天津市静海区第一中学高中数学选修2-1课件：21曲线与方程(二)(共14张PPT)
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例题：已知一条直线 l 和它上方的一个点 F,点 F 到 l 的距离是 2.一条曲线也在 l 的上方,它上面的每 一点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2,建立适
当的坐标系,求这条曲线的方程.
.M
F.
l
B
7
解：如图，取直线l为x轴，过点F且 垂直于直线l的直线为y轴，建立坐 标系xOy. 设点M ( x, y)是曲线上任意一点，作 MB x轴，垂足为B,那么点M属于集合
解:∵ kAB
7 (1) 3 (1)
2
,∴所求直线的斜率 k
=
1 2
又∵线段 AB 的中点坐标是 (1 3 , 1 7) 即(1,3)
22
∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y 3 1 (x 1) . 2
即 x+2y-7=0
法二:若没有现成的结论怎么办──
需要掌握一般性的方法 4
问题 1.设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7),求线段 AB 的垂直平分线的方程. 我们的目标就是要找x与y的关系式
y
.M
(x, y)
F.
0 lB x
P {M MF MB 2}.
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为
x2 ( y 2)2 y 2 ① 将①式移项后两边平方，得 x2 ( y 2)2 ( y 2)2
化简得 y 1 x2 8
因为曲线在x轴的上方，所以 y 0.虽然原点O的坐标
法二: 添辅助线 MA,巧用图形性质, 妙极了!
10
思考 2.经过原点的直线 l 与圆 x2 y2 6x 4 y 9 0 相
交于两个不同点 A、B，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.
解:设 M (x, y) ,A (x1, y1) ,B (x2 , y2 )
则
x
x1
2
x2
y
y1
0
x x1 x2
∴ 2x y 2 y 6 4 y 0∴化简得 x2 y2 3x 2 y 0
x
x
x
活用几何 性质
∴所求轨迹方程为 x2 y2 3x 2 y 0 (在已知圆内部一段弧对应的方程)
巧设参数
11
思考 2.经过原点的直线 l 与圆 x2 y2 6x 4 y 9 0 相交
√ 2.写出满足题意点 M 的限制条件 P: P M P(M ) ; √ 3.把坐标代入条件 P(M ) ,列出方程 f (x, y) 0 ; √ 4.化简方程 f (x, y) 0 为最简形式; √ 5.证明(查漏除杂).
以上过程可以概括为一句话:建．设．现．(．限．)．代．化．. 6
举例巩固
由中点坐标公式可知
x1
x 2
y1
y 2
∵AB 边上的中线 CD=3
∴ (x1 4)2 y12 9
y
(x, y)
A
D
B
0
C Mx
化简整理得 ( x 8)2 y2 36
∴点 A 的轨迹方程为 (x 8)2 y2 36 . y 0
注:这种求轨迹方程的方法叫做相关点坐标分析法(代入法)
综上所述,线段 AB 的垂直平分线的方程是 x 2 y 7 0 . 5
方法总结
第一种方法运用现成的结论当然快,但它需要你对研究的 曲线要有一定的了解;第二种方法虽然有些走弯路,但这种方 法有一般性.
√ √ 求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:
1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点 M 的坐标 (x, y) ;
于两个不同点 A、B，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.
研究
平面解析几何研究的主要问题是：
y
f(x,y)=0
0
x
迪卡尔
1.求曲线的方程; 2.通过方程研究曲线的性质.
2
2.1曲线与方程（二）
2.1 曲线与方程(二)
3
问题 1. 设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7),求线段 AB
的垂直平分线的方程. 如何求曲线的方程?
法一:运用现成的结论──直线方程的知识来求.
y2
2
且
x12 x22
y12 y22
6x1 4 y1 9 0 6x2 4 y2 9 0
① ②
由①─②得 (x1 x2 )(x1 x2 ) ( y1 y2 )( y1 y2 )
y Al
M
BC
6(x1 x2 ) 4( y1 y2 ) 0
∵ kOM kAB 即 y y1 y2 (易知 x1 x2 )
（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲
线的方程应是y 1 x2 ( x 0)
8
8
课堂练习
已知点 M 与 x 轴的距离和点 M 与点 F(0,4)的距离相
等,求点 M 的轨迹方程.
