天津市静海区第一中学高中数学选修2-1课件：21曲线与方程(二)(共14张PPT)
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人教版高中数学选修2-1曲线与方程(共17张PPT)教育课件
即以这个解为坐标的点到点(a,b)的距离为r，它一定在以(a,b)
为圆心、r为半径的圆上.
思考？你能得到什么结论？ (1)曲线C上点的坐标都是方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的解.
（2）以方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的解为坐标的点都在曲线C上.
概念形成
在直角坐标系中，如果如果某曲线C（看作点的集合或适合某
•
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解
人教A版高中数学选修2-1课件曲线和方程(2)
直线 BC 的斜率
kBC＝
x
y
5
（x≠5）；
由题意，得 kACkBC＝m，
所以， y × y ＝m（x≠±5）． x5 x5
写成
x2 － y2 ＝1（x≠±5）．
25 25m
一、转移代入法
这个方法又叫相关点法或坐标代换法．即利用动点 P’(x’,y’)是定曲线F(x,y)=0上的动点，另一动点P(x，y) 依赖于P’(x’,y’)，那么可寻求关系式 x’=f(x,y),y’=g(x,y)后代入方程 F例(x1’: ,y’)=0中，得到动点P的轨迹方程 已知点A(3，0)，点P在圆x2+y2=1的上半圆周上(即y>0)， ∠AOP的Q平为分AP线中交点PA于Q，求点Q的轨迹方程．
求证：不论m取任何实数，方程 (3m＋4)x＋(5－2m)y＋7m－6＝0 所表示的曲线必经过一个定点，并求出 这一点的坐标。
8 是关于y轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点。
y2 x2
y x
已知ABC的两个顶点A, B的坐标分别是(5,0),(5,0),
且AC, BC所在直线的斜率之积等于m(m 0),试探求
顶点C的轨迹方。程
解：设 C（x，y）．由已知，得 直线 AC 的斜率
kAC＝
x
y
5
（x≠－5）；
三、参数法
根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别表示动点的 坐标x和y，间接地把坐标x和y联系起来，得到用参数表示 的方程，如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程．
例3：在边长为a的正方形ABCD中，AB、BC边上各有一 个动点Q、R，且|BQ|=|CR|，试求直线AR与DQ的 交点P的轨迹方程．
1. 建系：建立适当的坐标系，用 M(x,y) 表示曲线上
天津市静海区第一中学高中数学选修2-1课件：232双曲线的简单几何性质(二)(共20张PPT)
分析:这里所求的双曲线方程易知是标准方程.
这里有两种方法来思考:
法一:直接设标准方程,运用待定系数法;
法二:巧设方程,运用待定系数法.
法二可能会比法一简洁,因为设方程思考了.
(1)的答案
(2)的答案
根据下列条件，求双曲线方程:
⑴与双曲线 x2 y2 1 有共同渐近线，且过点 (3, 2 3 ) ； 9 16
12 8
∴双曲线方程为 x2 y2 1 12 8
或设 x2 m2
y2 20 m2
1,
求得m2 12(30舍去)
法二：设双曲线方程为 x2 y2 1 16 k 0且4 k 0
16 k 4 k
∴ (3 2)2
16 k
22 4k
1
,
解之得k=4,(-14舍去)
∴ 双曲线方程为 x2 y2 1
a2
y2 b2
1(b2
a2 ).
（2）与双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)有共同焦点的双曲线方
程表示为
x2
a2
y2 b2
1(b2
a2)
23、与 x2 y2 1共焦点的椭圆系方程是 x2 y2 1,
a2 b2
m2 m2 c2
双曲线系方程是 x2 m2
c2
y2 m2
12 8
1、“共渐近线”的双曲线
与 x2 a2
y2 b2
1共渐近线的双曲线系方程为
x2 a2
y2 b2
(
0，为参数)，
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；
λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
2、“共焦点”的双曲线
x2 y2
这里有两种方法来思考:
法一:直接设标准方程,运用待定系数法;
法二:巧设方程,运用待定系数法.
法二可能会比法一简洁,因为设方程思考了.
