二重积分的变量变换.

1.
证法 作变数替换.设 u ax by,
使u2 v2 x2 y2. v ,
证明
设
u ax by,
v
bx
ay,
或
x au y bu
bv, av.
J (x, y) a (u,v) b
b
a a2 b2 1.
u2 v2 ax by2 bx ay2 x2 y2 1.
r 2 2Rr cos
O R 2R x
D : , 0 r 2R cos
2
2
y
2R
(2)D : x2 y 2 2Ry (如图)
R
r 2 2Rr sin
O
x
D : 0 , 0 r 2Rsin
③二重积分化为累次积分的公式（３）
例1.
计算I
2x
3
y
dxdy, 其中D是
D x2
抛物线y2 2x和直线x y 4,
x y 12所围成的
[分析] : 如何选取变换函数？
[解]
作变换：
y x
u
x y v
则
D
:
2u
2
4 v 12
3
J (x, y) 1 2x2
(u, v)
(u,v) ( x, y)
2x y
1 ( )
r 2()
A
②二重积分化为累次积分的公式（２）
区域特征如图
,
D
0 r ( ).
f (r cos ,r sin )rdrd o
D
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
r ( )
A
常见区域D'的确定
y
(1)D : x2 y 2 2Rx (如图)
于是,
f (ax by)dxdy
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f (u)dudv
(D : u2
v2
1)
D
11
du
1u 2 1u 2
D
f (u)dv 211 f (u)
1 u2du.
练习P338 第7题(1)
证明: 区域 R: x y 1 x 是由四条直线 y 1,
x y 1, x y 1, x y 1 所围成.
作变数替换 u x y, v x y,
R R (R : 1 u 1,1 v 1)
(u, v)
1
(x, y) 1
1
1 2,
(x, y) (u, v)
1. 2
于是,
R
f
(x
y)dxdy
R
f
(u)
1 dudv 2
1 2
1
1
du11
f
(u)dv
1
1
f
(u)du.
二、用极坐标计算二重积分
1.变换
v
(u, v)
v(x, y),
求J有两种办法
(i)先求出x x(u,v), y y(u,v)，再求J
(ii)先求出
(u, (x,
v) y)
,
再求J＝
1 (u,
v)
(x, y)
(3)在变换下确定u,v的范围 D ;
把变换代入D的边界曲线中，求出D的边界曲线 作图
(4)代入变换替换公式，化为关于u,v的二重积分; (5)用§13.1.2求二重积分的方法求出其值。
解 令 u y x, v y x,
则 x vu, y vu.
2
2
D D, 即 x 0 u v;
x y2
D
o
x
v
v2
y 0 u v; x y 2 v 2.
u v D u v
o
u
J
(x, y) (u, v )
1 2 1
1
2 1
1, 2
xvu, yvu
2
2
v
v2
22
故
y x
e y xdxdy
e
u v
1
dudv
D
D
2
u v D u v
o
u
1
2
2
dv
0
u v
e v du
1
v
2
2(e e1 )vdv
0
e e1.
例４. 证明: f (ax by)dxdy 211 f (u) 1 u2du,
D
其中a与b是常数,且a
2
b2
1, D
:
x2
y2
§13.1.3 二重积分的变量变换
教学内容：1.二重积分的变量替换公式 2.二重积分的一般变量变换 3.二重积分的极坐标变换
教学重点：二重积分的变量变换（主要为线性变换， （广义）极坐标变换）
教学难点：变量变换后积分限的确定
一、二重积分的换元法
定理 设 f (x, y) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上
D
D
2.适用范围 (1)D为圆域或圆域的一部分； (2)被积函数含 x2 y 2 形式。
3.D'的确定 把极坐标代入边界得出D'的边界
①二重积分化为累次积分的公式（１）
区域特征如图
,
r 1()
1( ) r 2( ).
D
f (r cos ,r sin )rdrd
D
o
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.
变换T : x r cos , y r sin y r .P(x,y)
其中r为极径，为OP与x轴正向的夹角
0 r ,0 2
O
x
r. 此时J (r, ) (x, y) cos r sin
(r, ) sin r cos
r 于是,有 f (x, y)dxdy f (r cos , r sin ) drd.
f (x, y)dxdy f [x(u,v), y(u,v)] J (u,v) dudv
D
D
要加绝对值
利用一般变量替换求二重积分的步骤:
⑴根据题目的特点(区域及被积函数)确定变换;
习惯上：设 x x(u, v), y y(u, v)
(2)求出J (u, v) (x, y)
若是设u u(x, y),
于是,
I
2x
3
ydxdy
D x2
2x
3
y
J
dudv
D x 2
3
D
2x
3
x2
y
2x2 2x
y
dudv
2 dudv
D
2
2 2
du
12 4
dv
32
2
例2. 计算由
所围成的闭区域 D 的面积 S .
解: 令 u y2 , v x2 , 则
x
y
D
:
p a
u v
q b
x2 by
y
y2 qx
连续，变换 T : x x(u,v), y y(u,v)
将 uov 平面上的闭区域 D 变为 xoy 平面上的 D，
且满足
(1) x(u,v), y(u,v) 在 D 上具有一阶连续偏导数 ；
(2) 在 D 上雅可比式 J (u,v) (x, y) 0; (u, v)
(3) 变换 T : D D 是一对一的，则有变换 公式
D y2 px
x2 ay
J (x, y) (u, v)
1 (u, v)
1 3
o
x
(x, y)
S D d x d y
J dudv 1
q
du
b
d
v
1 (q
p)(b
a)
D
3p a
3
y x
例3. 计算 e yxdxdy, 其中 D 由 x 轴、y轴和直
D
线 x y 2 所围成的闭区域．y