直线圆锥曲线有关向量的问题

直线圆锥曲线有关向量的问题

高考考什么 知识要点：

1．直线与圆锥曲线的公共点的情况

00),(02

=++⇒⎩

⎨

⎧==++C Bx Ax y x f c by ax 曲线：直线：)0'''(2=++C y B y A 或 （1）没有公共点 → 方程组无解 （2）一个公共点 → 0

,0)0

)=∆≠→=→A ii A i 相切相交

（3）两个公共点 → 0,0>∆≠A

2．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，要能熟练地利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：

1212

AB x y =-=-

3．以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题 4.几何与向量综合时可能出现的向量容

（3）给出,等于已知是的中点;

（5） 给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线.

（6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即

（7） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角。

（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;

（10） 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;

（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；

（12） 在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；

（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；

（16） 在中，给出,等于已知是中边的中线;

高考怎么考 主要题型：

1．三点共线问题；2．公共点个数问题；3．弦长问题；

4．中点问题；5．定比分点问题；6．对称问题；7．平行与垂直问题；8．角的问题。 近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为

（1）考查学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。 （2）考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。

特别提醒：∆法和韦达定理是解决直线和圆锥曲线位置关系的重要工具。

例1．过点P (x ,y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A,B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O

为坐标原点，若2BP PA =u u u r u u u r 且1OQ AB •=u u u

r u u u r ，则点P 的轨迹方程是（ D ）

A ．

2

2331(0,0)2x y x y +=>> B ．2

2331(0,0)

2

x y x y -=>> C ．22

3

31(0,0)

2

x y x y -=>> D ．22

3

31(0,0)

2

x y x y +=>>

例2． 已知椭圆C 1：x 24

＋y 2

＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．

(1)求椭圆C 2的方程；

(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →

，求直线AB 的方程． 解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 2

4

＝1(a >2)，

其离心率为3

2

，故

a 2－4a ＝32，则a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 2

4

＝1.

(2)解法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，

由OB →＝2OA →

及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .

将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝4

1＋4k 2， 将y ＝kx 代入y 216＋x 2

4＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，

所以x 2B ＝164＋k 2

，又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2

A ， 即

164＋k 2＝16

1＋4k

2

， 解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 解法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，

由OB →＝2OA →

及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .

将y ＝kx 代入x 24＋y 2

＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，

所以x 2A ＝

41＋4k 2，由OB →＝2OA →

， 得x 2B ＝

161＋4k 2，y 2B ＝16k 2

1＋4k 2

， 将x 2B ，y 2

B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k

2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2， 解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .

例4已知A,B 为抛物线x 2

=2py (p >0)上异于原点的两点，0OA OB ⋅=u u u r u u u r

，点C 坐标为（0，2p ）

（1）求证：A,B,C 三点共线；

（2）若AM ＝BM λ（R ∈λ）且0OM AB ⋅=u u u u r u u u r

试求点M 的轨迹方程。 （1）证明：设22

1212(,),(,)22x x A x B x p p

， 由0OA OB ⋅=u u u r u u u r 得22

21212120,422x x x x x x p p p

+

=∴=-，