来源：08年数学竞赛专题二
题型：解答题,难度：较难
已知f（x）=ax2+bx+c在[0，1］上满足|f(x)｜≤1，试求|a|+｜b|+|c｜的最大值.
答案：
因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛=c
b a f
c b a f c f )1(21421)0(，所以⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=--⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=)0()0(3)1(214214)0(2)1(2f c f f f b f f f a ,
所以｜a ｜+|b |+｜c |=|2f (1）+2f （0)—4f ⎪⎭⎫ ⎝⎛21|+｜4f ⎪⎭
⎫
⎝⎛21—f (1）—
3f (0)|+|f (0)｜
≤3+｜f (1）｜+8｜f ⎪⎭
⎫
⎝⎛21|+6|f (0)｜≤17.
另一方面，对于二次函数f （x )=8x 2—8x +1,当x ∈［0，1］时，|f (x )|≤1，且|a |+｜b |+｜c ｜=17，所以｜a |+｜b ｜+｜c ｜的最大值为17。
来源：08年数学竞赛专题二
题型：解答题，难度：较难
对任意x ∈［0，1］,有⎪⎩⎪⎨⎧>+--<-+-0
30
4222k kx x k kx x 成立,求k 的取值范围.
答案：
当x ∈[0，1]时，有x 2-2kx +k —4<0成立。
记f (x ）=x 2—2kx +k —4，当且仅当⎩⎨⎧<<0
)1(0
)0(f f 时—3〈k <4。
记g （x )=x 2
-kx —k +3.当x ∈[0,1]时，g (x )>0，由g （1）〉0可得k 〈2.
ⅰ）当0≤k 〈2时,2
k
∈[0,1]，g (x )〉0当且仅当
04)3(42>--k k ，即—6〈k 〈2，亦即0≤k 〈2；
ⅱ）当k 〈0时,
]1,0[2
∉k
，g （x ）
〉0当且仅当g （1）〉0，即k 〈2。 综上所述，对任意x ∈［0,1］，不等式组成立。当且仅当-3来源：08年数学竞赛专题二 题型：解答题，难度：较难
设f (x ）=ax 2+bx +c ,a ,b ，c ∈R ，a >100,试问满足｜f （x ）|≤50的整数x 最多有几个？
答案：
f （x ）=a (x -x 0)2+f (x 0).
ⅰ)若|f （x 0）|≤50，因为满足|n -x 0|〈1的整数至多有2个，所以满足｜f （x ）｜≤50的整数x 至多有2个。
ⅱ）若|f （x 0)|>50，若f (x 0）〉50，则｜f （x ）|≤50无解;若f (x 0)〈-50，设|f （n ）｜≤50，｜f （n +k )|≤50,若k ≥1,则|f （n +k )—f (n ）｜=|ak （2n +k -2x 0)|≤100。
则k ｜2n +k -2x 0｜<1,若n ≥x 0，则k 无解，所以满足n ≥x 0且|f (x )｜≤50的整数x 至多有1个。同理可得若n 〈n +k ≤x 0，则若k ≥1,｜k （2n +k —2k 0）|<1.①
因为|k (2n +k -2k 0)|=｜k (2n +2k -2k 0—k )｜〉|k ｜≥1， 所以满足①的k 也不存在。
所以满足｜f (x )｜≤50的整数最多有2个。
例如，f （x ）=1012
21⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-x ，当x =0,1时有|f （x ）|<50.
来源:08年数学竞赛专题二 题型：解答题，难度：较难
解关于x 的不等式：mx 2
-3(m+1）x+9〉0(m ∈R)
答案：
(1）m=0时-3x+9〉0∴x 〈3 (2)m ≠3时0)3)(3(>--x m x m 当m 〈0时33
<当m>0时 100
x m x 或20m=1时，x ≠330m 〉1时，x 〉3或m
x 3< 来源:
题型：解答题,难度：中档
已知函数)(x f 是定义在[]2,2-上的奇函数，当)0,2[-∈x 时，3
2
1)(x tx x f -=（t 为常数）。
(1）求函数)(x f 的解析式；
(2）当]6,2[∈t 时，求)(x f 在[]0,2-上的最小值，及取得最小值时的x ，并猜想)(x f 在[]2,0上的单调递增区间（不必证明）;
