离散数学教程——集合的基本概念114页PPT
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离散数学集合论部分PPT课件
其中P(x)为任何谓词公式。 如：A={x|x∈R ∧ x2+1=0}。 该方程无实数解。 注意： φ ≠{φ } 由定义可知，对任何集合A，有A。这是因为任意元素x，公式xxA总是 为真。
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注意： 与{}是不同的。 {}是以为元素的集合， 而没有任何元素，能 用构成集合的无限序列： ，{}，{{}}，···
例 设A={{1,2,3}, 1,2,3}， 则 {1,2,3} A 且 {1,2,3} A 。
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重要结论
➢对任意集合A, 有A A。 ➢空集是任意集合的子集，且空集是唯一的。 ➢对于任意两个集合A、B，A=B的充 要条件是AB且BA。（这个结论非常简单， 但它非常重要，很多证明都是用这个Fra bibliotek法或思路来证明。）
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集合的基本概念
例:
1. 二十六个英文字母可以看成是一个集合；
2. 所有的自然数看成是一个集合； 3. 重庆邮电大学计算机学院2010级的本科学生可以看成是一个集合； 4. 这间教室中的所有座位可以看成是一个集合。
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集合的元素
组成一个集合的那些对象或单元称为这 个集合的元素。通常，用小写的英文字母a, b, c,…表示集合中的元素。元素可以是单 个的数字也可以是字母，还可以是集合。
下列选项正确的是（ 3 ）；
（1） 1A
（2）{1,2,3} A
（3）{{4,5}} A （4） ØA
例3.4 下列各选项错误的是（2）；
（1） Ø Ø
（2） Ø Ø
（3） Ø { Ø }
（4） Ø { Ø }
例3.5 在0 ___ Ø 之间填上正确的符号：（4）
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注意： 与{}是不同的。 {}是以为元素的集合， 而没有任何元素，能 用构成集合的无限序列： ，{}，{{}}，···
例 设A={{1,2,3}, 1,2,3}， 则 {1,2,3} A 且 {1,2,3} A 。
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重要结论
➢对任意集合A, 有A A。 ➢空集是任意集合的子集，且空集是唯一的。 ➢对于任意两个集合A、B，A=B的充 要条件是AB且BA。（这个结论非常简单， 但它非常重要，很多证明都是用这个Fra bibliotek法或思路来证明。）
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集合的基本概念
例:
1. 二十六个英文字母可以看成是一个集合；
2. 所有的自然数看成是一个集合； 3. 重庆邮电大学计算机学院2010级的本科学生可以看成是一个集合； 4. 这间教室中的所有座位可以看成是一个集合。
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集合的元素
组成一个集合的那些对象或单元称为这 个集合的元素。通常，用小写的英文字母a, b, c,…表示集合中的元素。元素可以是单 个的数字也可以是字母，还可以是集合。
下列选项正确的是（ 3 ）；
（1） 1A
（2）{1,2,3} A
（3）{{4,5}} A （4） ØA
例3.4 下列各选项错误的是（2）；
（1） Ø Ø
（2） Ø Ø
（3） Ø { Ø }
（4） Ø { Ø }
例3.5 在0 ___ Ø 之间填上正确的符号：（4）
离散数学(集合论)ppt课件
0 1 n n C C ... C 2 n n n
15
幂 集 定义
P(A) = { B | BA }
设 A={a,b,c},则 P(A)={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}{a,b,c}}
计数: 6
2.真子集： A B A B A B
真包含
3.集合相等： A B A B 且 B A
14
n元集，m元子集
含有n个元素的集合简称n元集,它的含有m 个(m≤n)元素的子集称为它的m元子集. 例题3.2:A={a,b,c},求A的全部子集. 0元子集,即空集,只有1个. 1 1元子集,即单元集, c 个 {a},{b},{c} 3 2 元子集 个 {a,b},{a,c}{b,c} 2 3元子集1个c 3 {a,b,c} n元集的集合个数为:
2
当时德国数学家康托尔试图回答一些涉及无穷量 的数学难题，例如“整数究竟有多少？”“一个 圆周上有多少点？”0—1之间的数比1寸长线段 上的点还多吗？”等等。而“整数”、“圆周上 的点”、“0—1之间的数”等都是集合，因此对 这些问题的研究就产生了集合论。
3
1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论 是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名 的罗素悖论。 可以说，这一悖论就象在平静的数 学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反 响导致了第三次数学危机。
