二阶变系数线性微分方程化为标准型的求解

则
= y p′
c1
(
x)
y1′
+
c2
(
x)
y2′
+
+
cn
(
x)
yn′
(2-9)
即 yp′ 具有 c1 ( x), c2 ( x),, cn ( x) 为常数时所具有的形式。
对 yp 继续求二阶导数
= yp′′ c1 ( x) y1′′ + c2 ( x) y2′′ + + cn ( x) yn′′ + c1′ ( x) y1′ + c2′ ( x) y2′ + + cn′ ( x) yn′
+

p2
(
x)
−
1 2
dp1 ( x)
dx
−
1 4
p12
( x) uv

= Φ ( x)
上式两边同时除以 u 后得
d2v dx2
+

p2
(x)
−
1 2
dp1 ( x)
dx
−
1 4
p12
( x) v

= Φ ( x) = Φ ( x)e
1 2
∫
u
p1( x)dx
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即
d2v dx2
Abstract
This paper discusses the solution of the two order variable coefficient linear differential equation with standard type, which transforms the traditional method of reducing order. Through simplifying the original differential equation and using means of cofunction and particular integral, we can get the homogeneous and non-homogeneous solution of the standard type. Finally we can construct the general solution of the original equation.
+ c2′
(x)
y2( n −1)
+ + cn′
(x)
yn( n −1)

(2-14) (2-15)
所以
= yp′ c1 ( x) y1′ + c2 ( x) y2′ + + cn ( x) yn′
= yp′′ c1 ( x) y1′′ + c2 ( x) y2′′ + + cn ( x) yn′′
( ) ( ) ( ) = yp′′′
c1
x y1′′′ + c2
x
y2′′′
++
cn
x
yn′′′

( ) ( ) ( ) = y(pn−1)
c1
x
y1(n−1) + c2
x
y2( n −1)
++
cn
x
yn( n −1)
= y(pn)
c1
(x)
y1(n)
+
c2
(
x)
y2(n)
++
cn
(x)
时所具有的形式。
90
陈雄 等
所以，对(2-7)式求导可得
= yp′ c1 ( x) y1′ + c2 ( x) y2′ + + cn ( x) yn′ + c1′ ( x) y1 + c2′ ( x) y2 + + cn′ ( x) yn
(2-8)
令 c1′ ( x) y1 + c2′ ( x) y2 + + cn′ ( x) yn =0
+
f
(x)v
= ϕ ( x)
其中
f
(x)
=p2
(
x)
−
1 2
dp1 ( x)
dx
−
1 4
p12
(x)
称(1-19)式为二阶微分方程(1-1)式的标准型。
(1-19) (1-20)
3. 标准型的求解
1) 余函数的求解 现在求解标准型(1-19)式的通解
首先求解余函数 vc 。 由特征方程：
v= vc + vp
( ) dn y
dn−1 y
dn−2 y
dy
dxn
+
p1
dxn−1
+
p2
dxn−2
++
pn−1
dx
+
pn y
=Φ
x
(2-4)
设其通解为
y ( x=) yc + yp
(2-5)
其中，对于
yc =
c1
y1
+
c2
y2
++
cn
yn
(2-6)
的求法(齐次方程的通解)——特征方程，特征根。
假设已知 yc ，现在求 yp 。
yn(n)
+
c1′
(
x)
y1( n −1)
+
c2′
(x)
y2( n −1)
+ +
cn′
(x)
yn( n −1)

(2-16)
在(2-16)式最后一个等式中，因为函数
由(1-7)式可解得
u
=
−
e
1 2
∫
p1( x)dx
再由(1-7)~(1-9)式可得
2
d2u dx2
+
p1
(
x)
du dx
+
u
dp1 ( x)
dx
= 0
2
d2u dx2
−
1 2
p12
(x)u
+
u
dp1 ( x)
dx
= 0
d2u dx2
−
1 4
p12
(
x)u
+
1 2
u
dp1 ( x)
dx
= 0
= ddx2u2
陈雄 等
收稿日期：2016年2月3日；录用日期：2016年2月19日；发布日期：2016年2月26日
摘要
本文给出关于二阶变系数线性微分方程的求解，转变以往降阶的常规思维，利用其标准型进行求解。在 标准型的求解中，通过对原微分方程的化简，利用余函数和特积分，分别求出其标准型齐次和非齐次的 解，最后构造出原方程通解。
(2-10)
令 c1′ ( x) y1′ + c2′ ( x) y2′ + + cn′ ( x) yn′ =0
则
= yp′′ c1 ( x) y1′′ + c2 ( x) y2′′ + + cn ( x) yn′′
(2-11)
即 yp′′ 也具有 c1 ( x), c2 ( x),, cn ( x) 为常数时所具有的形式。
1 4
p12
(x)u
−
1 2
u
dp1 ( x)
dx
再将(1-8)~(1-14)代入(1-6)式得
u
d2v dx2
+
−
p1
(x)u
+
p1
( x)u
dv dx
+
1

