威布尔(Weibull)分布的寿命试验方法
Weibull分布可靠性序贯验证试验方案选择及分析
（ １ ． Ｃｉ ｖ ｉ ｌ Ａｖ ｉ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ，Ｎａ ｎ ｊ ｉ ｎ ｇ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ａｅ ｒ ｏ ｎ ａ ｕ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ａｓ ｔ ｒ ｏ ｎ ａ ｕ ｔ ｉ ｃ ｓ ， Ｎａ ｎ ｊ ｉ ｎ ｇ ２ １ ０ ０ １ ６，Ｊ ｉ ａ ｎ ｇｓ ｕ，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ；２ ． Ａｖ ｉ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｋｅ ｙ Ｌａ ｂ ｏ ｒ ａ ｔ ｏ ｒ ｙ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ｏ ｎ Ａｅ ｒ ｏ Ｅｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｏ ｍｅ ｃ ｈ ａ ｎ ｉ ｃ ａ ｌ Ｓ ｙｓ ｔ ｅ ｍ Ｉ ｎ ｔ ｅ ｇｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ，Ｎａ ｎ ｊ ｉ ｎ ｇ ２ １ １ １ ０ ６，Ｊｉ ａ ｎ ｇ ｓ ｕ，Ｃｈ ｉ ｎ ａ ）
Ｓ ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ Ａｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ｏ ｆ Ｓ ｅ ｑ ｕ ｅ ｎｔ ｉ ａ ｌ Ｃｏ ｍ ｐｌ ｉ ａ ｎ ｃ ｅ Ｍｅ ｔ ｈｏ ｄ ｆ ｏ ｒ Ｒｅ ｌ ｉ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｗ ｅ ｉ ｂ ｕ ｌ ｌ Ｄｉ ｓ ｔ ｒ ｉ ｂ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ
一
案， 能够 提 高 可 靠 性 验 证 试 验 的准 确 性 。 关键词 ： 可靠 性 验 证 ； Ｗｅ ｉ ｂ ｕ ｌ １ 分布 ； 序 贯 试 验
中图 分 类 号 ： ＴＢ １ １ ４ ． ３ 文献标识码 ： Ｂ ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ ４ — ３ ４ ０ ７ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ２ ． ０ ０ ２
滚动轴承疲劳寿命威布尔分布三参数的研究
绘制出一条直线。该直线与Ｆ（三）＝６３．２％水平线相交的点所对应的寿命值，即 为三。值。若该直线与横坐标的夹角为０，则可得
二参数威布尔分布的研究重点是形状参数ｂ值的确定，其代表性研究成果 为Ｌｕｎｄｂｅｒｇ和Ｐａｌｍｇｒｅｎ寿命理论。三参数威布尔分布的研究重点则是在二参 数威布尔分布研究的基础上，主要关注最小寿命参数岛值的确定，其代表性研 究成果为Ｔａｌｌｉａｎ寿命理论。ＩＳＯ标准和有关国家标准则对轴承寿命的威布尔形 状参数作了权威性认同与规定。但是，由于威布尔参数的精确（高可靠性与高 置信度的）确定，特别是位置参数即最小寿命参数岛值的确定，需要大量的试 验作支撑，以寻求其统计规律性，财力、物力与时间耗费巨大，因此，有关研 究成果在种种局限性之下所导致的或者难以涉及，或者做不深入，或者做不准 确，就成为必然之事。也正因为如此，继续深入开展相关研究，以求不断完善 威布尔分布、尤其是三参数威布尔分布在轴承寿命方面的应用，其理论意义与 实用价值就十分重大。
１．３本论文的主要研究内容、技术难点与研究方法 １．３．１主要研究内容
１）对轴承寿命的威布尔分布三参数进行研究，其中重点为形状参数ｂ值和 最小寿命参数如值的确定（特征寿命参数Ｌ系尺度性参数，无需特意研究）。
２）将研究结果与Ｌｕｎｄｂｅｒｇ和Ｐａｌｍｇｒｅｎ寿命理论、Ｔａｌｌｉａｎ寿命理论和ＩＳＯ 标准等权威研究成果进行验证性比较研究。 １．３．２技术难点
＃
图２－－３ ｒ＝Ｏ，ａ＝２，而∥取不同数值时的，（ｆ）曲线
基于威布尔分布的工件疲劳剩余寿命可靠度预测方法探析
基于威布尔分布的工件疲劳剩余寿命可靠度预测方法探析发表时间：2017-08-18T16:24:06.830Z 来源：《电力设备管理》2017年第8期作者：黄郁健[导读] 针对某船工件在使用后剩余寿命的不确定导致的设备损坏，通过使用威布尔分布对该类工件进行寿命预测。
中国卫星海上测控部江苏江阴 214431摘要：针对某船工件在使用后剩余寿命的不确定导致的设备损坏，通过使用威布尔分布对该类工件进行寿命预测，可在一定程度上求解出工件更换周期，在保证设备正常运行的基础上，也不影响工件的使用度，为进一步做好设备保障具有很现实的参考意义。
