二阶变系数线性微分方程化为标准型的求解
二阶阶微分方程的解法及应用课件
参数法是一种求解二阶微分方程的方法，通 过引入参数，将微分方程转化为关于参数的 常微分方程。这种方法适用于具有特定形式 的一阶和二阶微分方程，特别是当微分方程 的解与某个参数有关时。通过求解关于参数 的常微分方程，我们可以找到微分方程的解
二阶阶微分方程的解法及应用课件
目 录
• 二阶阶微分方程的基本概念 • 二阶阶微分方程的解法 • 二阶阶微分方程的应用 • 二阶阶微分方程的数值解法 • 二阶阶微分方程的边界值问题
01 二阶阶微分方程的基本概 念
二阶阶微分方程的定义
二阶阶微分方程是包含两个未知函数 和它们的二阶导数的方程。
二阶阶微分方程的一般形式为 F(x, y, y', y''...) = 0，其中 F 是一个给定的函 数，x 和 y 是未知函数及其导数。
供需模型
01
二阶微分方程可以用来描述商品价格随时间和供需关系的变化
。
投资回报
02
在金融领域，二阶微分方程可以用来预测股票价格的变化和投
资回报。
经济增长
03
在研究经济增长时，二阶微分方程可以用来描述人均收入随时
间的变化。
在工程中的应用
控制系统
在自动化和控制工程中，二阶微分方程被用来描述系 统的动态响应和稳定性。
一维边界值问题
一维边界值问题是指求解一个关于一个自变量的二阶微分方程，同时给出该自变 量在两个特定点的取值条件。
一维边界值问题通常用于描述一个物理系统在一维空间中的行为，例如弦的振动 、波的传播等。解决这类问题通常需要使用打靶法、有限差分法等数值方法。
多维边界值问题
多维边界值问题是指求解一个关于多个自变量的二阶微分方 程组，同时给出这些自变量在多维空间中的边界条件。
举例说明将二次型化成标准型的方法
举例说明将二次型化成标准型的方法1. 使用平方配方法将二次型化简成标准型。
对于二次型x^2 - 2xy + 3y^2，可以通过将其分解为(x - y)^2 + 4y^2，得到标准型。
2. 使用线性代数的变量代换方法将二次型化简成标准型。
对于二次型x^2 - 2xy + 3y^2，可以令u = x - y和v = y，然后将原二次型转化为标准型u^2 + 2v^2。
3. 使用正交变换将二次型化简成标准型。
正交变换可以通过特征值分解或奇异值分解来实现。
对于二次型x^2 - 2xy + 3y^2，可以进行正交变换，得到标准型x'^2 + 2y'^2。
4. 使用特征值分解将二次型化简成标准型。
特征值分解可以将二次型的矩阵表示分解为特征向量和特征值的乘积。
通过对角化矩阵，可以将二次型转化为标准型。
5. 使用奇异值分解将二次型化简成标准型。
奇异值分解可以将二次型的矩阵表示分解为奇异向量和奇异值的乘积。
通过对角化矩阵，可以将二次型转化为标准型。
6. 使用正交变换将二次型化简成标准型的等价二次型。
正交变换不仅可以将二次型转化为标准型，还可以将其转化为等价二次型，即具有相同特征值但不同特征向量的二次型。
7. 使用特征值分解将二次型化简成标准型的等价二次型。
特征值分解可以将二次型的矩阵表示分解为特征向量和特征值的乘积。
通过对角化矩阵，可以将二次型转化为等价二次型。
8. 使用奇异值分解将二次型化简成标准型的等价二次型。
奇异值分解可以将二次型的矩阵表示分解为奇异向量和奇异值的乘积。
通过对角化矩阵，可以将二次型转化为等价二次型。
9. 使用主轴变换将二次型化简成标准型。
主轴变换是一种可以将二次型的矩阵表示转化为对角矩阵的变换。
10. 使用化简平方矩阵的方法将二次型化简成标准型。
化简平方矩阵是一种通过行和列的线性组合得到的矩阵，可以将二次型的矩阵表示简化为对角矩阵。
11. 使用特征值问题的解法将二次型化简成标准型。
二阶变系数齐次微分方程通解的求法
假设 2 （ * %） &" ( （ + %） & (（ , %）5 $ ， ， 即 " %& . " （ % ( !） & ( ( 5 $， （ & . "） （ &% . " ）5 $ 6 因为 & 为常数， 所以 & # " ， 由此得方程的一个特解 !! # #"% ，
% 再设 !" # $ （ %） #特解， 则
! ( ( ） &( "
参考文献
+ 张清芳， 库在强0 用观察法求某些二阶系数齐次方程的通解 ［ ,］ ， 高等数学研究， "’’- ， . （&） ： /0 —/. ［!］
