工程数学I23 第三节 幂级数

即： 1 x 3
当x
1时，
n 1
(
x n
1) 2n
n
(1)n
n1 n
是收敛的交错级数；
当x
3时，（x
n1 n
1)n 2n
1
n 1 n
是发散的调和级数,
原级数的收敛域为 [1，3).
例5
判定级数
(2
x
1)n的收敛区间.
n1
n
1
解： l lim | an1 | lim n 1 lim n 1 n an n 1 n n 1
和
bn
xn
n0
n0
的收敛半径分别为R1>0和R2>0，则
an
x
n
bn
x
n
(an
bn )xn
n0
n0
n0
收敛半径R等于R1和R2中较小的一个.
性质1
如果幂级数
an
x
n
的和函数s(x)在其
收敛域I上连续. n0
性质2
如果幂级数
an
x
n
的和函数s(x)在其
n0
收敛域I上可积，并有逐项积分公式
x
s(x)dx
(2)当 0时，R
(3)当 时，R 0
例1
求幂级数 (1)n1
xn 的收敛域.
n1
n
解： l lim | an1 | lim 1 n 1 n an n n 1 1
收敛半径为R 1 1 l
当x 1时，级数为：
1 1 1 1
23
n
所以此级数发散.
当x 1时，级数为交错级数：
x
(
an
x
n
)dx
0
0 n0
n0
0xan
x n dx
n0
an n 1
x n 1
xI
即幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，并且 积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛 半径.
性质3
幂级数
an
x
n
的和函数s(x)在其收
n0
敛区间(R,+R)内可导，且有逐项求导公式
s( x)
(
an
x
n
)'
n0
( an
收敛区间为(， )
例4
求幂级数
(
n1
x n
21n)n的收敛域.
解：令x
1
t，则有：
n 1
(
x n
1)n 2n
n 1
n
t
n
2n
l
lim |
n
an 1 an
|
lim n (n
1 1)2n1
n 2n
1 2
幂级数
n 1 n
t
n
2n的收敛半径为R
1 l
2,
收敛区间为： 2 t 2
将t x 1代入得： 2 x 1 2
收敛半径为R
1
n
1
l
当| 2x 1 | 1时，级数绝对收敛，即
1 2x 1 1, 即： 1 x 0
当x
1时，
(2x 1)n
(1)n
n1 n
n1 n
为交错级数，收敛；
当x
0时，
(2
x
1)
n
1
n1 n
n 1n
为调和级数，发散;
收敛区间为[1,0).
三、幂级数的运算
如果幂级数
an
xn
1 1 1 (1)n1 1
23
n
收敛.
对于端点x=1，级数成为：
1 1 1 1 发散.
23
n
收敛区间为 (1,1]
例3
判定级数
x
n1n
n
n的收敛区间.
1
Baidu Nhomakorabea
解： l
lim
n
|
an 1 an
|
lim
n
(n
1)n1 1
nn
lim
n
1 1 n 1 (1 1)n
01 e
0
n
收敛半径为 ，
x
n
)'
nan
x
n
1
(-R x R)
n0
n0
即幂级数在其收敛区间内可以逐项求导，并且 求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛 半径.
例6 求幂级数 nxn1的收敛区间及和函数，
n1
并求级数
n 的和.
2n
n1
解： l lim | an1 | lim n 1 1
n an
n n
收敛半径为R 1 1 l
(函数项)级数.
对于每一个确定的值 x0 I ，函数项级
数(1)成为常数项级数
u1(x0 ) u2 (x0 ) u3(x0 ) un (x0 ) (2)
二、幂级数及其敛散性
定义 形如
an (x
x0 )n
a0
a1 ( x
x0 )
a2(x
x0 )2
n0
an (x x0 )n
的级数，称为(x−x0)的幂级数，a0 ,a1,a2 ,,an ,
1 1 1 (1)n1 1
23
n
所以此级数收敛.
幂级数 (1)n1
xn 的收敛域为(1，1].
n1
n
例2 求幂数 x x2 x3 (1)n1 x n
23
n
的收敛半径与收敛区间.
1
解： l
lim an1 n an
lim
n
n
1
1
1
n
收敛半径为 R 1 1
l
对于端点x=1，级数成为交错级数,
第三节 幂级数
一、幂级数的概念 二、幂级数及其敛散性 三、幂级数的运算
一、幂级数的概念
定义 在区间I上的函数列
u1(x)，u2 (x)，u3(x)，，un (x)，，
则由这函数列构成的表达式
u1(x) u2 (x) u3(x) un (x) (1)
称为定义在区间I上的(函数)无穷级数，简称
均是常数，称为幂级数的系数.
当x0=0时，(1)式变为：
an
x
n
a0
a1x
a2 x 2
an xn
(3)
n0
称为x的幂级数，它的每一项都是x的幂函
数.我们主要讨论这种类型的幂级数.
定理2 如果幂级数
an
xn
a0
a1x
a2 x 2
an xn
(3)
n0
的系数满足条件：
lim |an1|
n an
则：(1)当0 时，R 1
x 1 1 1-x 1-x
两边对x求导，即得s( x)
d dx
x
s(t)dt
0
(1 1
x
1)'
1 (1 x)2
s(x)
nx n
1
n 1
1 (1 x)2
取x 1 ,则有 2
n( 1 ) n 1
n1 2
1 (1 1)2
4
2
n(1)n
14
2
n 1 2
2
当x 1时，级数为 n
n1
lim
n
un
lim n
n
级数 n发散
n1
当x
1时，级数为
(1) n 1 n也发散,
n 1
级数的收敛区间为(1,1),
设和函数为：s(x) 1 2x 3x2 nxn1
两边由0到x积分，得 :
x
s(t)dt x x2 x3 xn
0
x(1 x x2 xn )