 60， ∴=⋅-)2(22-⋅0||60cos ||||22=-= ．【思路点拨】熟练掌握空间向量数量积的运算法则．【答案】B ． 3．在三棱锥BCD A -中，2===AD AC AB ， 90=∠BAD ， 60=∠BAC ，则=⋅（ ）A ．2-B ．2C ．32-D ．32 【知识点】空间向量数量积的运算．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】=⋅)(-⋅⋅-⋅= 60cos 220⨯⨯-=2-=．【思路点拨】在空间几何体中找到夹角再根据定义计算.【答案】A ．4．在三棱锥ABC D -中，已知)()2(AC AB DA DC DB -⋅-+0=，则ABC ∆是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 【知识点】空间向量数量积的运算．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵)()2(-⋅-+)()(-⋅-+-=0)()(22=-=-⋅+=AC AB AC AB AC AB ，∴22||||AC AB =，即AC AB =．【思路点拨】熟练掌握空间向量数量积的各种变形．【答案】B ．5．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若+=与的夹角 为 ．【知识点】空间向量的夹角．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵+=，∴点O 是BC 中点，故BC 为直径，根据圆的性质，有 90=∠BAC ，即<AB ,> 90=．【思路点拨】利用几何性质，点O 是BC 中点，BAC ∠是直角所对的圆周角．【答案】 90． 6．已知，，中每两个向量的夹角都是3π，且4||=a ，6||=b ，2||=c ，试求出||++的值．【知识点】向量模长公式．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵2||++⋅+⋅+⋅+++=222222422664264222⨯+⨯+⨯+++=100=，∴||++10=． 【思路点拨】利用模长公式进行数量积的计算．【答案】10．能力型 师生共研7．已知23|=a ，4|=b ，+=，λ+=，43,π>=<，若⊥， 则=λ ．【知识点】向量垂直与数量积的关系． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵⊥，∴0=⋅，即⋅+)(0)(=+λ，则0)1(22=⋅+++λλ，即043cos 234)1(4)23(22=⨯⨯⨯+++πλλ，∴064=+λ，23-=λ． 【思路点拨】利用向量垂直的性质，列出方程求解．【答案】23-． 8．直三棱柱111C B A ABC -中， 90=∠BCA ，M ，N 分别是11B A ，11C A 的中点，1CC CA BC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）A ．101 B ．52 C ．1030 D ．22 【知识点】向量夹角公式求空间几何体中异面直线所成角． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设=．=，CC =1，1||||||===，∴0=⋅=⋅=⋅，∵BM +=，+=，∴BM ⋅432=+=，又∵26||=BM ，25||=AN ，∴<cos ⋅>||||AN BM =1030252643=⨯=． 【思路点拨】将与用．，表示，再利用向量夹角公式得到所求角的余弦值．【答案】C ．探究型 多维突破9．在正三棱柱111C B A ABC -中，若侧面对角线11BC AB ⊥，求证：11AB C A ⊥． 【知识点】在空间几何体中利用数量积解决直线垂直问题． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设=，=，BB =1，m ==||||，n =||， ∵11BC AB ⊥，且11BB AB AB +=+-=，=1BC +， ∴11BC AB ⋅⋅+-=)()(+2+⋅-=02122=-=m n ，∴222n m =， ∴A AB 11⋅⋅+-=)()(1BC AB A A ++⋅+-=)()(+--b a c a ⋅--=22021222=--=m n m ，∴11AB C A ⊥． 【思路点拨】将1AB ，1BC ，C A 1用，，表示，再把垂直关系与数量积为零进行转化． 【答案】见解题过程．10．三棱柱111 C B A ABC -中，2221===AC AB AA ， 6011=∠=∠=∠BAC AC A AB A ，在平行四边形C C BB 11内是否存在一点O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11？若存在，试确定O 点的位置；若不存在，说明理由．【知识点】利用数量积运算解决动点存在性问题． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设a AB =，b AC =，AA =1，假设存在点O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11，不妨设n BB m +=1，则)(n m -+=m n n ++-=，而+=m n n ++-=)1(，∴11AA A -=m n n )1()1(-++-=， 要使⊥O A 1平面C C BB 11，只需⊥O A 11BB ，⊥O A 1BC ，即01=⋅A ，0)(1=-⋅A ， ∴])1()1[(m n n -++-0=⋅c ，])1()1[(m n n -++-0)(=-⋅，解得43=m ，21=n ，+=O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11．