立方根 知识讲解
立方根的概念
立方根的概念立方根是数学中一个重要的概念，在代数学和数值计算中都有广泛的应用。
它是指一个数的立方等于给定数的运算。
本文将介绍立方根的概念、性质以及一些常见的计算方法。
一、立方根的定义对于一个实数a，如果存在一个实数x，满足x³ = a，那么x被称为a的立方根。
可以表示为x = ∛a。
其中，立方根符号∛可以理解为"立方根"或者"开三次方"。
二、立方根的性质1. 立方根的唯一性：每个正实数都有唯一的正立方根。
负实数的立方根在复数范围内存在多个。
2. 立方根的运算性质：a) 任意实数的立方根是实数或者复数。
b) 立方根运算具有可交换性，即∛(a * b) = ∛a * ∛b。
c) 立方根运算具有可分配性，即∛(a + b) ≠ ∛a + ∛b。
d) 立方根运算具有结合性，即∛(∛a) = ∛(a^(1/3)) = a^(1/9)。
即连续开两次立方根等于开九次方。
3. 立方根的特殊情况：a) 如果一个实数的立方根等于自身，即x³ = x，那么这个实数被称为立方根的不动点。
b) 如果一个实数的立方根等于负数，即x³ = -a，那么这个实数被称为立方根的负不动点。
三、立方根的计算方法计算立方根的方法主要有以下几种：1. 近似计算法：根据牛顿迭代方法，可以通过逐步逼近来计算立方根。
迭代公式为：xₙ₊₁ = (2 * xₙ + a / xₙ²) / 3其中，xₙ代表第n次逼近的结果，a为待开立方根的数值。
通过迭代计算，当xₙ₊₁与xₙ的差值小于某个精度要求时，可以得到一个近似的立方根值。
2. 公式法：对于较小的整数或一些特殊数值，可以利用一些特定的公式来求解。
例如，对于一个正整数n，其立方根可以表示为√(n² *√(n))。
对于一些特殊值如2、3等，也可以通过公式直接求解。
3. 数值计算软件：现代科学计算软件如Matlab、Python的NumPy 库等提供了方便快捷的立方根计算函数。
立方根的计算方法与技巧
立方根的计算方法与技巧立方根是数学中的一种基本运算，它表示一个数的三次方根。
它在科学、工程、金融等领域都有广泛的应用。
在计算立方根时，有很多技巧和方法可以使计算更加简便和高效。
本文将介绍一些常见的立方根的计算方法和技巧。
1. 直接求解法直接求解法是最基本的立方根的计算方法。
它的数学公式为：∛x = y，其中y³ = x。
这个方法需要计算一个数的三次方，并且求出这个数的三次方根。
这个方法在小数计算时比较简单，但是在大数计算时会比较繁琐。
2. 逼近法逼近法是一种比较常用的计算立方根的方法。
它的思路是通过不断逼近一个数的三次方根，最终得到这个数的立方根。
这个方法可以用迭代法、牛顿迭代法等算法实现。
迭代法是一种通过不断逼近得到解的方法。
它的数学公式为：Xn+1 = 1/3[(2Xn)+a/(Xn²)]。
其中Xn表示第n次迭代时的解，a表示要求解的数。
这个方法需要从一个初始值开始不断逼近，直到逼近到精度要求为止。
牛顿迭代法是一种比较常用的逼近法。
它的数学公式为：Xn+1 =Xn-(Xn³-a)/(3Xn²)。
其中Xn表示第n次迭代时的解，a表示要求解的数。
这个方法需要从一个初始值开始不断逼近，直到逼近到精度要求为止。
3. 二分法二分法是一种通过二分区间来逼近解的方法。
它的思路是将要求解的区间不断二分，直到逼近到精度要求为止。
这个方法在实际应用中比较常用，因为它可以通过不断缩小区间来达到精度的要求。
二分法的数学公式为：Xn+1 = (Xn+a/Xn)/2。
其中Xn表示第n 次迭代时的解，a表示要求解的数。
这个方法需要不断将区间二分，直到逼近到精度要求为止。
4. 分解法分解法是一种通过分解一个数来求解立方根的方法。
这个方法比较适用于比较大的数，因为它可以将一个大的数分解成小的因子，从而更容易求解。
分解法的数学公式为：∛(ab²) = b∛a。
其中a和b都是一个数。
立方根的概念
立方根的概念
立方根，即三次根，是数学中的一种概念，也叫立方级。
它的出现使数学的计算更加简单，应用也更加广泛。
立方根的研究也成为数学的重要组成部分。
立方根的性质
立方根的性质是，它可以将立方的积分解开，使其可以拆分成3个因子。
立方根的表达式一般为：a=a√a，其中a为任意实数，包括负数，零等。
从数学的角度来讲，它就是立方函数f(x) = x从x到f(x)的反函数。
此外，立方根也具有幂积分的性质，即：（a*b） = a * b。
计算方法
在计算立方根时，有两种方法可供选择：一种是借助现代电脑技术，将立方根计算式输入电脑，便可得到具体答案；另一种是利用数学技巧和方法，以解决复杂的立方根问题。
其中，利用数学方法进行计算的立方根细分又可分为三种：
（1）将一个立方数分解成已知的数的方法：
如：5=5*5*5=125.