-----------------------------------------（ 上接第 !. 页） + 所以原方程组的通解为： " & 2 0 & $ ! $ &20 $ " - 2 0 $ " "20 (!! ("! (&! (!! ("! (&! 1 %（ !! !" ） # ’ # ’ ’ % ! ’ (!" ("" (&" (!" ("" (&" ’ % 2 0 ’ ! -20 ’ ’ ’ ’ ! " % & ("! $ ("" & 2 0 % & (&! $ (&" $ & 2 0 % & (!! $ (!" " 2 0 $ - (!! % " (!" $ " $ - ("! % " ("" - 2 0 $ -& (&! % " (&" (!! ("! (&! - 2 0 % (!" ("" % 2 0 % (&" (!" ("" (&"
二阶变系数线性微分方程的一些解法
2
积分得 x2 ＋ y2 ＝C2 42
即抛物线族 y＝Cx2 的正交轨线是一个椭圆族，如
图 6-4。
三、追迹问题
例 3. 开始时，甲、乙水平
距离为 1 单位，乙从 A 点沿垂
直于 OA 的直线以等速 v0 向正
比行走；甲从乙的左侧 O 点出
发，始终对准乙以 nv0(n＞1)
的速度追赶，求追迹曲线方程，
就是所要求的正交轨线。 例 2 求抛物线族 y＝Cx2 的正交轨线。 解 对 y＝Cx2 关于 x 求导，得
y′＝2Cx 与原方程联列
y Cx 2
消去 C
y' 2Cx
图 6-4
得微分方程
y′＝ 2y x
将－ 1 代入 y′得所求抛物线的正交轨线微分方程 y'
－ 1 ＝2y y' x
即
ydy＝－ x dx
第九节 二阶变系数线性微分方程
的一些解法
常系数线性齐次方程和某些特殊自由项的常系数 线性非齐次方程的解法已在第七节中介绍，而对于变 系数线性方程，要求其解一般是很困难的。本节介绍 处理这类方程的二种方法
§9.1 降阶法
在第五节中我们利用变量替换法使方程降阶，从而
求得方程的解，这种方法也可用于二阶变系数线性方
线族。例如 y＝Cx2为一抛物线族。
图 6-3 如果存在另一族曲线 G(x,y,C)＝0，其每一条曲线 都与曲线族 F(x,y,C)＝0 的每条曲线垂直相交，即不 同族中的曲线在交点处的切线互相垂直。则称 G(x,y,C)＝0 为 F(x,y，C)＝0 的正交轨线。 将曲线族方程 F(x,y,C)＝0 对 x 求导与 F(x,y,C) ＝0 联列并消去常数 C，得曲线族上任一点的坐标(x,y) 和曲线在该点的斜率 y′所满足的微分方程
变系数二阶线性微分方程的一个可解定理
０ 引 言
不失一 般性 ， 虑 变 系 数 二 阶线 性 齐 次 微 分 考
方程 ． ＋Ｐ（ ） ＋ ｑ ）， ０ ｘｙ Ｑ （ ）＝ （） １ ） （） ２
其 中系 数 ｅ（ ） ， ｘ Ｑ（ ）≠ ０ ９＝ ｘ Ｅ Ｃ Ｑ（ ）Ｅ Ｃ ， ｘ ，
ｃｎ ｔ 自由项 ｏｓ ； ）Ｅ ｃ．
一 ｎ （ ） ； “￡ 垒 ｐ ｓ 兰 ０ 、
（） ３
其 中 系 数 Ｐ（ 、 ）满 足 条 件 （） 从 中 消 去 ） ｐ（ ７，
（ 即得 Ｐ ） Ｑ（ 满 足 ） （ 、 ）
这 时 ， 自变 量变 换 籍
＝
ｊ（ｄ Ｑ）
（ 故必 要性 得证 ． ４ ）
（ ｅａｔ ｎ ｆ ｔ ｍ ｔ ｓ ｈｓ ｓＨ ｎｎＩｓｔｔ ｏ ｎｉｅｒ ｇ Ｘｎ ｔ １ １４ Ｈ ｎｎ Ｃ ｉａ Ｄ ｐｒ ｔ ｈ ａｃ —Ｐ ｙｉ ｕ ａ ｔｕ ｆ ｇ ｅ ｎ ， ｉ ａ ４ ０ ， ｕ ａ ， ｈｎ ） ｍｅ ｏ Ｍａ ｅ ｉ ｃ ｎｉ ｅ Ｅ ｎ ｉ ｇｎ １
１ 定理
方 程 （） 以籍 自变 量 变 换 化 为 二 阶 常 系数 １可 线性 方 程 的充 要条 件 是其 系数 ｅ（ ） Ｑ（ ）满足 ｘ、 ｘ
条件 ：
和 二 阶线 性 非 齐 次 微分 方程
＋Ｐ（ ） ＋ｑ ），＝ ｘｙ Ｑ（ ）
收 稿 日期 ：０ １ １ ｏ ２ ０ 一ｌ 一 ６
２ ２ 充 分性 ．
Ａ ｏ ｖ ｂ ｅ Ｔｈ ｏ ｅ ｏ Ｖａ ｉ ｂ ｅ Ｃｏ ｍ ｃｅ ｔ Ｓ ｌ ａ ｌ ｅ ｒ ｍ ｔ ｒａ ｌ ｅ ｉｎ Ｓ ｃ ｎｄ Ｏ ｒ ｅ ｎ ａ ｆ ｅ ｅ ｔａ ｕ ｔｏ ｅ ｏ ｄ ｒ Ｌｉ ｅ ｒ Ｄｉ ｒ ｎ ｉ ｌＥｑ ａ ｉ ｎ
二阶微分方程类型及其解法
~
y ＝x2Qn(x)e αx
例 3.
