检错纠错
卷积码检纠错的原理
卷积码检纠错的原理
一、卷积码检纠错的原理
1、什么是卷积码检纠错
卷积码检纠错，也称作可纠错编码，是一种用于数据传输和存储系统中的错误检测和纠正技术。
它能够检测任何1个或多个位错误，并能够纠正误码。
卷积码检纠错利用传输/存储信息中冗余的方式来检测和纠正传输/存储信息中出现的错误。
它以一个特殊的编码序列或卷积码作为承载传输/存储信息的基础。
这种序列是由编码器产生的，在传输/
存储后由解码器检测和纠正被受干扰信息中出现的所有错误。
2、卷积码检纠错的原理
卷积码检纠错利用传输/存储信息冗余的特点，利用编码器和解码器在传输/存储数据过程中对原始信息进行加码、检验码计算、检测和纠错的过程实现错误检测和纠正。
(1) 编码器
编码器可以编码原始信息，原始信息乘以编码序列，生成编码序列。
编码后的信息由编码序列和检验码组成。
(2) 传输
接收者收到的信息将经过多次传输、存储和处理，可能会出现错误，这些错误可能是：一个位错误、多次传输错误、多个位错误或者多个位组错误。
(3) 解码器
解码器用于检测接收的信息是否出现错误，并且以信息中存在的冗余系数纠正错误。
如果解码器检测出有错误出现并且是可纠正的，解码器会消除错误，如果错误无法纠正就会报错。
3、卷积码检纠错的应用
卷积码检纠错可以应用于各种传输/存储系统中，如传输通信、存储器及控制系统等。
其中最广泛应用的是在无线电通信系统中，用于消除外界干扰所产生的错误。
计算机网络 检错码与纠错码
计算机网络检错码与纠错码在通信系统中广泛应用的差错控制技术是差错控制编码技术。
而差错控制编码包括检错码和纠错码两种，其中检错码是为传输的数据信号增加冗余码，以便发现数据信号中的错码，但不能纠正错码；纠错码是为传输的数据信号增加冗余码，以便发现数据信号中的错码，并自动纠正这些错码。
下面介绍几种检错码和纠错码的校验方法。
1．奇偶校验码奇偶校验码是一种最简单的无纠错能力的检错码，其编码规则是先将数据代码分组，例如，将ASCⅡ码中的一个字符或若干个字符分为一组。
在各组数据后面附加一位校验位，使该数据连校验位在内的码元中1的个数恒为偶数则为偶校验，恒为奇数则为奇校验。
奇偶校验无纠错能力，它只能检测出码元中的任意奇数个错误，若有偶数个错误必定漏检。
由于奇偶校验码容易实现，所以当信道干扰较弱，并且数据码长较短时，使用奇偶校验码效果很好，在计算机网络的数据传输中经常使用该检错码。
根据数据代码的分组方法，奇偶校验码可以分为水平奇偶校验、垂直奇偶校验和垂直水平奇偶校验。
●水平奇偶校验如表3-1所示，在水平奇偶校验中，把数据先以适当的长度划分成小组，并把码元按表中所示的顺序一列一列地排列起来，然后对水平方向的码元进行奇偶校验，得到一列校验位，附加在其他各列之后，最后按行的顺序进行传输。
水平奇偶校验能查出水平方向上奇数个错误和不大于数据代码长度的突发错误，无纠错能力，但产生校验码及校验逻辑相对复杂。
表3-1 水平奇偶校验●垂直奇偶校验如表3-2所示，在垂直奇偶校验中，把数据先以适当的长度划分成小组，并把码元按表中所示的顺序一列一列地排列起来，然后对垂直方向的码元进行奇偶校验，得到一行校验位，附加在其他各行之后，然后按列的顺序进行传输。
垂直奇偶校验能够查出列上的奇数个错误，只能查处50%的突发错误，无纠错能力，但产生校验码及校验逻辑相对简单。
表3-2 垂直奇偶校验●垂直水平奇偶校验垂直水平奇偶校验是在水平奇偶校验和垂直奇偶校验的基础上，把两者结合起来对码元进行校验，如表3-3所示。
检错与纠错
一、常用检错码(1) 寄偶校验码寄偶校验码是一种最简单的校验码，其编码规则：先将所要要传送的数据码元分组，并在每组的数据后面附加一位冗余位即校验位，使该组包括冗余位在内的数据码元中“1”的个数保持为奇数（奇校验）或偶数（偶校验）。
在接收端按照同样的规则检查，如发现不符，说明有错误发生；只有“1”的个数仍然符合原定的规律时，认为传输正确。
实际数据传输中所采用的寄偶校验码分为垂直奇偶校验、水平奇偶校验和水平垂直奇偶校验三种。
垂直奇偶校验是一字符为单位的校验方法。
例如，传输数据信息为“1010001”，采用偶校验时，附加位为“1”，则发送信息变为“10100011”；采用奇校验时，附加位为“0”，发送信息变为“10100010”；(2) 循环冗余校验码（CRC）循环冗余校验码CRC（Cyclic Redundancy Code）采用一种多项式的编码方法。
把要发送的数据位串看成是系数只能为“1”或为“0”的多项式。
一个k位的数据块可以看成Xk-1到X0的k项多项式的系数序列。
例如，“110001”有6位，表示多项式是“X5 + X4+ 1”。
多项式的运算是模2运算。
采用CRC码时，发方和收方必须事先约定一个生成多项式G（X），并且G（X）的最高位和最低必须是1。
要计算m位数据块的M（X）的校验和，生成多项式必须比该多项式短。
其基本思想是：将校验和附加在该数据块的末尾，使这个带校验和的多项式能被G（X）除尽。
当接收方收到带校验和的数据块时，用G（X）去除它，如果有余数，则传输有错误。
二、纠错码纠错码与检错码相比其功能更强，它不但能检错还能纠错。
海明码就是一种能够纠正一位错误的检错码。
海明码是海明(H.W.Hamming)于1950年提出的一种码制。
在发送数据之前将数据按照海明码制形成海明码，然后发送海明码，到达对方后根据接收到的海明码进行解释分析、判错、纠错。
(1) 海明码的形成①海明码的组合规则海明码是由数据与校验位组合而成的。