（2）通过三角函数的知识来计算立方根：
比如：3√25=5，因为25=3cos30°sin60°。
（3）利用系数的方法来解决立方根的问题：
比如：7=71777=343，这里有7个系数，其中1个为1，7个为7。
立方根在数学中的应用
立方根在数学中有很多应用，它可以用来解决平面几何、曲面几何、椭圆几何、立体几何等问题，也可以用来解决概率、统计学等问题。
此外，立方根的出现还有助于人们更好地理解数学，加快了数学计算的速度，有助于科学技术的发展。
总之，立方根是数学中一个重要的概念，它对数学的发展和应用都有着重要意义。
立方根 知识讲解
立方根【学习目标】1. 了解立方根的含义；2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.【要点梳理】要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果3x a=，那么x叫做a的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.要点诠释：一个数a a是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.要点三、立方根的性质=a=3a=要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.0.060.6660.【典型例题】类型一、立方根的概念1、下列结论正确的是（）A．64的立方根是±4 B．12-是16-的立方根C．立方根等于本身的数只有0和1D=【答案】D；【解析】64的立方根是4；12-是18-的立方根；立方根等于本身的数只有0和±1.【总结升华】一个非零数与它的立方根符号相同；=举一反三：【变式1】下列说法正确的是（ ）A ．一个数的立方根有两个B ．一个非零数与它的立方根同号C ．若一个数有立方根，则它就有平方根D ．一个数的立方根是非负数 【答案】B ；提示：任何数都有立方根，但是负数没有平方根.【变式2】（2015春•大名县期末）下列说法正确的是（ ） A ．﹣4的立方是64 B ． 0.1的立方根是0.001 C ． 4的算术平方根是16 D ． 9的平方根是±3 【答案】D.类型二、立方根的计算2、求下列各式的值：（1）327102-- （2）3235411+⨯ （3）336418-⋅ （4（5）10033)1(412)2(-+÷-- 【答案与解析】解：（1）（2（3）43===9 1=241=2⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭-（4）=331=1-++（5）3=21247=1=33÷++【总结升华】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方. 举一反三：【变式】计算：（1=______；（2）=364611______； （3）=--312719______．（4）=-33511)(______. 【答案】（1）－0.2；（2）54；（3）23；（4）45. 类型三、利用立方根解方程3、（2015春•北京校级期中）（x ﹣2）3=﹣125．【思路点拨】利用立方根的定义开立方解答即可． 【答案与解析】解：（x ﹣2）3=﹣125， 可得：x ﹣2=﹣5， 解得：x=﹣3．【总结升华】此题考查立方根问题，关键是先将x ﹣2看成一个整体． 举一反三：【变式】求出下列各式中的a ：（1）若3a ＝0.343，则a ＝______；（2）若3a －3＝213，则a ＝______； （3）若3a ＋125＝0，则a ＝______；（4）若()31a -＝8，则a ＝______．【答案】（1）a ＝0.7；（2）a ＝6；（3）a ＝－5；（4）a ＝3． 类型四、立方根实际应用4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为643cm ，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了169πcm ．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？【思路点拨】铁块排出的643cm 水的体积，是铁块的体积，也是高为169πcm 烧杯的体积. 【答案与解析】解：铁块排出的643cm 的水的体积，是铁块的体积．设铁块的棱长为y cm ，可列方程364,y =解得4y =设烧杯内部的底面半径为x cm ，可列方程216649x ππ⨯=,解得x =6. 答：烧杯内部的底面半径为6cm ，铁块的棱长 4cm .【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合.举一反三：【变式】将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为____________.(不计损耗).。
七年级立方根知识点
七年级立方根知识点立方根，是指一个数的三次方根，可以用符号³√来表示。
在初中数学中，学生们需要学习求解正整数的立方根及其运用。
本文将介绍七年级立方根知识点，让学生们更好地掌握此方面的知识。
一、什么是立方根？在初中数学中，我们所说的立方根是指一个正整数的三次方根。
例如，27的立方根是3，因为3³=27。
我们可以通过“³√”符号来表示一个数的立方根。
例如，³√27=3。
二、立方根的计算方法在求解正整数的立方根时，最简单的方法是试错法。
即从小到大依次试探每一个数，找出符合条件的整数。
但这种方法比较耗时费力，不太实用。
下面介绍一种更科学的计算方法——牛顿迭代法。
1. 牛顿迭代法概念牛顿迭代法，又称牛顿-拉夫逊迭代法，是一种求解方程的数值方法。
该方法基于泰勒展开式，使用迭代的方法逐步逼近方程解。
在求解正整数的立方根时，我们可以使用牛顿迭代法来计算。
2. 立方根的牛顿迭代法公式我们可以用如下公式计算一个数的立方根：Xn+1 = [（2 × Xn） + a/（Xn²）]/3式中，Xn和Xn+1分别代表两次迭代的结果，a代表要求的数。
例如，我们要计算27的立方根，可以采用如下迭代过程：首先，我们选择一个初始值X0，例如X0=3。
将X0代入公式中，求出X1的值：X1 = [（2 × X0） + 27/（X0²）]/3 =（2 × 3 + 27/9）/3 =2.3333接下来，再将X1代入公式中，求出X2的值：X2 = [（2 × X1） + 27/（X1²）]/3 =（2 × 2.3333 + 27/5.4443）/3 =3依次类推，我们可以计算出27的立方根约为3。
三、立方根的应用立方根在许多实际问题中都有广泛的应用。
例如，我们可以通过立方根来计算立方体的体积，计算水的输送量，计算三角形边长等。
《立方根》优秀课件
CHAPTER 03
立方根在实数范围内的应用
立方根与实数的大小关系
立方根与实数的大小关系
对于任意实数a，都有立方根³√a存在，且立方根的大小与原 数的大小关系保持一致，即当a>1时，³√a>1；当0<a<1时 ，0<³√a<1；当a<0时，³√a<0。
立方根大小关系的应用
通过立方根大小关系的判断，可以求解一些实数范围内的不 等式，进行数值大小的比较和排序。