d2y dy
(1)
＋5 ＋6y＝e 3x
dx2 dx
d2y dy
(2)
＋5 ＋6y＝3xe －2x
dx2 dx
d2y dy
(3)
＋α ＋y＝－(3x2＋1)e －x
dx2 dx
解 (1)因α＝3 不是特征方程 r2＋5r＋6＝0 的根，故方程具有形如
~
y ＝a0e 3x
决，因此下面要解决的问题是求方程(7.3)
方程(7.3)的特解形式，与方程右边的 f(x)有关，这里只就 f(x)的两种常见
一、f(x)＝pn(x)eαx
pn(x)是 n 次多项式，我们先讨论当α＝0 时，即当
f(x)＝pn（x
d2y dy dx 2 ＋p dx ＋qy＝pn(x)
§62 二次型化为标准型的三种方法
2 n n n
2
a 12 a 1n a 11 x 1 x 2 ... xn a 11 a 11 1 a 12 x 2 a 13 x 3 ... a 1n x n a 11
2 2 a 22 x 2 ... 2a 2 n x n 2 ...... a nn x n
2 1
y 的 系 数 2 a 0 , 再 用 ( 1 ) 化 简 . 1 2
反复使用(1)与(2),可以在有限步内将二次型 化为标准形. y=Dz,|D|≠0 因为 x=Cy, |C|≠0 则 x=(CD)z, |CD|=|C||D|≠0 也是非退化线性替换.
以上做法中,每一步都是非退化线性替换.
2 2 2 x 2 x x 2 x x 2 x 5 x 6 x x 1 12 13 2 3 2 3 2 2 2 去掉配方后多出来的项 x x x x 4 x 4 xx 1 2 3 2 3 23 2 2 2 2 2 x x 2 x x 2 3 2 3 x x x x 4 x 4 x x
g ( y , y , , y ) d y d y d y ,
2 n n
上 式 称 为 f 的 标 准 型 .
(2)如果存在，如何求C?
问 题 ： ( 1 ) 非 退 化 得 线 性 替 换 X C Y 是 非 存 在 ？
定理 任何一个二次型都可以通过非退化线性 替换 化为标准形。
' 2 ay n nn
当aii'不全为零时,继续上述方法.否则用下述(2)
(2)若a ii=0 (i=1,2,…,n),但至少有一个aij≠0,
设a12≠0,则
f(x ,x ,...,x 1 2 n) 2 a xx a xx a xx 1 2 1 2 2 1 3 1 3 ...2 1 n 1 n 2 a xx a xx 2 3 2 3 ...2 2 n 2 n ...... 2 a x x n 1 , n n 1 n
微分方程的二阶常系数线性方程与特解求解
微分方程的二阶常系数线性方程与特解求解微分方程是数学中重要的一门分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
其中，二阶常系数线性微分方程是一类常见且重要的微分方程类型。
在本文中，我们将探讨如何求解二阶常系数线性微分方程以及特解的求解方法。
首先，我们来了解一下什么是二阶常系数线性微分方程。
二阶常系数线性微分方程的一般形式为：$$\frac{d^2y}{dx^2} + a\frac{dy}{dx} + by = f(x)$$其中，$a$和$b$是常数，$f(x)$是关于自变量$x$的函数。
这个方程中的未知函数是$y(x)$，我们的目标是求解$y(x)$的表达式。
要求解二阶常系数线性微分方程，我们可以先求解其对应的齐次方程，再找到特解，最后将齐次方程的通解与特解相加得到原方程的通解。
齐次方程是指当等号右边的$f(x)$为零时的方程，即：$$\frac{d^2y}{dx^2} + a\frac{dy}{dx} + by = 0$$齐次方程的解可以通过特征方程来求解。
特征方程是将齐次方程中的导数项全部移到左边，并将未知函数$y(x)$表示为指数函数$e^{rx}$的形式得到的方程。
假设$y(x) = e^{rx}$，代入齐次方程中得到：$$r^2e^{rx} + are^{rx} + be^{rx} = 0将$e^{rx}$提取出来得到：$$e^{rx}(r^2 + ar + b) = 0$$由指数函数的性质可知，$e^{rx}$不可能为零，所以我们得到一个关于$r$的二次方程：$$r^2 + ar + b = 0$$解这个二次方程可以得到两个不同的解$r_1$和$r_2$。
这两个解可以是实数或复数。
根据这两个解，我们可以得到齐次方程的通解：$$y_h(x) = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$$其中，$C_1$和$C_2$是常数。
接下来，我们需要找到二阶常系数线性微分方程的特解。
特解是指使得原方程成立的一个特定解。
二阶变系数齐次线性微分方程求解问题的探讨
346艺术文化交流2013年03月下半月刊二阶齐次线性微分方程在科学研究、工程技术中有着广泛的应用，其中的二阶常系数齐次线性微分方程一般都是可解的，但是二阶变系数齐次线性微分方程的求解却较为困难，下面探讨如何利用判别式法求解二阶变系数齐次线性微分方程。
形如0)()(=+′+′′y x Q y x P y （其中)(),(x Q x P 是连续函数）（1）的方程为二阶变系数齐次线性微分方程，称函数)(4)()(2)(2x Q x P x P x D −+′=为其判别式，它是二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程判别式的自然推广。
