有关数学分析在高等代数中的应用
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文通过 一些具体 实例， 展 示数 学分析 在高 等代 数相 关 问题 中的渗透 ， 从而体 现 出数学分 析 与高等代 数 两者 的完美 结
合， 增 加 数 学 专 业 的 学生 学 习 的兴 趣 ．
Ｉ ， （ 。 ） ｇ （ ｎ ） ｈ （ ｎ ） Ｉ
ｚ （ 。 ）＝ ｌ ｂ ）ｇ （ ｂ ）ｈ （ ｂ ） ｝ ＝ ０ ，
） 川 ｌ ｉ ａ ｒ
Ｌ （ ｘ ＋ ２ ｈ ） 一 （ ＋ ＾ ） ＋ （ ） ｝ （ ｝ ） （ ＋ ｈ ） 一 （ ）
． ．
（ ． 一１ ） ＋
上（ 一１ ）
Ｌ（ ｘ ＋ ２ ｈ ） 一 ｘ ＋ ｈ ） ＋ （ ）
— — — — — — 一
ｌ
其 中函数＿ 厂 （ ） 在点 ‰存在直 到 ｎ阶的导数． 因此 ， 可 以 试用它来解答． 例 １ 将 多项 式厂 （ ）＝ 一６ ’ ＋１ ２ ｘ 一７ ｘ一 ４按 一
１的 方 幂 展 开 ．
极限进行适 当变形 ， 并 由导数定义和洛必达法则得
原式 ＝
．
ｍ
｛
）＋
（
） ：＋
Ｉ （ ） （ ＋ｈ ） （ ＋ ２ ｈ ） ｌ
—
ｍ加
ｍ加
一 、 苎 ， 一 ＋２ 一 ＋ 一 例３ 求极限 ｛ ｉ ｍ 古１ （ ） （ ＋ ｈ ） （ ＋ ｈ ） １ ，
ｎ ｌ
、
间（ ， ｂ ）上 可导 ．
数学分 析和高等代 数作 为数学 专 业 的专 业基 础课 ， 两 者 的理论基 础虽然不 一样 ， 但 是它 们在一 定程 度上 又有 着
一
于是 由罗尔定 理知至少存在一个
（ ｎ ， ｂ ） ， 使 得
定 的联 系． 本文结合多年来讲授 的高等代数 选讲 课程 ， 谈
。 ， ‘
ｌ （ ） （ ＋ｈ ） （ ＋ 一２ 一 ｈ ） ｌ 一一
、 Ｊ一 — 一 、 ，一 — 一 其中 （ ） （ ） （ ）存在 ＝ 阶导数． 解 由于 （ ） （ ） （ ） 存在 ＝阶导数 ， 故将所求
”
”
— — — — — — 一
厂 ， （ ） ： １ ２ ｚ 一 ３ ６ ＋ ２ ４ ｛ ： ０ ，
尸， ， （ ） ：２ ４ 一３ ６ ：一２ ，
，
—
（ ＋ ） 一 ｘ ＋ ｈ ） ＋ ， ３ （ ｚ ）
— — — — — 一
） ｌ ｉ ａ ｒ
Ｚ （ ｂ ）＝ ｌ 厂 ｌ （ ｂ ） ｇ （ ｂ ） ｈ （ ｂ ） ｌ ＝０ ．
Ｉ 厂 ＿ （ ｂ ） ｇ （ ６ ） ｈ （ ｂ ）ｌ 由已知条件－ 厂 （ ） ， ｇ （ ｘ ） ， ｈ （ ｘ ） 均连续且 可导知 Ｚ（ ｘ ）也 必然连续且可 导 ， 从而有 Ｚ（ ） 在闭区间 ［ 。 ， ｂ ］ 上连续 ， 开区
解 由泰勒公式得 ｆ （ ｘ ）：八 １ ）＋ ） （ 一１ ）＋
，
（ 一１ ） ＋
方ｌ １ ｌ Ｌ （ ｘ ） ， ２ （ ） 一
（ ）
（ ｌ ）Ｌ （ ｘ ＋ ｈ ） － ｆ ， （ ｘ ） （ ＋ ） 一 ｘ ＋ ｈ ） ＋ （ ） ｌ Ｌ （ ｘ ＋ ２ ｈ ） 一 ２ ， ２ ｘ ＋ ｈ ） ＋ ， ２ （ ） ｌ
一
ｆ 。 ） ｇ （ ａ ） ｈ （ ａ ）ｆ
谈数学分析 在高 等代 数方面的应用． 纯 数 学 分 析 的 方 法 应 用 高等代数的多项式理论 中， 一个函数可 以按要求展成方幂
、
ｚ （ ）＝Ｉ ｂ ） ｇ （ ｂ ） ｈ （ ｂ ）ｌ ＝ ０ ．
Ｉ 厂（ ） ｇ （ ） ｈ （ ）Ｉ 二、 数学分析方法 与高等代数方 法混合使 用