19
集合基本运算的定义
并
交 相对补 对称差
AB = { x | xA xB }
AB = { x | xA xB } AB = { x | xA xB } AB = (AB)(BA) = (AB)(AB)
绝对补
15
幂 集 定义
P(A) = { B | BA }
设 A={a,b,c},则 P(A)={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}{a,b,c}}
计数: 6
2.真子集： A B A B A B
真包含
3.集合相等： A B A B 且 B A
14
n元集，m元子集
含有n个元素的集合简称n元集,它的含有m 个(m≤n)元素的子集称为它的m元子集. 例题3.2:A={a,b,c},求A的全部子集. 0元子集,即空集,只有1个. 1 1元子集,即单元集, c 个 {a},{b},{c} 3 2 元子集 个 {a,b},{a,c}{b,c} 2 3元子集1个c 3 {a,b,c} n元集的集合个数为:
2
当时德国数学家康托尔试图回答一些涉及无穷量 的数学难题，例如“整数究竟有多少？”“一个 圆周上有多少点？”0—1之间的数比1寸长线段 上的点还多吗？”等等。而“整数”、“圆周上 的点”、“0—1之间的数”等都是集合，因此对 这些问题的研究就产生了集合论。
3
1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论 是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名 的罗素悖论。 可以说，这一悖论就象在平静的数 学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反 响导致了第三次数学危机。
19
集合基本运算的定义
并
交 相对补 对称差
AB = { x | xA xB }
AB = { x | xA xB } AB = { x | xA xB } AB = (AB)(BA) = (AB)(AB)
绝对补
离散数学集合10.13版.ppt
如果a是集合A的一个元素, 则记为 a∈A
读做“a属于A”, 或说“a在A中”。 ; 如果a不是集合A的一个元素, 则记为
a A
读做“a不属于A”, 或说“a不在A中”。 ; 任一元素, 对某一集合而言, 或属于该集合, 或不属于该集合,
二者必居其一, 不可兼得。
第二章 集 合
仅含有一个元素的集合称为单元素集合。 应把单元素集合与这个元素区别开来。例如{A}与A不同, {A} 表示仅以A为元素的集合, 而A对{A}而言仅是一个元素, 当然这个 元素也可以是一个集合, 如A={1,2}。 称含有有限个元素的集合为有限集合。称不是有限集合的集 合为无限集合或无穷集。有限集合的元素个数称为该集合的基数 或势。第五章将给出有限集、无限集、基数等概念的更精致的陈 述。集合A的基数记为|A|, 例如
∩的定义
(x∈A∨x∈B)∧(x∈A∧x∈C) ∨在∧上可分配
(x∈A∪B)∧(x∈A∪C)
∪的定义
x∈(A∪B)∩(A∪C)
∩的定义
因此, A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
第二章 集 合
定理 2.2-3 设A、B、C和D是论述域U的任意子集合, 那么下
列断言是真: (a) A∪A=A ;
第二章 集 合
定理 2.2-6 设A是U的任意子集, 那么
。也就是说, A的补的
补是A。
A A
第二章 集 合 定理2.2-7 (德·摩根定律)设A和B是U的任意子集, 那么
_______
(a) A B A B
_______
(b) A B A B
第二章 集 合 图 2.2-1
第二章 集 合
( A) {B | B A}
一个给定集合的幂集是唯一的, 因此求一个集合的幂集是以 集合为运算对象的一元运算。
读做“a属于A”, 或说“a在A中”。 ; 如果a不是集合A的一个元素, 则记为
a A
读做“a不属于A”, 或说“a不在A中”。 ; 任一元素, 对某一集合而言, 或属于该集合, 或不属于该集合,
二者必居其一, 不可兼得。
第二章 集 合
仅含有一个元素的集合称为单元素集合。 应把单元素集合与这个元素区别开来。例如{A}与A不同, {A} 表示仅以A为元素的集合, 而A对{A}而言仅是一个元素, 当然这个 元素也可以是一个集合, 如A={1,2}。 称含有有限个元素的集合为有限集合。称不是有限集合的集 合为无限集合或无穷集。有限集合的元素个数称为该集合的基数 或势。第五章将给出有限集、无限集、基数等概念的更精致的陈 述。集合A的基数记为|A|, 例如
∩的定义
(x∈A∨x∈B)∧(x∈A∧x∈C) ∨在∧上可分配
(x∈A∪B)∧(x∈A∪C)
∪的定义
x∈(A∪B)∩(A∪C)
∩的定义
因此, A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
第二章 集 合
定理 2.2-3 设A、B、C和D是论述域U的任意子集合, 那么下
列断言是真: (a) A∪A=A ;
第二章 集 合
定理 2.2-6 设A是U的任意子集, 那么
。也就是说, A的补的
补是A。
A A
第二章 集 合 定理2.2-7 (德·摩根定律)设A和B是U的任意子集, 那么
_______
(a) A B A B