检错纠错的有关概念和实现思路
检错纠错的有关概念和实现思路数据在计算机系统内加工、存取和传送的过程中可能产生错误。
为减少和避免这类错误，一方面是精心选择各种电路，改进生产工艺与测试手段，尽量提高计算机硬件本身的可靠性；另一方面是在数据编码上找出路，即采用带有某种特征能力的编码方法，通过少量的附加电路，使之能发现某些错误,甚至能准确地确定出错位置,进而提供自动纠正错误的能力。
数据校验码就是一种常用的带有发现某些错误、甚至带有一定自动改错能力的数据编码方法。
它的实现原理，是在合法的数据编码之间，加进一些不允许出现的(非法的)编码，使合法数据编码出现某些错误时，就成为非法编码。
这样,则可以通过检查编码的合法性来达到发现错误的目的。
合理地设计编码规则，安排合法、不合法的编码数量，就可以得到发现错误的能力，甚至达到自动改正错误的目的。
这里用到一个码距（最小码距）的概念。
码距是指任意两个合法码之间至少有几个二进制位不相同，仅有一位不同，称其（最小码距）为1，例如用四位二进制表示16种状态，则16种编码都用到了，此时码距为1，就是说，任何一个编码状态的四位码中的一位或几位出错，都会变成另一个合法码，此时无检错能力。
若用四个二进制位表示8种合法状态，就可以只用其中的8个编码来表示之，而把另8种编码作为非法编码，此时可使合法码的码距为2。
一般说来，合理地增大编码的码距,就能提高发现错误的能力，但表示一定数量的合法码所使用的二进制位数要变多，增加了电子线路的复杂性和数据存储、数据传送的数量。
在确定与使用数据校验码的时候，通常要考虑在不过多增加硬件开销的情况下，尽可能地发现较多的错误，甚至能自动改正某些最常出现的错误。
常用的数据校验码是奇偶校验码、海明校验码、循环冗余校验码等。
纠错编码是对检错编码的更进一步的发展和应用。
计算机内经常遇到的错误有两大类，。
检错纠错码
2章 章
用于多位串行数据传送中的检错纠错处理 用于多位串行数据传送中的检错纠错处理 串行数据
位数据位串行移位输出的过程中， 在 k 位数据位串行移位输出的过程中，用带有异或门控 个校验位的值， 制的移位寄存器形成 r 个校验位的值，跟随在数据位之后 传送走。 传送走。
10110100 110
4 2
信息科学与技术学 院
循环冗余码的实现电路
计 算 机 组 成 原 理
2章 章
线性分组（ ， ） 位数据加4位校验 线性分组（7，3）码，即3位数据加 位校验 位数据加 查表得到生成多项式： （ ） 查表得到生成多项式：G（X）=X4+X2&
T0
计 算 机 系 统 概 论
数只用本位相减，位间无借位。 数只用本位相减，位间无借位。
计 算 机 系 统 概 论
除运算， 模 2 除运算，可以用带有异或门控制的移位 寄存器实现，不用加法电路， 寄存器实现，不用加法电路，简单又速度 且可与串行数据移位输出用同一电路。 快，且可与串行数据移位输出用同一电路。
信息科学与技术学 院
计 算 机 组 成 原 理
计 算 机 系 统 概 论
P4 = P3 + P2 + P1 + D3 + D2 + D1 S1 = P1 + S2 = P2 + S3 = P3 + S4 = P4 + D2 + D1 D3 + D1 D3 + D2 P3 + P2 + P1 + D3 + D2 + D1
信息科学与技术学 院
循环冗余码 CRC
计 算 机 组 成 原 理
一种具有检错纠错功能的单码道绝对式编码和解码方法
一种具有检错纠错功能的单码道绝对式编码和解码方法说实话一种具有检错纠错功能的单码道绝对式编码和解码方法这事，我一开始也是瞎摸索。
我就想啊，这绝对式编码，是不是就像给每个东西一个独一无二的身份证号码似的。
我一开始尝试的方法特别傻，我就简单地按照顺序给每段码编个号，觉得这样就能把信息区分开了。
结果一到解码的时候就出问题了，错一个数整个就乱套了，根本没法实现检错纠错。
这就算是个失败的教训吧，我意识到这种简单粗暴的编码方式不行。
后来我就想啊，那能不能给每个编码加上一些冗余信息呢，就像我们平时说话的时候会重复一下关键的部分来确保对方听到一样。
于是我开始给码道的编码加入一些校验位，这个校验位可不是随便加的啊。
我试过好几种计算校验位的方法呢，有简单的累加，也有使用比较复杂的算法。
比如说在编码的时候，我会把这串码的前面几个数字做个特定的数学运算，把结果作为校验位加在后面。
就好像你要寄包裹，除了写上收件地址，你还得加上个邮编，这个邮编就是为了确保包裹能准确送到。
那在解码的时候呢，如果根据收到的码算出来的校验位和后面跟的校验位不一样，就知道这个码有错误了。
但是光知道错误还不行啊，还得能纠错。
我又试了不少办法，像是查找最接近的正确编码之类的。
我不确定这种方法是不是最完美的，但在好多情况下还真能够把错的码纠正回正确的。
比如说有个编码错了一个数字，按照一定的规则就能够改回来。
我还试过根据代码的长度和校验位的组合来进行分组，就像把同学们按照身高和性别分组一样，这样能够更快地进行检错纠错。
这个过程中我也犯过很多错，像有时候分组规则设置得太复杂，结果在解码的时候效率特别低。
不过最后我总结出来，还是要在编码的准确性和检错纠错的效率之间找到一个平衡点才好。
总之一句话，这真是个不断尝试不断摸索的过程。
卷积码检纠错的原理
卷积码检纠错的原理
一、卷积码检纠错原理
卷积码检纠错（Convolutional Code Error Correction，CCEC）是一种根据连续移位编码和自检码检测和纠正出错的技术。