(1)的答案
(2)的答案
根据下列条件，求双曲线方程:
⑴与双曲线 x2 y2 1 有共同渐近线，且过点 (3, 2 3 ) ； 9 16
12 8
∴双曲线方程为 x2 y2 1 12 8
或设 x2 m2
y2 20 m2
1,
求得m2 12(30舍去)
法二：设双曲线方程为 x2 y2 1 16 k 0且4 k 0
16 k 4 k
∴ (3 2)2
16 k
22 4k
1
,
解之得k=4,(-14舍去)
∴ 双曲线方程为 x2 y2 1
a2
y2 b2
1(b2
a2 ).
（2）与双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)有共同焦点的双曲线方
程表示为
x2
a2
y2 b2
1(b2
a2)
23、与 x2 y2 1共焦点的椭圆系方程是 x2 y2 1,
a2 b2
m2 m2 c2
双曲线系方程是 x2 m2
c2
y2 m2
12 8
1、“共渐近线”的双曲线
与 x2 a2
y2 b2
1共渐近线的双曲线系方程为
x2 a2
y2 b2
(
0，为参数)，
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；
λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
2、“共焦点”的双曲线
x2 y2
天津市静海区第一中学高中数学选修2-1课件：2321双曲线的简单几何性质(共18张PPT)
a xa b yb
y
x
. .B2
F1 A1O A2 F2 x
F1(-c,0) B1 F2(c,0)
x2 y2 1 (a 0,b 0 )
a2 b2 x a 或 x a，y R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率 渐近线
A1（- a，0），A2（a，0） B1（0，-b），B2（0，b）
sin B sin C 3 sin A ,求点 A 的轨迹方程. 5
解: 在△ABC中,|BC|=10，
sin B sin C 3 sin A ,
5
由 正 弦 定 理 得 AC AB 3 BC 3 10 6 10
5
5
故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的左支
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ又因c=5，a=3，则b=4 则顶点A的轨迹方程为 x2 y2 1 ( x 3)
高二数学 选修2-1
第二章 曲线与方程
上一节,认识了双曲线的标准方程:
x2
形式一： a 2
y2 b2
1(a
0,b
0)
双曲线的图象特 点与几何性质到现在
仍是一个谜?
（焦点在x轴上，F（1 -c，0）、F2（c，0））
形式二：y2
a2
x2 b2
1(a
0,b
0)
（焦点在y轴上，F1（0，-c）、F（2 0，c现）在）就用方程
（4）渐近线:
y
a b
x
（5）离心率: e c a
-b o b x -a
例题讲解
例1 :求双曲线 9y2 16x2 144的实半轴长,虚半轴长,
焦点坐标,离心率.渐近线方程。 解：把方程化为标准方程 y2 x2 1
人教版A版高中数学选修2-1双曲线及其标准方程_优秀课件2
y
M
F1
o
F2
x
y
y=4/x
o
x
复习引入
椭圆的定义
差
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数 2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.
M
F1
F2
平面上动点M到两定点距离的差为常数的轨迹是什么 ?
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
y
y
M
M
F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关 系
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 ห้องสมุดไป่ตู้ a2 b2
如果我是双曲线 你就是那渐近线 如果我是反比例函数 你就是那坐标轴 虽然我们有缘 能够生在同一个平面 然而我们又无缘 漫漫长路无交点 为何看不见 等式成立要条件 难到正如书上说的 无限接近不能达到 为何看不见 明月也有阴晴圆缺 此事古难全 但愿千里共婵娟
双曲线标准方程推导
求曲线方程的步骤：
y
1.建系
M
以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中 点为原点建立直角坐标系
2.设点
F1 O F2 x
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
3.列式 ||MF1| - |MF2||=2a
4.化简
.
解： a 6, c 10 b2 c2 a2 64
所以双曲线的标准方程为：
当焦点在x轴上时
x2 y2 1 36 64
当焦点在y轴上时
M
F1
o
F2
x
y
y=4/x
o
x
复习引入
椭圆的定义
差
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数 2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.
M
F1
F2
平面上动点M到两定点距离的差为常数的轨迹是什么 ?
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
y
y
M
M
F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关 系
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 ห้องสมุดไป่ตู้ a2 b2
如果我是双曲线 你就是那渐近线 如果我是反比例函数 你就是那坐标轴 虽然我们有缘 能够生在同一个平面 然而我们又无缘 漫漫长路无交点 为何看不见 等式成立要条件 难到正如书上说的 无限接近不能达到 为何看不见 明月也有阴晴圆缺 此事古难全 但愿千里共婵娟
双曲线标准方程推导
求曲线方程的步骤：
y
1.建系
M
以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中 点为原点建立直角坐标系
2.设点
F1 O F2 x
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
3.列式 ||MF1| - |MF2||=2a
4.化简
.
