第04讲 利息公式

有效利率(Effective Interest Rate) ——资金在计息期发生的实际利率。 名义利率(Nominal Interest Rate) ——当计息期小于一年时，每个计息 期的有效利率乘以一年中的计息期数，所 得的年利率。
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(A/F,i,N)＋i＝(A/P,i,N)
3.2 利息公式
均匀梯度系列公式
A1+2G A1+G A1 0 1 2 3 4 5 A1+(n-2)G A1+(n-1)G
…
n －1
n
均匀增加支付系列
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12
2
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3.2 利息公式
A1
3.2 利息公式
4 5 4G
（1）
0
1
2
3
…
图（2）的将来值F2为: n
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3.2 利息公式
A1
（1）
0
1
2
3
4
5
…
n －1 A2
n
4
5
…
n －1
n
…
4 5 n －1 n
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3
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3.2 利息公式
运用利息公式应注意的问题: 5. F是在当前以后的第n年年末发生； 6. A是在考察期间各年年末发生。 当问题包括P和A时，系列的第一 个A是在P发生一年后的年末发生； 当问题包括F和A时，系列的最后 一个A是和F同时发生。 7. 均匀梯度系列中，第一个G发生在系 列的第二年年末。 2013/10/23 19 上海交大 船建学院
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i (1 i) N 1
(1 i) N 1 i (1 i) N
答案: AC
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i (1 i) N (1 i) N 1
1 N i [ ] i i (1 i) N 1
各系数之间关系
（1）倒数关系
(P/F,i,N)＝1/(F/P,i,N) (P/A,i,N)＝1/(A/P,i,N) (F/A,i,N)＝1/(A/F,i,N)
…
n –1
n
1 P F F ( P / F , i , n) n (1 i)
一次支付现值系数
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1 1 P F 1262.5 4 n (1 i ) 1 6% 1262.5 0.7921 1000
（3）
0
1
2
3
= G[
1 i
－
n （A/F,i,n）] i
梯度系数（A/G,i,n）
A=A1+A2
（4）
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0
1
2
3
注：如支付系列为均匀减少，则有 A=A1－A2 2013/10/23 16 上海交大 船建学院
3.2 利息公式
运用利息公式应注意的问题: 1. 为了实施方案的初始投资，假定发生在 方案的寿命期初； 2. 方案实施过程中的经常性支出，假定发 生在计息期（年）末； 3. 本年的年末即是下一年的年初； 4. P是在当前年度开始时发生；
（n－1）G F2=G（F/A,i,n－1）+G（F/A,i,n－2）+ … + G（F/A,i,2）+ G（F/A,i,1） =G[ （ 1+i）n－1 －1 （ 1+i）n－2 －1 （ 1+i）2 －1 ]＋G [ ]＋… ＋ G[ ] i i i （ 1+i）1 －1 + G[ ] i G i G i [（1+i）n-1+（1+i）n-2 + +（1+i）2+（1+i）1－（n－1）×1 ]
（2）乘积关系
3.2 利息公式
名义利率和有效利率
当利率的时间单位与计息期不一致时， 名义利率和有效利率的概念。
(F/P,i,N)· (P/A,i,N)＝(F/A,i,N) (F/A,i,N)· (A/P,i,N)＝(F/P,i,N) (A/F,i,N)· (F/P,i,N)＝(A/P,i,N)
（3）特殊关系
解法1
根据题意，r＝8％，则计息期利率为：8％／4＝2％ F＝5000×（1＋2％）8＋5000×（1＋2％）4＋5000 ＝16272.16（万元）
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解法2
3.2 利息公式
下表给出了名义利率为12%分别按不同计息 期计算的有效利率：
复利周期 一年 半年 一季 一月 一周 一天 连续
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3.2 利息公式
等额支付系列复利公式(AF)
0 1 2 3 … n –1 A (已知）
年末 1 等额支付值 累计本利和（终值）
3.2 利息公式
F =？ n
即 F= A+A(1+i)+A(1+i)2+…+A(1+i)n-1
(1)
以(1+i)乘(1)式,得 F(1+i)= A(1+i)+A(1+i)2+…+A(1+i)n-1 +A(1+i)n (2) －(1) ，得F(1+i) –F= A(1+i)n –A (2)
F P 1