关键词：威布尔分布；工件疲劳剩余寿命1 引言疲劳失效是机械零件在变应力作用下的主要失效形式，在零件局部高应力区出现初始裂纹，并在循环应力下扩展，导致最终断裂。
为了防止机械零件未达到一定的使用寿命而过早地发生疲劳破坏，需要对机械零件进行疲劳分析，收集有关零件的几何形状、材料和载荷的信息，通过计算和工程判断，获得零件工作寿命的一个估算值，疲劳寿命的评估与预测是研究疲劳强度问题的一个重要分支。
在船舶上，针对零件进行估算寿命，对于估算值对零件进行提前的更换，以避免零件损坏后，对设备造成更大的损坏。
文中用威布尔分布来描述零件的疲劳寿命，建立考虑可靠度的剩余疲劳寿命分布模型，讨论同一应力水平下不同疲劳剩余寿命的可靠度。
2 威布尔分布模型若某零件的疲劳寿命服从威布尔分布，则其概率密度函数为:对式(2.8)两端取对数得：根据疲劳寿命样本的分布函数参数，可以获取其剩余寿命的分布规律。
具有年龄的产品其剩余疲劳寿命能达到的概率为：(4.1)表给出了疲劳寿命可靠度的中位秩估结果及分别根据图解法和解析的参数估计值计算出的疲劳寿命可靠度值。
通过比较我们发现，三参数威布尔分布被证明是可以用来描述疲劳寿命分布，而且在对于零件疲劳寿命预测的问题中，由于其位置参数可以作为研究对象的最小疲劳寿命，再加上形状参数和尺度参数，使威布尔分布对疲劳寿命数据的拟合能力优于其他方法，由于利用计算软件，减轻了三参数威布尔分布参数估计的繁琐程度。
威布尔寿命的推算共42页文档
威布尔解析是指？
从耐久性数据推算出威布尔分布的3个参数。
威布尔分布；
f
t
mt
m1et
m
ｍ：形状参数
F t
1e
t
m
η：标准参数 γ：位置参数
威布尔概率纸的原理
威布尔分布的信赖度函数R（t）；
倾斜度：ｍ
t
完整数据的解析
信赖性数据分析图
1
283
2
364
3
426
4
480
5
531
6
583
7
638
8
703
9
792
数据分析工作表
ｉ ti 1 283 2 364 3 426 4 480 5 531 6 583 7 638 8 703 9 792
F(ti):平均等级 10 (%) 20 (%) 30 (%) 40 (%) 50 (%) 60 (%) 70 (%) 80 (%) 90 (%)
SuT讲座
改２
故障数据解析①
寿命的推算
ＮＯＫ株式会社 品質保証部
前言
信赖性工学
• 根据评价项目了解信赖性（目的）。彻底明确目 的。
• 不拘泥于信赖性评价，禁止过度自信・・・下定 功夫，控制发生，使其容易让人明白。
• 与平时不一样（是第6感？或是理论上的？）， 判定不合格，拥有倾听的耳朵。 解析很重要，确立正确的解析方向，解析效果就 出来了。 所谓手法，就是通过有效的利用能使用的东西， 取得效果
压力（负荷）－强度(强度)模型 ［ 在负荷＞强度的区域中发生故障 ］
强度
故障发生主要原因
负荷＞强度的区域
2.3利用威布尔概率纸估计寿命特征值
t 1 e t0 , t 0 F (t ) ,t 0 0
m
m t f (t ) t0 0
0
tm t0 m 1
e
,t 0 ,t 0
平均寿命µ
微电子可靠性原理
1 tf (t )dt t0 (1 ) m
2.3 利用威布尔概率纸估计寿命特征值
（2）寿命标准离差σ的估计(方法一)
J Y=mX-b
微电子可靠性原理
天津大学微电子学院
2.3 利用威布尔概率纸估计寿命特征值 问题讨论：
为什么说m是表示一批产品参数的分散程度？
2 1 2 t0 [(1 ) (1 )] m m
2
2 m
（3）可靠度函数R(t)的估计值
F(t) 尺
Y=mX-b
t
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2.3 利用威布尔概率纸估计寿命特征值
（4）可靠寿命tR的估计值
F(t) 尺
Y=mX-b
tR
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2.3 利用威布尔概率纸估计寿命特征值
(5)中位寿命t0.5的估计值
Y=mX-b
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利用Weibull软件估计寿命特征值
微电子可靠性原理
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利用Weibull软件估计寿命特征值
微电子可靠性原理
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利用Weibull软件估计寿命特征值
微电子可靠性原理
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2.3 利用威布尔概率纸估计寿命特征值
作业：P70 1, 3 补充作业：
0
x
m 1 x
Weibull分布恒定应力加速寿命试验的Bayes估计