定理1 若二阶变系数齐次线性微分方程（1）的判别式)()(是一个常数k k x D =，则其基本解组为要：二阶变系数齐次线性微分方程的求解一般较为困难，对于某些二阶变系数齐次线性微分方程，可考虑用判别式法求解，这是二阶常系数齐次线性微分方程特征方程判别式法的自然推广。
关键词：二阶齐次线性微分方程；判别式；解组 二阶齐次线性微分方程在科学研究、工程技术中有着广泛的应用，其中的二阶常系数齐次线性微分方程一般都是可解的,但是二阶变系数齐次线性微分方程的求解却较为困难,下面探讨如何利用判别式法求解二阶变系数齐次线性微分方程。
形如0)()(=+′+′′y x Q y x P y (其中)(),(x Q x P 是连续函数)（1）的方程为二阶变系数齐次线性微分方程, 称函数)(4)()(2)(2x Q x P x P x D −+′=为其判别式， 它是二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程判别式的自然推广。
定理1 若二阶变系数齐次线性微分方程(1)的判别式)()(是一个常数k k x D ,则其基本解组为 )])([21exp(1dx w x P y ∫+−=, −=,其中k 是一个常数,则由变量代换x t ln =,(1)式可转化为变量t 的二阶变系数齐次线性微分方程 0))(exp())(exp()2exp()1))(exp()(exp(22=+−+t y t Q t dt dy t P t dt y d , 并且其判别式k t D =)(1。
二阶变系数线性微分方程的求解问题--本科毕业论文
目录一、论文正文摘要 (1)1引言 (1)2构造系数函数法 (1)2.1第一种构造系数函数法 (1)2.1.1应用举例 (4)2.2第二种构造系数函数法 (5)2.2.1应用举例 (5)3常数变异法 (5)3.1求二阶变系数齐次线性微分方程的通解 (6)3.2求二阶变系数非齐次线性微分方程的解 (6)3.3.1 应用举例 (8)4 总结 (9)致谢 (9)参考文献 (9)二、附录开题报告 (11)中期检查报告 (12)结题报告 (14)答辩报告 (15)答辩过程记录 (16)指导教师：贾化冰二阶变系数线性微分方程的求解问题苏鲜娜 （宝鸡文理学院 数学与信息科学学院，陕西 宝鸡 721013 ）摘 要:本文考虑二阶变系数线性微分方程的求解问题.基于系数函数的特点,利用常数变异法,获得二阶变系数线性微分方程的通解，并举例说明。
关键词:二阶变系数线性微分方程；通解；常数变易法1 引言随着科学的发展和社会的不断进步，微分方程的应用也越来越广泛，比如在物理，化学，电子技术，自动控制等领域，它都发挥着及其重要的作用，同时也都提出了许多有关微分方程的问题。
对于有关常系数线性微分方程的问题，已有许多研究者提出了各种不同的求解方法，然而，对于变系数线性微分方程，特别是二阶甚至高阶变系数线性微分方程的求解问题却研究的并不是很多，作为微分理论重要组成部分的二阶变系数线性微分方程，在现代科技、工程等各领域中都具有广泛的应用，可是对于如何来求解二阶变系数线性微分方程, 虽然对其解的结构已有一定研究，但是却仍然没有一种成规的方法.无论是在中国还是在外国现行的《高等数学》[1]中，也只是对于常系数微分方程的求解问题做了比较详细的研究与归纳，即使在《常微分方程》中也没有对二阶变系数微分方程的通解或者特解作出更深一步的研究。
如果()p x ,()q x 为连续且非常数的函数，那么方程()()()y p x y q x y f x '''++=，被称为二阶变系数线性微分方程。
化二次型为标准型
化二次型为标准型二次型是代数学中一个重要的概念，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
在矩阵理论中，我们经常需要将一个给定的二次型化为标准型，以便更好地进行计算和分析。
本文将介绍如何将一个二次型化为标准型的具体步骤和方法。
首先，我们来回顾一下什么是二次型。
在代数学中，二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，通常可以表示为一个对称矩阵的形式。
例如，对于n个变量x1, x2, ..., xn，一个二次型可以表示为以下形式：Q(x) = a11x1^2 + a22x2^2 + ... + annxn^2 + 2(a12x1x2 + a13x1x3 + ... + ann-1,nxn-1xn)。
其中，aij表示对应的系数，对称矩阵的对角线上的元素为二次项的系数，非对角线上的元素为交叉项的系数的一半。
接下来，我们将介绍如何将一个二次型化为标准型。
要将一个二次型化为标准型，我们需要进行以下步骤：1. 对二次型进行配方法，即通过合适的线性变换将二次型化为平方项的和的形式。
2. 通过正交变换将平方项的和的形式化为标准型。
首先，我们来看第一步，即如何通过配方法将二次型化为平方项的和的形式。
对于一个n元二次型Q(x)，我们可以通过合适的线性变换将其化为以下形式：Q(x) = λ1y1^2 + λ2y2^2 + ... + λnyn^2。
其中，λ1, λ2, ..., λn为二次型的特征值，y1, y2, ..., yn为相应的特征向量。
这个过程就是对二次型进行配方法，将其化为平方项的和的形式。
接下来，我们来看第二步，即如何通过正交变换将平方项的和的形式化为标准型。
对于一个平方项的和的形式，我们可以通过正交变换将其化为标准型。
具体来说，我们可以找到一个正交矩阵P，使得P^TQP为对角矩阵，即将二次型化为标准型。
通过以上两个步骤，我们就可以将一个给定的二次型化为标准型。
这样做的好处在于，标准型更容易进行计算和分析，可以更清晰地展现二次型的性质和特征。