立方根的图形表示
立方根函数的图像
y=³√x的图像是一个单调递增的函数，经过原点和第一象限，当x>0时，函数图像在直线y=x的上方。
立方根在坐标系中的表示
在坐标系中画出y=³√x的图像，通过图像的直观展示，可以更好地理解立方根的性质和在实数范围内的变化情况 。
立方根的实际应用举例
求解方程的解
利用立方根可以求解一些形如 x³-a=0的方程，通过移项得到 x³=a，然后开立方即可求得方
《立方根》优秀课件
2023-11-12
目 录
• 立方根的概念与性质 • 立方根的运算方法 • 立方根在实数范围内的应用 • 立方根的拓展与提高
CHAPTER 01
立方根的概念与性质
立方根的定义
定义
如果一个数的立方等于另一个数，那么这个数就是另一个数的立方根。
表示方法
正数的立方根用“√￣”表示，如√￣a表示a的立方根；负数的立方根用“√￣”表示，如-√￣a表示a的负立方根。
程的解。
计算体积
在物理学和化学中，经常需要计算 立方体的体积，通过求解立方体的 边长（即立方根），可以轻松得到 体积的值。
工程设计
在工程设计中，有时需要用到立方 根进行计算，比如计算材料的强度 、稳定性等指标，以确保工程的安 全性和稳定性。
立方根知识梳理
2.3立方根一、知识梳理1、立方根的概念（1）定义：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即a x =3，那么这个数x 就叫做a 的立方根（也叫做三次方根）（2）开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方。
开立方与立方根互为逆运算，因此在运算结果中可以相互检验其正确性。
2、立方根的性质。
（1）正数有一个正的立方根；（2）负数有一个负的立方根；（3）0有一个立方根，就是0本身.3、立方根的表示方法数a 的立方根用符号“3a ”表示，读作“三次根号a ”，其中a 是被开方数，3是根指数，注意，“3”不能省略。
4、开立方求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
5、两个互为相反数的立方根之间的关系。
我们知道：8)2(,8233-=-=，∴8和-8的立方根分别是2和-2；又∵33=27，27)3(3-=-，∴27和-27的立方根分别是3和-3，其中8与-8，2与-2,27与-27,3与-3分别互为相反数。
设则,3a x =a x x -=-=-33)( 根据立方根的定义，可知：3a x =，3a x -=- ∴333a a a -=-=-这就是说，求一个负数的立方根时，只要先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它的相反数即可，也就是说，三次根号内的负号可以移到根号外面。
6、n 次方根一般地，如果一个数的n 次方根（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数就叫做a 的n 次方根，即a x n =，那么x 就是a 的n 次方根。
例如：2-24164162-2,162-1625322,322445和次方根是的次方根，或者说的都是和，），（次方根，的是==∴=7、开n 次方求a 的n 次方根的运算，叫做把a 开n 次方，其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数。
8、n 次算术根（1）定义：正数a 的正的n 次方根叫做a 的n 次算术根，零的n 次方根也叫做零的n 次算术根。
（2）表示方法：当0≥a 时，n a 就表示a 的n 次算术根。
立方根的概念与计算方法
立方根的概念与计算方法立方根是数学中一个重要的概念，它表示一个数的立方根的值。
在实际生活和工作中，我们可能会遇到需要计算立方根的情况，因此了解立方根的概念和计算方法变得至关重要。
本文将介绍立方根的定义以及几种常见的计算方法。
一、立方根的概念所谓立方根，即一个数的立方根指的是能够使该数的立方等于该数本身的数值。
换句话说，如果数字a的立方等于b，那么a就是b的立方根。
数学符号表示为∛。
立方根是一种特殊的根号，它的底数为3。
与平方根不同，立方根表示的是一个数的三次方根，而平方根则表示一个数的二次方根。
二、计算立方根的方法在计算立方根时，我们可以运用几种不同的方法，下面将详细介绍其中三种常见的计算方法。
1. 近似求解法当我们需要快速计算一个数的立方根时，可以使用近似求解法。
这种方法通过反复逼近得到一个接近解的结果。
以x为近似解，我们可以通过以下迭代公式来逼近立方根的真实值：x = (2/3)*x + (a/(3*x^2))其中a为待求立方根的数值，初始近似值x也可以是任意合理的估计值。
通过多次迭代，不断更新x的值，直到结果符合精度要求即可得到近似的立方根结果。
2. 简化公式法对于一些特定的数，可以运用简化公式法来快速计算立方根。
例如，对于整数8，其立方根可以用以下公式表示：∛8 = 2类似地，如果我们需要计算整数27的立方根，则有：∛27 = 3这种方法适用于一些特殊的整数，可以帮助我们更快地得到结果。
3. 使用计算器对于计算立方根的更复杂数字，我们可以使用计算器来得到精确的结果。
现代科学计算器通常都内置了立方根函数，只需输入待求数值，点击相应的按键即可得到结果。
三、应用示例立方根的计算方法在实际应用中有着广泛的应用。
下面以一个实际问题为例来说明其具体应用。
假设我们需要计算一个立方体的边长。
已知该立方体的体积为64立方米。
我们可以利用立方根的概念来解决这个问题。
根据立方体的体积公式，我们可以设立如下方程：边长^3 = 64为了求解边长，我们只需计算64的立方根即可，即：∛64 = 4因此，该立方体的边长为4米。
立方根ppt课件
答案解析
因为(0.1)的立方等于0.001，所以0.001的 立方根是0.1。
练习题三：求(1/2)的立方根
题目描述
求(1/2)的立方根，并给出结果。
答案解析
因为(1/2)的立方等于(1/2)，所以(1/2)的立方根是(1/2)。
THANK YOU
03
立方根的应用实例
体积计算中的应用
计算不规则物体的体积
通过测量物体的长、宽、高，利用立方根计算出物体的体积 。
计算容积
利用立方根计算容器的容积，进而求出容器内液体的体积。
密度计算中的应用
计算物体的密度
通过测量物体的质量和体积，利 用立方根计算出物体的密度。
判断物体的状态
根据物体在不同温度下的密度变 化，判断物体是固态、液态还是 气态。
适用范围
适用于一些简单的立方数，如1、8、 27等。
公式法求解
定义
公式法是指通过使用立方 根的公式来求解立方根的 方法。
适用范围
适用于任意实数的立方根 求解。
步骤
首先了解立方根的公式， 然后根据公式将待求的立 方数代入公式中，计算得 出立代计算，逐步逼近立方根的方法。
立方根ppt课件
contents
目录
• 立方根的定义与性质 • 立方根的运算规则 • 立方根的应用实例 • 立方根的求解方法 • 立方根的注意事项与易错点分析 • 练习题与答案解析
01
立方根的定义与性质
立方根的定义
01
立方根是指一个数的立方等于另 一个数时，这个数就是被开方数 的立方根。
02