_______
(b) A B A B
第二章 集 合 图 2.2-1
第二章 集 合
( A) {B | B A}
一个给定集合的幂集是唯一的, 因此求一个集合的幂集是以 集合为运算对象的一元运算。
离散数学-3-1集合的概念和表示法.ppt
一、集合的概念
集合是不能精确定义的数学基本概念, 当我 们讨论某一类对象时，就把这一类对象的 全体称为集合。这些对象称为集合中元素。 元素也是抽象的，无法精确定义，可以认 为是存在于世界上的一切客观物体。 例如：地球上的人。
公园里的花。 坐标平面上的点。
1
一、集合的概念
通常用大写字母表示一个集合，例A，B， 。 用小写字母表示一个集合的元素，例a, b, x, y, 。 若元素a属于集合A，记作aA, 否则记aA。 若一个集的元素个数是有限，称有限集， 否则称为无限集。 有限集合的元素个数称为该集合的基数， 集合A的基数记为|A|。
集合的元素又是无序的，即1,2,3和3,1,2是同一集合。
集合的元素还可以允许是一个集合，如S= 1,2, 3,
{a},a
4
二．集合之间的关系
集合之间有二种基本关系：
1）相等：两个集A，B称作相等，当且仅当A，B的元素完 全相同，记A=B，否则AB。(P82 外延性原理） 例 { {1, 2}, 4} {1, 2, 4} { 1, 3, 5 }={x x是正奇数} 2）子集（Ｐ83 定义3-1.1）：A，B为两个集合，若A的每 个元素都是B的元素，称A为B的子集，或A包含在B内， 或Ｂ包含Ａ，记AB或BA。 即 A B x(xAxB) 根据子集的定义，可立即有：对任意集合A，B，C： 1）AA； （自反性） 2）AB，BC则AC；(传递性）
但B中至少有一个元素不属于A，则称A为B的真子集，或A包含在B内， 记AB。
即A B x (xAxB)(x)(xBxA) ABABAB
例如：Z Q
又例如：设 A=a，B=a,b，C=a,b,c 则
AB，BC，AC，但 AA
6
三、空集
集合是不能精确定义的数学基本概念, 当我 们讨论某一类对象时，就把这一类对象的 全体称为集合。这些对象称为集合中元素。 元素也是抽象的，无法精确定义，可以认 为是存在于世界上的一切客观物体。 例如：地球上的人。
公园里的花。 坐标平面上的点。
1
一、集合的概念
通常用大写字母表示一个集合，例A，B， 。 用小写字母表示一个集合的元素，例a, b, x, y, 。 若元素a属于集合A，记作aA, 否则记aA。 若一个集的元素个数是有限，称有限集， 否则称为无限集。 有限集合的元素个数称为该集合的基数， 集合A的基数记为|A|。
集合的元素又是无序的，即1,2,3和3,1,2是同一集合。
集合的元素还可以允许是一个集合，如S= 1,2, 3,
{a},a
4
二．集合之间的关系
集合之间有二种基本关系：
1）相等：两个集A，B称作相等，当且仅当A，B的元素完 全相同，记A=B，否则AB。(P82 外延性原理） 例 { {1, 2}, 4} {1, 2, 4} { 1, 3, 5 }={x x是正奇数} 2）子集（Ｐ83 定义3-1.1）：A，B为两个集合，若A的每 个元素都是B的元素，称A为B的子集，或A包含在B内， 或Ｂ包含Ａ，记AB或BA。 即 A B x(xAxB) 根据子集的定义，可立即有：对任意集合A，B，C： 1）AA； （自反性） 2）AB，BC则AC；(传递性）
但B中至少有一个元素不属于A，则称A为B的真子集，或A包含在B内， 记AB。
即A B x (xAxB)(x)(xBxA) ABABAB
例如：Z Q
又例如：设 A=a，B=a,b，C=a,b,c 则
AB，BC，AC，但 AA
6
三、空集
离散数学教程——集合的基本概念PPT文档共114页
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
离散数学教程——集合 的基本概念
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
离散数学教程——集合 的基本概念
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
《离散数学》课件-第3章集合的基本概念
17
例题
计算以下幂集：
，{}；{，{}}
解：
P()={} P({})={，{}} P({，{}})= {, {}，{{}},{，{}}}
18
3.3 集合的运算
集合的运算 并，交，补（绝对补），差（相对补－），和对称差等。
19
集合的并运算
• 定义3.3.1 设A，B为集合，由A和B的所有元素组成的集 合称为A与B的并集， 可表示为： AB={x|xAxB} 其文氏图：
其文氏图如下：
~E = ， ~ = E， ~（~A）= A A ~A = ， A ~A = E
27
德.摩根定律
• 定理3.3.5 设A，B为任意二个集合，则有： • （1） （AB）= A B • （2） （A B）= A B • 证明 设E为全集，显然有AE=A，AE=E成立。 • （1） （AB）= {x | xEx（AB）}= {x |
据的增加、删除、修改、排序，以及数据间关系的描述。
集合论在计算机语言、数据结构、编译原理、数据库与
知识库、形式语言及人工智能等许多领域得到广泛的应
用。
2
3.1 集合及其表示
• 集合是由一些对象聚集在一起构成的。 例如，全体整数 全体中国人 26个英文字母
• 构成集合的对象可以是各种类型的事物。 • 定义3.1.1 集合中的对象叫集合的元素，或成员。
• 集合中的元素可以具有共同性质，也可以表面上看起来不相干。