二阶微分方程解法
二阶微分方程解法
1.二阶常系数齐次线性微分方程解法
一般形式:y”+py’+qy=0,特征方程r2+pr+q=0。
特征方程
r2+pr+q=0的两根为r1,r2微分方程y”+py’+qy=0的通解。
两个不相等的实根r1,r2，y=C1er1x+C2er2x。
两个相等的实根r1=r2，y=(C1+C2x)er1x。
一对共轭复根r1=α+iβ,r2=α-iβ，
y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)。
2.二阶常系数非齐次线性微分方程解法
一般形式:y”+py’+qy=f(x)。
先求y”+py’+qy=0的通解
y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一个特解y*(x)。
则
y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解。
求
y”+py’+qy=f(x)特解的方法:
①f(x)=Pm(x)eλx型。
令y*=xkQm(x)eλx［k按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Qm(x)的m+1个系数。
②f(x)=eλx［Pｌ(x)cosωx+Pn(x)sinωx］型。
令y*=xkeλx ［Qm(x)cosωx+Rm(x)sinωx］［m=max﹛ｌ,n﹜,k按λ+iω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Qm(x)和Rm(x)的m+1个系数。
二次型化为标准型
二次型化为标准型二次型是一个重要的数学概念，在数学和物理学中都有广泛的应用。
在矩阵和线性代数中，我们经常会遇到二次型，并且需要将其化为标准型以便于进一步的分析和计算。
本文将介绍二次型化为标准型的方法和步骤，希望能够帮助读者更好地理解和运用这一概念。
首先，我们来回顾一下二次型的定义。
二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，通常可以表示为如下形式：\[ Q(x_1, x_2, ..., x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j \]其中，\(a_{ij}\)为常数，\(x_1, x_2, ..., x_n\)为变量。
我们可以将二次型表示为矩阵的形式：\[ \mathbf{x}^T\mathbf{A}\mathbf{x} \]其中，\(\mathbf{x}\)为列向量，\(\mathbf{A}\)为对称矩阵。
化二次型为标准型的关键在于对矩阵\(\mathbf{A}\)进行对角化，使得二次型的表达更加简洁和易于分析。
接下来，我们将介绍如何将一个二次型化为标准型。
假设我们有一个二次型\(Q(x_1, x_2, ..., x_n)\)，我们的目标是找到一组新的变量\(y_1, y_2, ..., y_n\)，使得二次型可以表示为如下形式：\[ Q(y_1, y_2, ..., y_n) = \lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2 + ... + \lambda_ny_n^2 \]其中，\(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n\)为常数。
这样的形式就是二次型的标准型。
为了实现这一目标，我们可以通过线性代数中的特征值和特征向量来进行变量变换。
具体步骤如下：1. 首先，我们求出二次型对应矩阵\(\mathbf{A}\)的特征值和特征向量。
2. 然后，我们将特征向量按列排成一个矩阵\(\mathbf{P}\)。
二阶偏微分方程求解
二阶偏微分方程求解【序言】在数学领域中，偏微分方程是一类重要的数学方程，它们在物理学、工程学、经济学等学科中具有广泛的应用。
其中，二阶偏微分方程是一类形式特殊的方程，它们具有一定的数学难度和挑战性。
在本文中，我们将探讨二阶偏微分方程的求解方法，帮助读者理解和掌握这一重要的数学工具。
【概述】二阶偏微分方程是指具有二阶导数的偏微分方程。
通常表示为：(1) A(x, y)∂²u/∂x² + 2B(x, y)∂²u/∂x∂y + C(x, y)∂²u/∂y² + D(x,y)∂u/∂x + E(x, y)∂u/∂y + F(x, y)u = G(x, y)其中，u是未知函数，A(x, y), B(x, y), C(x, y), D(x, y), E(x, y), F(x, y)是已知的函数，G(x, y)是给定的函数。
解出u(x, y)是我们求解二阶偏微分方程的目标。
【求解方法】在求解二阶偏微分方程之前，我们先来了解一下常见的求解方法。
1. 特征值法特征值法是求解一类特殊形式的二阶偏微分方程的有效方法。
对于形如：(2) A∂²u/∂x² + 2B∂²u/∂x∂y + C∂²u/∂y² = 0的方程，我们可以通过求解其特征方程来求得解。
特征方程一般形式为：(3) Aλ² + 2Bλ + C = 0其中λ是未知参数。
通过求解特征方程所得到的特征根λ可以帮助我们确定对应的解形式。
具体的讨论和求解方法可以见附录一。
2. 分离变量法分离变量法是一种常用的求解二阶偏微分方程的方法，它的基本思想是将未知函数表示为两个独立变量的乘积形式，然后分别对每个变量求解常微分方程。
具体步骤如下：(4) 假设u可以表示为u(x, y) = X(x)Y(y)，即u的形式可以分离变量。