例如，如果 $a^3 = N$，那么 $a$ 就是 $N$ 的立方根。
七年级数学下《立方根》知识点总结归纳
七年级数学下《立方根》知识点总结归纳
一、基础概念
1.立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数被称为a的立方根。
记作：
3a。
2.立方根的性质：
•任何非零实数的立方根只有一个，但0的立方根是0。
•正数的立方根是正的，负数的立方根是负的。
1.求立方根的方法：使用直接开立方的公式或计算器进行求解。
二、运算规则
1.乘法性质：3a×3b=3a×b（当a≥0，b≥0）。
2.开方与乘除法的关系：3ba=3b3a（当a≥0，b>0）。
三、与平方根的区别与联系
1.区别：平方根涉及平方，而立方根涉及立方。
例如，(−3)2=9但−33=−27。
2.联系：对于非负实数，其平方根和立方根表示的都是正数。
例如，38=2，因为
23=8。
四、实际应用与解题技巧
1.实际应用：计算物体的体积或容积时需要用到立方根。
例如，求一个长方体或
正方体的体积。
2.解题技巧：
•对于较大的数或复杂的数字，可以使用计算器辅助求解。
•对于负数的立方根，要明确其值是负的。
例如，3−8=−2。
•注意与平方根的区别与联系，避免混淆。
五、易错点与注意事项
1.易错点：容易将平方根与立方根混淆，如误认为39=3（实际上是39≈
2.08）。
2.注意事项：
•在求立方根时，要注意被开方数是非负数。
•对于复杂的数字或问题，建议使用计算器辅助求解。
•多做习题，巩固对立方根的理解和应用。
立方根知识点讲解(含例题)
1．立方根的概念和性质（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的__________或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．例如：53=125，那么5是125的立方根．（2）表示方法：一个数a”表示，读作：“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数．（3）拓展：互为相反数的两数的立方根也互为相反数．2．开立方（1）定义：求一个数的立方根的运算，叫做__________．（2）性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是__________，0的立方根是0；=③3==a．（3）开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为__________．开立方所得的结果就是立方根．3．平方根和立方根的区别和联系1．被开方数的取值范围不同在a是非负数，即a≥0a是任意数．2．运算后的数量不同一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根．K知识参考答案：1．（1）立方根2．（1）开立方（2）负数（3）逆运算一、求立方根和开立方根据开立方与立方互为逆运算的关系，我们可以求一个数的立方根，或者检验一个数是不是某个数的立方根．【例1】-64的立方根是A ．-4B ．4C ．±4D ．不存在【答案】A【解析】∵（−4）3=−64，∴−64的立方根是−4，故选A ．【例2A ．－1B ．0C ．1D ．±1 【答案】C-1-1，故选A ．【名师点睛】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．【例3】下列计算中，错误的是A B 34=-C 112=D ．25=- 【答案】D【解析】A ．正确；B ．正确；C ．正确；D 故错误，故选D ． 【例4】求下列各数的立方根：（1）-343；（2）8125． 【解析】（1）因为3(7)343-=-，所以-343的立方根是-7．（2）因为328()5125=， 所以8125的立方根是25． 【例5】求下列各式的值：（1；（23）【解析】（1（2（3 二、利用立方根的知识解方程只含有未知数或某个关于未知数的整体的三次方的方程，可以先通过“移项、合并同类项、系数化为1”等变形为x 3=m 或（ax +b ）3=m 的形式，再利用开立方的方法求解．【例6】若a 3=–8，则a =__________．【答案】–2【解析】∵a 3=–8，∴a =–2．故答案为：–2．【例7】求下列各式中的x ：（1）8x 3+125=0；（2）（x +3）3+27=0． 【解析】因为381250x +=， 所以38125x =-，（2）因为3(3)270x ++=，所以3(3)27x +=-，x+=-，所以33x=-．所以6三、平方根和立方根的综合应用在解决立方运算与开立方运算时，遵循的原则为正数的立方和立方根为正数，负数的立方和立方根为负数．【例8】64的平方根和立方根分别是A．8，4 B．8，±4 C．±8，±4 D．±8，4【答案】D【解析】因为（±8）2=64，43=64，所以64的平方根和立方根分别是±8，4，故选D．【例9】已知2a-1的平方根是±3，3a+b-1的立方根是4，求a+b的平方根．【名师点睛】此题主要考查了立方根和平方根的意义的应用，关键是根据平方根，求出2a-1=9，根据立方根求出3a+b-1=64，转化为解方程得问题解决．【例10】已知x+122x+y-6的立方根是2．（1）求x，y的值；（2）求3xy的平方根．【解析】（1）∵x+12的算术平方根是，2x+y-6的立方根是2．∴x+12=2=13，2x+y-6=23=8，∴x=1，y=12．（2）当x=1，y=12时，3xy=3×1×12=36，∵36的平方根是±6，∴3xy的平方根±6.【名师点睛】本题考查了算术平方根、立方根的性质，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义，能熟练运用它们的逆运算是解本题的关键．。
立方根知识点及习题
立方根知识点及习题一、立方根的定义如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。
也就是说，如果\（x³＝ a\），那么 x 叫做 a 的立方根。
例如，＼（2³＝ 8\），所以 2 是 8 的立方根；＼（（－2)³＝－8\），所以－2 是－8 的立方根。
一个数 a 的立方根记作\（＼sqrt3{a}＼），读作“三次根号a”，其中a 叫做被开方数，3 叫做根指数。
二、立方根的性质1、正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0 的立方根是 0。
例如，＼（＼sqrt3{8} ＝ 2\），＼（＼sqrt3{－8} ＝－2\），＼（＼sqrt3{0} ＝ 0\）。
2、立方根等于它本身的数有 0，1，－1。
3、＼（＼sqrt3{a} ＝＼sqrt3{a}＼）三、立方根与平方根的区别1、个数不同一个正数有两个平方根，它们互为相反数；而一个正数只有一个立方根。
2、表示方法不同平方根用\（＼pm\sqrt{a}＼）表示，立方根用\（＼sqrt3{a}＼）表示。
3、被开方数的取值范围不同平方根中被开方数 a 是非负数，即\（a\geq0\）；立方根中被开方数a 可以是任何数。