解： a 6, c 10 b2 c2 a2 64
所以双曲线的标准方程为：
当焦点在x轴上时
x2 y2 1 36 64
当焦点在y轴上时
天津市静海区第一中学高中数学选修2-1课件：222椭圆及其标准方程(二)(共22张PPT)
分析条件发现:
AP BP 4 >2
∴点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点 的椭圆.
x2 y2 1 43
这种求轨迹方程的方法称为定义法.
动画演示
例3.已知定圆Q: x2 y2 6x 55 0 ，动圆M和已
知圆内切且过点P(-3，0)，求圆心M的轨迹及其方
程
y
解: 已知圆可化为 (x 3)2 y2 64
并且经过点(5 , 3),求它的标准方程。 22
解：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0).
由已知c 2,a2 b2 4 ①待定系数
（5）2 ( 3)2
法
又由已知得 2 2 1 ②
a2
b2
联立①②，解方程组，得a2 10,b2 6
因此，所求椭圆的标准方程为 x2 y2 1 10 6
m m5 将 x=2, y=3 代入上式得： 4 9 1
m m5 解得：m=10 或 m=-2（舍去） ∴所求椭圆的方程为： x2 y2 1
10 15
注：这样设不失为一种方法.
我们来继续学习怎样求轨迹方程的问题.
求轨迹方程的一般步骤: 1.建 建立适当的坐标系; 2.设 设曲线上任一点的坐标，
r＝ 8 M
P
OQ
圆心Q(3，0)，所以P在定圆内 x 设动圆圆心为M(x,y)
则 MP 为半径
又圆M和圆Q内切，所以 MQ 8 MP
即|MP|+|MQ|=8>6，故M的轨迹是以P，Q为焦点
故的动椭圆圆圆，心且MPQ的中轨点迹为方原程点是.：1x62
y2 7
1
例直线4. A设M点，AB，MB相的交坐于标点分M别，为且（它-5们，的0斜）率，之（积5，是0）4，，
AP BP 4 >2
∴点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点 的椭圆.
x2 y2 1 43
这种求轨迹方程的方法称为定义法.
动画演示
例3.已知定圆Q: x2 y2 6x 55 0 ，动圆M和已
知圆内切且过点P(-3，0)，求圆心M的轨迹及其方
程
y
解: 已知圆可化为 (x 3)2 y2 64
并且经过点(5 , 3),求它的标准方程。 22
解：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0).
由已知c 2,a2 b2 4 ①待定系数
（5）2 ( 3)2
法
又由已知得 2 2 1 ②
a2
b2
联立①②，解方程组，得a2 10,b2 6
因此，所求椭圆的标准方程为 x2 y2 1 10 6
m m5 将 x=2, y=3 代入上式得： 4 9 1
m m5 解得：m=10 或 m=-2（舍去） ∴所求椭圆的方程为： x2 y2 1
10 15
注：这样设不失为一种方法.
我们来继续学习怎样求轨迹方程的问题.