Weibull分布恒定应力加速寿命试验的Bayes估计毕然;武东【摘要】In this paper, we propose Bayesian statistical analysis of Weibull distribution with Type-I and Type-II censored sample of constant stress accelerated life testing under CE model. Bayesian estimation of this model is obtained using Laplace method. Finally, we demonstrate through simulation example that the Bayesian estimation is efficient method.%对定时和定数截尾样本情形 CE 模型下 Weibull 分布场合恒定应力加速寿命试验进行了 Bayes 统计分析，利用 Laplace 方法给出了该模型的近似 Bayes 估计。
最后通过模拟实例表明该Bayes估计是有效的。
【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》【年(卷),期】2014(000)001【总页数】7页(P93-99)【关键词】CE模型;Weibull分布;恒定应力加速寿命试验;Bayes估计;Laplace方法【作者】毕然;武东【作者单位】爱荷华州立大学统计系，爱荷华州艾姆斯 50011;安徽农业大学理学院，安徽合肥 230036【正文语种】中文【中图分类】O213.2在评定高可靠性、长寿命产品的可靠性时,常采用加速寿命试验[1-2].加速寿命试验按照施加应力方式的不同主要分为三种类型:恒定应力加速寿命试验,步进应力加速寿命试验和序进应力加速寿命试验(简称恒加试验、步加试验和序加试验).恒加试验是先选一组加速应力水平,然后将一定数量的样品分为若干组,每组在一个加速应力水平下进行寿命试验,直到各组均有一定数量的产品发生失效为止.为了缩短寿命试验时间,通常对各应力水平下寿命试验采用定数截尾和定时截尾.恒加试验相对于其它两种加速寿命试验具有以下优点[3]:试验方法简单,试验设备要求不高;试验理论较为成熟,试验容易取得成功;试验中得到的信息最多,试验结果较为准确.在Weibull分布恒定应力加速寿命试验的统计分析方面.文献[4]给出了Weibull分布基于恒加寿命试验的近似无偏估计和近似区间估计.文献[5]利用逆矩估计方法给出了Weibull分布场合具有非常数形状参数恒加试验的点估计和区间估计.文献[6]对Weibull分布场合恒加寿命试验的参数估计进行了讨论,在文献[4]的基础上得到了更优的参数估计方法.但以上方法均没有考虑到未知参数的先验信息,文献[7]对Weibull分布场合恒定应力加速寿命试验进行了Bayes分析,但仅考虑了形状参数的先验取离散均匀分布.文献[8]对Weibull分布的形状参数考虑了均匀分布给出了Weibull分布恒加试验的Bayes估计.文献[9-10]采用最小二乘估计和最大似然估计对Weibull分布恒加试验进行了参数估计,并对真空荧光显示器(vacuum fl uorescent display,VFD)的寿命进行了预测和可靠性寿命评估.但上述方法均没考虑到产品在正常应力水平下的先验信息.本文讨论了CE模型下定时和定数截尾两种情形Weibull分布场合恒定应力加速寿命试验的Bayes分析.使用加速系数将产品寿命换算为正常应力水平下的寿命,从而能有效使用正常应力下产品的先验信息.在Bayes分析中,对后验分布参数进行了重参数化,并利用Laplace 方法进行了Bayes估计的近似.最后,利用蒙特卡罗方法对定数截尾情形Weibull分布恒加试验阿仑尼斯模型进行了仿真,通过仿真得到该Bayes估计是有效而实用的.假设1在正常应力水平S0和加速应力水平S1<S2<···<Sk下产品寿命服从Weibull分布,在应力水平Si下的密度函数分别为:其中mi>0和ηi分别称为应力水平Si下的形状参数和特征寿命,i=1,···,k.假设2[2]在各种应力水平下产品的失效机理相同,由于Weibull分布的形状参数反映了失效机理,因此,此假定等价于:假设3产品的特征寿命ηi与加速应力水平Si满足下列加速模型,即其中a,b为参数,ϕ(Si)是应力Si的已知减函数.当应力Si是温度时,此时模型为阿伦尼斯模型;当应力Si是电压时,ϕ(Si)=lnSi;此时模型为逆幂律模型. 上述三个基本假设都是在一定的物理背景下建立起来的,在实际应用中一般可以用专业知识,工程经验和统计检验等方法来判断是否成立.定时和定数截尾情形Weibull分布恒加试验的具体安排如下:(1)确定正常应力水平S0和k个加速应力水平S1,S2,···,Sk,这些应力水平一般应满足如下关系:(2)取n个产品分为k组,在加速应力水平Si下有ni个产品进行定数或定时截尾恒加试验,设在加速应力水平Si下产品的失效时间为:在定时截尾试验场合,τi为加速应力水平Si下预先给定的试验中止时间,ri为在加速应力水平Si下时间τi之前产品的失效数;在定数截尾试验场合,ri为预先给定的中止试验的样本数.由假设3,知其中为产品在应力S1和S0之间的加速系数[2].为了方便,现在记为了获得参数的Bayes估计,先研究一下Weibull分布恒加试验参数的先验分布.根据工程经验得到加速系数c的取值范围为1≤c1<c<c2,由此选取c的先验分布为:m为Weibull分布的形状参数,根据专家经验,可以设定m为区间[m1,m2]上的均匀分布,即产品在应力水平S0下,m已知时,取ηm的自然共轭分布为逆Gamma分布,其概率密度为:其中η>0,α>0,β>0,α和β为超参数.