微专题十求椭圆方程的几种常用方法共张PPT

0,
2
5 5
y
,
x x,
所以
y
25 5
y.
由此得
x′=x,y′=
5 2
y.由| OM
|=
5,
2
有
x′2+y′2=5,所以
x2+
5 2
y
=5,得 x2 y2 54
=1,
即所求的方程表示的曲线 C 是椭圆.
反思归纳 当形成曲线的动点 P(x,y)随着另一个在已知曲线 f(x, y)=0 上的动点 Q(x0,y0)有规律的运动时,我们利用这种规律就能得到 x0 = x,y),y0= (x,y),而 x0,y0 满足 f(x0,y0)=0,将 x0= (x,y),y0= (x,y)代入就可得到动点 P(x,y)所形成的曲线的方程.
方法三 代入法 【例 3】 直角坐标平面上,O 为原点,M 为动点,| OM |= 5 , ON = 2 5 OM .过
5 点 M 作 MM1⊥y 轴于 M1,过 N 作 NN1⊥x 轴于点 N1, OT = M1M + N1N .记点 T 的轨迹 为曲线 C,求曲线 C 的方程.
思路点拨:动点M的轨迹为圆,建立动点T的坐标与动点M的坐标之间的 关系,代入动点M的轨迹方程得出动点T的轨迹的方程.
得 y y =- 3 , x2 x2 4
整理得 x2 y2 =1(y≠0), 43
即为所求的轨迹方程.
法二 设直线 l1,l2 的斜率分别为 k1,k2, 则直线 l1,l2 的方程分别为 y=k1(x+2),y=k2(x-2),
两个方程相乘得 y2=k1k2(x+2)(x-2),将 k1k2=- 3 代入得 y2=- 3 (x+2)(x-2),
4
4
整理得 x2 y2 =1(y≠0),即为所求的轨迹方程. 43
反思归纳 当所求的曲线是由两条动直线的交点P(x,y)所形成的,既 然是动直线,那么这两条直线的方程就必然含有变动的参数,通过解两直 线方程所组成的方程组,就能将交点P(x,y)的坐标用这些参数表达出来, 也就求出了动点P(x,y)所形成的曲线的参数方程,消掉参数就得到了动 点P(x,y)所形成的曲线的普通方程.
32 n 9 2n
1, 1,
解得
m n
1, 9 1. 4
因此,所求的椭圆方程为 x2 y2 =1. 94
反思归纳 (1)求解椭圆标准方程时,如果不能确定椭圆焦点的位置, 要有分类讨论的思想意识;(2)当椭圆的焦点位置不确定时可以设椭圆 方程的一般形式mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),根据题目的其他已知 条件得到两个独立的方程,通过方程确定椭圆方程中的系数,这种待定 系数的方法是求解椭圆方程的基本方法之一.
求椭圆方程的几种常用方法
在解析几何的以椭圆为载体的解答题中,第一问往往是先求椭圆方程, 能否正确求出椭圆方程是解题的先决条件,下面我们总结求椭圆方程的 几个常用方法.
方法一 定义法
【例1】 已知圆C:(x-3)2+y2=100及点A(-3,0),P是圆C上任一点,线段PA的
垂直平分线l与PC相交于Q点,则Q点的轨迹方程是
解:(1)若椭圆的焦点在 x 轴上,设方程为 x2 y2 =1(a>b>0). a2 b2
2a
由题意得
9
a2
3 0 b2
2b, 1,
解得
a b
3, 1,
所以椭圆的方程为
x2 9
+y2=1.
若椭圆的焦点在 y 轴上,设方程为
y2 a2
x2 b2
=1(a>b>0).
由题意得
2a 0 a2
解析:如图所示,因为 l 是 PA 的垂直平分线,
所以|PQ|=|AQ|,|QA|+|QC|=|QC|+|QP|=10,
所以 Q 点的轨迹是以 A,C 为焦点的椭圆,且 2a=10,c=3,
所 答以 案a:=x52 ,b=y42.故 =1所求的椭圆方程为
x2 25
y2 16
=1.
25 16
反思归纳 当动点满足到两定点距离之和为常数时(该常数大于两定点之 间的距离),动点的轨迹为椭圆,可以在特定的坐标系中直接得出椭圆方程的 系数,写出椭圆方程.
3 9 b2
2b, 1,
解得
a b
9, 所以椭圆方程为 3，
y2 81
x2 9
=1.
故椭圆方程为 x2 +y2=1 或 y 2 + x2 =1.
9
81 9
(2)设椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),
将
M
1,
4
2 3
,
N
3
2 2
,
2
代入方程组,
得
m
9 2
m
解:设点 T 的坐标为(x,y),点 M 的坐标为(x′,y′),则 M1 的坐标为(0,y′),
ON
=
25 5
OM
=
25 5
x,
y
,于是点
N
的坐标为
25 5
x,
25 5
y
,
N1
的坐标为
2
5
5
x, 0
,所以 M1M
=(x′,0), N1N
=
0,
2
来自百度文库5 5
y
.
由 OT = M1M + N1N ,有(x,y)=(x′,0)+
方法二 待定系数法
【例2】 (1)已知椭圆的长轴是短轴的3倍,且过点A(3,0),并且以坐标轴为
对称轴,求椭圆的标准方程;
(2)已知椭圆的焦点在坐标轴上、两焦点的中点是坐标原点,且过 M
N
3
2
2
,
,求椭圆的标准方程.
2
1,
4
2 3
,
思路点拨:(1)即在a=3b的情况下,椭圆过点A(3,0),分焦点在x,y轴分 类求解; (2)椭圆的焦点位置不确定,可以设椭圆方程为一般形式mx2+ny2=1 (m>0,n>0,m≠n),根据椭圆过两个点得到两个独立的方程,通过这两 个独立的方程求解待定的系数即可求出椭圆方程.
文数
方法一 定义法
【例1】 已知圆C:(x-3)2+y2=100及点A(-3,0),P是圆C上任一点,线段PA的
垂直平分线l与PC相交于Q点,则Q点的轨迹方程是
.
思路点拨:线段中垂线上的任意一点到线段两个端点的距离相等,对于 点Q,则|QA|=|QP|,P,C,Q三点共线,可得点Q到两个定点A,C的距离之 和等于常数,根据椭圆定义可得椭圆方程中的系数.
方法四 交轨法（直接法） 【例4】 已知直线l1,l2分别过点A1(-2,0),A2(2,0).若两直线的斜率之积等 于- 3 ,求两直线交点P的轨迹方程.
4
思路点拨:设出动点坐标,利用斜率之积得出方程,化简整理方程即得. 解:法一 设 P(x,y).A1(-2,0),A2(2,0),
直线 l1,l2 的斜率分别为 y , y , x2 x2
.
平分线, 思路点拨:线段中垂线上的任意一点到线段两个端点的距离相等,对于 |=10点,Q,则|QA|=|QP|,P,C,Q三点共线,可得点Q到两个定点A,C的距离之
和等于常数,根据椭圆定义可得椭圆方程中的系数.
圆,且 2a=10,c=3,
y2 =1.
5 16
答案: x2 y2 =1 25 16