它利用移位寄存器，将输入比特序列移位某些比特位后，经补码，计算出一个较长的编码比特序列，编码比特序列可以用来检测和纠正出错，同时也可以使传输的比特序列抗干扰性增强。
1、编码原理
卷积码检纠错是一种特殊的连续移位编码，它是通过将输入序列先经过移位寄存器，再完成补码加法，最后编码成较长的码字序列来实现的。
移位寄存器是一种具有特殊结构的寄存器，它具有循环移位功能，可以将输入序列移位某些比特位后，经过补码加法，计算出一个很长的编码比特序列。
2、检纠错原理
在编码的同时，卷积码也具有一定的检纠错效果，它将编码比特序列分为多个校验比特序列和给定的数据比特序列，当接收到信息时，先将接收的数据比特序列经过解码后，再计算接收到的校验比特序列和解码后的校验比特序列之间的差异，如果检测出差异，则表明接收到的数据比特序列发生错误，这时就可以根据差异来检测出发生错误的位置以及错误的比特种类，进而根据这些信息对发生错误的比特进行纠错处理。
三、结论
卷积码检纠错是一种结合连续移位编码和自检码检测和纠正出错的技术，它可以在编码的同时具有一定的检纠错效果，当检测出出错位置和类型后，可以根据差异对发生错误的比特进行纠错处理，提高了编码传输的性能。
数字逻辑设计的冗余与检错纠错
ａ ｎ ｄ ｒ ｅ ｌ ｉ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｄ ｅ ｓ ｉ ｇ ｎ（ ｅ ｒ ｒ ｏ ｒ ｄ ｅ ｔ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ ｅ ｒ ｒ ｏ ｒ ｃ ｏ ｒ ｒ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ） ，ａ ｎ ｄ ｇ ｉ ｖ ｅ ｓ ａ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｕ ｒ ｅ ｄ ｅ ｓ ｉ ｇ ｎ ｏ ｆ ｉ ｍ ｐ ｒ ｏ ｖ ｅ ｄ
１ 数 字逻 辑 电路 的特点
２ 复杂 时序逻 辑 电路检错 的难点
在数字逻辑 中 。 不方 便 采用 如 同存 储器 中使 用 的编解码 技术 。原 因之一 是 数 据 的位 置分 散 ， 不 方 便 统一 的编码 ， 如最常用 的线性 分组码 。 被编码 的位
１ ） 输入 和输 出的映射 关 系不 明确 在复 杂 的时序 数 字 逻 辑 中 ． 在某 一 时刻 来 看 。 总输入 和 总输 出 的 映射 关 系 不 明 确 。数 据在 关 键
数 据 受到 的干 扰 源 不 确定 ， 错误产生后 ， 往 下 传 播对 后 一级 （ 结构上 ， 逻辑上 ） 电路 造 成 的影 响 也难 以 确 定 。 一 般 需 要 对 于 关 键 数 据 进 行 保 护
如， ［ ｋ＋ ｒ ， ｋ ］ 分组码， 这组 ｋ 个寄存器一组被编码 ， 产生 ｒ 个监 督位 ） ． ｋ位 中其 他 的 ｋ一１ 位 在这个周期 并无 使用价值 ， 那么为 了使 用这一 位数 据 ， 需要 在这 周期 中对全部的 ｋ ＋ ｒ 位进行校验计算。 这样带来的
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｃ ｈ ａ ｒ ａ ｃ ｔ ｅ ｒ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ ｓ ｏ ｆ ｄ ｉ ｇ ｉ ｔ ａ ｌ ｌ ｏ ｇ ｉ ｃ ｃ ｉ ｒ ｃ ｕ ｉ ｔ ｔ ｏ ｒ ｅ ａ ｌ ｉ ｚ ｅ ｔ ｈ ｅ ｇ ｏ ａ ｌ ｏ ｆ ｆ ａ ｕ ｌ ｔ ｔ ｏ ｌ ｅ ｒ ａ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ ｉ ｔ ｓ ｄ ｉ ｉｃ ｆ ｕ ｌ ｔ ｉ ｅ ｓ ，ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｄ ｉ ｓ ｃ ｕ ｓ ｓ ｅ ｓ ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｈ ｉ ｐ ｂ ｅ ｔ ｗｅ ｅ ｎ ｔ ｈ ｅ ｔ ｙ ｐ ｅ ｓ ｏ ｆ ｒ ｅ ｄ ｕ ｎ ｄ ａ ｎ ｃ ｙ ຫໍສະໝຸດ Ｓ ｅ ｐ． ２ ０１ ３
海明码编码计算、检错和纠错原理解析
一、海明码检错/纠错基本思想海明码（Hamming Code）是一个可以有多个校验位，具有检测并纠正一位错误代码的纠错码，所以也仅用于信道特性比较好的环境中，如以太局域网。
它的检错、纠错基本思想如下：（1）将有效信息按某种规律分成若干组，每组安排一个校验位通过异或运算进行校验，得出具体的校验码（2）在接收端同样通过异或运算看各组校验结果是否正确，并观察出错的校校组，或者多个出错的校验组的共同校验位，得出具体的出错比特位（3）对错误位取反来将其纠正二、海明码计算海明码计算要按以下步骤来进行：计算校验码位数→确定校验码位置→确定校验码1. 计算校验码位数假设用N表示添加了校验码位后整个传输信息的二进制位数，用K代表其中有效信息位数，r表示添加的校验码位数，它们之间的关系应满足：N=K＋r≤2r－1（是为了确保r位校验码能校验全部的数据位，因为r位校验码所能表示的最大十进制数为2r-1，同时也确保各位码本身不被其他校验码校验）信息码位数12~45~1112~2627~5758~120121~247校验码位数2 3 4 5 6 7 82. 确定校验码位置海明码的校验码的位置必须是在2n次方位置（n从0 开始，分别代表从左边数起分别是第1、2、4、8、16……），信息码也就是在非2n次方位置3. 确定校验码校验位置选择原则：第i位校验码从当前校验码位开始，每次连续校验i位后再跳过i位，然后再连续校验i位，再跳过i位，以此类推。
