求函数极限方法的若干方法

求函数极限方法的若干方法

摘要：

关键词：

1引言：极限的重要性

极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数y=f(x)在x=x0处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以下两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。

2极限的概念及性质

2.1极限的概念

2.1.1lim

n→∞

x n=A,任意的正整数N，使得当n>N时就有|x n−A|<ε。

2.1.2lim

x→∞

f(x)=A↔∀ε>0，任意整数X，使得当|x|>X时就有|f(x)−A|<ε。类似可以定

义单侧极限lim

x→+∞f(x)=A与lim

x→−∞

f(x)。

2.2.3，整数，使得当时有。类似可定义当时右极限与左极限：，

。在此处键入公式。

2.2极限的性质

2.2.1极限的不等式性质：设，。

若，则，当时有；

若，使得当时有，则。

2.2.1（推论）极限的保号性：设。

若,则，当时有；

若，使得当时有，则。

2.2.2存在极限的函数局部有界性：设存在极限，则在的某空心邻域内有界，即与，使得当时有3求极限的方法

1、定义法

2、利用极限的四则运算性质求极限,

3、利用夹逼性定理求极限

4、利用两个重要极限求极限，

5、利用迫敛性求极限,

6、利用洛必达法则求极限,

7、利用定积分求极限,

8、利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限

9、利用变量替换求极限, 10、利用递推公式求极限, 11、利用等价无穷小量代换求极限,12、利用函数的连续性求极限, 13、利用泰勒展开式求极限, 14、利用两个准则求极限15、利用级数收敛的必要条件求极限16、利用单侧极限求极限17、利用中值定理求极限

3.1定义法

利用数列极限的定义求出数列的极限.设是一个数列,是实数,如果对任意给定的,总存在一个正整数，当时,都有,我们就称是数列

的极限.记为.

例1 证明

证任给，取，则当时有

，所以。

3.2利用极限的四则运算性质求极限

设，，则，

，。

例1求

解这是求型极限，用相消法，分子、分母同除以得

，其中。

3.3利用夹逼性定理求极限

当极限不易直接求出时, 可考虑将求极限的变量作适当的放大和缩小, 使放大与缩小所得的新变量易于求极限, 且二者的极限值相同, 则原极限存在,且等于公共值。特别是当在连加或连乘的极限里,可通过各项或各因子的放大与缩小来获得所需的不等式。

3.3.1（数列情形）若，使得当时有，且，则。

3.3.2（函数情形）若，使得当时有，又

，则。

例题

解：

，其中，，因此。

3.4利用两个重要极限球极限

两个重要极限是

，或。

第一个重要极限可通过等价无穷小来实现。利用这两个重要极限来求函数的极限时要观察所给的函数形式，只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时，才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。

例题1

解：令t=.则sinx=sin( t)=sint, 且当时

故

例题2

3.5利用迫敛性求极限

,且在某个内有,那么。

例求的极限

解：因为. 且由迫敛性知

所以

3.6利用洛必达法则求极限

假设当自变量趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足：

和的极限都是或都是无穷大和都可导，并且的导数不为0存在（或无穷大），则极限也必存在，且等于，即

=。利用洛必达法则求极限，可连续进行运算，可简化一些较复杂的函数求极限的过程，但是运用时需注意条件。

例题求

解原式=

注：运用洛比达法则应注意以下几点：

1、要注意条件，也就是说，在没有化为或时不可求导。

2、应用洛必达法则，要分别求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。

3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否还是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会错误。

3.7利用定积分求极限

利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数f(x)。把所求极限的和式表示成f(x)在某区间上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限。

例

解原式=，由定积分的定义可知

。

3.8利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限

利用无穷小量乘有界变量仍是无穷小量,这一方法在求极限时常用到。在求函数极限过程中,如果此函数是某个无穷小量与所有其他量相乘或相除时, 这个无穷小量可用它的等价无穷小量来代替,从而使计算简单化。

例

解注意时，，

。

3.9利用变量替换求极限

为将未知的极限化简，或转化为已知的极限，可以根据极限式特点，适当的引入新变量，来替换原有变量，使原来的极限过程转化为新的极限过程。最常用的方法就是等价无穷小的代换。

例已知试证

证令

则时，于是