当α=β=0时,为无信息先验.定理3.1现对n个寿命服从Weibull分布的产品按上述试验安排进行试验得到数据(3),参数η,m,c的先验取上述分布,并对参数按(7)式进行重参数化,即记θ=(λ,µ,m),θ的参数空间为:若g(θ)为待估参数,则在平方损失下,g(θ)的基于Laplace公式[11]的近似Bayes估计为:其中的后验密度,ˆθ为L的极大值点,的Hessian矩阵的逆矩阵在θ∗处的取值,Σ为L的Hessian矩阵的逆矩阵在ˆθ处的取值,该估计的近似误差为O(n−2).证明对于(3)式的数据,可以得到似然函数为:至此,得到m,η,c的联合后验密度为:对参数η,c,m按(7)式进行重参数化,该变换的Jacobi行列式为:从而得到θ的联合密度为在平方损失下,g(θ)的Bayes估计(后验均值)为:由于上式两个积分之比无显示表达,可以利用Laplace公式得到g(θ)的近似Bayes 估计,即分别取g(θ)为λ,µ,m,利用定理3.1可分别得到三个参数的Bayes估计.下面仅给出λ的Bayes估计,其它可类似讨论.取g(θ)=λ,则得到L的Hessian矩阵为:式中L∗的Hessian矩阵为:式中对于L和L∗的极大值可采用带约束条件的非线性规划算法进行求解.以上已经得到Weibull分布恒加试验的λ,µ,m的Bayes估计,现用Monte Carlo 方法进行模拟.步骤如下:(1)正常应力水平S0=313K(表示绝对温度),选取应力为S1=358K,S2=398K,S3=448K,加速方程为形状参数m=1.5.此时正常应力水平S0下的特征寿命η=2422.24,而加速系数c=1.8265.(2)产生ni个服从U(0,1)分布的相互独立的随机变量Ui1,···,Uini,令(3)利用本文方法可得到λ,µ,m的Bayes估计,η的取无信息先验,c的先验取U(1,5),m的先验取U(1,3).利用(10)式的变换可得到η,c,m的Bayes估计ˆη,ˆc,ˆm.(4)重复上述模拟100次,然后计算Bayes估计的均值和相对均方误差.表1给出了Weibull分布恒加试验的基于Laplace方法的近似Bayes估计的均值和相对均方误差(简写为均方误差).模拟结果表明:其一,在各种情形下,相对均方误差均较小,说明该Bayes估计的效果均较好;其二,随着试验产品数量和失效数的增加,相对均方误差有下降趋势,说明Bayes估计随着产品数据和失效数的增加效果更好,因为在Bayes估计中获得的产品信息也随之增加.其三,该方法的最大优点是避免了大量的数值积分,从而获得高效的Bayes估计. 【相关文献】[1]Nelson W.Accelerated life testing-step-stress models and data analysis[J].IEEE Trans,Reliability,1980, 29(2):103-108.[2]茆诗松,汤银才,王玲玲.可靠性统计[M].北京:高等教育出版社,2008.[3]Watkins A J,John A M.On constant stress accelerated life tests terminated by type II censoring at one of the stress levels[J].Journal of Statistical Planning andInference,2008,138:768-786.[4]王炳兴.Weibull分布基于恒加寿命试验数据的统计分析[J].应用概率统计,2002,18(4):413-418.[5]王炳兴.Weibull分布场合具有非常数形状参数恒加试验的参数估计[J].应用数学学报,2004,27(1):44-51.[6]林昌盛.Weibull分布基于恒加试验尺度参数估计[J].纯粹数学与应用数学,2007,23(2):226-230.[7]仲崇新.威布尔分布场合下恒定应力加速寿命试验的Bayes方法[J].应用数学学报,1992,15(3):373-379.[8]程皖民,冯静,周经伦.Weibul1分布产品恒加应力缺失数据下的Bayes可靠性评估[J].电光与控制,2008, 15(1):47-50.[9]张建平,王睿韬.威布尔分布下VFD恒定应力加速寿命试验与统计分析[J].液晶与显示,2010,25(2):205-209.[10]Zhang Jianping,Wang Ruitao.Life prediction for vacuum fl uorescent display using maximum likelihood estimation[J].Journal of Southeast University(EnglishEdition),2009,25(2):189-192.[11]Tierney L,Kadane J B.Accurate approximations for posterior moments and marginal densities[J].Journal of the American Statistical Association,1986,81:82-86.。
威布尔Weibull分布的寿命试验方法
因此, 本試驗方法是基于產品開發階段 的壽命是服從Weibull分布.
