导数与三次函数(教案)

导数与三次函数（教案）

教学目标

（1）知识目标:以三次函数为载体，掌握用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题的方法。

（2）能力目标:深化数形结合、转化与化归、分类讨论、从特殊到一般等数学思想在解有关问题中的运用，培养学生探究问题的能力和综合分析、解决问题的能力。

（3）情感目标:以数形联系的观点看数学问题，体会由特殊到一般的方法探究数学问题的过程。鼓励学生大胆猜想，敢于质疑，严密论证。 教学重点:导数应用。

教学难点:三次函数的单调性、极值点个数的探求。

教学模式:以问题为主线，运用探究式与变式教学相结合的教学模式。 教学过程

一 回顾复习 引出本课课题

叙述利用导数求可导函数单调区间的步骤。 二 再现陈题 掌握导数应用

例1 已知函数3

()3f x x x =-,R x ∈ （1）求函数()f x 的单调区间；

（2）求()f x 在[0，3]上的最值；

（3）过点A （2，2）作曲线y=f(x)的切线，求切线方程。 特别警示：求切线方程首先要判断该点是否在曲线上

点评1 导数的主要应用：可导函数的单调性、极值、在闭区间上的最值，以及利用导数的几何意义研究切线问题。

变式一 若关于x 的不等式()f x a ≥在0≤x ≤3上恒成立，求实数a 的取值范围； 变式二 关于x 的方程f(x)=a 恰有3个不等的实根，求实数a

的取值范围.(图象法)

画3

()3f x x x =-草图的方法：利用函数有关性质

(1)确定极值点对应的点（简称关键点） (2)结合单调性 点评 2 数形结合，以形助数来解决问题。 二 改变命题 探求字母系数

例 2 若函数3

2

()331f x kx x x =+++(0k ≠)在R 上是增函数,求实数k 的取值范围。

分析 '

()f x =2

363kx x ++，0k ≠，'()f x ∴图象是一条过（0，3）的抛物线，

由于f(x)在R 上是增函数，则 1）300k >⎧⎨

∆<⎩，即01k <<，这时'

()0f x >在R 上恒成立，f(x)在R 上是增函数；

2）300

k >⎧⎨∆=⎩，即1k =，323()331(1)f x x x x x =+++=+,显然f(x)在R 上是增函数；

3）300k >⎧⎨∆<⎩

，不符合题意。

由上述1）,2）,3），当f(x)在R 上是增函数时，k 的取值范围是01k <≤。 问题一 去掉条件“0k ≠”呢？

问题二 观察图二（见课件），切点是原三次函数的极值点吗？

结论1 '

0()0f x =是0x 为f(x)极值点的必要不充分条件。

问题三 若函数f(x)在R 上是增函数，抛物线与x 轴位置关系如何？减函数呢？（见课件）

结论2 可导函数f(x)是增函数⇒'

()0f x ≥

问题四 上述逆命题成立吗？

结论3 若可导函数y=f(x)解析中无常数函数部分，'

()0f x ≥⇔f(x)是增函数；

'()0f x ≤⇔f(x)是减函数。

结合例2，能否推广到一般的三次函数呢？

探究1 一般三次函数32

()(0)f x ax bx cx d a =+++≠在R 上的增减性。（结合例2） 结论4

当a>0,且Δ≤0时,函数f(x)在R 上是增函数; 当a<0,且Δ≤0时,函数f(x)在R 上是减函数.

变式一 已知函数32

()3f x x x ax =-+在(,1]-∞-上是增函数，求实数a 的取值范围。 分析 '

()f x =3x 2

-6x+a ，

法一 （转化为不等式恒成立问题）'

()f x =3x 2

-6x+a ≥0在(,1]-∞-上恒成立。

思考一 分离变量法

（3x 2

-6x ）min ≥-a,得9a ≥-；

思考二 图象法（利用导函数是二次函数）

设'

()f x =3x 2

-6x+a,其图象是开口向上且对称轴为x=1的一条抛物线，

由题意，得 '

(1)0f -≥，得9a ≥-。 法二 （先求增区间）

当0∆≤，即a ≥3时，'

()f x ≥0,则f(x)在R 上是增函数，符合题意，所以a ≥3；

当0∆>，即a<3时，33x ≥

,或33

x ≤，由题意，(,1]-∞-是

3(,3-∞的子集，得313--≤，即93a -≤<。

由上述，得9a ≥-.

变式二 若32

()f x x ax x =+-在(,1]-∞-,[1,)+∞上均递增,求实数a 的取值范围。

点击高考题

1、(04年高考浙江卷)已知函数f(x)=x 3-ax 2

-4x+4a

（1）略；（2）略；

（3）若f(x)在(,2]-∞-与[2,)+∞上都是增函数，求实数a 的取值范围。

提示：'

2

()324f x x ax =--，'

(2)0f -≥，且'

(2)0f ≥，得22a -≤≤.

2、（05年高考重庆卷）设函数∈+++-=a ax x a x x f 其中,86)1(32)(2

3R . （1）略； （2）若)0,()(-∞在x f 上为增函数，求a 的取值范围.

问题五 图中产生了几个极值点？增减区间是什么？（回到变式二中，见课件） 由此推广到一般三次函数的单调性，极值点问题。

探究2 你能探究一般三次函数3

2

()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的单调性、极值点个数吗？

结论 5 函数3

2

()(0)f x ax bx cx d a =+++≠单调性、极值点个数情况。

'()f x =232ax bx c ++，记∆=224124(3)b ac b ac -=-，（其中x 1,x 2是方程'()f x =0

（1）知识点 （2）数学思想方法：数形结合，从特殊到一般，分类讨论，方程与函数思想，转化思想等。

四 课后探究 提高综合能力（机动）

（思考题）你能探究三次函数3

2

()(0)f x ax bx cx d a =+++≠图象吗？ 五 布置作业 检阅解题能力（作业红对勾） 六 自我反思 提高教学能力（课后记） 七 板书设计（略）

附：三次函数3

2

()(0)f x ax bx cx d a =+++≠图象