确定每个校验码所校验的比特位：P1校验码位校验的码字位为：第1位（也就是P1本身）、第3位、第5位、第7位、第9位、第11位、第13位、第15位，……。
P2校验码位校验的码字位为：第2位（也就是P2本身）、第3位，第6位、第7位，第10位、第11位，第14位、第15位，……。
P3校验码位校验的码字位为：第4位（也就是P4本身）、第5位、第6位、第7位，第12位、第13位、第14位、第15位，第20位、第21位、第22位、第23位，……。
检错和纠错机制
检错和纠错机制检错和纠错机制检错和纠错机制是现代通信系统中常见的技术。
这些机制旨在确保通信过程中信息的准确性和完整性。
在通信领域中，检错和纠错机制是保证数据传输可靠和准确的必要条件。
本文将对检错和纠错机制进行详细介绍。
一、概述检错和纠错机制是通过数学算法实现的技术。
这些算法可以分为两类：检错码和纠错码。
检错码用于检测错误，并确定错误的类型和位置。
而纠错码则可以通过检测出错位来恢复数据。
检错和纠错码是通信协议的一部分，用于在通信过程中检测和纠正错误。
二、检错码1. 奇偶校验码奇偶校验码是最简单的检错码，它适用于只有一个错误位的情况。
该方法要求将数据的所有比特位相加，得到的和可能是奇数或偶数。
如果和是偶数，检验码置0，否则置1。
2. 循环冗余校验码（CRC）CRC码是一种适用于任意长度消息的检错码，有效的检测多位错误以及掩盖错误。
CRC码通过对消息进行多项式模运算得到校验码，这个校验码唯一地标识了这个消息。
在接收端，接收方也可以应用CRC算法来计算出一个新的校验码，并将其与发送的校验码进行比较。
如果两个校验码不匹配，那么就说明该消息包含错误。
3. 海明码海明码是能够检测和纠正多个错误的一种检错码。
它是通过将信息比特重新排列并添加纠错比特位来实现的。
海明码有多个级别，每个级别增加的纠错比特位数都是从前一个级别的一倍。
例如，一个3位海明码可以检测和纠正一个错误，而一个7位海明码可以检测和纠正两个错误。
三、纠错码1. 奇偶纠正码奇偶纠正码是一种简单的纠错码。
与奇偶校验码类似，它要求将数据的比特位相加，以得到一个奇偶性校验码。
当出现错误时，可以使用奇偶校验码来确定错误的位置，并进行纠正。
2. BCH码BCH码可以检测和纠正多个错误。
它的性能比海明码好，但在处理大数据块时计算代价较高。
这种码涉及到高度数多项式，因此需要反复的除法和乘法计算。
BCH码可以处理单个错误，但也有特殊版本可以用于处理多个错误和位反转。
第3讲数据的检错与纠错
停发等侯重发： 原理简单，发送过程是间歇式的，数据传输 效率不高，仍在计算机通信中应用。 返回重发： 传输效率比停发等候系统有很大改进，在很 多数据传输系统中得到应用。 选择重发： 传输效率最高，但要求较为复杂的控制，在 收、发两端都要前向纠错 正向 通道
例题
已知6个码组为：0000000，0001011， 0010101，0011110，0100110，101101。 求其间的最小码距dmin和能检出和纠正的 错码数t。 dmin=3 纠错：要求最小码距d02t+1 则 t=1
结论
要提高纠错检错能力，必须增大最小码 距。 用码率R=k/n表征编码效率。最小码距越 大，编码效率越低。 编码理论要解决的问题就是找出许用码 的集合，既要纠错能力强，又要编码效 率高。
译码器
用户
混合纠错
信源
将前向纠错和检错重发方式的结合。当在该码 的纠错能力范围内时，自动纠正；当错误过多， 反向 通道 超出其纠错能力时，反馈重发。
检错重发 正向 通道 反向 通道 混合纠错 图2.3-1差错控制的基本方式 用户
编码器
缓冲与 控制
译码器
缓冲与 控制
用户
信源
ARQ
FEC
FEC
ARQ
2.3.2 纠错检错码的基本原理
在数字信号序列中加入一些冗余码元这些冗余码元不含有通信信息但与信号序列中的信息码元有着某种制约关系这种关系在一定程度上可以帮助人们发现或纠正在信息序列中出现的错误也就是误码从而起到降低误码率的作用差错控制编码
电力系统通信与网络技术
第三讲 数据的检错与纠错
2.3 数据的检错与纠错
可以一位纠错检错检错,不能两位检错的海明码校验码设计
可以一位纠错检错检错,不能两位检错的海明码校验码设计
（原创版）
目录
1.海明码校验码设计的基本概念
2.海明码的校验原理
3.一位纠错检错检错方法的实现
4.不能两位检错的限制
5.海明码在校验码设计中的应用
正文
海明码是一种广泛应用于数据传输和存储的错误检测和纠正码，它可以检测到数据中的错误并在必要时进行纠正。
海明码的设计基于校验码的原理，即通过附加的校验位来检测数据中的错误。
海明码的校验原理是通过校验位与数据位之间的异或运算来检测错误。
当数据传输或存储过程中出现错误时，校验位会与数据位产生错误的异或结果，从而可以检测到错误的存在。
如果错误位数小于等于校验码的校验能力，那么错误可以被纠正。
一位纠错检错检错方法是海明码校验码设计中的一种实现方式。
这种方法的优点是简单易实现，缺点是校验能力较低，只能检测到单个错误位。
在实际应用中，为了提高校验能力，需要增加校验位的数量，但这会增加计算复杂度和存储空间。
