中考数学压轴题汇总

中考数学压轴题汇总（一）

17.（2005）如图，在平面直角坐标系，⊙C 与y 轴相切于D 点，与x 轴相交于A （2，0）、B （8，0）两点，圆心C 在第四象限. （1）求点C 的坐标；

（2）连结BC 并延长交⊙C 于另一点E ，若线段．．BE 上有一点P ，使得 AB 2

＝BP·BE，能否推出AP⊥BE？请给出你的结论，并说明理由；

（3）在直线．．BE 上是否存在点Q ，使得AQ 2

＝BQ·EQ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，也请说明理由.

[解] （1） C （5，-4）；

（2）能。连结AE ，∵BE 是⊙O 的直径， ∴∠BAE=90°.

在△ABE 与△PBA 中，AB 2

＝BP· BE , 即AB

BE BP

AB =

, 又

∠ABE=∠PBA, ∴△ABE∽△PBA .

∴∠BPA=∠BAE=90°, 即AP⊥BE .

（3）分析：假设在直线EB 上存在点Q ，使AQ 2

＝BQ· EQ. Q 点位置有三种情况： ①若三条线段有两条等长，则三条均等长,于是容易知点C 即点Q ；

②若无两条等长，且点Q 在线段EB 上，由Rt△EBA 中的射影定理知点Q 即为AQ⊥EB 之垂足； ③若无两条等长，且当点Q 在线段EB 外，由条件想到切割线定理，知QA 切⊙C 于点A.设Q()(,t y t ),并过点Q 作QR⊥x 轴于点R,由相似三角形性质、切割线定理、勾股定理、三角函数或直线解析式等可得多种解法. 解题过程：

① 当点Q 1与C 重合时，AQ 1=Q 1B=Q 1E, 显然有AQ 12＝BQ 1· EQ 1 , ∴Q 1(5, -4)符合题意；

② 当Q 2点在线段EB 上， ∵△ABE 中，∠BAE=90° ∴点Q 2为AQ 2在BE 上的垂足， ∴AQ 2=

10

48=⋅BE

AE AB = 4.8（或

5

24

）. ∴Q 2点的横坐标是2+ AQ 2·cos ∠BAQ 2= 2+3.84=5.84, 又由AQ 2·sin ∠BAQ 2=2.88,

∴点Q 2（5.84，-2.88）, ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡⎪⎭⎫

⎝⎛-257225146，或

③方法一：若符合题意的点Q 3在线段EB 外,

则可得点Q 3为过点A 的⊙C 的切线与直线BE 在第一象限的交点. 由Rt△Q 3BR∽Rt△EBA，△EBA 的三边长分别为6、8、10, 故不妨设BR=3t ，RQ 3=4t ，BQ 3=5t, 由Rt△ARQ 3∽Rt△EAB 得

AB

RQ EA

AR 3=，

即

64836t t =+得t=7

18

， 〖注:此处也可由4

33

=∠=∠AEB tg AR Q tg 列得方程

4

3

634=+t t ； 或由AQ 32 = Q 3B·Q 3E=Q 3R 2+AR 2列得方程()()()2

2

6345105++=+t t t t )等等〗

∴Q 3点的横坐标为8+3t=7110， Q 3点的纵坐标为7

72

， 即Q 3（

7110，7

72

）. 方法二：如上所设与添辅助线, 直线 BE 过B(8, 0), C(5, -4), ∴直线BE 的解析式是3

32

34-=x y . 设Q 3（t ，

3

32

34-t ）,过点Q 3作Q 3R⊥x 轴于点R, ∵易证∠Q 3AR =∠AEB 得 Rt△AQ 3R∽Rt△EAB,

∴EA

AB AR RQ

=

3 , 即 862332

34=--t t , ∴t=7110 ,进而点Q 3 的纵坐标为772，∴Q 3（7110，7

72）.

方法三：若符合题意的点Q 3在线段EB 外,连结Q 3A 并延长交y 轴于F, ∴∠Q 3AB =∠Q 3EA ，4

33

=

∠=∠=∠AEB tg AB Q tg OAF tg ,

在R t△OAF 中有OF=2×

43=23，点F 的坐标为（0，2

3

-）, ∴可得直线AF 的解析式为23

43-=x y ,

又直线BE 的解析式是3

32

34-=x y ,

∴可得交点Q 3（

7110，7

72

）. 18.（2005长宁）如图1，抛物线关于y 轴对称，顶点C 坐标为（0，h ）(h>0)， 交x 轴于

点A （d,0）、B （-d,0）（d>0）。

（1）求抛物线解析式（用h 、d 表示）；

（2）如图2，将ABC 视为抛物线形拱桥，①～⑤拉杆均垂直x 轴，垂足依次在线段AB 的6等分点上。h=9米。

(i )求拉杆⑤DE 的长度；

(ii)若d 值增大，其他都不变，如图3。拉杆⑤DE 的长度会改变吗？(只需写结论) （3）如图4，点G 在线段OA 上，OG=kd （比例系数k 是常数，0

≤k ≤1），GF ⊥x 轴交抛物线于点F 。试探索k 为何值时， tg ∠FOG= tg ∠CAO ？此时点G 与OA 线段有什么关系？

[解] （1）用顶点式，据题意设y=ax 2

+h 代入A （d ，0）得a=2d

h - ∴y=2d

h -

x 2

+h (2)(i)h=9，代入（1）中解析式得y=2

9d -x 2

+9 据题意OE=

32d ，设D （3

2

d ，y D ） 点D 在抛物线上，y D =29d

-(32d)2

+9=5，∴DE=5米。

(ii) 拉杆⑤DE 的长度不变。

（3）OG=kd ，∴点F 坐标可设（kd ，y F ）代入y=2

d h -x 2

+h ，得： y F = h(1－k 2

)

tg ∠FOG= tg ∠CAO ，kd k h )1(2- =d

h

112

=-k k 012=-+k k 解得2151-=k 2

1

52+=

k （∵0

1

5-=

k ，此时点G 是线段OA 的黄金分割点。 19.（2006金山）已知：抛物线经过A （2，0）、B （8，0）、C （0，

3

3

16） （1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为P ，把△APB 翻折，使点P

F G x y C

B O A 图4

C

O