专题 高考立体几何题型分析

专题 高考立体几何题型分析

考点一：空间几何体的结构、三视图、直观图

【命题规律】柱、锥、台、球体及其简单组合体的结构特征在旧教材中出现过，而三视图为新增内容，一般情况下，新增内容会重点考查，从2007年、2008年广东、山东、海南的高考题来看，三视图是出题的热点，题型多以选择题、填空题为主，也有出现在解答题里，如2007年广东高考就出现在解答题里，属中等偏易题。

例１、（2008广东）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A

B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）

解：在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A

点评：本题主要考查三视图中的左视图，要有一定的空间想象能力。 例2、（2008江苏模拟）由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如图所示，则该几何体中正方体木块的个数是 ．

解：以俯视图为主，因为主视图左边有两层，表示俯视图中左边最多有两个木块，再看左视图，可得木块数如右图所示，因此这个几何体的正方体木块数的个数为5个。

点评：从三视图到确定几何体，应根据主视图和俯视图情况分析，再结合左视图的情况定出几何体，最后便可得出这个立体体组合的小正方体个数。 考点二：空间几何体的表面积和体积

【命题规律】柱、锥、台、球的表面积和体积以公式为主，按照新课标的要求，体积公式不要求记忆，只要掌握表面积的计算方法和体积的计算方法即可。因此，题目从难度上讲属于中档偏易题。

7、（2008中山一中等四校）如图是一个几何体的三视图，其中正视图与左视图都是全等的腰为3的等腰三角形，俯视图是边长为2的正方形，（1）画出该几何体；（2）求此几何体的表面积与体积．

E F

D

I

A H G

B

C E

F D A

B C

侧视 图1

图2 B

E

A ．

B

E

B ． B

E

C ．

B

E

D ．

主视图 左视图

俯视图

P

O

O '

图2－2

正视图 左视图民 俯视图

变式题2－1．如图2－1．已知几何体的三视图（单位：cm ）． （Ⅰ）画出它的直观图（不要求写画法）； （Ⅱ）求这个几何体的表面积和体积．

解（Ⅰ）这个几何体的直观图如图2－2所示．

（Ⅱ）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱（底面半径为1cm ，高为2cm ），它的上部是一个圆锥（底面半径为1cm ，母线长为2cm ，高为3cm ）．

所以所求表面积2

1212127S ππππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=2

(cm )，

所求体积2

2

131213233

V ππππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=+

3(cm )． 例3、（2007广东）已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视

图(或称主

视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视 图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形． (1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S

解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD 。

2

P P 正视图

侧视图

O O

O '

O '

22

22

2

22

俯视图 图2－1

(1) ()1

86464

3V =⨯⨯⨯=

(2) 该四棱锥有两个侧面V AD. VBC 是全等的等腰三角形,且BC 边上的高为

1h ==, 另两个侧面V AB. VCD 也是全等的等腰三角形,

AB 边上的高为

25

h ==

因此

11

2(685)4022S =⨯⨯⨯⨯=+点评：在课改地区的高考题中，求几何体的表面积与体积的问题经常与三视图的知识结合在

一起，综合考查。

7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这

个球的表面积是（ ）Ａ．16π Ｂ．20π

Ｃ．24π Ｄ．32π

例4、（2008山东）右图是一个几何体的三视图，根据图

中数据，可得该几何体的表面积是（ ） A ．9π B ．10π

C ．11π

D ．12π

解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的简单几何体， 其表面及为：

22411221312.S ππππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故选D 。

点评：本小题主要考查三视图与几何体的表面积。既要能识别简单几何体的结构特征，又要掌握基本几何体的表面积的计算方法。 36．棱长为1cm 的小正方体组成如图所示的 几何体，那么这个几何体的表面积是 2

cm

例5、（湖北卷3）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（ ）

A. 38π

B.

328π C. π28 D. 332π 解：截面面积为π⇒截面圆半径为1，又与球心距离为1⇒

，

所以根据球的体积公式知

343R V π==

球，故B 为正确答案． 俯视图

正(主)视图 侧(左)视图

点评：本题考查球的一些相关概念，球的体积公式的运用。

考点四：直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

【内容解读】掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质定理，能用判定定理证明线面平行、面面平行，会用性质定理解决线面平行、面面平行的问题。

通过线面平行、面面平行的证明，培养学生空间观念及及观察、操作、实验、探索、合情推理的能力。

【命题规律】主要考查线线、面面平行的判定与性质，多以选择题和解答题形式出现，解答题中多以证明线面平行、面面平行为主，属中档题。 9．（2008湖南，5）

已知直线m,n 和平面βα,满足βα⊥⊥⊥,,a m n m ,则( )

.A n β⊥ ,//.βn B 或β⊂n α⊥n C . ,//.αn D 或α⊂n

13．设,m n 是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则n m ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ

其中正确命题的序号是 ( )A ．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．①和④ 20．设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题 ① 若αα//,,b a b a 则⊥⊥ ②若ββαα⊥⊥a a 则,,//

③αβαβ//,,a a 则⊥⊥ ④βαβα⊥⊥⊥⊥则若,,,b a b a

其中正确的命题的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个

3、如图，空间有两个正方形ABCD 和ADEF ，M 、N 分别为BD 、AE 的中点．．，则以下结论中正确的是 (填写所有正确结论对应的序号) ① MN ⊥AD ； ② MN 与BF 是一对异面直线； ③ MN ∥平面ABF ； ④ MN ⊥AB

2、关于直线与平面，有下列四个命题： 1）若m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥n ； 2）若m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥； 3）若m α⊥，n ∥β且α∥β，则m n ⊥； 4）若m ∥α，n β⊥且αβ⊥，则m ∥n ；

其中不正确的命题为 【分析】 传统空间位置关系的判断依然是高考小题考查的重点，解决此类问题，可多参考教室空间，或手中的笔与桌子这些具体模型。

A 1 C

B

A

B 1

C 1

D 1 D

O