从 而． 厂 （ ）＝一４＋３ （ 一１ ）一２（ 一１ ） ＋（ 一１ ） ４ ． 而一些 高等代数 中的题 目本 身就 含有 数学 分析 内容 ， 有时也是采用纯数学分析的方法 ， 见下例． 例２ 已知 三个 函数＿ 厂 （ ） ， ｇ （ ） ， ｈ （ ）均连 续且 可 导，
而厂 （ ） ＝ 一６ ｘ ＋１ ２ ｘ 一７ ｘ一４ １ ） ＝一４ ， ｔ ｘ 、＝４ ｘ ５～１ ８ ｘ ｜＋２ ４ ｘ一 ｆ ｔ １ ＝３ ，
Ｌ（ ｘ ） Ｌ （ ｘ ）
）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，
．
Ｌ （ ｘ ＋ ２ ｈ ） 一 （ ＋ ｈ ） ＋ ， ２ （ ）
巷
蒜 。 １ ８ 。 ｊ 矗 曼
一 一 鳓 瓣霉 鼯
毒 数 学分概在高等代 数 咿 庶用 ｌ
◎陈仁 莲 （ 广 东石 油化 工学院 理 学院 ， 广东 茂名
显 然 有
５ ２ ５ ０ ０ ０ ）
【 摘要 】 数学分析 与高 等代数看 上去 没有 太 多关系 ， 本
一
和的形式 一般情况下 ， 直接采用综合除法来求得 而数学分析 中的泰勒多项式恰好具备方幂和的形式 ， 形式如下 （ ）：ｆ （ ｘ ｏ ）＋ 厂（ Ｘ ０ ） （
（ 粕 ），
… … — — 一
般 情况 下 ， 在 解决 问题 时 ， 需 将代 数 与分 析 结合 起
，
来． 下面通过例子来展 现．
Ｊ 厂 ＿ （ ｎ ） ｇ （ 。 ） ｈ （ ｎ ）Ｊ
【 关键词 】 行列 式； 极限 ； 矩阵 【 中图分 类号 】 ０ １ ７ ２ 【 文献标 识码 】 Ａ 【 基 金 项 目】 广 东 石 油 化工 学 院校 级 教 研 教 改 课 题
（ ６ ５ ０ ３ ７ １ ）
ｌ ， （ 。 ） ｇ （ ａ ） ｈ （ 。 ） ｌ
合， 增 加 数 学 专 业 的 学生 学 习 的兴 趣 ．
Ｉ ， （ 。 ） ｇ （ ｎ ） ｈ （ ｎ ） Ｉ
ｚ （ 。 ）＝ ｌ ｂ ）ｇ （ ｂ ）ｈ （ ｂ ） ｝ ＝ ０ ，
） 川 ｌ ｉ ａ ｒ
Ｌ （ ｘ ＋ ２ ｈ ） 一 （ ＋ ＾ ） ＋ （ ） ｝ （ ｝ ） （ ＋ ｈ ） 一 （ ）
． ．
（ ． 一１ ） ＋
上（ 一１ ）
Ｌ（ ｘ ＋ ２ ｈ ） 一 ｘ ＋ ｈ ） ＋ （ ）
— — — — — — 一
ｌ
其 中函数＿ 厂 （ ） 在点 ‰存在直 到 ｎ阶的导数． 因此 ， 可 以 试用它来解答． 例 １ 将 多项 式厂 （ ）＝ 一６ ’ ＋１ ２ ｘ 一７ ｘ一 ４按 一
１的 方 幂 展 开 ．
极限进行适 当变形 ， 并 由导数定义和洛必达法则得
原式 ＝
．
ｍ
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一 、 苎 ， 一 ＋２ 一 ＋ 一 例３ 求极限 ｛ ｉ ｍ 古１ （ ） （ ＋ ｈ ） （ ＋ ｈ ） １ ，
ｎ ｌ
、
间（ ， ｂ ）上 可导 ．
数学分 析和高等代 数作 为数学 专 业 的专 业基 础课 ， 两 者 的理论基 础虽然不 一样 ， 但 是它 们在一 定程 度上 又有 着
一
于是 由罗尔定 理知至少存在一个
（ ｎ ， ｂ ） ， 使 得
定 的联 系． 本文结合多年来讲授 的高等代数 选讲 课程 ， 谈
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ｌ （ ） （ ＋ｈ ） （ ＋ 一２ 一 ｈ ） ｌ 一一
、 Ｊ一 — 一 、 ，一 — 一 其中 （ ） （ ） （ ）存在 ＝ 阶导数． 解 由于 （ ） （ ） （ ） 存在 ＝阶导数 ， 故将所求
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— — — — — — 一