• 如{2，Tom，计算机，广州}
• 在集合论中，规定元素之间是彼此相异的，并且是没有次序关 系的。
例如，{3,4,5},{3,4,4,5,5},{5,3,4}都是同一个集合。
• 例如，A={3,4,5},
例题
计算以下幂集：
，{}；{，{}}
解：
P()={} P({})={，{}} P({，{}})= {, {}，{{}},{，{}}}
18
3.3 集合的运算
集合的运算 并，交，补（绝对补），差（相对补－），和对称差等。
19
集合的并运算
• 定义3.3.1 设A，B为集合，由A和B的所有元素组成的集 合称为A与B的并集， 可表示为： AB={x|xAxB} 其文氏图：
其文氏图如下：
~E = ， ~ = E， ~（~A）= A A ~A = ， A ~A = E
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德.摩根定律
• 定理3.3.5 设A，B为任意二个集合，则有： • （1） （AB）= A B • （2） （A B）= A B • 证明 设E为全集，显然有AE=A，AE=E成立。 • （1） （AB）= {x | xEx（AB）}= {x |
据的增加、删除、修改、排序，以及数据间关系的描述。
集合论在计算机语言、数据结构、编译原理、数据库与
知识库、形式语言及人工智能等许多领域得到广泛的应
用。
2
3.1 集合及其表示
• 集合是由一些对象聚集在一起构成的。 例如，全体整数 全体中国人 26个英文字母
• 构成集合的对象可以是各种类型的事物。 • 定义3.1.1 集合中的对象叫集合的元素，或成员。
• 集合中的元素可以具有共同性质，也可以表面上看起来不相干。
• 如{2，Tom，计算机，广州}
• 在集合论中，规定元素之间是彼此相异的，并且是没有次序关 系的。
例如，{3,4,5},{3,4,4,5,5},{5,3,4}都是同一个集合。
• 例如，A={3,4,5},
《离散数学集合》课件
满射。
双射
03
如果一个映射既是单射又是满射，则称该映射为双射。
函数的基本性质
确定性
对于任意一个输入，函数只能有一个输出。
互异性
函数的输出与输入一一对应，没有重复的输 出值。
可计算性
对于任意给定的输入，函数都能计算出唯一 的输出值。
域和陪域
函数的输入值的集合称为函数的定义域，函 数输出的集合称为函数的陪域。
04
集合的运算性质
并集运算性质
并集的交换律
对于任意集合A和B，有A∪B=B∪A。
并集的幂等律
对于任意集合A，有A∪A=A。
并集的结合律
对于任意集合A、B和C，有 A∪(B∪C)=(A∪B)∪C。
并集的零律
对于任意集合A和空集∅，有A∪∅=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。
交集运算性质
交集的交换律
对于任意集合A和B，有A∩B=B∩A。
在数学中的应用
集合论
集合论是数学的基础，它为数学提供了基本的逻辑和概念 框架。通过集合，可以定义和讨论概念、关系和性质等。
概率论
在概率论中，集合用来表示事件，事件发生的概率可以定 义为该事件所对应的集合的元素个数与样本空间所对应的 集合的元素个数之比。
拓扑学
拓扑学是研究几何形状在大范围内变化的学科。在拓扑学 中，集合用来表示空间中的点、线、面等元素，以及它们 之间的关系。
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感谢您的观看
03
集合的分类
有穷集和无穷集
有穷集
集合中元素的数量是有限的，可以明 确地列举出集合中的所有元素。例如 ，集合{1, 2, 3}是一个有穷集。
无穷集
集合中元素的数量是无限的，无法列 举出集合中的所有元素。例如，自然 数集N={1, 2, 3,...}是一个无穷集。
集合的概念和表示法-PPT课件
2019/3/28
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7
离散数学 3.1 集合的概念及表示法
二、集合的表示法
2、描述集合中元素的方法
1) 列举法 b、部分列举法：
列举集合的部分元素，其他元素可从列举的元
素 归纳出来 ， 用省略号代替。 例如A表示“全体小写英文字母”的集合， 则 A={a, b, … , y, z} 注： 列举法仅适用于描述元素个数有限的集合 或 元素具有明显排列规律的集合。
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6
离散数学 3.1 集合的概念及表示法
二、集合的表示法
2、描述集合中元素的方法
1) 列举法 a、全部列举法： 以任意顺序写出集合的所有元素, 元素间用逗号 并将其放在花括号内。 隔开， 例如“所有小于5的正整数”， 这个集合的元素为 1, 2, 3, 4, 再没有别的元素了。 如果把这个集合命名为A, 就可记为 A={1, 2, 3, 4}
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
一、集合的基本概念
3、集合的分类
1) 有限集合 集合的元素个数是有限的。
2) 无限集合 集合的元素个数是无限的。
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
二、集合的表示法
1、符号表示法
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
二、集合的表示法
2、描述集合中元素的方法
1) 列举法 b、部分列举法：