(5) 将假设的形式代入原方程，得到两个关于X和Y的常微分方程。
用配方法将二次型化为标准型
用配方法将二次型化为标准型首先，我们需要明确二次型的定义。
对于n元变量的二次型，一般形式为：\[f(x_1, x_2, ..., x_n) = a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + ... + a_{nn}x_n^2 +2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3 + ... + 2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n\]其中，系数$a_{ij}$为实数。
我们的目标是通过配方法将上述二次型化为标准型，即消去二次项和一次项的交叉乘积，使得二次型的表达式更加简洁和易于研究。
接下来，我们将介绍配方法的具体步骤。
首先，我们需要构造一个线性变换矩阵P，使得通过P的转换可以将原二次型化为标准型。
设$\boldsymbol{x} = (x_1,x_2, ..., x_n)^T$为n维列向量，$\boldsymbol{y} = (y_1, y_2, ..., y_n)^T$为线性变换后的列向量，则有：\[\boldsymbol{y} = P\boldsymbol{x}\]其中，P为n阶可逆矩阵。
通过矩阵P的逆变换，我们可以将二次型的表达式从$\boldsymbol{x}$转化为$\boldsymbol{y}$，并且通过适当的选择P，可以使得二次型化为标准型。
具体来说，我们可以通过以下步骤将二次型化为标准型：1. 首先，我们需要求出二次型的矩阵表达形式。
对于给定的二次型，我们可以利用系数$a_{ij}$构造出一个对称矩阵A，使得二次型可以表示为$\boldsymbol{x}^TA\boldsymbol{x}$的形式。
2. 接下来，我们需要对矩阵A进行对角化。
通过矩阵的特征值和特征向量，我们可以得到一个对角矩阵D和一个正交矩阵P，使得$A = PDP^T$。
其中，D为对角矩阵，其对角线上的元素为A的特征值，P为正交矩阵，其列向量为A的特征向量。
3. 最后，我们可以通过线性变换$\boldsymbol{y} = P^T\boldsymbol{x}$将二次型转化为标准型。
常微分方程中的变系数线性方程及其解法
常微分方程中的变系数线性方程及其解法在常微分方程学中，变系数线性方程是非常重要的一部分，也是求解常微分方程的基础。
本文将首先介绍变系数线性方程的基本概念和一些基本特征，然后详细讲解变系数线性方程如何进行解法。
一、变系数线性方程的定义和基本特征在常微分方程学中，变系数线性方程指的是形如下面的方程：$$y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = f(x)$$其中，p(x)和q(x)称为线性变系数函数，f(x)称为非齐次项。
如果f(x)等于0，则称该方程为齐次线性方程。
与一般的线性方程不同，变系数线性方程中的系数p(x)和q(x)是关于x的函数，因此在解决这类方程的时候需要采用不同的方法和技巧。
同时，由于变系数线性方程的系数是关于x的函数，因此该方程的解法也不是唯一的，可能存在多个解或者通解。
二、变系数线性方程的解法1.一阶变系数线性方程的解法对于一阶变系数线性方程$$y' + p(x)y = f(x)$$其中p(x)和f(x)是已知函数。
这类方程可以采用积分因子法求解，具体步骤如下：- 将该方程写成标准形式：$$y' + p(x)y = f(x)$$- 确定积分因子μ(x)：$$\mu(x) = e^{\int p(x)dx}$$- 两边同乘μ(x)，得到：$$\mu(x)y' + \mu(x)p(x)y = \mu(x)f(x)$$ - 将等式体右边看作一个函数g(x)，即：$$\frac{d}{dx}(\mu(x)y) = \mu(x)f(x)$$- 对等式两边进行积分，得到：$$\mu(x)y(x) = \int \mu(x)f(x)dx + C$$- 整理得出y(x)：$$y(x) = \frac{1}{\mu(x)}\int \mu(x)f(x)dx +\frac{C}{\mu(x)}$$其中C是任意常数。
2.二阶变系数线性方程的解法对于二阶变系数线性方程$$y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = f(x)$$其中p(x)、q(x)和f(x)是已知函数。
变系数二阶线性微分方程的求解
变系数二阶线性微分方程的求解作者：范小勤， 李金洋作者单位：范小勤(广州番禺职业技术学院,基础课部,广州,511483)， 李金洋(广东药学院,医药信息工程学院,广州,510006)刊名：高等函授学报（自然科学版）英文刊名：JOURNAL OF HIGHER CORRESPONDENCE EDUCATION(NATURAL SCIENCE EDITION)年，卷(期)：2009，""(3)被引用次数：0次1.丁同仁.李承治常微分方程教程 20012.庄万常微分方程习题解 20033.王波利用待定法求解变系数微分方程[期刊论文]-焦作大学学报 2004(07)4.周玲.张玲玲关于变系数线性微分方程的求解方法[期刊论文]-安徽教育学院学报 2007(05)1.期刊论文宋和平.李军红.崔宁.SONG He-ping.LI Jun-hong.CUI Ning变系数微分方程的常系数化条件-河北科技师范学院学报2006,20(2)不同于解具有e∫φ(z)dz形式的待定函数法,由引理1给出了n阶变系数微分方程具体的因变量代换形式,从而给出n阶变系数微分方程常系数化的充要条件并加以详细证明,由此得到二阶、三阶变系数线性微分方程常系数化的充要条件,同时指出三阶变系数微分方程在具体应用中令a1=0的简便性.对二阶变系数非线性微分方程的常系数化给出两个使其可积的条件,并举例论证.2.学位论文孙智勇变系数二阶线性常微分方程求解的基本研究及Maple在其中的应用2006二阶线性常微分方程d2y/dx2+P(x)dy/dx+Q(x)y=0在科学技术中有着广泛的应用。
