必修五第三章不等式学案

3.1不等关系与不等式(一)

【教学目标】1．了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。 2．会比较两个实数的大小，掌握不等式的基本性质 【重、难点】比较两个数的大小的方法 【基础知识】

一．不等式：用 的式子叫不等式，不等号包括: . 二.实数比较大小的运算性质:

设,a b R ∈，则a b >⇔ ； ;.a b a b =⇔<⇔

三．

(拓展)倒数法则：,0a b ab >>⇒

a

b ；,0ab a b <>⇒a b

(,a b 同号即可，而不要求均大于0).

四.使用不等式性质时应注意的问题：

1.在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式”才可相加，“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中“c 的符号”等也需要注意．

2．作差法是比较两数(式)大小的常用方法，也是证明不等式的基本方法．要注意强化化归意识，同时注意函数性质在比较大小中的作用． 【方法技巧】比较大小的常用方法

(1)作差法： 一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用

配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．

(2)作商法： 一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．

(3)特值法： 若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究

思路，再用作差或作商法判断．

【特别提醒】用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．

知识点一 不等式的性质及运用

例1（1） a 、b 、c 为实数，判断下列语句是否正确．

(1)若a >b ，则ac bc 2，则a >b ； (3)若a ab >b 2

；

(4)若c >a >b >0，则a c －a >b c －b ； (5)若a >b ，1a >1

b ，则a >0，b <0.

（2）若0a b a >>>-，0c d <<，则下列结论：①ad bc >；②

0a b

d c

+<； ③a c b d ->-；④()()a d c b d c ->-中成立的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

总结 在不等式的各性质中，乘法的性质极易出错，即在不等式两边同乘或除以一个数时，必须要确定该数是正数、负数或零，否则结论就不确定． 知识点二 利用不等式的性质求取值范围

例2 （1）已知14x y -<+<且23x y <-<，则23z x y =-的取值范围是________．

（2）已知2

2

π

π

αβ-

≤<≤

，则

2

αβ

+的取值范围是________；

2

αβ

- 的取值范围是

________．

（2）已知1lg 4xy ≤≤，1lg 2x

y

-≤≤，则2lg x y 的取值范围是

3.1不等关系与不等式(二)

一．选择题

1．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( )

A.1a <1b B ．a 2>b 2

C.a c 2＋1>b c 2＋1 D ．a |c |>b |c | 2．已知a 、b 为非零实数，且a

A ．a 2

B ．a 2b

C.

1

ab 2<

1

a 2b

D.b a

b

3．已知a 1、a 2∈(0,1)．记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )

A ．M

B ．M >N

C ．M ＝N

D ．不确定

4．若a >0且a ≠1，M ＝log a (a 3

＋1)，N ＝log a (a 2

＋1)，则M ，N 的大小关系为( )

A ．M

B ．M ≤N

C ．M >N

D ．M ≥N

5．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( )

A ．ab >ac

B ．ac >bc

C ．a |b |>c |b |

D ．a 2

>b 2

>c 2

6.设,a b R ∈，则“01ab <<”是“1

b a

<

”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7.已知12,(0,1)a a ∈，记12M a a =，121N a a =+-则,M N 的大小关系是( )

A ．M N ≥

B ．M N ≤

C ．M N =

D ．不能确定

8.已知三个不等式：0ab >，0bc ad ->，

0c d

a b

-> (其中,,,a b c d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 9.爬山是一种简单有趣的野外活动,有益于身体健康,但要注意安全,准备好必需物品,控制速度.现有甲,乙两人相约爬山,若甲上山的速度为1v ,下山(原路返回)的速度为

212()v v v ≠,乙上下山的速度都是121

()2

v v +(两人中途不停歇),则甲,乙两人上下山所

用的时间12,t t 的关系为( )

A.12t t >

B. 12t t <

C. 12t t =

D.不能确定 10若13a <<，42b -<<，则a b -的取值范围是( )

A ．(1,3)-

B ．(3,6)-

C ．(3,3)-

D ．(1,4)