在海明码的设计中，有一个重要的限制是不能两位检错。
这是因为在两位检错的情况下，校验码的校验能力会大大降低，无法有效地检测和纠正错误。
因此，海明码的校验设计通常采用一位纠错检错检错方法。
海明码在校验码设计中的应用非常广泛，它不仅可以用于数据传输和存储中的错误检测和纠正，还可以应用于密码学和安全领域。
海明码的设
计和实现需要根据具体的应用场景和需求来选择合适的校验能力和校验方法。
总的来说，海明码校验码设计是一种重要的错误检测和纠正技术，它可以有效地保护数据的正确性和完整性。
计算机网络和数据通信10检错与纠错
Let us find the Hamming distance between two pairs of words. 1. The Hamming distance d(000, 011) is 2 because
2. The Hamming distance d(10101, 11110) is 3 because
10.14
汉明距离
• 汉明距离(Hamming Distance) (码距)是两 个字符串对应位置的不同字符(二进制码元) 的个数。 • 而在一种编码中,任意两个许用码组间距离 的最小值,即码组集合中任意两元素间的最 小距离,称为这一编码的最小汉明(Hamming) 距离,以 d min 表示。
Example 10.4
10.28
Example 10.12
Let us look at some transmission scenarios. Assume the sender sends the dataword 1011. The codeword created from this dataword is 10111, which is sent to the receiver. We examine five cases: 1. No error occurs; the received codeword is 10111. The syndrome is 0. The dataword 1011 is created. 2. One single-bit error changes a1 . The received codeword is 10011. The syndrome is 1. No dataword is created. 3. One single-bit error changes r0 . The received codeword is 10110. The syndrome is 1. No dataword is created.
海明码距离及检错纠错问题和CRC校验
海明码距离及检错纠错问题和CRC校验海明校验码两个长度相等的字符串的海明距离是在相同位置上不同的字符的个数，也就是将⼀个字符串替换成另⼀个字符串需要的替换的次数。
海明距离与检错和纠错的关系:1.海明距离为d+1的编码能检测出d位差错。
因为在距离为d+1的检验码中，只改变d位的值，不可能产⽣另⼀个合法码。
如奇偶校验码，海明距离为2，能查出单个错。
2.海明距离为2d+1的编码，能纠正d位差错。
因为此时，如果⼀个码字有d位发⽣差错，它仍然距离原来的码字距离最近，可以直接恢复为该码。
（奇偶校验码，海明距离为2，可以检出单个错）纠正单⽐特错的冗余位下界,m为数据位数，r为校验位数 (m+R+1)≤2^r1.每⼀个码字从左到右编号，最左边为第1位2.校验位和数据位凡编号为2的乘幂的位是校验位，如1、2、4、8、16、……。
其余是数据位，如3、5、6、7、9、……。
3.每⼀个校验位设置根据：包括⾃⼰在内的⼀些位的集合的奇偶值(奇数或偶数)。
海明码纠错过程(只纠错1位)⾸先将差错计数器置“0”。
当海明码数据到达接收端后，接收端逐个检查各个校验位的奇偶性。
如发现某⼀校验位和它所检测的集合的奇偶性不正确，就将该检验位的编号加到差错计数器中。
待所有校验位核对完毕：若差错计数器仍为“0”值，则说明该码字接收⽆误。
⾮“0”值，差错计数器的值为出错位的编号，将该位求反就可得到正确结果。
循环冗余检错码CRC可以检测到所有长度⼩于等于r的突发错误⼴泛⽤于各种⽹络，⼏乎所有的局域⽹使⽤CRC编码时发送⽅和接收⽅必须预先商定⼀个⽣成多项式G(x),假设有⼀个m为的帧M(x)，使⽤G(x)⽣成的帧的步骤如下：假设G(x)的阶为r，那么M(x)在末尾添加r个0，得到 m+r位的位模式。
利⽤模2出发，⽤G(x)去除 ,得到对应的余数（总是⼩于等于r位）。
利⽤减去(模2减法)第2步中得到的余数，得到的位模式就是即将被传输的带校验和的帧⼩结：Sender在数据帧的低端加上r个零，对应多项式为XrM(x)采⽤模2除法，⽤G(x)去除XrM(x)，得余数采⽤模2减法，⽤XrM(x)减去余数，得到带CRC校验和的帧Receiver⽤收到的幀去除以G（x）为零：⽆错误产⽣。
2-4 检错码和纠错码
第二讲 码制※ 检错码和纠错码 ※《数字电子技术基础》第二讲 码制█ 误差检验码(Error-detecting Codes)由于存在干扰，二进制信息在传输过程中会出现 错误。
为发现并纠正错误，提高数字设备的抗干扰能 力，必须使代码具有发现错误并纠正的能力，这种代 码称为误差检验码（ Error-detecting Codes ）。
最常用的误差检验码为奇偶校验码。
它的编码方 法是在信息码组外增加一位监督码元，增加监督码元 后，使得整个码组中“1”码元的数目为奇数或为偶数。