解:设点 M 的坐标为(x,y)
∵点 M 与 x 轴的距离为 y ,
建立坐标系 设点的坐标
FM x2 ( y 4)2
化简源自文库
⑴由上面过程可知,垂直平分线上的任一点的坐标都是 证明
方程 x 2y 7 0 的解;
⑵设点 M1 的坐标 (x1, y1) 是方程(Ⅰ)的解,即 x1 2 y1 7 0
∵上面变形过程步步可逆,∴ (x1 1)2 (y1 1)2 (x1 3)2 (y1 7)2 即： M1A M1B
高二数学 选修2-1
第二章 曲线与方程
1
复习
一、方程的曲线和曲线的方程:
⑴曲线上的点的坐标都是方程的解; (纯粹性)
⑵以方程的解为坐标的点都在曲线上; (完备性)
就说这条曲线是这个方程的曲线,这个方程是这条
曲线的方程.
二、坐标法 形成
解析几何
在平面上建立直角坐标系:
点 一一对应 坐标(x,y)
曲线 坐标化 曲线的方程
解:设 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上的任一点,
则 |MA|=|MB|
先找曲线上的点满足的几何条件
∴ (x 1)2 ( y 1)2 (x 3)2 ( y 7)2
坐标化
∴ x2 2x 1 y2 2y 1 x2 6x 9 y2 14y 49
∴ x 2y 7 0 (Ⅰ)
∴ y = x2 ( y 4)2 ∴ y2 x2 y2 8 y 16 ∴ x2 8 y 16 这就是所求的轨迹方程.
限(找几何条件) 代(把条件坐标化)
化简
9
思考 1.△ABC 的顶点 B、C 的坐标分别为(0,0)、(4,0), AB 边上的中线的长为 3,求顶点 A 的轨迹方程.
解:设 A 的坐标分别为 (x, y) ,AB 的中点 D 的坐标为 (x1, y1)
当的坐标系,求这条曲线的方程.
.M
F.
l
B
7
解：如图，取直线l为x轴，过点F且 垂直于直线l的直线为y轴，建立坐 标系xOy. 设点M ( x, y)是曲线上任意一点，作 MB x轴，垂足为B,那么点M属于集合
解:∵ kAB
7 (1) 3 (1)
2
,∴所求直线的斜率 k
=
1 2
又∵线段 AB 的中点坐标是 (1 3 , 1 7) 即(1,3)
22
∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y 3 1 (x 1) . 2
即 x+2y-7=0
法二:若没有现成的结论怎么办──
需要掌握一般性的方法 4
问题 1.设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7),求线段 AB 的垂直平分线的方程. 我们的目标就是要找x与y的关系式
y
.M
(x, y)
F.
0 lB x
P {M MF MB 2}.
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为
x2 ( y 2)2 y 2 ① 将①式移项后两边平方，得 x2 ( y 2)2 ( y 2)2
化简得 y 1 x2 8
因为曲线在x轴的上方，所以 y 0.虽然原点O的坐标
法二: 添辅助线 MA,巧用图形性质, 妙极了!
10
思考 2.经过原点的直线 l 与圆 x2 y2 6x 4 y 9 0 相
交于两个不同点 A、B，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.
解:设 M (x, y) ,A (x1, y1) ,B (x2 , y2 )
则
x
x1
2
x2
y
y1
0
x x1 x2
∴ 2x y 2 y 6 4 y 0∴化简得 x2 y2 3x 2 y 0
x
x
x
活用几何 性质
∴所求轨迹方程为 x2 y2 3x 2 y 0 (在已知圆内部一段弧对应的方程)
巧设参数
11
思考 2.经过原点的直线 l 与圆 x2 y2 6x 4 y 9 0 相交
√ 2.写出满足题意点 M 的限制条件 P: P M P(M ) ; √ 3.把坐标代入条件 P(M ) ,列出方程 f (x, y) 0 ; √ 4.化简方程 f (x, y) 0 为最简形式; √ 5.证明(查漏除杂).