四、开立方运算求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。
例如，因为\（3³＝ 27\），所以\（＼sqrt3{27} ＝ 3\）；反之，因为\（＼sqrt3{8} ＝ 2\），所以\（2³＝ 8\）。
五、立方根的练习题1、求下列各数的立方根：（1）－27 （2）＼（＼frac{8}｛125}＼）（3）0 （4）－0064解：（1）因为\（（－3)³＝－27\），所以\（＼sqrt3{－27} ＝－3\）。
（2）因为\（（＼frac{2}｛5}）³＝＼frac{8}｛125}＼），所以\（＼sqrt3{＼frac{8}｛125}｝＝＼frac{2}｛5}＼）。
6.4 立方根 人教版数学七年级下册知识讲解
专题6.4 立方根（知识讲解）【学习目标】1. 了解立方根的含义；2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.【要点梳理】要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.特别说明：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.特别说明：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.要点三、立方根的性质特别说明：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.【典型例题】类型一、立方根➽➼概念的理解➻➸平方根✬✬立方根1．已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，∴，∴．故选：C．【点拨】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键．举一反三：【变式1】下列说法正确的是（）A．的立方根是B．的平方根是C．一定有平方根D．表示的算术平方根【答案】C【分析】根据平方根，立方根，算术平方根的概念解答即可解：A、64的立方根是，故本选项不合题意；B、的平方根是，故本选项不合题意；C、因为，所以一定有平方根，故本选项符合题意；D、的算术平方根是，故本选项不合题意；故选：C【点拨】本题考查了平方根，立方根以及算术平方根，熟记相关定义是解答本题的关键．【变式2】下列说法中，不正确的是（ ）A．是的平方根B．的平方根和立方根都是C．负数没有立方根D．的算术平方根和立方根都是它本身【答案】C【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义，即可一一判定．解：A. ，是的平方根，故该选项正确，不符合题意；B.的平方根和立方根都是，故该选项正确，不符合题意；C. 负数有立方根，故该选项不正确，符合题意；D.的算术平方根和立方根都是它本身，故该选项正确，不符合题意；故选：C．【点拨】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，若一个数的平方等于，则这个数叫做a的平方根，其中正的平方根叫做a的算术平方根，0的算术平方根为0；若一个数的立方等于，则这个数叫做a的立方根．类型二、立方根➽➼求一个数的立（平）方根✬✬已知立（平）方根求原数2．求下列各式中x的值：(1) ；(2) ．【答案】(1)或5 (2)【分析】（1）利用平方根的性质解答，即可求解；（2）利用立方根的性质解答，即可求解．（1）解：∴，即，解得：或5；（2）解：，∴，解得：．【点拨】本题主要考查了利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键．举一反三：【变式1】求下列各式中的x的值．(1) (2)【答案】(1)或(2)【分析】（1）利用平方根解方程；（2）利用立方根解方程．（1）解：∵，∴，∵，∴，解得：或；（2）解：∵，∴，∵，∴，解得：．【点拨】本题考查利用平方根和立方根解方程．熟练掌握平方根和立方根的概念，是解题的关键．【变式2】求下列各式中的值：【答案】（1）x=4；（2）【分析】（1）根据立方根的定义解答；（2）根据平方根定义解答．解：（1）x+2=6，x=4；（2）．【点拨】此题考查了利用立方根定义及平方根定义解方程，正确求一个数的立方根及平方根是解题的关键．类型三、立方根➽➼平方根✬✬立方根➽➼综合应用3．已知a是2的平方根，b是（﹣13）2的平方根，c的立方根是﹣3，d的算术平方根是，回答下列问题．(1) 分别求出a，b，c，d的值；(2) d的另外一个平方根落在图中的 ．（填“段①”“段②”“段③”“段④”）【答案】(1) a=±，b=±13；c=-27，d=2 (2)段②【分析】（1）根据平方根和立方根的知识可求得此题结果；（2）先求得d的另外一个平方根为，再比较出它在数轴中所在的位置．解：（1）∵（±）2==，（±13）2=（13）2，（3）3=27，（）2=2，∴±是的平方根，±13是（13）2的平方根，27的立方根是3，2的算术平方根是，∴，b=±13，c=27，d=2；（2）解：∵2的平方根是±，而，∴d的另外一个平方根落在图中的“段②”，故答案为：“段②”．【点拨】此题考查了运用平方根和立方根解决问题的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．举一反三：【变式1】已知正数的两个平方根分别是和，的立方根为-2．(1) 计算：_________；_________；_________；(2) 求的算术平方根．【答案】(1)1；-1；25 (2)1【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数以及立方根的定义进行求解即可；（2）先求出，然后根据算术平方根的定义求解即可．(1)解：∵正数的两个平方根分别是和，的立方根为-2，∴，∴，∴，故答案为：1；-1；25；(2)解：∵，∴，∴的算术平方根为1．【点拨】本题主要考查了平方根，立方根，算术平方根，熟知三者的定义是解题的关键．【变式2】己知的立方根是4，的算术平方根是5，c是9的算术平方根，(1) 求a，b，c的值(2) 求的平方根．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据立方根的概念和算术平方根的概念进行求解即可；（2）先代值计算，再根据平方根的定义进行求解即可．（1）解：∵，∴，∴；∵，∴，∵，∴；∵，∴；（2）把：代入得：，∵，∴的平方根是：．【点拨】本题考查平方根，算术平方根和立方根，熟练掌握平方根：一个数的平方是，叫做的平方根；算术平方根：一个非负数的平方是，叫做的算术平方根；立方根：一个数的立方是，叫做的立方根，是解题的关键．类型四、立方根➽➼生产生活中的应用4．在一个长、宽、高分别为8，4，2的长方体容器中装满水，将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满（两容器的厚度忽略不计），求此正方体容器的棱长．【答案】4cm【分析】根据长方体的体积计算可得结论；根据正方体的体积等于棱长的立方进行开立方计算可得结论．