求轨迹方程的一般步骤: 1.建 建立适当的坐标系; 2.设 设曲线上任一点的坐标，
r＝ 8 M
P
OQ
圆心Q(3，0)，所以P在定圆内 x 设动圆圆心为M(x,y)
则 MP 为半径
又圆M和圆Q内切，所以 MQ 8 MP
即|MP|+|MQ|=8>6，故M的轨迹是以P，Q为焦点
故的动椭圆圆圆，心且MPQ的中轨点迹为方原程点是.：1x62
y2 7
1
例直线4. A设M点，AB，MB相的交坐于标点分M别，为且（它-5们，的0斜）率，之（积5，是0）4，，
数学第二章2.1曲线与方程课件(人教A版选修2-1)
【名师点评】 利用直接法求轨迹方程，即 直接根据已知等量关系，列出x、y之间的关 系式，构成F(x，y)＝0，从而得出所求动点的 轨迹方程．要注意轨迹上的点不能含有杂点, 也不能少点．
互动探究 2.若本例中的等式关系改为Q→P·F→P＝O→P·Q→F， 其他条件不变，动点 P 的轨迹 C 的方程．
名师微博 用x、y表示x0、y0是代入法求方程的关键. 【名师点评】 代入法的定义及求解步骤 (1)定义：若动点M依赖于已知曲线上的动点P, 求点M的轨迹方程的方法通常叫代入法，又 叫相关点法(动点P叫相关动点)，也叫坐标转 移法．
(2)求解步骤： ①设动点 M(x，y)，相关动点 P(x0，y0)； ②利用条件求出两动点坐标之间的关系 yx00＝＝gf（（xx，，yy））； ③代入相关动点的轨迹方程； ④化简、整理，得所求轨迹方程．
直接法求曲线方程
例2 如图，已知点 F(1，0)，直线 l：x＝－ 1，P 为平面上的一动点，过点 P 作 l 的垂线， 垂足为 Q，且Q→P·Q→F＝F→P·F→Q. 求动点 P 的轨迹 C 的方程．
【解】 设点 P(x，y)，则 Q(－1，y)． 由Q→P·Q→F＝F→P·F→Q， 得(x＋1，0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)， ∴2(x＋1)＝－2(x－1)＋y2， 化简得 y2＝4x. 即轨迹 C 的方程为 y2＝4x.
【解】 设 P(x，y)，M(x0，y0)，(1 分) ∵P 为 MB 的中点， ∴x＝x0＋2 3，(4 分)
y＝y20 即yx00＝＝22yx－3.(5 分) 又∵M 在曲线 x2＋y2＝1 上， ∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，(7 分) ∴P 点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.(8 分)
天津市静海区第一中学高中数学选修2-1课件：2223椭圆的简单几何性质(3)(共28张PPT)
的坐标可由
x2 x2
y2 y2
5
9 4 1
解5
椭圆的简单几何性质(三)
前面我们用椭圆方程发现了一些椭圆的几 何性质,可以体会到坐标法研究几何图形的重要 作用,其实通过坐标法许多几何图形问题都可以 转化为方程知识来处理.
当然具体考虑问题,我们的思维要灵活,用 形直觉,以数解形,数形结合思维这能大大提高分 析问题、解决问题的能力.
有两个相异实根，即⊿＞０，则相交； 有两个相同实根，即⊿＝０，则相切； 无实根， 即⊿＜０，则相离．
回顾2： 如何求直线被圆截得的弦长？
（1）几何方法
利用弦心距 d 、半径r 及弦长一半 构造的直角三角形（垂径定理）
r
d
B
AB 2 r2 d 2 .
A
（2） 代数方法
设直线y kx b与圆(x a)2 ( y b)2 r2相交于A, B两点，
叫做直线被椭圆所截得的弦.
AB = （1 k2）x1 x2
其中 x1 x2 （x1 x2）2 4x1 x2
AB
=
（1
1 k2
）
y1
y2
类型二 直线与椭圆相交形成的弦长问题
例2. 已知椭圆 x2 y2 1 ，过左焦点作倾斜角为60°的直
2
线 l 交椭圆于A，B两点，求弦AB的长。
解：由椭圆定义知F1 (1,0). 直线l的方程为y tan60 ( x 1) 3( x 1).
(16k)2 48(1 4k 2 ) 64k 2 48
相切时， 0,即k 3 ; 2
相离时， 0,即k 3 或k 3 ;
2
2
相交时， 0,即 3 k 3 .
2
2
类比思考
天津市静海区第一中学高中数学选修2-1课件：第二章曲线与方程复习小结(共16张PPT)
分析:设 A( x1, y1 ) 、B( x2 , y2 ) (大胆尝试) 由 OA OB 可知 x1 x2 y1 y2 0
由 OD AB 交 AB 于点 D, 点 D 的坐标为 (2,1) , 可知直线 AB 过点 D 且斜率为-2
(充分考虑条件)
(继续尝试)从最容易尝试的地方下手
11
思考 1 课本 P81B 组 3 解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ∵ OA OB ,∴ x1 x2 y1 y2 0
4
思考 2: 设椭圆方程为 x2 y2 1 ，过点 M(0,1)的 4
直线 l 交椭圆于两点 A、B，O 是坐标原点，点 P
满足 OP 1 (OA OB) ，当 l 绕点 M 旋转时，求动 2
点 P 的轨迹方程.
这是一个综合问题. 既是求轨迹方程的问题,也是有关直线与圆 锥曲线的位置关系问题.
y1
y2 )
0.