【思路点拨】在平面C C BB 11内将表示为n BB m +1，利用垂直条件列式解出m ，n 的值，从而确定点O 的位置．【答案】见解题过程．自助餐1．下列命题中，①a =||m m ⋅=⋅)()(λλ；③⋅+=+⋅)()(；④a b b a 22=． 其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【知识点】向量数量积的概念和运算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】①②③正确，④不正确，因为与的方向不一定相同，故不一定相等． 【思路点拨】深刻理解各种概念和运算． 【答案】C ．2．已知向量，满足2||=，2||=，且与-2互相垂直，则>=<, ．【知识点】向量数量积的运算，夹角公式． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵与a b -2互相垂直，∴0)2(=-⋅，即022=-⋅，∴2=⋅b a ，∴22||||,cos =>=<b a ，故 45,>=<b a ． 【思路点拨】先求出b a ⋅，再利用向量夹角公式．【答案】 45．3．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0=⋅，0=⋅，0=⋅，则BCD ∆（ ）A ．是钝角三角形B ．是锐角三角形C ．是直角三角形D ．无形状不确定【知识点】数量积定义的应用．【数学思想】转化思想【解题过程】∵⋅)()(-⋅-=2+⋅-⋅-⋅=02>=，∴0||||,cos >>=<BD BC ，故CBD ∠为锐角，同理BCD ∠与BDC ∠均为锐角． 【思路点拨】锐角、钝角可由数量积的正负进行判定． 【答案】B ．4．已知a ，b 是两异面直线，A ，a B ∈，C ，b D ∈，b AC ⊥，b BD ⊥，且2=AB ，1=CD ，则直线a ，b 所成的角为（ ） A ． 30B ． 60C ． 90D ． 45【知识点】利用向量夹角公式计算异面直线所成角． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵++=，∴⋅++=⋅)(12==，故21||||,cos =>=<CD AB ，即 60,>=<CD AB ． 【思路点拨】先求出⋅，再利用向量夹角公式． 【答案】B ．5．在一个直二面角βα--l 的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于l 的线段，且4=AB ，6=AC ，8=BD ，则CD 的长为 ． 【知识点】向量模长的计算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵++=，∴22)(++=⋅+⋅+⋅+++=222222116864222=++=，∴292||=CD ．【思路点拨】将拆分成已知长度的向量，再使用向量模长公式． 【答案】292．6．在长方体1111D C B A ABCD -中，设11==AA AD ，2=AB ，P 是11D C 的中点，则C B 1与A 1所成角的大小为 ．【知识点】向量夹角公式的运用． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵A B 11⋅()(1AA ⋅+-=2=1=，由题意得211==C B PA ，则21||||,cos 1111=>=<P A C B A B ，故 60,11>=<P A C B ． 【思路点拨】灵活运用向量夹角公式，关键是计算出A B 11⋅．【答案】 60．。
高中数学_3.1.2 空间向量的基本定理教学设计学情分析教材分析课后反思
3.1.2 空间向量的基本定理教学设计教学设计思路本节课主要类比平面向量的定理，和学生一起探讨得到空间向量的三个定理，并会在立体几何中进行简单应用。
教学目标（1）知识和技能目标：了解共面向量的概念，向量与平面平行的意义；理解共线、共面和空间向量的分解定理，并能利用它们解决简单问题；理解空间向量的基底、基向量的概念。
（2）过程和方法目标：经历概念的形成过程、解题思维过程，体验数形结合思想的指导作用；渗透数形结合和类比、转化化归的数学思想方法；通过问题驱动，让学生在质疑、交流、讨论中形成良好的数学思维品质。
（3）情感、态度、价值观目标：本节的学习较多的运用了几何直观、类比、特殊到一般等思维方法，经历向量及其运算由平面向空间的推广过程，并注意维数增加带来的影响，并逐步认识向量的应用价值，提高兴趣，树立信心。
教学重点和难点本节的重点是空间向量共线和共面的条件，空间向量分解定理，难点是对这些定理条件的理解与运用，空间向量分解定理的空间作图。
教学方法启发式提问探究教学手段投影仪、多媒体教学过程b y c【问题2】在问题1的前提下，如果c与a、b共面，那么c与a、b之间有何数量关系？（先复习平面向量基本定理）类比归纳切实理解共面向量定理，培养学生思考问题能力环节三：问题引导实战演练例1已知斜三棱柱ABC-111CBA,设AB a=，b=AC，1AA c=，如图，在面对角线1AC，棱BC上分别取点M、N，使1ACkAM=，BCBN k=（10≤≤k），求证：向量MN与向量a，c共面．思考1：如何证明三个向量共面呢？思考2：MN能直接用a和c表示吗？思考3：可以将MN进行分解，教师引导思路，学生回答过程，逐步完成例题层层递进，有利于培养学生的解题习惯往→a，→c转化。