若为奇数，称为奇校验码(Odd parity)；若为偶数， 称为偶校验码(Even parity)。
《数字电子技术基础》第二讲 码制表18421BCD码奇偶校验码示例奇校验码 1 0000 0 0001 0 0010 1 0011 0 0100 1 0101 1 0110 0 0111 0 1000 1 1001 偶校验码 0 0000 1 0001 1 0010 0 0011 1 0100 0 0101 0 0110 1 0111 1 1000 0 1001 《数字电子技术基础》信息码 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001第二讲 码制◆ 奇/偶校验码工程示例：数据发送端 数据接收端偶校验01001 00101 10111…01001 00100 10111… Error!《数字电子技术基础》图1 奇偶校验码工程示例第二讲 码制◆ 奇偶校验码的特点：★ 奇偶校验码可以检测单向单错。
★ 奇偶校验码中，信息码和校验码是可以分 离的，故称为可分离码。
★ 无需任何附加电路可以从收到的奇偶校验码 中取得信息码，从而简化了译码过程。
《数字电子技术基础》第二讲 码制█ 误差纠错码(Error-correcting Codes)汉明距离（ HammingDistance Distance ）—— 汉明距离（ Hamming ）—— 汉明距离是指两个等长字符串对应位置的字符不同的 个数，即将一个字符串变换成另外一个字符所需要替换的 字符个数。
容错纠错三个区分开来内容
容错纠错三个区分开来内容容错、纠错和三个区分容错、纠错和三个区分是指在信息传输或处理过程中，通过采取相应的措施来防止错误信息的发生，并在发生错误时进行纠正的过程。
容错和纠错是信息技术领域中常用的概念，它们都是为了保证信息的准确性和可靠性而存在的。
而三个区分则是对容错和纠错的不同方面进行划分和区分。
容错是指在信息传输或处理过程中，通过采用一系列的措施来避免错误的发生，或者是在发生错误时能够自动进行错误的修复和纠正，从而保证系统的稳定性和可靠性。
容错技术主要包括冗余技术、检错技术和恢复技术等。
冗余技术是指在信息传输或处理中，对关键信息进行冗余编码和备份存储，当发生错误时可以通过备份信息来进行恢复；检错技术是指通过添加冗余的校验位或校验码来检测错误，并进行相应的纠正；恢复技术是指通过备份和恢复机制来进行错误的修复和恢复。
容错技术的目标是在发生错误时尽可能地保证系统的正常运行，减少错误的影响。
纠错是指在信息传输或处理中，通过采用一系列的措施来检测错误并进行相应的纠正，从而保证信息的准确性。
纠错技术主要包括编码技术、差错编码技术和纠错码技术等。
编码技术是指在信息传输或处理中，对原始信息进行编码和解码，以提高信息的可靠性和稳定性；差错编码技术是指通过添加冗余的编码信息来检测和纠正错误；纠错码技术是指通过引入冗余信息来检测和纠正错误，并在一定范围内实现错误的自动修复。
纠错技术的目标是通过检测和纠正错误来提高信息的可靠性和正确性。
三个区分是指对容错和纠错的不同方面进行划分和区分。
首先，容错和纠错的目标不同，容错的目标是在发生错误时尽可能地保证系统的正常运行，减少错误的影响；而纠错的目标是通过检测和纠正错误来提高信息的可靠性和正确性。
其次，容错和纠错的实现方式不同，容错主要通过冗余技术、检错技术和恢复技术等来实现；而纠错主要通过编码技术、差错编码技术和纠错码技术等来实现。
最后，容错和纠错的应用场景不同，容错主要应用于对系统的整体运行进行保护和修复；而纠错主要应用于对信息的传输和处理进行纠正和修复。
2-4 检错码和纠错码
第二讲 码制※ 检错码和纠错码 ※《数字电子技术基础》第二讲 码制█ 误差检验码(Error-detecting Codes)由于存在干扰，二进制信息在传输过程中会出现 错误。
为发现并纠正错误，提高数字设备的抗干扰能 力，必须使代码具有发现错误并纠正的能力，这种代 码称为误差检验码（ Error-detecting Codes ）。
最常用的误差检验码为奇偶校验码。
它的编码方 法是在信息码组外增加一位监督码元，增加监督码元 后，使得整个码组中“1”码元的数目为奇数或为偶数。
若为奇数，称为奇校验码(Odd parity)；若为偶数， 称为偶校验码(Even parity)。
《数字电子技术基础》第二讲 码制表18421BCD码奇偶校验码示例奇校验码 1 0000 0 0001 0 0010 1 0011 0 0100 1 0101 1 0110 0 0111 0 1000 1 1001 偶校验码 0 0000 1 0001 1 0010 0 0011 1 0100 0 0101 0 0110 1 0111 1 1000 0 1001 《数字电子技术基础》信息码 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001第二讲 码制◆ 奇/偶校验码工程示例：数据发送端 数据接收端偶校验01001 00101 10111…01001 00100 10111… Error!《数字电子技术基础》图1 奇偶校验码工程示例第二讲 码制◆ 奇偶校验码的特点：★ 奇偶校验码可以检测单向单错。
★ 奇偶校验码中，信息码和校验码是可以分 离的，故称为可分离码。
★ 无需任何附加电路可以从收到的奇偶校验码 中取得信息码，从而简化了译码过程。