当 x1
x2 时，有 x1
x2
1 4 ( y1
y2 )
y1 x1
y2 x2
0③ .
∵x
x1 x2 , 2
y
y1 y2 , 2
又∵
y 1 x
y 1 y2 x1 x2
将④代入③并整理得 4x2 y2 y 0⑤.
当 x1 x2 时，点 A、B 的坐标为(0,2)、(0,-2)，
5
法一
法二
法一:点差法
解:设点 P 的坐标为 ( x, y) ，因 A( x1, y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 在椭圆上，
∴ x12
y12 4
1①,
x22
y22 4
1②. ①-②得 x12
x22
由 OD AB 交 AB 于点 D, 点 D 的坐标为 (2,1) , 可知直线 AB 过点 D 且斜率为-2
(充分考虑条件)
(继续尝试)从最容易尝试的地方下手
11
思考 1 课本 P81B 组 3 解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ∵ OA OB ,∴ x1 x2 y1 y2 0
4
思考 2: 设椭圆方程为 x2 y2 1 ，过点 M(0,1)的 4
直线 l 交椭圆于两点 A、B，O 是坐标原点，点 P
满足 OP 1 (OA OB) ，当 l 绕点 M 旋转时，求动 2
点 P 的轨迹方程.
这是一个综合问题. 既是求轨迹方程的问题,也是有关直线与圆 锥曲线的位置关系问题.
y1
y2 )
0.
当 x1
x2 时，有 x1
x2
1 4 ( y1
y2 )
y1 x1
y2 x2
0③ .
∵x
x1 x2 , 2
y
y1 y2 , 2
又∵
y 1 x
y 1 y2 x1 x2
将④代入③并整理得 4x2 y2 y 0⑤.
当 x1 x2 时，点 A、B 的坐标为(0,2)、(0,-2)，
5
法一
法二
法一:点差法
解:设点 P 的坐标为 ( x, y) ，因 A( x1, y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 在椭圆上，
∴ x12
y12 4
1①,
x22
y22 4
1②. ①-②得 x12
x22
【精品】高中数学人教A版选修2-1课件：2.1.1曲线与方程课件(22张)
2 2 2 2 2 （a，b）的距离为r， (x a) (y b) r (x a) (y b) r 000 0
【例1】证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0) 的点的轨迹方程是xy=±k . 证明：（1）设 M ( x 0 ,是轨迹上的任意一点 . y0 ) 因为点M与x轴的距离为 y0 ，与y轴的距离为 x， 0 所以 x 0 y0 k , 即：x0 y0 k ,
F.
2
. M (x,y)
lx
x 2 ( y 2 )2 y 2,
①
x ( y 2) ( y 2) ,
2 2 2
o
B
化简得
1 2 y x . 8
因为曲线在x轴的上方，所以y>0.虽然原点O的坐
标（0,0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所
以曲线的方程应是
1 2 y x（ x 0） . 8
A．一个点
C．两条直线
B．一条直线
D．一个点和一条直线
解析：选C.由x2＋xy＝x，得x(x＋y－1)＝0， 即x＝0或x＋y－1＝0. 由此知方程x2＋xy＝x表示两条直线． 故选C.
3.下面四组方程表示同一条曲线的一组是( D ) A ．y 2＝x 与 y ＝ x
建系 设点 列方程 化简 证明（省略）
若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0
的解”是正确的，则下列命题为真命题的是( D ) A．不是曲线C上的点的坐标，一定不满足方程f(x，y)＝0 B．坐标满足方程f(x，y)＝0的点均在曲线C上 C．曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线
D．不是方程f(x，y)＝0的解，一定不是曲线C上的点
[思路探索] 从定义入手，考查定义中的两个条件．
【例1】证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0) 的点的轨迹方程是xy=±k . 证明：（1）设 M ( x 0 ,是轨迹上的任意一点 . y0 ) 因为点M与x轴的距离为 y0 ，与y轴的距离为 x， 0 所以 x 0 y0 k , 即：x0 y0 k ,
F.
