2020年高考理科数学试卷(全国1卷)(附详细答案)

2绝密★启用前

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学

本试卷共5页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：

1.

答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.

选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.

非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.

选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5.

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若z =1+i ,则2

2z z -=(

)

A ．0

B ．1

C ．

D ．2

解：z =1+i ⇒z 2-2z=z (z -2)=(1+i )(i -1)=i 2-12

=-2⇒|z 2-2z|=2.选D ．2．设集合A ={x |x 2-4≤0}，B ={x |2x +a ≤0},且A∩B ={x |-2≤x ≤1},则a =（）A ．-4

B ．-2

C ．2

D ．4

解：A=[-2,2],B=(-∞,2a -

],A ∩B=[-2,1]⇒2

a

-=1⇒a=-2.选B ．3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）

A.51

4 B.512

- C.514

+ D.512

解：设正四棱锥的底面边长为a ,高为h ，斜高为b ,则

2

2

2211154210224b b b ab h b a a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫

==-⇒--=⇒=

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

（舍负）.选 C.4.已知A 为抛物线C :y 2=2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（）A ．2B ．3C ．6D ．9

解：91262

p

p +

=⇒=.选

C.

5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi ,yi )（i =1，2，…，20）得到下面的散点图：

由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（

）

A .y =a +bx

B .y =a +bx 2

C .y =a +bex

D ．y =a +b ln x

解：选D ．

6.函数f (x )=x 4-2x 3的图像在点(1，f (1))处的切线方程为（）

A ．y =-2x -1

B ．y =-2x +1

C .y =2x -3

D ．y =2x +1

解：'

3

2

'

()46,(1)1,(1)2

f x x x f k f =-=-==-∴切线方程为(1)2(1)y x --=--,即21y x =-+.选B ．7.设函数f (x )=cos()6x π

ω+在[-π,π]的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（）

A.109π

B.

76πC.

43π D.

32

π解：由图可知T<π-(-π)<2T,即

222212

π

π

πωωω

<<⨯

⇒<<又42,962k k Z ππ

πωπ⎛⎫-

+=-∈ ⎪

⎝⎭

⇒92(2),43k k Z ω=-∈∴当0k =时，32ω=

，从而43

T π

=，选C ．8.()25

y x x y x ⎛⎫++ ⎪

⎝⎭

的展开式中x 3y 3的系数为（）A ．5

B ．10

C ．15

D ．20

解：()()()22555

y y x x y x x y x y x x ⎛⎫++=+++ ⎪

⎝⎭

()25y x x y x ⎛⎫++ ⎪⎝

⎭的展开式中含x 3y 3的项为2223

4455y xC x y C x y

x +

∴()25y x x y x ⎛⎫++ ⎪

⎝

⎭的展开式中x 3y 3的系数为245515C C +=,选C ．9．已知α∈(0,π)，且3cos2α-8cos α=5，则sin α=（）

A.

53

B.

23 C.1

3 D.

59

3cos2α-8cos α=5⇒3（2cos 2α-1）-8cos α-5=0⇒（3cos α+2)(cos α-2)=0

∴cos α=23

-

这里α∈(0,π)，所以2

2

25

sin 1cos 1()3

3

αα=-=--，选A.10.已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，O 1为△ABC 的外接圆．若

O 1的面积为4π，

AB =BC =AC =OO 1，则球O 的表面积为A ．64π

B ．48π

C ．36π

D ．32π

解：设AB =BC =AC =OO 1=a ，则O 1A=

3

3

a r =又2

22

34123O S r a πππ⎛⎫===⇒= ⎪ ⎪

⎝⎭ ，从而24r =在Rt∆O 1OA 中，222

16

R a r =+=2464S R ππ

==球选A.11.已知M ::x 2+y 2-2x -2y -2=0，直线l ：2x +y +2=0，P 为l 上的动点，过

点P 作M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当|PM ||AB|最小时，直线AB 的方程为（）A ．2x -y -1=0

B ．2x +y -1=0

C ．2x -y +1=0

D ．2x +y +1=0

解：2

2

:(1)(1)4M x y -+-= 的圆心为M （1，1），半径为2PA ，PB 是 M 的切线，设PM ∩AB=C ，则PA ⊥AM ，PM ⊥AB

AC AM

Rt PAM Rt ACM PA PM

∆∆⇒= ，即1

224AC

AM PM AB AM PA PA PA PM =⇒== 当|PM||AB |最小时，PA 最小，此时，PM ⊥l ，AB //l,2

2

5

21

PM =

=+由2AM MC MP = ，即2

25MC =，得5

MC =

∴55

5

PC PM MC =-==