解：由于装满水的长方体容器中的水，全部倒入正方体容器中，恰好倒满，所以它们的体积相等，而长方体容器的体积，所以正方体容器的体积为64，所以此正方体容器的棱长为．【点拨】本题主要考查了立方根的概念的运用以及应用，解决本题的关键是熟练掌握立方根的应用．举一反三：【变式1】一个正方体的体积是，另一正方体的体积是这个正方体体积的4倍，求另一个正方体的边长及其表面积．【答案】边长，表面积【分析】根据题意知大正方体的体积为，则其边长为体积的立方根，可求得表面积．解：正方体的体积为：，即正方体的边长为：，则正方体的表面积为：，答：边长，体积．【点拨】本题主要考查了有理数的乘法运算以及立方根的知识，掌握正方体的体积公式和表面积公式是解答本题的关键．【变式2】李叔叔将8个正方体魔方，放入到一个容积为的正方体纸箱中，恰好填满．求这个魔方的棱长．【答案】【分析】先算出1个魔方的体积，然后根据体积公式算出魔方的棱长即可．解：1个魔方的体积为：．则这个魔方的棱长为．答：这个魔方的棱长为．【点拨】本题主要考查了立方根的实际应用，解题的关键是熟练掌握正方体的体积公式，准确进行计算．类型五、立方根➽➼能力拓展5．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤：①首先进行了估算：因为，，所以是两位数；②其次观察了立方数：；猜想的个位数字是7；③接着将往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：的立方根是；④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：(1) = ；(2) 若，则；(3) 已知，且与互为相反数，求的值．【答案】(1)(2)3 (3)，；，；，【分析】（1）根据题目中给定的方法进行求解即可；（2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可；（3）根据立方根的性质，立方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可．（1）解：因为，，所以是两位数，因为；猜想的个位数字是9，接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是；最后再依据“负数的立方根是负数”得到；（2）解：∵，∴和互为相反数，∴，∴；故答案为：3．（3）解：，即，∴或1或解得：或3或1∵与互为相反数，即，∴，即，∴时，；当时，；当时，．【点拨】本题考查求一个负数的立方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键．举一反三：【变式1】观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：，，，，，(1) 已知，求的值；(2) 已知，，求的值；(3) 根据上述探究方法，尝试解决问题：已知，，用含的代数式表示．【答案】(1) (2) (3)【分析】（1）根据算术平方根的规律，根号内扩大100倍，结果扩大10倍，将式子变形即可求解；（2）根据算术平方根规律，根号内扩大100倍，结果扩大10倍，将式子变形即可求解；（3）根据立方根的规律，根号内扩大1000倍，结果扩大10倍，将式子变形即可求解；解：（1），．（2），．．（3），．．，即．【点拨】本题主要考查算术平方根、立方根、二次根式的乘法运算，熟练掌握算术平方根、平方根的定义以及二次根式的乘法运算法则是解决本题的关键．【变式2】类比平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的定义可给出四次方根、五次方根的定义：①如果，那么x叫做a的四次方根；②如果，那么x叫做a的五次方根；请根据以上两个定义并结合有关数学知识回答问题：(1) 81的四次方根为____________；-32的五次方根为____________；(2) 若有意义，则a的取值范围是____________；(3) 解方程：①；②．【答案】(1)；(2)(3)①；②【分析】（1）利用题中四次方根的定义、五次方根的定义求解；（2）根据四次方根的意义求解；（3）分别利用四次方根和五次方根的定义求解．（1）解：81的四次方根为；的五次方根为；故答案为：；；（2）解：若有意义，则，解得．故的取值范围为；故答案为：；（3）解：①，所以；②，，所以．【点拨】本题考查了方根的定义，关键是求四次方根时，注意正数的四次方根有2个．。
立方根-知识讲解
立方根-知识讲解
立方根（cube root）是指开3次方根的数，也可以称为立方根或三次根。
如果有一
个数x，那么立方根就是求该数的立方根值y，y的立方等于x，可以这样表示∛x=y。
立方
根的概念很容易理解，例如，一个数的立方就是它乘以它自身乘以它自身，而这个数的立
方根就是这个数本身，即不是对立方数取根，而是它本身。
立方根比平方根要复杂，但是计算方法和原理基本相同，仍然是把一个复杂的运算变
成一个一元的课题，从而找到它的根。
它们的本质仍然是一元多项式，故可以使用多项式
定理或牛顿迭代法来解决。
立方根的定义是求三次方根，就是求一个数的立方根的值，可以这样表示∛x=y，其中
x为一个数，y为x的立方根。
计算立方根的简便方法是使用牛顿迭代法，例如，求242
的立方根，用牛顿迭代法求解，可以把原来的复杂变成一个一元的课题，从而找到正确的
答案，算法迭代的目的就是要使得运算出来的结果接近正确的答案，即y^3-x=0的解，把242的立方根记为y，则有y^3-242=0，即y^3=242，令y0=4.5，则y1=(2y0+242/y0^2)/3，计算出来y1=4.331，以此类推，y2=4.318，y3=4.318，则y3即前面计算出来的结果为最
终答案，即242的立方根=4.318。
牛顿迭代法不仅可以求解立方根，还可以求解更高级复杂的函数方程。
牛顿迭代法虽
然简单易懂，但对计算机来说，有些复杂的函数计算可能要花费大量时间，因此求解立方
根的时候，最好用一些更快的算法，如勒让德算法或二分法等。
求立方根的方法
求立方根的方法一、立方根的概念。
1.1 啥是立方根呢？简单来说，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根。
就好比说2的立方是8，那2就是8的立方根。
这就像在一个神秘的数学王国里，每个数都有它独特的“立方根伙伴”。
1.2 立方根的表示方法也挺有趣的。
我们用符号“³√”来表示立方根。
比如说³√27，这个式子就是在找27的立方根呢。
这就像给你一把特殊的钥匙“³√”，去打开那个藏着立方根的宝藏盒子。
2.1 对于一些比较简单的完全立方数，咱们可以直接根据记忆或者简单计算得出立方根。
就像1的立方是1，那1的立方根就是1；8的立方是2，8的立方根就是2。
这就跟我们认熟人似的，一眼就看出来了，轻松加愉快。
这就是数学里的“小菜一碟”。
2.2 如果数字不是那么容易看出来的完全立方数，那我们可以用分解因数的方法。
比如说求12的立方根。
我们先把12分解因数，12 = 2×2×3。
但是这种情况下，12不是一个完全立方数，所以它的立方根就是³√12，不能再进一步化简成一个整数。
这就有点像遇到了一个有点棘手的问题，不能一下子搞定，只能先把它的情况摸清楚。