2
. M (x,y)
lx
x 2 ( y 2 )2 y 2,
①
x ( y 2) ( y 2) ,
2 2 2
o
B
化简得
1 2 y x . 8
因为曲线在x轴的上方，所以y>0.虽然原点O的坐
标（0,0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所
以曲线的方程应是
1 2 y x（ x 0） . 8
A．一个点
C．两条直线
B．一条直线
D．一个点和一条直线
解析：选C.由x2＋xy＝x，得x(x＋y－1)＝0， 即x＝0或x＋y－1＝0. 由此知方程x2＋xy＝x表示两条直线． 故选C.
3.下面四组方程表示同一条曲线的一组是( D ) A ．y 2＝x 与 y ＝ x
建系 设点 列方程 化简 证明（省略）
若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0
的解”是正确的，则下列命题为真命题的是( D ) A．不是曲线C上的点的坐标，一定不满足方程f(x，y)＝0 B．坐标满足方程f(x，y)＝0的点均在曲线C上 C．曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线
D．不是方程f(x，y)＝0的解，一定不是曲线C上的点
[思路探索] 从定义入手，考查定义中的两个条件．
【公开课课件】人教版选修2-1第二章2.1.1曲线与方程课件(共14张PPT)
【例2】下列方程分别表示什么曲线：
(1)(x＋y－1) x 1 ＝0；
(2)4x2－y2＋6x－3y＝0. [解] (1)由方程(x＋y－1) x 1 ＝0，可得源自x 1 0 x y 1 0
或x－1＝0，
即x＋y－1＝0(x＞1)或x＝1.
故方程表示一条射线x＋y－1＝0(x ＞1)和一条直线x＝1.
(2)方程可化为(2x－y)(2x＋y＋3)＝0，
即2x－y＝0或2x＋y＋3＝0.
故原方程表示的是两条直线2x－y＝0和2x＋y＋3＝0.
【温馨提示】 判断方程表示什么曲线，常对方程进行等价变形，
特别要注意，方程变形前后应保持等价．
【 活学活用】 方程 x y 1 0 表示什么曲线：
再 见！
【温馨提示】
二者缺一不可．这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，
曲线是不是所给方程的曲线的准则．
【 活学活用】 命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是真 命题，下列命题中正确的是( ) A．方程f(x，y)＝0的曲线是C B．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C C．f(x，y)＝0是曲线C的方程 D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上 “曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解” 但“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C上， 故A，C，D都不正确，B正确.
16:45
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程 的曲线．
【例1】分析问题中曲线上的点与相应方程的关系：
与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程 xy＝5.
[解] 与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定 满足方程xy＝5； 但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的 距离之积一定等于5 因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程 不是xy＝5.
高二数学选修2-1 曲线与方程 ppt
例2：解答下列问题，并说明理由：
（1）判断点A（-4，3），B (3 2, 4) ，C ( 5, 2 5 ) 是
否在方程 x2y225(x0)所表示的曲线上。
（2）方程
ax2 by2
25所表示的曲线经过点A (
0
,
5 3
)
,
B（1，1），则a=
,b=
.
下列各题中，图3表示的曲线方程是所列出的方程吗？ 如果不是，不符合定义中的关系①还是关系②？
2.1曲线和方程
—— 2.1.1曲线和方程
• 主要内容：
• 曲线和方程的概念、意义及曲线和方程的两个基 本问题
• 重点和难点：
• 曲线和方程的概念
？
曲线和方程之间有 什么对应关系呢？
分析特例归纳定义
（1）、求第一、三象限里两轴间夹角平分线的 坐标满足的关系
l 第一、三象限角平分线
点的横坐标与纵坐标相等 x=y（或x-y=0）
例3、如果曲线C上的点坐标(x,y)都是方程F(x,y)=0的解，
那么（ D）
A、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上。 B、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点，有些不在曲线上。 C、不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x,y)=0的解。 D、坐标不满足F(x,y)=0的点不在曲线C上。
y
A
0
2x
分析特例归纳定义
定义 曲线的方程，方程的曲线
• 给定曲线C与二元方程f（x，y）=0， 若满足
• （1）曲线上的点坐标都是这个方程 的解
• （2）以这个方程的解为坐标的点都
是曲线上的点பைடு நூலகம்
y
• 那么这个方程f（x，y）=0叫做这条
天津市静海区第一中学高中数学选修2-1课件：315空间向量运算坐标表示(共22张PPT)
（1）a // b(b 0) a b(b 0) a1 b1，a2 b2，a3 b3，( R)
a1 a2 a3 ； b1 b2 b3
（2）a b a b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0.