环节五：题后反思1、如何证明向量MN与向量a，c共面？2、你是如何将向量MN分解的？3、共面向量定理有何作用？规律总结：教师引导和学生一起总结总结规律，动手应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平面向量和空间向量的类比学习方法
1、向量在高中教材的分布
向量（既有大小又有方向的量）能够简化三角、平面几何、立体几何、线性方程组及矩阵中的许多运算和证明，能够对复数运算的几何意义及多种几何变换作出合理的解释，这使向量成为除函数之外能够贯穿中学数学许多章节的内容。
必修的数学 4 的第二章以平面向量为内容，具体包括“向量的概念与表示”、“向量的线性运算”、“向量的坐标表示”、“向量的数量积”和“向量的应用”等知识点。
“空间向量”则是选修课程系列2-1 的第三章的主要组成部分，以空间向量及其在立体几何中的应用为主要内容，具体包括“空间向量及其运算”和“立体几何中的向量方法”两个知识点。
2、“平面向量”和“空间向量”的基本概念
向量把代数和几何的知识点有机地联系起来，可以帮助学习者从整体上理解数学知识之间的内部联系。
向量的运算法则是以运算律的形式表现的，受这种形式影响，容易将向量与代数知识画上等号。
实际上，向量不仅属于代数范畴，也属于几何的范畴。
平面向量和空间向量是向量研究的两个维度，向量的本身所具有的代数（可以用有序实数对表示）和几何（可以用有向线段表示）双重属性，使向量体现出数学中的数形结合思想。
2.1 平面向量
在一个平面内来考虑既有大小又有方向的量称为平面向量。
如果e1、e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且
只有一对实数λ1、λ2，使：a=λ1e1+λ2e2，其中不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
2.2 空间向量
在一个空间内来考虑既有大小又有方向的量称为平面向量。
空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使p=x a +y b +z c ,其中{ a、b、c}叫做空间的一个基底，a、
b、c都叫做基向量。
2.3 平面向量与空间向量的关系
平面向量与空间向量研究的范围不同，平面向量从平面扩展到空间就变成了空间向量。
空间向量是在平面向量基础上进一步学习的知识内容，是平面向量及其研究方法在空间的推广和拓展，沟通了代数与几何的关系，丰富了学习者的认知结构，为他们提供了新的学习视角、观点和方法，为运用向量坐标运算解决立体几何问题奠定基础。
3、探究性学习过程描述与分析
数学探究性教学本质上是数学知识和规律的再建构和再创造的过程。
通过研究相关理论知识，增强理论素养。
问题是数学学习的心脏，是探究性教学的核心要素。
3.1 发现并提出问题
对于一个新概念，通常我们是通过现有知识与新知识的联系建立认知途径。
面对向量、平面向量和空间向量这样三个基本概念，我们通常会产生这样几个疑问：
（1）对于向量这样一个同样作为量的数学概念，与数量之间具有什么样的关系？
（2）平面向量和空间向量有什么联系和区别？
（3）计算中，平面向量和空间向量在方法上有何不同？
3.2 对问题做出假设
以上述三个问题为例，我们发现，面对自己提出的问题，多数同学通常会急于通过借助翻阅教材或向老师提问等方式来为自己的好奇心找到答案。
探究性学习方法与传统方法不同，在提出问题之后，并不是直接进入分析问题和解决问题的程序，而是通过思考，借助原有的知识储备和知识运用能力对问题可能的结果提出可能的假设。
当面对向量和数量的关系问题时，我头脑中第一反应是它们都带有“量”字，应该都有表示大小多少的属性。
向量有可能是一个有方向的数量。
对于平面向量和空间向量的联系与区别，我试图通过平面与空间本身的关系来理解平面向量和空间向量的关系，平面是二维的，空间是三维的，空间的组成离不开平面，平面向量和空间向量一定有很多相似之处。
3.3 分析问题
要分析第一个问题，前提条件是明确数量本身的概念。
数量是表示事物的量的一个概念。
而向量是表示有大小有方向的量的概念。
因此，我发现向量和数量有相同之处，都是可以表示大小多少的概念，但向量又不同于数量，它是一种新的量，数量的代数运算规则在向量范围内无效。
以此类推，对于第二和第三个问题，可以通过研读教材，从平面向量和空间向量本身的定义、表示方法（图形表示、符合表示、坐标表示）、相关概念、运算、重要定理等角度逐个进行类比，最后以表格等形式将类比点和结论呈现出来。
3.4 解决问题
在对问题进行分析获得了大量数据的基础上，将一组组的类比数据、概念、定理等进行比较，挖掘空间向量与平面向量之间内在的联系，将在平面向量中学到的思想和方法推广到空间
向量中去，这样就将知识点之间建立起联系，而不是以孤立的方式学习各个知识点。
向量数与形的双重身份使它成为中学数学知识的交汇点，通过对问题的分析，帮助学习者建立代数与几何的联系，构造其知识的网络。
同时，这种学习方法，还可也为学习者从中学数学向高等数学的过渡奠定一个直观的数学学习方法论基础。
4、数学中进行探究性学习的意义
探究性学习给学习者提供了更多的参与机会，在参与过程中，学习的兴趣更高，劲头更足在对知识的探究学习中，其思维更加活跃，在动脑、动手、动眼过程中感受和理解新的知识，并且因为问题的解决而获得满足感，激发出数学学习的兴趣。
学习者积极参与问题的探究，这不仅可以亲身体验新知识产生的过程，同时还可以提高其归纳和总结能力。