列举集合的部分元素，其他元素可从列举的元
素 归纳出来 ， 用省略号代替。 例如A表示“全体小写英文字母”的集合， 则 A={a, b, … , y, z} 注： 列举法仅适用于描述元素个数有限的集合 或 元素具有明显排列规律的集合。
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
二、集合的表示法
2、描述集合中元素的方法
1) 列举法 a、全部列举法： 以任意顺序写出集合的所有元素, 元素间用逗号 并将其放在花括号内。 隔开， 例如“所有小于5的正整数”， 这个集合的元素为 1, 2, 3, 4, 再没有别的元素了。 如果把这个集合命名为A, 就可记为 A={1, 2, 3, 4}
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
一、集合的基本概念
3、集合的分类
1) 有限集合 集合的元素个数是有限的。
2) 无限集合 集合的元素个数是无限的。
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
二、集合的表示法
1、符号表示法
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集合的概念ppt课件
04
差集的应用举例：在数据筛选中，可以使用差集运算找出满足某一条 件但不满足另一条件的记录。
补集及其运算
补集的定义：对于全集U 和它的一个子集A，由全 集U中所有不属于A的元 素组成的集合称为A的补 集，记作∁UA或~A。
补集的运算性质：满足德 摩根定律，即 ∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB) ， ∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB) 。
集合的包含关系
01
集合包含的定义
对于两个集合A和B，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，则称
集合B包含集合A。
02
集合包含的性质
如果集合B包含集合A，则A是B的子集，即A⊆B。
03
集合包含的符号表示
B⊇A表示集合B包含集合A。
04
集合的应用
集合在数学中的应用
01
02
03
描述数学对象
集合论是数学的基础，用 于描述各种数学对象及其 性质，如数、点、线、面 等。
偏序集的概念
偏序集的定义
偏序集是一种具有部分顺序关系的集合，其中元素之间的比较不是完全的，而是部分的。 偏序关系通常表示为≤。
偏序集的性质
偏序集具有一些重要的性质，如自反性、反对称性和传递性。此外，偏序集还可以有最大 元、最小元、上界和下界等概念。
偏序集的应用
偏序集在数学、计算机科学、经济学等领域有着广泛的应用，如用于描述数据结构中的排 序问题、经济学中的偏好关系等。
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似，但要考虑隶属度的影响。
幂集的概念
幂集的定义
给定集合A，由A的所有 子集（包括空集和A本 身）组成的集合称为A 的幂集，记作P(A)。
幂集的性质
差集的应用举例：在数据筛选中，可以使用差集运算找出满足某一条 件但不满足另一条件的记录。
补集及其运算
补集的定义：对于全集U 和它的一个子集A，由全 集U中所有不属于A的元 素组成的集合称为A的补 集，记作∁UA或~A。
补集的运算性质：满足德 摩根定律，即 ∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB) ， ∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB) 。
集合的包含关系
01
集合包含的定义
对于两个集合A和B，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，则称
集合B包含集合A。
02
集合包含的性质
如果集合B包含集合A，则A是B的子集，即A⊆B。
03
集合包含的符号表示
B⊇A表示集合B包含集合A。
04
集合的应用
集合在数学中的应用
01
02
03
描述数学对象
集合论是数学的基础，用 于描述各种数学对象及其 性质，如数、点、线、面 等。
偏序集的概念
偏序集的定义
偏序集是一种具有部分顺序关系的集合，其中元素之间的比较不是完全的，而是部分的。 偏序关系通常表示为≤。
偏序集的性质
偏序集具有一些重要的性质，如自反性、反对称性和传递性。此外，偏序集还可以有最大 元、最小元、上界和下界等概念。
偏序集的应用
偏序集在数学、计算机科学、经济学等领域有着广泛的应用，如用于描述数据结构中的排 序问题、经济学中的偏好关系等。
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似，但要考虑隶属度的影响。
幂集的概念
幂集的定义
给定集合A，由A的所有 子集（包括空集和A本 身）组成的集合称为A 的幂集，记作P(A)。
幂集的性质
集合的概念ppt课件
A．中央电视台著名节目主持人
B．我市跑得快的汽车
C．上海市所有的中学生
D．香港的高楼
(
)
C
)
3．若以方程x2－3x＋2＝0和x2－5x＋6＝0的所有解为元素组成集合A，则A中元素的
个数为
(
A．1
B．2
C．3
D．4
C )
解析： 方程x2 - 3x +2=0的解为1，2，方程x2 -5x+6=0的解为2，3由于两方程有相
借助判别式的符号求解.