《数字电子技术基础》第二讲 码制█ 误差纠错码(Error-correcting Codes)汉明距离（ HammingDistance Distance ）—— 汉明距离（ Hamming ）—— 汉明距离是指两个等长字符串对应位置的字符不同的 个数，即将一个字符串变换成另外一个字符所需要替换的 字符个数。
容错纠错监督方案
容错纠错监督方案容错纠错监督方案是指在计算机系统中，利用不同的算法和策略来检测和纠正出现的错误，并通过监督来确保系统的可靠性和稳定性。
在实际运用中，容错纠错监督方案可以有效提高系统的性能和可靠性，减少系统故障的发生，保障工作的顺利进行。
1. 容错技术容错技术是指在计算机系统中采用的一种可靠性提高技术，主要通过复制数据或硬件资源来确保系统的可靠性和稳定性。
常见的容错技术包括备份、冗余、镜像和多路复用等。
1.1 备份备份是指通过将数据备份到其他存储介质中，从而避免由于原始数据的丢失或损坏而导致的系统故障。
备份技术可以有效提高系统的可靠性，使系统具有更强的容错性能。
1.2 冗余冗余是指将相同的数据或硬件资源多次复制到不同的地方，以确保系统遇到故障时可以自动切换到备用资源。
冗余技术包括硬件冗余和软件冗余，可以有效提高系统的可靠性和稳定性。
1.3 镜像镜像是指将一个物理设备或存储介质中的数据复制到另一个相同的设备或介质中。
镜像技术可以确保系统在数据出现故障时具有备用的数据来源，从而避免数据的丢失或损坏。
1.4 多路复用多路复用是指将多个数据信号分时复用到一个信道中，从而实现数据传输的高效性。
多路复用技术可以确保在数据传输过程中出现问题时，系统能够自动切换到备用信道，保证数据传输的完整性和可靠性。
2. 纠错码技术纠错码技术是指在数据传输过程中，采用一定的编码方法来检验和纠正数据传输中的错误。
常见的纠错码技术包括海明码、循环冗余校验码、布谷鸟码等。
2.1 海明码海明码是一种数据编码方法，通过增加校验码的方式来检测和纠正传输过程中出现的错误。
海明码具有简单易实现、可扩展性好、纠错能力强等优点，广泛应用于数据传输和存储领域。
2.2 循环冗余校验码循环冗余校验码是一种根据差错控制编码理论而形成的检错技术，主要通过校验和校验码来检验数据传输过程中的错误。
循环冗余校验码具有检错能力强、复杂度低、计算速度快等优点，被广泛应用于传输和存储领域。
最小码距和检错纠错能力关系
最小码距和检错纠错能力关系一、码距？码距就是两个码字C1与C2之间不同的比特数。
如：1100与1010的码距为2;1111与0000的码距为4。
一个编码系统的码距就是整个编码系统中任意(所有)两个码字的最小距离。
若一个编码系统有四种编码分别为：0000，0011，1100，1111，此编码系统中0000与1111的码距为4;0000与0011的码距为2，是此编码系统的最小码距。
因此该编码系统的码距为2。
二、码距和检错纠错有何关联?首先大家要了解以下两个概念：1.在一个码组内为了检测e个误码，要求最小码距应该满足：d>=e+12.在一个码组内为了纠正t个误码，要求最小码距应该满足：d>=2t+1现在举个例子来说明这个问题：假如我们现在要对A，B两个字母进行编码。
我们可以选用不同长度的编码，以产生不同码距的编码，分析它们的检错纠错能力。
||-- 若用1位长度的二进制编码。
若A=1，B=0。
这样A，B之间的最小码距为1。
合法码：{0,1｝;非法码：{0,1｝;根据上面的规则可知此编码的检错纠错能力均为0，即无检错纠错能力。
其实道理很简单，这种编码无论由1错为0，或由0错为1，接收端都无法判断是否有错，因为1，0都是合法的编码。
||-- 若用2位长度的二进制编码，可选用11，00作为合法编码，也可以选用01，10作为合法编码。
若以A=11，B=00为例，A、B之间的最小码距为2。
合法码：{11,00｝;非法码：{01,10｝;根据上面的规则可知此编码的检错位数为1位，无法纠错。
因为无论A(11)或B(00)，如果发生一位错码，必将变成01或10，这都禁用码组(非法码)，故接收端可以判断为误码，却不能纠正其错误。
因为无法判断误码(01或10)是A(00)错误还是B(11)错误造成，即无法判断原信息是A或B，或说A与B形成误码(01或10)的可能性(概率)是相同的。
如果产生二位错码，即00错为11，或11错为00，结果将从一个合法编变成另一个合法编码，接收端就无法判断其是否有错。
纠错检错能力和码距的关系
纠错检错能力和码距的关系
哎呀，一看到“纠错检错能力和码距的关系”这个题目，我一开始真的是一头雾水，感觉就像走进了一个超级神秘的迷宫！
你想啊，纠错检错，这听起来就好像是在一堆乱乱的拼图里找出错误的那块，然后把它换成正确的。
而码距呢，就像是拼图之间的距离，或者说是差异。
比如说，我们把信息看成是一个个小士兵，它们要排好队去完成任务。
如果它们排的队伍很整齐，彼此之间的间隔很清楚，那是不是很容易发现谁站错了位置？这就好像码距大，纠错检错就容易得多。
相反，如果这些小士兵挤在一起，乱糟糟的，你是不是很难一下子就看出谁出了错？这就像是码距小，纠错检错可就难了呀！
就拿我们在学校做数学题来说吧。
老师批改我们的作业，就像是在进行纠错检错。
如果我们的字迹很清楚，步骤写得很明白，老师一眼就能看出哪里错了，对吧？这就像码距大，容易被发现错误。
可要是我们写得乱七八糟，字又丑，步骤也不清楚，老师找错误是不是得费好大的劲？这就是码距小，纠错难啊！
再比如说，我们玩捉迷藏。
