常微分方程学习活动4 第二章基本定理的综合练习

常微分方程学习活动4

第二章 基本定理的综合练习

本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．

要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。

一、填空题

1. 方程)sin(d d 22y x y x

y +=的任一非零解 与x 轴相交． 2．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件．

3. 方程y '+ y sin x = e x 的任一解的存在区间必是 ．

4．一阶显式方程解的最大存在区间一定是 ．

5．方程

22d d y x x

y

+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 6．方程y x x

y cos sin d d ⋅=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 7．方程y x x

y sin d d 2+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 8．方程1d d +=y x y 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 9．方程2

21)1(d d y x y y x y ++-=满足解的存在惟一性定理条件的区域是 ． 10．一个不可延展解的存在在区间一定是 区间．

二、计算题

1．判断下列方程在怎样的区域上保证初值解存在且惟一？

（1）2

2y x y +=' （2）y x y sin +=' 2．讨论方程312

3d d y x y =在怎样的区域中满足定理2.2的条件．并求通过)0,0(的一切解． 3．判断下列方程是否有奇解？如果有奇解，求出奇解．

（1）

x y x y -=d d （2）y x x x

y 2d d 2+±-=

三、证明题

1．试证明：对于任意的0x 及满足条件10<

221)1(d d y x y y x y ++-=的解)(x y y =在),(∞+-∞上存在．

2．设),(y x f 在整个平面上连续有界，对y 有连续偏导数，试证明方程

),(d d y x f x y =的任一解)(x y ϕ=在区间),(∞+-∞上有定义．

3．设)(x ϕ在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程

y x x

y sin )(d d ϕ= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞．

4．在方程)()(d d y y f x

y ϕ=中，已知)(y f ，)(x ϕ'在),(∞+-∞上连续，且0)1(=±ϕ．求证：对任意0x 和10

5．假设方程),(d d y x f x

y =在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且)(1x y ，)(2x y 是定义在区间I 上的两个解．求证：若)(01x y <)(02x y ，I x ∈0，则在区间I 上必有)(1x y <)(2x y 成立．

6．设)(x y 是方程

0)(d d )(d d 2

2=++y x q x y x P x y 的非零解，其中)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续．求证：当0)(0=x y 时，必有0d d 0

≠=x x x y

．

7．设)(y f 在),(∞+-∞上连续可微，求证：对任意的),(0∞+-∞∈x ，10

y -= 满足初值条件00)(y x y =的解必在),(∞+-∞上存在．

8．证明：一阶微分方程

1

sin d d 22++=y x y x y 的任一解的存在区间必是(,)-∞+∞．

四、应用题

x,轴上的截距之和为1．1．求一曲线，具有如下性质：曲线上任一点的切线，在y

2．求一曲线，此曲线的任一切线在两个坐标轴间的线段长等于常数a．

参考解答

一、填空题

1．不能 2．充分 3. (-∞,+∞) 4．开区间 5．xoy 平面

6．xoy 平面 7．xoy 平面 8．}0),{(2>∈=y R y x D ，（或不含x 轴的上半平面）

9．全平面 10．开

二、计算题

1．解 （1) 因为22(,)f x y x y =+及(,)2y f x y y '=在整个xoy 平面上连续, 且满足存

在唯一性定理条件, 所以在整个xoy 平面上, 初值解存在且唯一.

（2) 因为(,)sin f x y x y =+及(,)cos y f x y y '=在整个xoy 平面上连续, 且满足存在唯一性定理条件, 所以在整个xoy 平面上, 初值解存在且唯一.

2．解 因为方程1

33(,)2f x y y =在整个xoy 平面上连续, 23

1(,)2y f x y y '=除x 轴外, 在整个xoy 平面上有界, 所以除x 轴外在整个xoy 平面上都满足定理2.1的条件. 而后分离变量并积分可求出方程的通解为32

(),,y x c x c =±-> 其中0.c ≥ 另外容易验证0y =是方程的特解. 因此通过(0,0)的解有无穷多个, 分别是: 33

220,0,0;; .(),(),x c x c y y y x c x c x c x c

≤≤⎧⎧⎪⎪===⎨⎨⎪⎪->-->⎩⎩ 3．解 （1)

因为(,)f x y =在半平面y x ≥上连续

, (,)y f x y '=当y x =时无界, 所以如果存在奇解只能是y x =, 但y x =不是方程的解, 故方程无奇解.

（2) 因

为(,)2f x y y =-在2

2x y ≤-的区域上连续

,

(,)y f x y '=当2

2x y =-时无界, 所以如果方程有奇解, 则奇解只能是2.2x y =- 显然2

2

x y =-是方程的解, 是否为奇解还需要进一步讨论. 为此先求出方程的通解21.2

y cx c =±+ 由此可见对于x 轴上点(0,0), 存在通过该点的两个解: 22x y =-及0.y = 故2

2

x y =-是奇解. (如图2-2所示)