素养形成
典例 已知集合A是由方程ax2+2x+1=0(a∈R)的实数解作为元素构成的集合.
(1)1是A中的一个元素,求集合A中的其他元素;
(2)若A中有且仅有一个元素,求a的值组成的集合B中元素的个数;
(3)若A中至多有一个元素,试求a的值.
【规范答题】
解 (1)若1是A中的一个元素,则只需a+2+1=0,
于不确定的概念,因此“2020年高考数学难题”不能构成集合;由于任意给一
个数都能判断是否为有理数,故能构成集合;小于π的正整数分别为1,2,3,能
够组成集合.故选B.
探究二
元素与集合的关系
例2. (1)已知不等式2x-5<0的解集为M,则以下表示方法正确的是(
A.0∈M,3∈M
B.0∉M,3∈M
√
可能只含有一个元素.
素养形成
利用分类讨论思想求解一类关于x的方程ax2+bx+c=0的解集
一般地,形如ax2+bx+c=0是关于x的方程,当a≠0时,该方程是关于x的一元
二次方程,当a=0,b≠0时是关于x的一元一次方程,求解此类方程的解集问题,
B．我市跑得快的汽车
C．上海市所有的中学生
D．香港的高楼
(
)
C
)
3．若以方程x2－3x＋2＝0和x2－5x＋6＝0的所有解为元素组成集合A，则A中元素的
个数为
(
A．1
B．2
C．3
D．4
C )
解析： 方程x2 - 3x +2=0的解为1，2，方程x2 -5x+6=0的解为2，3由于两方程有相
借助判别式的符号求解.
素养形成
典例 已知集合A是由方程ax2+2x+1=0(a∈R)的实数解作为元素构成的集合.
(1)1是A中的一个元素,求集合A中的其他元素;
(2)若A中有且仅有一个元素,求a的值组成的集合B中元素的个数;
(3)若A中至多有一个元素,试求a的值.
【规范答题】
解 (1)若1是A中的一个元素,则只需a+2+1=0,
于不确定的概念,因此“2020年高考数学难题”不能构成集合;由于任意给一
个数都能判断是否为有理数,故能构成集合;小于π的正整数分别为1,2,3,能
够组成集合.故选B.
探究二
元素与集合的关系
例2. (1)已知不等式2x-5<0的解集为M,则以下表示方法正确的是(
A.0∈M,3∈M
B.0∉M,3∈M
√
可能只含有一个元素.
素养形成
利用分类讨论思想求解一类关于x的方程ax2+bx+c=0的解集
一般地,形如ax2+bx+c=0是关于x的方程,当a≠0时,该方程是关于x的一元
二次方程,当a=0,b≠0时是关于x的一元一次方程,求解此类方程的解集问题,
离散数学集合.ppt
2. 设S , 试判断下列各式是否正 a , 3 , 4 , 确，并将正确的题号填入括号内。
A.
S
B.
S
C.
S
D.
S
A B C
答案：
B P ( P ( A ))，判断下列论断 3. 设 A , 是否正确，并将“Y”或“N”填入相应论断 后面的括号中。
{ a , { a } }, { , a , { a } }}
练习
1. 试判断下列各式是否正确，并将正确的题 号填入括号内。
B. a a ,a a a A. C.
a a , a a a D.