特别是在物理学中，二阶线性常微分方程及其本征值问题是求解数学物理方程的重要基础，很多物理问题都归结为二阶线性常微分方程的求解问题。
然而变系数二阶线性常微分方程的求解十分困难，至今还没有一个普遍有效的办法，通常采用的级数解法只能得到某点邻域内的局域解，而且是无穷级数解或近似解，不便于作理论上分析。
第二节 两个自变量的二阶线性偏微分方程
显然A C D E 0, B 0
标准型为： u 0
通解为 ( , ) f ( ) g ( ), f , g任意函数 u 故原方程3)的通解为 ( :
u( x, y) f ( ( x, y)) g(( x, y)) f (a1x b1 y) g(a2 x b2 y)
u( x, y) f ( ( x, y)) g ( ( x, y))
。 注意： ( x, y), ( x, y)就是特征线的左端函数
2. 0时，标准型都为 0, 原方程的通解为 当 u :
u( x, y) ( x, y) f ( ( x, y)) g ( ( x, y))
2
u( x, y) f (3x y)) g ( x 3 y)
u 例2： xx 4uxy 4u yy 0
解：
dy dy 特征方程： 4 4 0 dx dx
2
特征线： y c,取 ( x, y) x 2x
注意： ( x, y)是特征线的左端函数 ( x, y)是任 Nhomakorabea , ,
( x, y)的二元一次函数。
例1： 3uxx 10uxy 3u yy 0
dy dy 解：特征方程： 10 3 0 3 dx dx
3x y C1 特征线： x 3 y C2
： B 2 4 AC 0时，
1x 1 y c1 1x 1 y 求出特征线： ,引入变量 2 x 2 y c2 2 x 2 y 其中1 2，1 2为复数 ， ，
显然A C D E 0, B 0 标准型为：u 0
Ch2二阶线性PDE分类与标准型
代入(1)式，有
A11u 2 A12u A22u Au 1 B 1u C1u F 0 (5)
其中
2 A11 a11 x2 2a12 x y a22 y , A12 a11 x x a12 ( x y y x ) a22 y y , 2 2 A a 2 a a 11 x 12 x y 22 y 22
(1)
它极类似于二次曲线(代数方程)
ax2 2bxy cy 2 dx ey f 0,
尽管二者之间没有必然联系。
对于二次曲线，若记
=b2 ac
，则有
0 0
双曲线
抛物线
0
椭圆
x2 y 2 2 1 2 a b x y2 2 1 a b x2 y 2 2 1 2 a b
(iii ) 0, 与 (7) 对应的二次代数方程无实根，但有两个共
轭复根 p( x, y) iq( x, y) ，
dy p( x, y ) iq( x, y ) 解出(7)的两个复共轭的通积分 利用 dx
1 ( x, y) i c1,2 ( x, y) i c2 ,
y2 2y uxx 4 u 3 u , x x y2 y 1 uxy 3 u 2 u 2 u , x x x 1 2 u yy 2 u u u , x x
代入原方程，得
2 y 2 2 xy 2 y 2 2 y 2 2 xy 2 2 x y 2 xy 2 2 u y u 3 2 3 2 u u 0, x x x x x x x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(2-10)
令 c1′ ( x) y1′ + c2′ ( x) y2′ + + cn′ ( x) yn′ =0
则
= yp′′ c1 ( x) y1′′ + c2 ( x) y2′′ + + cn ( x) yn′′
(2-11)
即 yp′′ 也具有 c1 ( x), c2 ( x),, cn ( x) 为常数时所具有的形式。
2. 标准型
二阶变系数线性微分方程
d2 y dx2
+
p1
(
x)
dy dx
+p2( Nhomakorabeax)
y
= Φ ( x)
(1-1)
其中 p1 ( x), p2 ( x), Φ ( x) 均为 x 的连续函数。
设
y = uv
(1-2)
其= 中 u u= ( x), v v ( x)
= dy u dv + v du dx dx dx
由(1-7)式可解得
u
=
−
e
1 2
∫
p1( x)dx
再由(1-7)~(1-9)式可得
2
d2u dx2
+
p1
(
x)
du dx
+
u
dp1 ( x)
dx
= 0
2
d2u dx2
−
1 2
p12
(x)u
+
u
dp1 ( x)
dx
= 0
d2u dx2
−
1 4
p12
(
x)u
+
1 2
u
dp1 ( x)
dx
= 0
= ddx2u2
( ) dn y
dn−1 y
dn−2 y
dy
dxn
+
p1
dxn−1
+
p2
dxn−2
++
pn−1
dx
+
pn y
=Φ
x
(2-4)
设其通解为
y ( x=) yc + yp
(2-5)
其中，对于
yc =
c1
y1
+
c2
y2
++