以上过程可以概括为一句话:建．设．现．(．限．)．代．化．. 6
举例巩固
由中点坐标公式可知
x1
x 2
y1
y 2
∵AB 边上的中线 CD=3
∴ (x1 4)2 y12 9
y
(x, y)
A
D
B
0
C Mx
化简整理得 ( x 8)2 y2 36
∴点 A 的轨迹方程为 (x 8)2 y2 36 . y 0
注:这种求轨迹方程的方法叫做相关点坐标分析法(代入法)
综上所述,线段 AB 的垂直平分线的方程是 x 2 y 7 0 . 5
方法总结
第一种方法运用现成的结论当然快,但它需要你对研究的 曲线要有一定的了解;第二种方法虽然有些走弯路,但这种方 法有一般性.
√ √ 求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:
1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点 M 的坐标 (x, y) ;
于两个不同点 A、B，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.
研究
平面解析几何研究的主要问题是：
y
f(x,y)=0
0
x
迪卡尔
1.求曲线的方程; 2.通过方程研究曲线的性质.
2
2.1曲线与方程（二）
2.1 曲线与方程(二)
3
问题 1. 设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7),求线段 AB
的垂直平分线的方程. 如何求曲线的方程?
法一:运用现成的结论──直线方程的知识来求.
y2
2
且
x12 x22
y12 y22
6x1 4 y1 9 0 6x2 4 y2 9 0
① ②
由①─②得 (x1 x2 )(x1 x2 ) ( y1 y2 )( y1 y2 )
y Al
M
BC
6(x1 x2 ) 4( y1 y2 ) 0
∵ kOM kAB 即 y y1 y2 (易知 x1 x2 )
（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲
线的方程应是y 1 x2 ( x 0)
8
8
课堂练习
已知点 M 与 x 轴的距离和点 M 与点 F(0,4)的距离相
等,求点 M 的轨迹方程.
解:设点 M 的坐标为(x,y)
∵点 M 与 x 轴的距离为 y ,
建立坐标系 设点的坐标
FM x2 ( y 4)2
化简源自文库
⑴由上面过程可知,垂直平分线上的任一点的坐标都是 证明
方程 x 2y 7 0 的解;
⑵设点 M1 的坐标 (x1, y1) 是方程(Ⅰ)的解,即 x1 2 y1 7 0
∵上面变形过程步步可逆,∴ (x1 1)2 (y1 1)2 (x1 3)2 (y1 7)2 即： M1A M1B
高二数学 选修2-1
第二章 曲线与方程
1
复习
一、方程的曲线和曲线的方程:
⑴曲线上的点的坐标都是方程的解; (纯粹性)
⑵以方程的解为坐标的点都在曲线上; (完备性)
就说这条曲线是这个方程的曲线,这个方程是这条
曲线的方程.
二、坐标法 形成
解析几何
在平面上建立直角坐标系:
点 一一对应 坐标(x,y)
曲线 坐标化 曲线的方程
解:设 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上的任一点,
则 |MA|=|MB|
先找曲线上的点满足的几何条件
∴ (x 1)2 ( y 1)2 (x 3)2 ( y 7)2
坐标化
∴ x2 2x 1 y2 2y 1 x2 6x 9 y2 14y 49
∴ x 2y 7 0 (Ⅰ)
∴ y = x2 ( y 4)2 ∴ y2 x2 y2 8 y 16 ∴ x2 8 y 16 这就是所求的轨迹方程.
限(找几何条件) 代(把条件坐标化)
化简
9
思考 1.△ABC 的顶点 B、C 的坐标分别为(0,0)、(4,0), AB 边上的中线的长为 3,求顶点 A 的轨迹方程.
解:设 A 的坐标分别为 (x, y) ,AB 的中点 D 的坐标为 (x1, y1)