答案： A B D
9. 排中律
10. 矛盾律 11. 余补律 12. 双重否定律 13. 补交转换律
AA=E
AA=
=E, A= A E=
A-B= AB
20
基本集合恒等式(续)
14. 关于对称差的恒等式 (1) 交换律 AB=BA (2) 结合律 (AB)C=A(BC) (3) 对的分配律 A(BC)=(AB)(AC) (4) A=A, AE= ~ A (5) AA=, A ~ A= E
第4章 关系
4.0 集合及相关概念
4.1 关系的定义及其表示
4.2 关系运算
4.3 关系的性质
4.4 等价关系与偏序关系
1
4.0 集合及其运算
集合及其表示法
包含(子集)与相等 空集与全集 集合运算(,, - , ~ , ) 基本集合恒等式 包含与相等的证明方法
~ AB= { x | x是外地走读生}
(A-B) D= { x | x是北京住校生, 并且喜欢听音乐} ~ D ~ B= { x | x是不喜欢听音乐的住校生}
离散数学集合 PPT
(A×C)∪(A×D)∪(B×C)∪(B×D)
32
本章主要掌握集合的谓词表示法，和集合的 基本运算，以及序偶的概念，集合的笛卡尔 集，及相关定理。定理的证明相对简单，所 以证明略。
对于数学归纳法，由于中学就已学过，所以 这里就省略。
33
思考题：
1 AB与AB能同时成立吗？ 2 何为一个集合的幂集，含有n个元素的集合，其
有序偶:它不仅与含有的元素x，y有关，还与x，y出现的次序有关。
这样的偶集称为有序偶，并记为：<x,y>
例如，用<x，y>表示平面直角坐标系下的横坐标为x且纵 坐标为y的点时，则<x，y>和<y，x>在xy时就代表不 同的点，因而就不相同。
25
用集合定义有序偶
定义1 有序偶的集合定义：若x，y为任意两个元素， 令 <x，y>={{x}，{x，y}}
6
例1 如果论域是整数集I，那么能被3整除的正整数集合S 用归纳法可定义如下：
（1）（基础）3S， （2）（归纳）如果xS和yS，则x+yS
7
集合的特殊情况
1、不含任何元素的集合称为空集，记为φ 2、含讨论问题所需全部元素的集合称为全集，记为∪ 3、 称含有有限个元素的集合为有限集合 4、 含有无限个元素的的集合称为无限集合或无限集 5、 集合A中元素的个数（或基数或集合的势）记为:|A|
(A=B 当且仅当AB 且 BA） 3)集合的包含关系具有传递性:即
若A B且B C，则A C
9
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
10
子集的两种特殊情况（平凡子集）： 1）空集是任一集合的子集。 2）任何集合都是它自己的子集。
32
本章主要掌握集合的谓词表示法，和集合的 基本运算，以及序偶的概念，集合的笛卡尔 集，及相关定理。定理的证明相对简单，所 以证明略。
对于数学归纳法，由于中学就已学过，所以 这里就省略。
33
思考题：
1 AB与AB能同时成立吗？ 2 何为一个集合的幂集，含有n个元素的集合，其
有序偶:它不仅与含有的元素x，y有关，还与x，y出现的次序有关。
这样的偶集称为有序偶，并记为：<x,y>
例如，用<x，y>表示平面直角坐标系下的横坐标为x且纵 坐标为y的点时，则<x，y>和<y，x>在xy时就代表不 同的点，因而就不相同。
25
用集合定义有序偶
定义1 有序偶的集合定义：若x，y为任意两个元素， 令 <x，y>={{x}，{x，y}}
6
例1 如果论域是整数集I，那么能被3整除的正整数集合S 用归纳法可定义如下：
（1）（基础）3S， （2）（归纳）如果xS和yS，则x+yS
7
集合的特殊情况
1、不含任何元素的集合称为空集，记为φ 2、含讨论问题所需全部元素的集合称为全集，记为∪ 3、 称含有有限个元素的集合为有限集合 4、 含有无限个元素的的集合称为无限集合或无限集 5、 集合A中元素的个数（或基数或集合的势）记为:|A|
(A=B 当且仅当AB 且 BA） 3)集合的包含关系具有传递性:即
若A B且B C，则A C
9
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
10
子集的两种特殊情况（平凡子集）： 1）空集是任一集合的子集。 2）任何集合都是它自己的子集。
离散数学集合.ppt
| U | 50, | A | 26, | B | 21, | A∩ B |17
首先由A∩ B A∪B 知 | A∪B ||U A∪B | | U A∩ B |=33 又因为 |A∪B| = |A| + |B| |A∩B| 所以 |A∩B| = |A| + |B| |A∪B|
= 26 + 21 33 = 14
即 |A∪B|=|B|+|A||A∩B|
推广
|A∪B∪C ||A||B||C||A∩B ||A∩C||B∩C||A∩B∩C |
n
n