➢1. 雙參數Weibull分布模型
概率密度f
t
m
t
m
1
e
t
m
,
失效率t
m
t
m
1
m --形狀參數 η--尺度參數
m
標准Weibull分布 f t mtm 1e t
案例一:利用MINITAB程序确定Weibull 分布的形狀參數實例
➢ 某新產品開發過程中,QA為了判斷該產品的 确實壽命時間,隨機選取14個樣本做700小 時的壽命測試,測試人員在500小時後才開 始檢查樣本,此後每隔100小時會檢查一次, 請用MINITAB的參數分布分析判斷該產品的 壽命情況(其中:壽命數据見後表).
選擇可靠性,并輸入 “0.90”, 時間項輸入 “500”
分布選擇 “Weibull”
輸入 “8.55”
允許的最大失效數 項輸入 “0”
每個單元的檢驗次 數項輸入 “600”
結果分析
所需測試的樣本數量是6 個,這6個樣本在600小時 測試時間內不能失效,該 試驗計划的實際置信水
平是95.05%.
➢4. 當Weibull形狀參數已知時, 可利用 MINITAB程序确定壽命試驗樣本的數量.
案例二:利用MINITAB程序确定壽命試驗 樣本數量實例
➢ 某新產品開發過程中,客戶要求90%的產品 壽命需達到500小時,QA根据以往經驗,認 為該類型產品的壽命服從Weibull分布(形 狀是8.55),每個測試樣辦的測試時間為 600小時.若不允許有樣本失效,請用 minitab确定需要多少樣本進行測試,才能 确保90%的產品壽命能達到500小時.
加速寿命试验三参数威布尔分布的极小变异-极大似然估计
装备环境工程第20卷第5期·12·EQUIPMENT ENVIRONMENTAL ENGINEERING2023年5月加速寿命试验三参数威布尔分布的极小变异-极大似然估计马小兵，刘宇杰，王晗（北京航空航天大学 可靠性与系统工程学院，北京 100191）摘要：目的在加速试验中，对寿命服从三参数威布尔分布的产品进行可靠性评估与寿命预测，解决形状参数小于1时传统方法难以计算的问题。
方法利用三参数威布尔分布与指数分布之间的转换关系，以变异系数误差最小为优化目标，在确定最优位置参数估计值的基础上，应用拟极大似然方法估计分布模型中的其余参数，建立极小变异–极大似然估计（MV-MLE）。
根据加速寿命试验中失效机理不变的原则，在失效机理等同条件下，将该方法推广至多应力水平下的可靠寿命评估。
结果在单一应力与多应力水平下，通过仿真模拟验证了所提方法的有效性。
与传统方法相比，在小样本条件下，所提方法可提高形状参数（机理等同性参数）估计精度40%以上。
结论所提方法对于三参数威布尔分布的参数估计和寿命评估具有较高精度，能够有效克服传统方法的不足，在加速寿命试验评估中具有良好的应用效果。
关键词：三参数威布尔分布；变异系数；加速寿命试验；机理等同性；可靠性评估；寿命预测中图分类号：TB114 文献标识码：A 文章编号：1672-9242(2023)05-0012-07DOI：10.7643/ issn.1672-9242.2023.05.003Minimum Variation-Maximum Likelihood Estimation of Three-parameterWeibull Distribution under Accelerated Life TestMA Xiao-bing, LIU Yu-jie, WANG Han(School of Reliability and Systems Engineering, Beihang University, Beijing 100191, China)ABSTRACT: The work aims to estimate the reliability and predict the lifetime of the products subject to three-parameter Weibull distribution under accelerated life test, so as to solve the problem that the traditional methods are difficult to complete the calculation when the shape parameter is less than 1. Through the conversion relationship between three-parameter Weibull distribution and exponential distribution, the best estimated value of the location parameter was determined with the error of co-efficient of variation as the optimization objective. Then, the analogue maximum likelihood method was used to estimate the remaining parameters of the Weibull distribution, based on which the minimum variation-maximum likelihood estimation收稿日期：2023–04–13；修订日期：2023–05–04Received：2023-04-13；Revised：2023-05-04基金项目：国家自然科学基金（72201019，52075020）；可靠性与环境工程技术重点实验室项目（6142004210105）；国防技术基础项目（JSZL2018601B004）Fund：The National Natural Science Foundation of China (72201019, 52075020); Reliability and Environmental Engineering Science & Tech-nology Laboratory (6142004210105); Basic Technical Research Project of China (JSZL2018601B004).作者简介：马小兵（1978—），男，博士。