藏得太近，一下子就被找到了，这多没意思；藏得远一些，找的人就得费心思，可这样才更有趣，不是吗？码距大，就像是藏得远，不容易被发现错误；码距小，就像是藏得近，错误一下子就暴露啦。
我觉得啊，要想让信息传递更准确，就像我们想要把作业做得全对一样，得让码距大一些，这样纠错检错能力才能更强，信息才能更准确无误地传递。
你觉得我说得对不对呀？。
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错码，S=1则有错码。
奇校验码：即对信码的码重为奇数者而在其后面加‘0’码，对原来信码的码重为偶数者而在其后面加‘1’码，最终使得全部码字的码重为奇数， 称此种方式为奇校验码，可检测出偶数个错误。
实用编码
奇偶校验码（n,k）=（n,n-1）
n为码长，k为信息位，监督位r。监督位r=n-k=1。 一个码字中‘1’码的总个数称为码重，可能为奇，可能为偶。奇偶校验码只适合检测随机错 码。 偶校验码：即对原来信息码的码重为奇数者而在其后面加‘1’码，或者对原来信息码的码重为偶数者而在其后面加‘0’码，最终使得全部码字 n=k+1的码重为偶数，称此种方式为偶校验码，可检测出奇数个错误。
• 多项式编码（循环冗余校验码CRC）
循环码(n,k)的生成多项式g(x)是(xn +1)的一个(n – k)次因式。例如(7,3) 码， g(x)是(x7 +1)的一个(7 – 3=4) 次因式，(x7 + 1)可以分解为
x7 1 (x 1)( x3 x2 1)( x3 x 1)
实用编码
• 二维奇偶校验码（方阵码） 将一组信息码字构成阵列，分别对其行和列进行奇偶校验编码。方阵码 适合检测突发错码，因为突发错码常常成串出现。方阵码不仅可以用来 检错，而且可以用来纠正一些错。如图，对码组行和列分别进行偶校验 编码，当码组中仅在一行中有奇数个错码时，就能确定错码的位置，从 而纠正它。
发这组数据。 • 特点：充分发挥码的检错和纠错性能,在较差的信道中仍可收到较好的效果，需反馈信道和较
复杂的译码电路
最小码距：把某种编码中各个码组之间距离的最小值称为 最小码距(d0)
纠错码分类
• 从功能角度讲,差错码分为检错码和纠错码
• 检错码：用于发现差错 • 纠错码：能自动纠正差错
• 按照对信息序列的处理方法,有分组码和卷积码 • 线性分组码（n,k） ：
• 线性分组码（n,k）
• S=Cn-1+ Cn-2+Cn-3+…+C0
S1S2S3
001 010 100 011
错码位置 S1S2S3 错码位置
C0
101 C4
C1
11C3
000 无错码
G的各行本身就是一个码组
• 循环码
• 循环性：循环性是指任一码组循环一位（即将最右端的一个码元移至左端，或反之）以后，仍 为该码中的一个码组。
• (n,k)线性分组码的基本特征是，以K位信息码组，按照监督规则构成n-k=r个监 督位，监督位只与本码组K位信息位有关，即监督位只监督本码组的码字，因 此（n,k）码是各长度为n的码字，独立生成并独立检错、纠错，它更适于以分 组包进行数据通信的检错及反馈重发纠错。
• 卷积码(n0,k0,N)：
检错与纠错
检错和纠错在通信系统中的信道编码和译码中得到体现。 信道编码定义与功能：利用差错控制技术进行可靠的传输和存储数据，以降低系统传输差错率，提高系统 可靠性。 按差错控制编码的不同功能分为： 检错码：发现错误的码。 纠错码：自动纠正错误的码。 纠错码与检错码在理论上没有本质区别,只是应用场合不同,而侧重的性能参数也不同。 纠错编码之所以具有检错、纠错能力,是因为在信息码元之外加入了监督码。监督码不载荷任何信息,只是 用来监督信息码在传输中有无差错。
• 随机错码：
• 错码出现随机的，且错码之间是统计独立的、不相关。如白噪声引起的错码就是随机错码。
• 突发错码：
• 噪声对各传输码元的影响不是独立的，错误与错误间有相关性,一个差错往往要影响到后面一串字， 从而导致差错是成串出现的。例如移动通信中信号在某一段时间内发生衰落，造成一串差错；光盘 上的一条划痕等
+ 则各位模2加为1，即Cn-1 Cn-2+Cn-3+…+C0=1,C0为监督位，其他为信息位。
例如，当发送信息码1011010（码重为4即码重为偶数）时，在信息码后面加‘0’变成10110100，全部码字码重为偶（偶校验码），当码字中有 一位（设第2位）发生突变时，码变为11110100，码重为奇，则可检测出现错码。若出现奇数个错码则全部码字码重为 奇，则检测有奇数个码出 错；若出现偶数个错码则全部码字码重为 偶，和原来码字的码重一样，则无法判断是否出错，所以偶校验码只能检测出奇数个错码。
差错控制技术
• 反馈重发（ARQ）
• 在发端发送的码元序列中加入差错控制码（监督码、校验元）,接收端利用这些码元检测到有 错时，通过反向信道告知发送端重新发送，直到正确接收为止。
• 特点： 通信系统需要反馈信道,即信道是双向的，但是译码设备不会很复杂,对突发错误特别 有效。
• 前向纠错(FEC)：
• 在发端发送的码元序列中加入更多的差错控制码,接收端不但能够发现错码，还能纠正错码。 • 特点：单向连续传输,实时性好；译码电路比ARQ复杂。
• 混合纠错(HEC)：
• 是FEC与ARQ方式的结合。 • 发端发送同时具有自动纠错和检测能力的码组,收端收到码组后,检查差错情况,如果差错在码
的纠错能力以内,则自动进行纠正。 • 如果信道干扰很严重,错误很多,超过了码的纠错能力,但能检测出来,则经反馈信道请求发端重