4
p12
(x)u
−
1 2
u
dp1 ( x)
dx
−
1 2
p12
(x)u
+
p2
(
x)
u

v
=Φ (
x)
整理后可得
u
d2v dx2
关键词
二阶变系数，线性微分方程，标准型，余函数，特积分，通解
1. 引言
常微分方程作为数学领域的重要分支，在实际生产生活中有着广泛的应用，特别是在许多工程问题 中。二阶微分方程是工程问题中比较常见的，由参考文献[1]、[2]对于二阶微分方程的解法有一些研究， 例如：参考文献[3]中比较常用的降阶方法。而对于工程中出现较多的二阶变系数线性微分方程，在目前 工程问题中，仅仅依靠文献[4]中一些数学方法求解还不能达到满意的效果，从而需要进一步探求新的解 决问题的方法，而在文献[5]中提到的化为标准型求解就是一种比较基础的解法。探求标准型的解法不仅 有助于我们解决一些工程问题，也进一步拓展和深化二阶微分方程的数学解法，对于丰富二阶微分方程 的数学解法很有意义。
+
f
(x)v
( ) = Φ x e
1 2
∫
p1
(
x
)dx
令
( ) Φ
x
e
1 2
∫
p1
(
x
)dx
= ϕ ( x)
(1-6)
(1-7) (1-8) (1-9) (1-10) (1-11) (1-12) (1-13) (1-14) (1-15)
(1-16)
(1-17)
(1-18)
89
陈雄 等
则
d2v dx2
Solution of Two Order Variable Coefficient Linear Differential Equation into Standard Form
Xiong Chen1,2, Shiyou Lin1*, Haohan Zhang1 1School of Mathematics and Statistics, Hainan Normal University, Haikou Hainan 2Yilong County No.2 Middle School, Hainan Normal University, Sichuan Nanchong
(2-13)
= 其中 k 0,1, 2,, n − 2 。
( ) ( ) ( ) = y(pn−1)
c1
x y1(n−1) + c2
x
y2( n −1)
++
cn
x
yn( n −1)
y(pn)
=
c1 ( x)
y1(n)
+ c2
(x)
y2(n)
+ + cn
(x)
yn(n)
+
c1′
(x)
y1( n −1)
88
陈雄 等
u
d2v dx2
+
2
du dx
+
p1
( x)u
dv dx
+
d2u

dx
2
+
p1
(x)
du dx
+
p2
(
x
)u


v
= Φ ( x)
令 dv 的系数等于 0，即 dx
2
du dx
+
p1
(
x)u
= 0
du dx
=
−1 2
p1 ( x)u
2 du dx
=
− p1 ( x)u
设待定函数
c1
(
x
)
,
c2
(
x
)
,
,
cn
(
x
)
，满足
= yp c1 ( x) y1 + c2 ( x) y2 + + cn ( x) yn
(2-7)
其中： y1, y2 ,, yn 是对应于(2-4)式的齐次微分方程的 n 个线性无关的解。下面要求(2-7)式满足(2-4)式和
其它 n−1 个方程。为选择这 n−1 个方程，应使得(2-7)式的各阶导数尽可能有 c1 ( x), c2 ( x),, cn ( x) 为常数
2. 标准型
二阶变系数线性微分方程
d2 y dx2
+
p1
(
x)
dy dx
+
p2
(
x)
y
= Φ ( x)
(1-1)
其中 p1 ( x), p2 ( x), Φ ( x) 均为 x 的连续函数。
设
y = uv
(1-2)
其= 中 u u= ( x), v v ( x)
= dy u dv + v du dx dx dx
Keywords
Two Order Variable Coefficient, Linear Differential Equation, Standard Type, Cofunction, Particular Integral, General Solution
二阶变系数线性微分方程化为标准型的求解
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2016, 5(1), 87-97 Published Online February 2016 in Hans. http://www.hanspub.org/journal/aam http://dx.doi.org/10.12677/aam.2016.51013
m2 + f ( x) = 0
(2-1) (2-2)
得
m1 = − f ( x), m2 =− − f ( x)
所以
= vc c1e − f ( x)x + c2e− − f ( x)x
(2-3)
下面继续求解其特积分 vp 。 2) n 阶微分方程特积分的求解
关于特积分由参考文献[5]我们知道
对于非齐次线性微分方程
陈 雄1,2，林诗游1*，张皓涵1 1海南师范大学数学与统计学院，海南 海口 2仪陇县第二中学，四川 南充
*通讯作者。
文章引用: 陈雄, 林诗游, 张皓涵. 二阶变系数线性微分方程化为标准型的求解[J]. 应用数学进展, 2016, 5(1): 87-97. http://dx.doi.org/10.12677/aam.2016.51013
同理可求得 yp 的三阶导数为
( ) ( ) ( ) = yp′′′ c1 x y1′′′ + c2 x y2′′′ + + cn x yn′′′
(2-12)
依次求导至 n −1 阶的导数，且每一次的导数满足
c1′ ( x) y1(k) + c2′ ( x) y2(k) + + cn′ ( x) yn(k) =0
Received: Feb. 3rd, 2016; accepted: Feb. 19th, 2016; published: Feb. 26th, 2016 Copyright © 2016 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
则 d2 y =u d2v + 2 du dv + v d2u dx2 dx2 dx dx dx2
将(1-2)~(1-4)代入(1-1)式中得
u
d2v dx2
+
2
du dx
dv dx
+
v
d2u dx2
+
p1
(x)u
dv dx
+
p1
(x)v
du dx
+
p2
( x)uv
= Φ ( x)
或
(1-3) (1-4) (1-5)