∪i1 Ai
|Ai| |Ai∩ Aj|
i1
i j
n
| i jk
A∩i
Aj∩
Ak|
(1)n1|∩ i1
Ai|
二、实例
例3.3 某班有25个学生，其中14人会打篮球， 12人会打排球，6人会打篮球和排球， 5人会打篮球和网球，还有两人会打 这三种球，而6个会打网球的人都会 打另外一种球(指篮球和排球)，求不 会打这三种球的人数？
(4) 幂 集：集合A的全体子集构成的集合， 记作P(A)。
符号化： P(A) = {B | B A }，n 元集A的幂集P(A)中含2n个元素。
例3.1 计算以下幂集 (1) P() (2) P({,{}}) (3) P({1,{2,3}})
解： (1) P()={} ( 为什么不是 ? ) (2) P({,{}}) = {, {}, {{}}, {,{}}} (3) P({1,{2,3}}) = {,{1}, {2,3}, {1,{2,3}}}
=12+6+146 5+2|A∩B|=23|A∩B|
又因为6个会打网球的人都会打另外一种球， 所以：B (B∩ A∩ C )∪(B∩ C∩ A))∪(B∩ C∩ A)
首先由A∩ B A∪B 知 | A∪B ||U A∪B | | U A∩ B |=33 又因为 |A∪B| = |A| + |B| |A∩B| 所以 |A∩B| = |A| + |B| |A∪B|
= 26 + 21 33 = 14
即 |A∪B|=|B|+|A||A∩B|
推广
|A∪B∪C ||A||B||C||A∩B ||A∩C||B∩C||A∩B∩C |
n
n
∪i1 Ai
|Ai| |Ai∩ Aj|
i1
i j
n
| i jk
A∩i
Aj∩
Ak|
(1)n1|∩ i1
Ai|
二、实例
例3.3 某班有25个学生，其中14人会打篮球， 12人会打排球，6人会打篮球和排球， 5人会打篮球和网球，还有两人会打 这三种球，而6个会打网球的人都会 打另外一种球(指篮球和排球)，求不 会打这三种球的人数？
(4) 幂 集：集合A的全体子集构成的集合， 记作P(A)。
符号化： P(A) = {B | B A }，n 元集A的幂集P(A)中含2n个元素。
例3.1 计算以下幂集 (1) P() (2) P({,{}}) (3) P({1,{2,3}})
解： (1) P()={} ( 为什么不是 ? ) (2) P({,{}}) = {, {}, {{}}, {,{}}} (3) P({1,{2,3}}) = {,{1}, {2,3}, {1,{2,3}}}
=12+6+146 5+2|A∩B|=23|A∩B|
又因为6个会打网球的人都会打另外一种球， 所以：B (B∩ A∩ C )∪(B∩ C∩ A))∪(B∩ C∩ A)
离散数学第三章-集合课件.ppt
例1、选择适当的谓词表示下列集合。
(1) 小于5的非负整数集 {x | x N x 5}
(2) 奇整数集合
{x | x 2n 1 n Z}
(3) 10的整倍数集合， {x | x 10n n Z} (4) {3,5,7,11,13,17,19} {x | x是素数 2 x 20}
则 A B为 mn 元集。
(2) 笛卡儿积是集合，有关集合的运算都适合。
(3) 一般，A B B A 。
3、 n 阶(n 2)笛卡儿积。
A1 A2 An
x1, x2, , xn | x1 A1 x2 A2 xn An
特别，当 A1 A2 记为 An 。
An A 时，
(4) A (~ B C)
例3、用集合公式表示下列文氏图中的阴影部分。 (1)
解： A B C
(2)
解：(A B) (A C) (B C)
三 包含排斥定理
设A和 B是两个有限集合，则 A B A B A B ，
其中 A, B 分别表示 A、B的元数．
把包含排斥定理推广到n个集合的情况可用如下定
A {a1, a2 , an}
表示集合 A 含有元素 a1, a2 , an
注意： (1) a A或 a A
(2) 集合中的元素均不相同
{a,b, c},{a,b,b, c},{c, a,b}
表示同一个集合。 (3) 集合的元素可以是任何类型的事物，
一个集合也可以作为另一个集合的元素。
例如：A a,{b,c},b,{b}
2、集合的表示法。 (1) 列举法(将元素一一列出)
例如：A {2,3, 4,5}
(2) 描述法(用谓词概括元素的属性)
例如：B {x | x Z 2 x 5}
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1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根ຫໍສະໝຸດ 离散数学教程——集合的基本概念
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