2.3 还有一种情况，对于一些比较大的数，我们可以通过估算的方法来求立方根的大致范围。
比如说求10000的立方根。
我们知道10³ = 1000，20³ = 8000，30³= 27000。
所以10000的立方根肯定是在20到30之间。
这就像我们在黑暗中摸索，虽然不能一下子准确找到目标，但是能把它的位置大概确定下来。
三、立方根在生活中的应用。
3.1 在建筑工程里，立方根可有用了。
比如说我们要计算一个正方体形状的蓄水池的边长。
如果知道这个蓄水池的容积是27立方米，那根据立方根的知识，我们就能算出边长是3米。
这就像给建筑工人一个神奇的工具，能让他们准确地规划建筑的尺寸。
3.2 在科学研究中，立方根也会出现。
初中数学知识归纳立方根的概念和运算
初中数学知识归纳立方根的概念和运算立方根作为数学中的一个重要概念，是指一个数字的立方的逆运算。
在初中数学学习中，我们常常需要运用立方根的知识来解决各种问题。
本文将归纳立方根的概念和运算，并提供一些相关例题，帮助读者更好地理解和运用。
一、立方根的概念所谓立方根，是指一个数字的立方的逆运算。
假设a是一个实数，一个数字x满足x³=a，则称x为a的立方根。
例如，对于数字8来说，8的立方根就是2，因为2³=8。
同样地，对于数字27来说，27的立方根是3，因为3³=27。
立方根的符号通常为∛，表示一个非负实数的立方根。
如果要表示负实数的立方根，则需要在立方根符号上方加上一个负号。
二、立方根的运算规则1. 立方根与立方互为逆运算立方根和立方是互为逆运算的，即一个数字执行立方运算后再执行立方根运算，结果将回到原来的数字。
例如：∛(x³) = xx为任意实数。
2. 立方根的运算性质立方根具有以下运算性质：- 一个非负数的立方根是唯一确定的。
- 两个正实数的立方根的乘积等于这两个实数的立方根的乘积。
即∛(a*b) = ∛a * ∛b。
- 两个正实数的立方根的商等于这两个实数的立方根的商。
即∛(a/b) = ∛a / ∛b，其中b不等于0。
三、立方根的应用举例现在，让我们通过几个例题来更好地理解和应用立方根的概念和运算。
例题1：求以下各式的值：- ∛27- ∛8- ∛125解答：- ∛27 = 3。
因为3³=27。
- ∛8 = 2。
因为2³=8。
- ∛125 = 5。
因为5³=125。
例题2：求下列各式的值：- ∛(64 * 27)- ∛(216 / 8)解答：- ∛(64 * 27) = ∛(3³ * 4³) = 3 * 4 = 12。
因为12³=64*27。
- ∛(216 / 8) = ∛(3³ * 2³) = 3 * 2 = 6。
最新人教版七年级下册数学《立方根》知识点总结
最新人教版七年级下册数学《立方根》知
识点总结
1. 立方根的概念
立方根是指一个数的立方为给定数的平方根。
例如，数a的立方根记作∛a，满足公式∛a ×∛a ×∛a = a。
2. 求立方根的方法
- 近似法：根据数的大小和取值范围，可以使用近似法来求立方根。
例如，可以通过试探法或通过表格查找近似值。
- 简化运算法：根据立方根的运算规律，可以进行一些数学运算来求得完全精确的立方根。
例如，可以使用平摊法、因数分解法或二分法等。
3. 立方根的性质
- 正数的立方根是一个实数，且大于等于0。
- 负数的立方根是一个复数，其中一个解为实数，另外两个解为共轭虚数。
- 0的立方根为0。
4. 立方根的应用
- 立方根在几何学中常用于计算体积。
例如，通过求立方的边长可以求得立方的体积。
- 立方根也广泛应用于科学领域，例如计算物体的密度、电磁学中的场强等。
总结：立方根是数学中的一个重要概念，用于求解一个数的立方。
通过近似法或简化运算法可以求得立方根。
立方根常用于计算几何体的体积以及科学研究等领域。
数学知识点立方根的性质和计算
数学知识点立方根的性质和计算数学知识点：立方根的性质和计算数学中的立方根是一项重要的数学概念，在数学问题的解答和实际应用中有着广泛的用途。
本文将介绍立方根的性质和计算方法。
一、立方根的定义和性质1. 定义：对于任意实数a，如果存在一个实数x，使得x的立方等于a，即x³=a，则称x为a的立方根，记作∛a。
2. 符号表示：立方根的符号通常为∛，它是一个根号上面带有数字3的符号。
3. 性质：a) 对于任意正实数a，它的立方根是唯一确定的，并且存在一个正实数表示它的立方根。
b) 对于任意负实数a，它的立方根也存在，但不是唯一的，因为每个负实数的立方根有两个值，一个为正，一个为负。
c) 对于0的立方根，它的值为0。
d) 对于任意实数a，有以下运算法则成立：(a³)^(1/3) = a。
二、立方根的计算方法在实际问题中，我们常常需要计算某个数的立方根。
以下介绍几种常用的计算方法：1. 直接求解法：对于可以直接被整除的整数，可以通过试探法来求解其立方根。
例如，∛8=2，∛27=3。
2. 近似解法：对于无法直接求解的数，可以使用近似的方法来计算立方根。
其中最常用的方法是牛顿迭代法。
a) 准备工作：设待求解的数为a，初始估计值为x0。
b) 迭代计算：通过以下公式进行迭代计算，直至满足精度要求：x(n+1) = (2*x(n) + a/(x(n)^2))/3c) 重复步骤b，直至得到满足精度要求的近似解。
3. 使用数学软件：现代数学软件如Mathematica、Matlab等，提供了方便快捷的立方根计算功能。
通过输入需要计算的数值，软件可以快速给出精确的立方根值。
三、立方根的应用立方根在数学、物理和工程等领域中有着广泛的应用，下面以几个具体的例子来说明：1. 立方根方程的求解：立方根方程指的是关于未知数的方程中，存在一个或多个未知数的立方根。
通过求解立方根方程，可以得到未知数的具体值。
2. 空间几何计算：在三维几何问题中，立方根常用于计算体积、边长以及表面积等参数。
立方根课件
立方根的例题三
总结词
该例题展示了如何使用立方根来解决实际问 题。
详细描述
首先，我们通过一个实际问题，展示了如何 使用立方根来解决实际问题。接着，我们通 过逐步推导，展示了如何使用立方根来解决 这个问题。最后，我们对解题过程中的关键 步骤进行了总结和强调。同时，我们也强调 了数学在实际问题中的应用价值。
立方根的应用
立方根在数学、物理和工程中都有广泛的应用。例如，在计算一些体积 和表面积时，立方根可以用来求解一些实际问题的数值。
对立方根的展望
立方根的发展历程
立方根的发展历程可以追溯到古代数学家们 的探索。从古希腊数学家开始，历经中世纪 欧洲数学家们的努力，再到现代数学家们的 贡献，立方根的理论和实践都得到了不断的 发展和完善。
03
立方根的运算
立方根的求法
直接开立方
适用于被开方数较小的情况，如 $x^3=a$，则$x=a^{1/3}$。
迭代法
通过多次迭代来逼近立方根，如 $x={a,b,c}$，则$x^3={a^3, b^3, c^3}$，取三个值中的平均 数作为立方根的近似值。
牛顿法
利用牛顿迭代法来求立方根，如 $x={a,b,c}$，则$x^3={a^3, b^3, c^3}$，取三个值中的平均数作为 立方根的近似值。
计算能量和动量
在量子力学和相对论中，立方根经常 用于计算能量和动量，因为这些量也 往往与速度的三次方成正比。
在计算机科学中的应用
计算几何图形