威布尔(Weibull)分布的寿命试验方法
该函数反映了威布尔分布的形状和规模参数对随机变量取值概率的影响。
累积分布函数
累积分布函数
描述威布尔分布的随机变量小于或等于某个值的概率，公式为$F(x;alpha,beta) = 1 - e^{- left( frac{x}{beta} right)^{alpha}}$，其中$x geq 0$，$alpha > 0$，$beta > 0$。
意义
该函数用于评估随机变量在某个值以下或以上的概率。
参数估计
参数估计方法
常见的威布尔分布参数估计方法包括最大似然估计、最小二乘估 计和矩估计等。
参数估计步骤
首先收集寿命试验数据，然后选择适当的参数估计方法，根据数据 计算出参数的估计值，最后进行统计检验和误差分析。
意义
准确的参数估计是威布尔分布应用的必要前提，有助于更好地理解 和预测产品的寿命特性。
特性
03
威布尔分布具有非负性、可加性和无记忆性等特性，适用于描
述各种寿命和可靠性现象。
02
威布尔分布的特性
概率密度函数
概率密度函数
描述威布尔分布的随机变量取某个值的概率，公式为$f(x;alpha,beta) = frac{alpha}{beta} left( frac{x}{beta} right)^{alpha - 1} e^{- left( frac{x}{beta} right)^{alpha}}$，其中$x > 0$，$alpha > 0$，$beta > 0$。
定时/定数寿命试验的缺点是需要耗费较长的时间和 资源，同时对于某些产品来说，可能会在试验结束前 就已经出现大量的失效。
数据分析方法
01
在寿命试验结束后，需要对试验数据进行统计分析，以评估产品 的寿命和可靠性。常用的数据分析方法包括威布尔分布、对数正 态分布、指数分布等概率模型，以及回归分析、方差分析、假设 检验等统计方法。
Weibull分布寿命数据的参数估计
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华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文
1 绪 论
1.1 选题背景及意义
1.1.1 寿命数据的特点 在医学、生物学和保险学中人们早就在研究各种各样的寿命数据及其统计分析 方法。到上世纪五十年代，急需提高工业产品的可靠性，吸引了许多统计学家和实 际工作者们研究各种类型的寿命数据。 通常，从总体中抽取容量为 n 的一个简单随机样本 X 1 , X 2 , 这 n 个样本的观测值 x1 , x2 , , X n 是指可以获得
关键词：寿命数据 Weibull 分布 极值分布 矩估计 MLE
Bayes 估计 无失效数据
I
华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文
Abstract
To people who are engineers or work in biomedical field ， various data with lifetime、survive time or failure time have been concerned．And many statistical analysis methods have widely used in the reliability of product as well as in diseases research．In this paper，we concerned the parameter estimation in the reliability-test when the products life distribution is Weibull distribution．
威布尔分析方法
第1章威布尔分析1.1 引言：在所有可用的可靠性计算的分布当中，威布尔分布是唯一可用于工程领域的。
在1937，Waloddi Weibull教授（1887－1979）创造性的提出了该种分布，它是用于失效数据分析分布中应用最广泛的分布之一,也用于寿命数据分析，因为系统或部件的寿命周期的测量也需要分析。
一位瑞典的工程师和一位数学家潜心研究冶金的失效，威布尔教授曾指出正态分布要求冶金的初始强度服从正态分布,而情况并非如此。
他还指出对于功能需求可以包含各种分布，其中包括正态分布。
1951年他发表了代表作,“一个具有广泛适用性的统计分布函数”，威布尔教授声称寿命数据可以从威布尔分布族中选择最恰当的分布,然后用合适的参数进行合理准确的失效分析。
他列举七种不同的情况来证明威布尔分布可顺利用于很多问题的分析.对威布尔分布的最初反应是普遍诊断它太过完美以致于不真实。
尽管如此,失效数据分析领域的先驱们还是开始应用并不断改进，直到1975年，美国空军才认可了它的优点并资助了威布尔教授的研究。