12
讲授新课
2.向量的模：
设a (a1，a2，a3 )，b (b1，b2，b3 )，求这 两个向量的模. | a | a12 a22 a32，| b | b12 b22 b32 .
x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的
竖坐标.
显然, 向量 OA的坐标，就是点A在此空间直角坐
标系中的坐标(x,y,z).
z
即 OA ( x, y, z) A( x, y, z)
也就是说,以O为起点的有向 线段 (向量)的坐标可以和点的坐 标建立起一一对应的关系,从而互 相转化.
k i Oj
4
BE1 与 DF1 所成的角的余弦值.
解：设正方体的棱长为1，如图建
D1
F1
C1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
A1
D
O
A
E1 B1
C B
B(1 , 1 , 0)
,
E1
1
,
3 4
,
1
,
y
BE1
D(0 , 0 , 0)
,
F1
0
,
1 4
，1
.
1
,
3 4
,
1
(1
,
1
,
0)
0
,
1 4
,
1
高二数学 选修2-1
第二章 曲线与方程
1
空间向量运算的坐标表示
在空间恰当地选取基底,那么空间任一向量都可用基 向量来表示,这样处理不仅可以使解题的目标变得明确,思 考的方向性强,而且使问题的解决变得简洁(因为有关的运 算可完全转化为基向量的运算来处理).
a1 a2 a3 ； b1 b2 b3
（2）a b a b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0.
12
讲授新课
2.向量的模：
设a (a1，a2，a3 )，b (b1，b2，b3 )，求这 两个向量的模. | a | a12 a22 a32，| b | b12 b22 b32 .
x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的
竖坐标.
显然, 向量 OA的坐标，就是点A在此空间直角坐
标系中的坐标(x,y,z).
z
即 OA ( x, y, z) A( x, y, z)
也就是说,以O为起点的有向 线段 (向量)的坐标可以和点的坐 标建立起一一对应的关系,从而互 相转化.
k i Oj
4
BE1 与 DF1 所成的角的余弦值.
解：设正方体的棱长为1，如图建
D1
F1
C1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
A1
D
O
A
E1 B1
C B
B(1 , 1 , 0)
,
E1
1
,
3 4
,
1
,
y
BE1
D(0 , 0 , 0)
,
F1
0
,
1 4
，1
.
1
,
3 4
,
1
(1
,
1
,
0)
0
,
1 4
,
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高二数学 选修2-1
第二章 曲线与方程
1
空间向量运算的坐标表示
在空间恰当地选取基底,那么空间任一向量都可用基 向量来表示,这样处理不仅可以使解题的目标变得明确,思 考的方向性强,而且使问题的解决变得简洁(因为有关的运 算可完全转化为基向量的运算来处理).
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法二: 添辅助线 MA,巧用图形性质, 妙极了!
10
思考 2.经过原点的直线 l 与圆 x2 y2 6x 4 y 9 0 相
交于两个不同点 A、B，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.
解:设 M (x, y) ,A (x1, y1) ,B (x2 , y2 )
则
x
x1
2
x2
y
y1
0
x x1 x2
∴ 2x y 2 y 6 4 y 0∴化简得 x2 y2 3x 2 y 0
x
x
x
活用几何 性质
∴所求轨迹方程为 x2 y2 3x 2 y 0 (在已知圆内部一段弧对应的方程)
巧设参数
11
思考 2.经过原点的直线 l 与圆 x2 y2 6x 4 y 9 0 相交
化简
⑴由上面过程可知,垂直平分线上的任一点的坐标都是 证明
方程 x 2y 7 0 的解;
⑵设点 M1 的坐标 (x1, y1) 是方程(Ⅰ)的解,即 x1 2 y1 7 0
∵上面变形过程步步可逆,∴ (x1 1)2 (y1 1)2 (x1 3)2 (y1 7)2 即： M1A M1B
∴ y = x2 ( y 4)2 ∴ y2 x2 y2 8 y 16 ∴ x2 8 y 16 这就是所求的轨迹方程.
限(找几何条件) 代(把条件坐标化)
化简
9
思考 1.△ABC 的顶点 B、C 的坐标分别为(0,0)、(4,0), AB 边上的中线的长为 3,求顶点 A 的轨迹方程.