厂 ， （ ） ： １ ２ ｚ 一 ３ ６ ＋ ２ ４ ｛ ： ０ ，
尸， ， （ ） ：２ ４ 一３ ６ ：一２ ，
，
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— — — — — 一
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Ｚ （ ｂ ）＝ ｌ 厂 ｌ （ ｂ ） ｇ （ ｂ ） ｈ （ ｂ ） ｌ ＝０ ．
Ｉ 厂 ＿ （ ｂ ） ｇ （ ６ ） ｈ （ ｂ ）ｌ 由已知条件－ 厂 （ ） ， ｇ （ ｘ ） ， ｈ （ ｘ ） 均连续且 可导知 Ｚ（ ｘ ）也 必然连续且可 导 ， 从而有 Ｚ（ ） 在闭区间 ［ 。 ， ｂ ］ 上连续 ， 开区
解 由泰勒公式得 ｆ （ ｘ ）：八 １ ）＋ ） （ 一１ ）＋
，
（ 一１ ） ＋
方ｌ １ ｌ Ｌ （ ｘ ） ， ２ （ ） 一
（ ）
（ ｌ ）Ｌ （ ｘ ＋ ｈ ） － ｆ ， （ ｘ ） （ ＋ ） 一 ｘ ＋ ｈ ） ＋ （ ） ｌ Ｌ （ ｘ ＋ ２ ｈ ） 一 ２ ， ２ ｘ ＋ ｈ ） ＋ ， ２ （ ） ｌ
一
ｆ 。 ） ｇ （ ａ ） ｈ （ ａ ）ｆ
谈数学分析 在高 等代 数方面的应用． 纯 数 学 分 析 的 方 法 应 用 高等代数的多项式理论 中， 一个函数可 以按要求展成方幂
、
ｚ （ ）＝Ｉ ｂ ） ｇ （ ｂ ） ｈ （ ｂ ）ｌ ＝ ０ ．
Ｉ 厂（ ） ｇ （ ） ｈ （ ）Ｉ 二、 数学分析方法 与高等代数方 法混合使 用
从 而． 厂 （ ）＝一４＋３ （ 一１ ）一２（ 一１ ） ＋（ 一１ ） ４ ． 而一些 高等代数 中的题 目本 身就 含有 数学 分析 内容 ， 有时也是采用纯数学分析的方法 ， 见下例． 例２ 已知 三个 函数＿ 厂 （ ） ， ｇ （ ） ， ｈ （ ）均连 续且 可 导，
而厂 （ ） ＝ 一６ ｘ ＋１ ２ ｘ 一７ ｘ一４ １ ） ＝一４ ， ｔ ｘ 、＝４ ｘ ５～１ ８ ｘ ｜＋２ ４ ｘ一 ｆ ｔ １ ＝３ ，
Ｌ（ ｘ ） Ｌ （ ｘ ）
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，
．
Ｌ （ ｘ ＋ ２ ｈ ） 一 （ ＋ ｈ ） ＋ ， ２ （ ）
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一 一 鳓 瓣霉 鼯
毒 数 学分概在高等代 数 咿 庶用 ｌ
◎陈仁 莲 （ 广 东石 油化 工学院 理 学院 ， 广东 茂名
显 然 有
５ ２ ５ ０ ０ ０ ）
【 摘要 】 数学分析 与高 等代数看 上去 没有 太 多关系 ， 本
一
和的形式 一般情况下 ， 直接采用综合除法来求得 而数学分析 中的泰勒多项式恰好具备方幂和的形式 ， 形式如下 （ ）：ｆ （ ｘ ｏ ）＋ 厂（ Ｘ ０ ） （
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… … — — 一
般 情况 下 ， 在 解决 问题 时 ， 需 将代 数 与分 析 结合 起
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来． 下面通过例子来展 现．
Ｊ 厂 ＿ （ ｎ ） ｇ （ 。 ） ｈ （ ｎ ）Ｊ
【 关键词 】 行列 式； 极限 ； 矩阵 【 中图分 类号 】 ０ １ ７ ２ 【 文献标 识码 】 Ａ 【 基 金 项 目】 广 东 石 油 化工 学 院校 级 教 研 教 改 课 题
（ ６ ５ ０ ３ ７ １ ）
ｌ ， （ 。 ） ｇ （ ａ ） ｈ （ 。 ） ｌ