初中数学《最短路径问题》典型题型复习12971

初中数学《最短路径问题》典型题型

知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线” 转“直”等变式问题考查。

一、两点在一条直线异侧

例：已知：如图，A，B 在直线L 的两侧，在L 上求一点P，

使得PA+PB 最小。

解：连接AB,线段AB 与直线L 的交点P ，就是所求。（根据：两点之间线段最短.）

二、两点在一条直线同侧

例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应

建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．

解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A

关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点

C，则点C就是所求的点．

三、一点在两相交直线内部

例：已知：如图 A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边 OM，ON 上各取一点 B，C，组成三角形，使三角形周长最小.

解：分别作点A 关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点 B 、点 C ，则点B 、点C 即为所求

分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥 MN，桥造在何处才能

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使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河

垂直）

解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，

2. 连接AE 交河对岸与点M,

则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。

B

证明：由平移的性质，得BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,

所以 A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB 两地的距离为：

AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,

在△ACE 中，∵AC+CE>AE, ∴AC+CE+MN>AE+MN,即AC+CD+DB >AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。

例：如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作

物，^要在河边建一个抽水站，将河水送到 A、B 两地，问该站建在河

边什么地方，^可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。作法：作点

B 关于直线a 的对称点点C,连接A

C 交直线a 于点D，则点

D 为建抽水站的位

置。

证明：在直线 a 上另外任取一点E，连接AE.CE.BE.BD,

∵点 B.C 关于直线 a 对称,点D.E 在直线 a 上，∴DB=DC,EB=EC, ∴AD+DB=AD+DC=AC, AE+EB=AE+EC

在△ACE 中，AE+EC>AC,

即AE+EC>AD+DB

所以抽水站应建在河边的点 D 处，

例：某班举行晚会，桌子摆成两直条（如图中的 AO，BO），AO 桌面上摆满了桔子，OB 桌面上

摆满了糖果，坐在 C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你

D

帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

作法：1.作点C 关于直线OA的对称点点D,

2. 作点C 关于直线OB 的对称点点E,

3. 连接DE 分别交直线OA.OB 于点M.N ，

则CM+MN+CN 最短

例：如图：C 为马厩，D 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再

到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。

作法：1.作点C 关于直线OA 的对称点点F,

2. 作点D 关于直线OB 的对称点点E,

3.连接EF 分别交直线OA.OB 于点G.H，

则CG+GH+DH 最短

四、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计在此问题中可根

据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案。

例:一点到圆上的点的最大距离为9，最短距离为1，则圆的半径为多少？（5或

4）

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四、点在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程 将圆柱侧面展成长方形，圆柱体展开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的 宽．可求出最短路程

例：如图所示，是一个圆柱体，ABCD 是它的一个横截面

蚂蚁，要从 A 点爬行到 C 点，那么，最近的路程长为（

分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“

解：将圆柱体展开，连接 A 、C ，

∵ = = •π• =4， BC=3 ，

根据两点之间线段最短，

AC= =5． 五、在长方体（正方体）中，求最短路程

1）将右侧面展开与下底面在同一平面内，求得其路程

2）将前表面展开与上表面在同一平面内，求得其路程

3）将上表面展开与左侧面在同一平面内，求得其路程了 然后进行比较大小，即可得到最短

路程 .

例：有一长、宽、高分别是 5cm ，4cm ，3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从

长 方体的一个顶点 A 处沿长方体的表面爬到长方体上和 A 相对的顶点 B

处，则 需要爬行的最短路径长为（ ）

A ．5 cm

B ． cm

C ．4 cm

D ．3 cm

分析：把此长方体的一面展开，在平面内，两点之间线段最短．利用勾股定理求点 A 和B 点间的线段长， 即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长 方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．

解：因为平面展开图不唯一， 故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．

（1）展开前面、右面，由勾股定理得 AB 2=（5+4）2+32=90；

（2）展开前面、上面，由勾股定理得 AB 2=（3+4）2+52=74；

（3）展开左面、上面，由勾股定理得 AB 2=（3+5）2+42=80； 所以最短路径长为 c m ．

例：如图是一个长 4m ，宽3m ，高 2m 的有盖仓库，在其内壁的 A 处（长

的 四等分）有一只壁虎，B 处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到

蚊子处 最短距离为（ ）

A ．4.8

B ．

C ．5

D ．

分析：先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．

解：有两种展开方法：

①将长方体展开成如图所示，连接 A 、B ，

故选D ．

D ．5

A ．7

B ．

C ．