解:设 A 的坐标分别为 (x, y) ,AB 的中点 D 的坐标为 (x1, y1)
（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲
线的方程应是y 1 x2 ( x 0)
8
8
课堂练习
已知点 M 与 x 轴的距离和点 M 与点 F(0,4)的距离相
等,求与 x 轴的距离为 y ,
建立坐标系 设点的坐标
FM x2 ( y 4)2
√ 2.写出满足题意点 M 的限制条件 P: P M P(M ) ; √ 3.把坐标代入条件 P(M ) ,列出方程 f (x, y) 0 ; √ 4.化简方程 f (x, y) 0 为最简形式; √ 5.证明(查漏除杂).
以上过程可以概括为一句话:建．设．现．(．限．)．代．化．. 6
举例巩固
综上所述,线段 AB 的垂直平分线的方程是 x 2 y 7 0 . 5
方法总结
第一种方法运用现成的结论当然快,但它需要你对研究的 曲线要有一定的了解;第二种方法虽然有些走弯路,但这种方 法有一般性.
√ √ 求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:
1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点 M 的坐标 (x, y) ;
y2
2
且
x12 x22
y12 y22
6x1 4 y1 9 0 6x2 4 y2 9 0
① ②
由①─②得 (x1 x2 )(x1 x2 ) ( y1 y2 )( y1 y2 )
y Al
M
BC
6(x1 x2 ) 4( y1 y2 ) 0
∵ kOM kAB 即 y y1 y2 (易知 x1 x2 )
于两个不同点 A、B，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.
高二数学 选修2-1
第二章 曲线与方程
1
复习
一、方程的曲线和曲线的方程:
⑴曲线上的点的坐标都是方程的解; (纯粹性)
⑵以方程的解为坐标的点都在曲线上; (完备性)
就说这条曲线是这个方程的曲线,这个方程是这条
曲线的方程.
二、坐标法 形成
解析几何
在平面上建立直角坐标系:
点 一一对应 坐标(x,y)
曲线 坐标化 曲线的方程
例题：已知一条直线 l 和它上方的一个点 F,点 F 到 l 的距离是 2.一条曲线也在 l 的上方,它上面的每 一点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2,建立适
当的坐标系,求这条曲线的方程.
.M
F.
l
B
7
解：如图，取直线l为x轴，过点F且 垂直于直线l的直线为y轴，建立坐 标系xOy. 设点M ( x, y)是曲线上任意一点，作 MB x轴，垂足为B,那么点M属于集合
由中点坐标公式可知
x1
x 2
y1
y 2
∵AB 边上的中线 CD=3
∴ (x1 4)2 y12 9
y
(x, y)
A
D
B
0
C Mx
化简整理得 ( x 8)2 y2 36
∴点 A 的轨迹方程为 (x 8)2 y2 36 . y 0
注:这种求轨迹方程的方法叫做相关点坐标分析法(代入法)
解:设 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上的任一点,
则 |MA|=|MB|
先找曲线上的点满足的几何条件
∴ (x 1)2 ( y 1)2 (x 3)2 ( y 7)2
坐标化
∴ x2 2x 1 y2 2y 1 x2 6x 9 y2 14y 49
∴ x 2y 7 0 (Ⅰ)
y
.M
(x, y)
F.
0 lB x
P {M MF MB 2}.
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为
x2 ( y 2)2 y 2 ① 将①式移项后两边平方，得 x2 ( y 2)2 ( y 2)2
化简得 y 1 x2 8
因为曲线在x轴的上方，所以 y 0.虽然原点O的坐标
解:∵ kAB
7 (1) 3 (1)
2
,∴所求直线的斜率 k
=
1 2
又∵线段 AB 的中点坐标是 (1 3 , 1 7) 即(1,3)
22
∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y 3 1 (x 1) . 2
即 x+2y-7=0
法二:若没有现成的结论怎么办──
需要掌握一般性的方法 4
问题 1.设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7),求线段 AB 的垂直平分线的方程. 我们的目标就是要找x与y的关系式
研究
平面解析几何研究的主要问题是：
y
f(x,y)=0
0
x
迪卡尔
1.求曲线的方程; 2.通过方程研究曲线的性质.
2
2.1曲线与方程（二）
2.1 曲线与方程(二)
3
问题 1. 设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7),求线段 AB
的垂直平分线的方程. 如何求曲线的方程?
法一:运用现成的结论──直线方程的知识来求.