cn
yn
(2-6)
的求法(齐次方程的通解)——特征方程，特征根。
假设已知 yc ，现在求 yp 。
Solution of Two Order Variable Coefficient Linear Differential Equation into Standard Form
Xiong Chen1,2, Shiyou Lin1*, Haohan Zhang1 1School of Mathematics and Statistics, Hainan Normal University, Haikou Hainan 2Yilong County No.2 Middle School, Hainan Normal University, Sichuan Nanchong
(2-13)
= 其中 k 0,1, 2,, n − 2 。
( ) ( ) ( ) = y(pn−1)
c1
x y1(n−1) + c2
x
y2( n −1)
++
cn
x
yn( n −1)
y(pn)
=
c1 ( x)
y1(n)
+ c2
(x)
y2(n)
+ + cn
(x)
yn(n)
+
c1′
(x)
y1( n −1)
同理可求得 yp 的三阶导数为
( ) ( ) ( ) = yp′′′ c1 x y1′′′ + c2 x y2′′′ + + cn x yn′′′
(2-12)
依次求导至 n −1 阶的导数，且每一次的导数满足
c1′ ( x) y1(k) + c2′ ( x) y2(k) + + cn′ ( x) yn(k) =0
则
= y p′
c1
(
x)
y1′
+
c2
(
x)
y2′
+
+
cn
(
x)
yn′
(2-9)
即 yp′ 具有 c1 ( x), c2 ( x),, cn ( x) 为常数时所具有的形式。
对 yp 继续求二阶导数
= yp′′ c1 ( x) y1′′ + c2 ( x) y2′′ + + cn ( x) yn′′ + c1′ ( x) y1′ + c2′ ( x) y2′ + + cn′ ( x) yn′
Keywords
Two Order Variable Coefficient, Linear Differential Equation, Standard Type, Cofunction, Particular Integral, General Solution
二阶变系数线性微分方程化为标准型的求解
+ c2′
(x)
y2( n −1)
+ + cn′
(x)
yn( n −1)
(2-14) (2-15)
所以
= yp′ c1 ( x) y1′ + c2 ( x) y2′ + + cn ( x) yn′
= yp′′ c1 ( x) y1′′ + c2 ( x) y2′′ + + cn ( x) yn′′
时所具有的形式。
90
陈雄 等
所以，对(2-7)式求导可得
= yp′ c1 ( x) y1′ + c2 ( x) y2′ + + cn ( x) yn′ + c1′ ( x) y1 + c2′ ( x) y2 + + cn′ ( x) yn
(2-8)
令 c1′ ( x) y1 + c2′ ( x) y2 + + cn′ ( x) yn =0
( ) ( ) ( ) = yp′′′
c1
x y1′′′ + c2
x
y2′′′
++
cn
x
yn′′′
( ) ( ) ( ) = y(pn−1)
c1
x
y1(n−1) + c2
x
y2( n −1)
++
cn
x
yn( n −1)
= y(pn)
c1
(x)
y1(n)
+
c2
(
x)
y2(n)
++
cn
(x)
88
陈雄 等
u
d2v dx2
+
2
du dx
+
p1
( x)u
dv dx
+
d2u
dx
2
+
p1
(x)
du dx
+
p2
(
x
)u
v
= Φ ( x)
令 dv 的系数等于 0，即 dx
2
du dx
+
p1
(
x)u
= 0
du dx
=
−1 2
p1 ( x)u
2 du dx
=
− p1 ( x)u
Abstract
This paper discusses the solution of the two order variable coefficient linear differential equation with standard type, which transforms the traditional method of reducing order. Through simplifying the original differential equation and using means of cofunction and particular integral, we can get the homogeneous and non-homogeneous solution of the standard type. Finally we can construct the general solution of the original equation.
+
p2
(
x)
−
1 2
dp1 ( x)
dx
−
1 4
p12
( x) uv
= Φ ( x)
上式两边同时除以 u 后得
d2v dx2
+
p2
(x)
−
1 2
dp1 ( x)
dx
−
1 4
p12
( x) v
= Φ ( x) = Φ ( x)e
1 2
∫
u
p1( x)dx
即
d2v dx2
设待定函数
c1
(
x
)
,
c2
(
x
)
,
,
cn
(
x
)
，满足