r N
N
其中利息为：
P 1

r P N
N
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3.2 利息公式
离散式复利 —— 按期（年、季、月和日）计息的方法。
如果名义利率为r,一年中计息n次，求年有效利率i。 解：每个计息期的有效利率为r / n，根据一次支付复利 系数公式，年末本利和为： F=P[1+r/n]n 一年末的利息为： P[1+r/n]n －P 按定义，利息与本金之比为利率，则年有效利率i为：
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i A F F ( A / F , i , n) n (1 i) 1
等额支付系列积累基金系数
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3.2 利息公式
等额支付系列资金恢复公式(PA)
A =？ 0 1 P(已知） 2 3
(1 i) N
1 (1 i ) N
(1 i) N 1 i
A. B. C. D. E.
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A F=A(P/A,6%,6)(F/P,6%,8) F=A(P/A, 6%,5)(F/P, 6%,7) F=A(F/A, 6%,6)(F/P, 6%,2) F=A(F/A, 6%,5)(F/P, 6%,2) F=A(F/A, 6%,6)(F/P, 6%,1)
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3.2 利息公式
一次支付复利公式(PF)
0 1 2 3 … n –1 n F=？
3.2 利息公式
例如在第一年年初，以年利率6%投资1000 元，则到第四年年末可得之本利和
P (已知）
F = P(1+i)n = P(F/P,i,n)
符号(F/P,i,n) —— 一次支付复利系数 其值为(1+i)n
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3.2 利息公式
例如连续5年每年年末借款1000元，按年利率 6%计算，第5 年年末积累的借款为多少？ 解：
3.2 利息公式
等额支付系列积累基金公式(FA)
0 1 2 3 … n –1 A =？ F (已知） n
(1 i ) n 1 F A A( F / A, i, n) i 1 6% 5 1 1000 6% 1000 5.6371 5637.1(元)
i i
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1 i n 1 A[ 1 i n1 1 1]
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3.2 利息公式
例:有如下图示现金流量，解法正确的有( F=?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 6% 年
利息公式汇总表
)
利息公式名称 一次支付复利公式 一次支付现值公式 等额支付系列复利公式 等额支付系列积累基金 公式 等额支付系列现值公式 等额支付系列资金恢复 公式 均匀梯度系列公式 所求值 F P F A P A A 已知值 P F A F A P G 符 号 (F/P,i,N) (P/F,i,N) (F/A,i,N) (A/F,i,N) (P/A,i,N) (A/P,i,N) (A/G,i,N) 系 数
2 3 n
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A A A
…
A A+A(1+i) A+A(1+i)+A(1+i)2
…
(1 i) n 1 F A A( F / A, i, n) i
等额支付系列复利系数
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…
A
A[1+(1+i)+(1+i)2+…+(1+i)n-1]=F
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3.2 利息公式
例如：每半年计息一次，每半年计息期的利率为3%， 则 3%——（半年）有效利率 （年）名义利率= 每一计息期的 × 一年中计息期数 有效利率 如上例为 3%×2=6% ——（年）名义利率
（1）年有效利率
如果名义利率为r，一年中计息N次，则每次 计算利息的利率为r／N，根据复利公式，年 末本利和为：
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每年计息数期 各期实际利率 1 2 4 12 52 365 ∞ 12.0000% 6.0000% 3.0000% 1.0000% 0.23077% 0.0329% 0.0000
3.2 利息公式
例：某厂拟向两个银行贷款以扩大生产，甲银 行年利率为16%，计息每年一次。乙银行年利率为 15%，但每月计息一次。试比较哪家银行贷款条件 优惠些？ 解：
i甲 16% r i乙 1 n
n
1
12
r P 1 P n r n i 1 1 P n
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n
0.15 1 12
1 16.0755%
因为i乙 >i甲，所以甲银行贷款条件优惠些。
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【例】
某工程项目因投资需要连续 3年年末向 银行借入5000万元，年利率8％，按季 计息，求终值。
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F=P(1+i)n =1000 (1+6%)4 =1262.50元
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3.2 利息公式
一次支付现值公式(FP)
0 1 P =？ 2 3 F (已知）
3.2 利息公式
例如年利率为6%，如在第四年年末得到的本利 和为1262.5元，则第一年年初的投资为多少？
…
n －1
G
2G 3
（2）
0
1
2
（3）
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0
1
2
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3.2 利息公式
G （ 1+i）n －1 A2= F2 [ （ 1+i）n－1 ] =[ i i i nG i ] [ ] － i （ 1+i）n－1
G nG i G nG [ ]= = － － （A/F,i,n） i i i i （ 1+i）n－1
等额支付系列现值系数
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… …
n –1
n
P(1+i)n =A [
i(1 i) n A P P ( A / P, i , n ) n (1 i) 1 等额支付系列资金恢复系数
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3.2 利息公式
根据
F = P(1+i)n = P(F/P,i,n) F =A [ (1+i)n －1 ] i (1+i)n －1 ] i
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3.2 利息公式
等额支付系列现值公式(AP)
A (已知） 0 1 P=？ 2 3 n –1 n
(1 i) n 1 P A A( P / A, i, n) n i(1 i)
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＋
＋
3G 4 4
（n－2）G
5
… n －1
A2
n
=
5
…
=
n －1
n
=
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nG [（1+i）n-1+（1+i）n-2 + +（1+i）2+（1+i）1+1] － i
G （ 1+i）n －1 i i
－
nG i
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3.2 利息公式
例：写出下图的复 利现值和复利终值， 若年利率为i 。
0 0 1 2 3 A 3 n-1 n
1
2
n-1
n
解：
A’=A（1+ i ）
P / A, i, n A1 i P A，
F / A, i, n A1 i F A，
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1 i n 1 A 1 i n 1 n n 1 i1 i i1 i