今天，威布尔分析涉及图表形式的概率分析以找出对于一个给定失效模式下最能代表一批寿命数据的分布。
尽管威布尔分布在检测寿命数据以确定最合适的分布方面在世界范围内处于领先位置，但其它分布也会偶尔用于寿命数据分析包括指数分布，对数正态分布，正态分布，寿命数据有了对应的统计学分布,威布尔分析对预计产品寿命做了准备。
这种具代表性的样本分布用来估计产品的重要寿命特征，如可靠性，某一时刻的失效率，产品的平均寿命及失效率。
1.1.1威布尔分析的优点:威布尔分析广泛用于研究机械、化工、电气、电子、材料的失效，甚至人体疫病。
威布尔分析最主要的优点在于它的功能:⏹提供比较准确的失效分析和小数据样本的失效预测，对出现的问题尽早的制订解决方案.⏹为单个失效模式提供简单而有用的图表,使数据在不充足时，仍易于理解.⏹描述分布状态的形状可很好的选择相应的分布。
⏹提供基于威布尔概率图的斜率的物理失效的线索。
威布尔分布下平均寿命置信限的评估方法研究
威布 尔分布 下平均寿命置信 限的评估方法研 究 术
李 学 京
（ 北京工业 大学应用数理学院， 北京 ，０ １４ １０ ２）
摘 要
设备 的平均 寿命是可靠性研究 中的的一个重要指标． 对威布尔分布来 说， 由于平 均寿命没有 明显 的枢轴量 ， 因此给 出平均寿命 的精确的置信 限较 为 困难． 本文分 别利用广义枢 轴量、Ｗ Ｃ 展 开以及三 Ｆ 阶法三种方法， 得到 了设备寿命服从威布尔分布 时的平均寿命 的（ 近似１ 置信下限． 最后对上述三种方法 分别进 行了模拟 比较， 结果显示 文中给 出的方法对于 中小样本情形下得 到的平均寿命 的置信限是 比较
命 的置信下限． 做变换
＝
Ｉ ｎ／ ７ ，
＝１ｍ， ／
＝ＩＸｋ ｎ ，
（ ｋ＝１… ，） ， 佗，
（． ２） ２
则 ， ， ｉ．．且ｙ的分布函数为 … ．ｄ， ｉ
Ｆ （） 一ｅｐ －ｅｐ （ —ｕ／ ｝， ｙ ：１ ｘ ｛ ｘ ｛ ｙ ）ｏ ｝ －
一 ＜Ｙ ∞ ＜＋ ∞，
本研究 受国家 自然科￣ （Ｏ７ ０ｏ 、 １７ １１ ） 数学天元基金（０ ２０ ７、 １９６ ４） 北京市 属市管高等学校 人才强教计划资助项 目以
及北京工业大学博士启动基金（ ０ Ｏ Ｏ ３ Ｏ ９ ２ 资助． ｘ Ｏ ６ １２Ｏ Ｏ ）
本文２ ０年１ ３ ０ ７ 月２ 曰收 到 ， ０ ７ １ 月 ２ 日收 到 修 改 稿 ． ２ ０年 ０ ９
精确的． 关 键 词 ： 平 均 寿 命 置 信 限， 义 枢 轴 量 ， Ｃ 广 Ｗ Ｆ展 开 ， 阶法 ． 三 学 科 分 类 号 ： ０２ ３２ １ ．．
§． 引 １
言
威布尔(Weibull)分布的寿命试验方法[知识研究]
![威布尔(Weibull)分布的寿命试验方法[知识研究]](https://img.taocdn.com/s3/m/73c36d6243323968011c928c.png)
专业知识
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起始時間(h) 結束時間(h) 失效樣本數(個)
0
500
1
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2
600
600
1
600
7006700ຫໍສະໝຸດ *4专业知识
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分別輸入 “起始時間(h)” “結束時間(h)”“失效樣
本數(個)”
選擇“Weibull”
专业知识
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結果分析
专业知识得出形狀參數m=8.55
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➢3. 如果某种產品的Weibull形狀參數m已經 确定, 則可做為經驗值供今後進行同類產 品試驗時參考.
➢4. 當Weibull形狀參數已知時, 可利用 MINITAB程序确定壽命試驗樣本的數量.
专业知识
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案例二:利用MINITAB程序确定壽命試驗 樣本數量實例
专业知识
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➢ 某新產品開發過程中,客戶要求90%的產品 壽命需達到500小時,QA根据以往經驗,認 為該類型產品的壽命服從Weibull分布(形 狀是8.55),每個測試樣辦的測試時間為 600小時.若不允許有樣本失效,請用 minitab确定需要多少樣本進行測試,才能 确保90%的產品壽命能達到500小時.
❖b. 進行完全壽命試驗, 并分別記錄每個樣本的
失效時間(或cycle).
❖c. 設定可靠度及置信度.
❖d. 利用MINITAB程序計算出形狀參數m.
专业知识
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案例一:利用MINITAB程序确定Weibull 分布的形狀參數實例
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➢ 某新產品開發過程中,QA為了判斷該產品的 确實壽命時間,隨機選取14個樣本做700小 時的壽命測試,測試人員在500小時後才開 始檢查樣本,此後每隔100小時會檢查一次, 請用MINITAB的參數分布分析判斷該產品的 壽命情況(其中:壽命數据見後表).