在计算机图形学中，立方根可以用于计算几何图形的属性，例如计算两点之间的 距离或一个点在三维空间中的位置。
加密算法
在密码学中，立方根可以用于实现某些加密算法，例如RSA算法。
04
立方根总结知识点
一、立方根的定义在数学中，对于任意实数a，如果存在一个实数b使得b³=a，那么b就是a的立方根，记作b=³√a。
从定义可以看出，立方根是求一个数的立方根的运算，即使得一个数的立方等于给定的数。
二、立方根的性质1. 立方根的性质（1）立方根的性质1：一个非负实数有且只有一个实数的立方等于它。
（2）立方根的性质2：一个非负实数的立方根也是一个非负实数。
（3）立方根的性质3：一个非负实数的立方根与它的相反数的立方根互为相反数。
2. 立方根的运算法则（1）立方根的运算法则1：³√(ab)=³√a*³√b。
（2）立方根的运算法则2：³√(a/b)=³√a/³√b。
（3）立方根的运算法则3：³√(aⁿ)=aⁿ/3。
三、立方根的求解方法1. 立方根的求解方法1：开方法。
对于一个由非负实数构成的数a，我们可以通过开方法来求解它的立方根。
具体步骤如下：（1）将a进行因式分解，得到素因数分解式。
（2）对于得到的素因数p，将其对于立方根成对提出。
（3）对提出的p，按照p³=a进行计算得到立方根。
（4）将计算得到的立方根合并，得到a的立方根。
2. 立方根的求解方法2：牛顿迭代法。
在数值计算中，可以通过牛顿迭代法来求解一个数的近似立方根。
具体步骤如下：（1）选取一个适当的初始值x0。
（2）通过牛顿迭代公式x_(n+1) =(2x_n+a/(x_n²))⁄3来迭代计算，直到达到精确度要求。
1. 几何中的应用立方根在几何中有广泛的应用。
例如，可以用立方根来计算立方体的对角线长度，立方体的表面积等。
2. 代数中的应用在代数中，立方根也有重要的应用。
例如，可以利用立方根来求解代数方程，或者用立方根来简化复杂的代数表达式等。
3. 物理中的应用在物理中，利用立方根可以对一些物理现象进行分析和计算。
例如，可以用立方根来求解一些物理量的立方根值，来描述物理世界中的一些规律等。
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立方根
【学习目标】
1. 了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根；
2. 了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根；
3. 会用计算器求立方根.
【要点梳理】
要点一、立方根的定义
如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根.这就是说，记作3a 表示，其中a 是被开方数，3是根指数.符号“3”读作“三次根号”.
求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
要点诠释：开立方和立方互为逆运算.
要点二、立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.
要点三、立方根的性质
33a a -=-
33a a =
()33a a =
要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 要点四、立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，30.000 2160.06＝，30. 2160.6＝，3 2166＝，3216000 60＝.
【典型例题】
类型一、立方根的概念
1、下列结论正确的是（ ）
A ．64的立方根是±4
B ．12-是16-的立方根
C ．立方根等于本身的数只有0和1
D 332727-= 【答案】D ；
【解析】64的立方根是4；12
-是18-的立方根；立方根等于本身的数只有0和±1. 【总结升华】一个非零数与它的立方根符号相同；33a a -=举一反三：
【变式】下列说法正确的是（ ）
A ．一个数的立方根有两个
B ．一个非零数与它的立方根同号
C ．若一个数有立方根，则它就有平方根
D ．一个数的立方根是非负数
【答案】B ；
提示：任何数都有立方根，但是负数没有平方根.
类型二、立方根的计算
2、求下列各式的值：
（1）3
27102
-- （2）3235411+⨯ （3）3364
18-⋅ （4）23327(3)1-+--- （5）10033)1(4
12
)2(-+÷-- 【答案与解析】 解：（1）310227-- （2）3321145⨯+ （3）331864
⋅- 3642743
== 33=116425=729=9⨯+ 1=241=2⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭- （4）23327(3)1-+---
=331
=1
-++ （5）310031(2)2(1)4
--÷+- 3=21247=1=33
÷++ 【总结升华】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方. 举一反三：
【变式】（2015春•武汉校级期末）计算= ．
【答案】．
解：．
类型三、利用立方根解方程
3、（2015春•黄梅县校级月考）若8x 3﹣27=0，则x= ．
【思路点拨】先求出x 3的值，然后根据立方根的定义解答．
【答案】．
【解析】
解：8x 3﹣27=0，
x 3=，
∵（）3=
， ∴x=；
【总结升华】本题考查了利用立方根求未知数的值，熟记立方根的定义是解题的关键． 举一反三：
【变式】求出下列各式中的a ：
（1）若3a ＝0.343，则a ＝______；（2）若3a －3＝213，则a ＝______；
（3）若3a ＋125＝0，则a ＝______；（4）若()3
1a -＝8，则a ＝______． 【答案】（1）a ＝0.7；（2）a ＝6；（3）a ＝－5；（4）a ＝3．
类型四、立方根实际应用
4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为643cm ，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了
169πcm ．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？
【思路点拨】铁块排出的643cm 水的体积，是铁块的体积，也是高为
169πcm 烧杯的体积. 【答案与解析】
解：铁块排出的643
cm 的水的体积，是铁块的体积．
设铁块的棱长为y cm ，可列方程364,y =解得4y = 设烧杯内部的底面半径为x cm ，可列方程216649x ππ
⨯=,解得x =6.
答：烧杯内部的底面半径为6cm，铁块的棱长 4cm .
【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合.
举一反三：
【变式】将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为____________。
(不计损耗)
333
；
a b。