基于Weibull分布的工业机器人线束寿命评估模型
基于Weibull分布的工业机器人线束寿命评估模型摘要：线束寿命直接关系到工业机器人的使用时长和使用方的生产损失。
本文以Weibull分布作为核心建立了一套线束寿命的评估模型。
并在实验室的测试平台中产生实测值，验证其准确性和有效性。
为线束寿命分析和预测提供了一种新的描述模式。
关键字：工业机器人线束；寿命分析模型；Weibull分布0引言随着工业机器人在制造业和自动化系统的进一步广泛使用，线束的故障愈发引起各个制造商的注意，据不完全统计，线束的故障占各种机器人失效故障的40%。
线束的失效还同时具有潜藏性和随机性，在短期之内通常线束不会出现任何问题，而出现故障的时机往往是生产商所不期望的。
电缆的故障一般分为３个阶段，即早期故障，在0~5a内发生，故障原因多是安装和质量问题；中期故障，在5~25a内发生，多是偶发性故障，故障原因为外力破坏；晚期故障，一般发生在25a以后，电缆由于在各种力、热、机械以及环境等应力的长期作用下，绝缘出现老化，发生老化故障。
[3]所以对工业机器人的线束寿命评估就成为了制造业生产中的一项必需课题。
1Weibull分布模型Weibull分布是一种连续概率分布，可以适应广泛的分布形状。
与正态分布一样，Weibull分布是单峰分布，描述与连续数据相关的概率。
但是，与正态分布不同的是，它还可以对偏斜数据进行建模。
事实上，其极大的灵活性使其能够对左偏和右偏数据进行建模。
该分布是一种异常通用的概率密度函数，因为它可以拟合多种形状。
它甚至可以逼近正态分布和其他分布。
Weibull分布具有三个参数：形状、比例和阈值。
1.1Weibull分布阈值参数（γ）阈值参数定义Weibull分布中的最低可能值。
我们将此参数称为位置。
所有值都必须大于阈值。
因此，负阈值让分布可以同时处理负值和正值。
零阈值允许它只包含正值。
双参数Weibull分布只是将阈值设置为零。
当保持形状和比例参数不变时，阈值仅会让分布函数左右移动。
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性/壽命試驗方法
在產品早期失效期以及耗損失效期, 其失效率曲線是符合Weibull分布.
因此, 本試驗方法是基于產品開發階段
的壽命是服從Weibull分布.
1. 雙參數Weibull分布模型
概率密度f t
m t m 1
選擇可靠性,并輸入 “0.90”, 時間項輸入 “500”
允許的最大失效數 項輸入 “0”
分布選擇 “Weibull”
每個單元的檢驗次 數項輸入 “600”
輸入 “8.55”
結果分析
所需測試的樣本數量是6 個,這6個樣本在600小時 測試時間內不能失效,該 試驗計划的實際置信水 平是95.05%.
0 500 1
500
600 600
600
600 700
2
1 6
700
*
4
分別輸入 “起始時間(h)” “結束時間(h)”“失效樣 本數(個)”
選擇“Weibull”結果分析来自得出形狀參數m=8.55
3. 如果某种產品的Weibull形狀參數m已經 确定, 則可做為經驗值供今後進行同類產 品試驗時參考. 4. 當Weibull形狀參數已知時, 可利用
MINITAB程序确定壽命試驗樣本的數量.
案例二:利用MINITAB程序确定壽命試驗
樣本數量實例
某新產品開發過程中,客戶要求90%的產品 壽命需達到500小時,QA根据以往經驗,認 為該類型產品的壽命服從Weibull分布(形 狀是8.55),每個測試樣辦的測試時間為
600小時.若不允許有樣本失效,請用 minitab确定需要多少樣本進行測試,才能 确保90%的產品壽命能達到500小時.
2. 形狀參數m數值的确定:
一般可由經驗确定, 如經驗無法确定, 則可 采用如下方法: a. 選取少量樣本, 例如5~8個; b. 進行完全壽命試驗, 并分別記錄每個樣本的 失效時間(或cycle).
c. 設定可靠度及置信度.
d. 利用MINITAB程序計算出形狀參數m.
案例一:利用MINITAB程序确定Weibull 分布的形狀參數實例
某新產品開發過程中,QA為了判斷該產品的 确實壽命時間,隨機選取14個樣本做700小
時的壽命測試,測試人員在500小時後才開
始檢查樣本,此後每隔100小時會檢查一次,
請用MINITAB的參數分布分析判斷該產品的
壽命情況(其中:壽命數据見後表).
起始時間(h) 結束時間(h) 失效樣本數(個)
e
t m
,
失效率 t
m 1 m t
m --形狀參數 η--尺度參數
m
標准Weibull分布 f t m t m 1 e t
在Weibull分布數,形狀參數m是一個很重要的指標, 當產品進行壽命試驗時, m與樣本數量有直接的聯系.