角动量概念

2
角动量算符矩阵举例
１、 j 1/ （续） 2
1 1 0 1 J x (J J ) σ x 2 21 0 2 1 1 0 1 J y (J J ) σ y 2i 2i 1 0 2 0 1 0 i 1 0 其中 σ x ; σ y ; σ z 1 0 i 0 0 1
' m' j m ' m' j m
角动量算符本征值的推导
●
因着
' m' j m ' m' j m
同样地，对j , j x , j y , j z 有类似的公式。 且每一个矩阵元对于 来说是对角化的。 Why?
角动量算符本征值的推导
●
又由， jz j j j z j , 对上式两边取矩阵元， 且考虑对的对角化，
角动量算符本征值的推导
●３、 m与m —指标方程及取值情况 利用 J J j m 0 和 J J j m 0 → (m m)(m m 1) 0 → m m 0 m m
令m j m j j ( j 1) m j , j 1,, j
角动量算符矩阵举例
２、 j 1
2 0 0 1 2 2 J 0 2 0 ; J z 0 0 0 2 0 2 0 0 J 0 0 2 ; J 0 0 0 0 0 0
0 2 0
角动量算符本征值的推导
j的矩阵元求解！ 对上式两边取矩阵元， 且考虑对的对角化， m' j j- - j- j m 2m 2 m 'm 插入单位式： m'' m' ' 1
j j- j- j 2jz , ●

{ m
m ''
m''
j m' ' m' ' j m m j m' ' m' ' j m } 2m
Байду номын сангаас
角动量算符本征值的推导
●
角动量算符本征值的推导
●２、讨论 J 的作用 →利用升降算符可得到给定 下 J 2和J z 的全部本征函数 １）从 j m 出发 ２）从 j m 出发
m : m, m 1, m 2,, m n m
' m' j m ' m'm1 m 1 j m
2
又因j j , 及j的矩阵元的选择定则， 有

m j m - 1 - m 1 j m
2
2
2m 2
角动量算符本征值的推导
● m的上下限判断？
m j m - 1 - m 1 j m
2 2 2 2
2m 2
*
令， m m 1 j m m j m 1 , 则， m-1 - m 2m, 其解可以表达为， m C - m(m 1) 0, 所以上式表明m取值受一定限制。
2
角动量算符本征值的推导
● m的上下限判断？
—
m取值受一定限制 有上界m, 及下界m，
—
又
' m' j m ' m 'm 1 m 1 j m
— —
所以， m m 1 j m 0, 所以：C m(m 1), 同样地， m-1 m- 1 j- m
●若 [ L, S ] 0
ˆ ˆ ˆ 二者相加→ J L S ˆx , L ˆy ] ˆx , J ˆ y ] [L ˆx S ˆy S [J
ˆx , S ˆy ] ˆx , L ˆ y ] [S [L ˆ z i J ˆ z i S ˆz i L
角动量算符本征值的推导
●３、 m与m —指标方程及取值情况
m m n m m n m n/2 j n/2 n为奇数 j为半奇数 n为偶数 j为整数
2 2 J j ( j 1 ) → jm jm Jz m
j 半奇数；整数
角动量算符本征值的推导
n 1 n 1
ˆx , J ˆ y ] [ J nx , J my ] [J
n 1 m 1
k
k
ˆn nm [ J nx , J my ] iJ
角动量算符矩阵行列的次序
●规定矩阵行列的次序为：
m j j 1 j2 m' j jj || jj jj || jj 1 jj || jj 2 j 1 jj 1 || jj jj 1 || jj 1 jj 1 || jj 2 j 2 jj 2 || jj jj 2 || jj 1 jj 2 || jj 2
2
m j m m j z
2 2 2 2
2
1 m m j j j j m 2
1 m { m j m 1 m 1 j m m j _ m 1 m 1 j m } 2 2 2 2 m 2 2 { m 1 m } 2 1 2 m {( j m 1)( j m) ( j m)( j m 1)} 2 j ( j 1)
角动量算符矩阵举例
１、 j 1/ 2
3/ 4 0 2 3 21 0 J 4 0 1 0 3/ 4 0 1 / 2 Jz σ z 2 0 1/ 2 0 1 0 0 J ; J 0 0 1 0
角动量算符本征值的推导
●设 J 2
Jz
jm
2
m
jm
●１、论证磁量子数有极大值和极小值 ●２、讨论 J 的作用 J2 2 J jm J jm
Jz (m 1) J jm (m) jm1
角动量算符本征值的推导
●论证1. 磁量子数有极大值和极小值
1 0 0 0 0 2 0 0 0
角动量算符矩阵举例
２、j 1 （续）
0 J 0 0 0 0 0 0 0 2 ; J 2 0 0 0 0 0 2 0 0 1 0 0 1 0 i Jx 1 0 1 ; J y 1 0 1 2 2 0 1 0 0 1 0 2
k
^
●内禀角动量 自旋S ●角动量是描述粒子转动运动的物理量
§5.2 角动量算符的本征值
角动量平方算符
●由角动量算符的对易关系可得其全部可 能的本征值 ●角动量平方 2 2 １、定义: j 2 jx jy jz2 ２、对易关系
[ j 2 , j ] 0,
x, y , z
— —
角动量算符本征值的推导
●
所以 m C - m(m 1) j(j 1) - m(m 1) (j - m)(j m 1) 有了m，那j 的本征值呢？
2
2
角动量算符本征值的推导
●
因为：j j j j 2( j 2 j z ) 1 2 j 2 j z （j j j j） 2 两边取平均值有，
一般论证
●若两角动量满足 [ J1 , J 2 ] 0 J J1 J 2 也是角动量
●任意个两两对易的角动量算符之和是角 动量算符 J n J m iJ n nm
ˆnx , J ˆmy ] iJ ˆnz nm [J
一般论证
●任意个两两对易的角动量算符之和是角 k k 动量算符 J J n J ˆ J ˆ n ; x , y , z
m' j z j j j z m m' j m
带入j z的本征方程， (m'-m 1) m' j m 0 同样地，只有当 (m' m 1)，矩阵元才可能不为零 。
' m' j m ' m 'm 1 m 1 j m
第五章 角动量算符 及其本征值
２００9年１1月
§5.1 角动量算符的定义
角动量算符——定义
●角动量的一般定义 １、由波函数在转动变换下的变化规 律定义 ２、由矢量算符分量的对易关系定义 ●两种定义的等价性 ●总角动量： J=L+S
角动量算符——定义
●轨道角动量定义： 经典；量子
L r p, 且满足 [ Li , L j ] i ijk Lk
J jm ( m) jm1
●４、 (m) 的值
( j m)( j m 1) jm 1 (m) ( j m)( j m 1) , 同样地， jm 1 j x jm ( j m)( j m 1) 2 jm 1 j x jm ( j m)( j m 1) 2 i jm 1 j y jm ( j m)( j m 1) 2 i jm - 1 jy jm ( j m)( j m 1) 2
§5.4 两个角动量相加
２００9年１1月
§5.4.1 两个角动量算符之和
角动量算符和仍为角动量算符
ˆ r ●轨道角动量 L ˆ p ˆ
各分量间对易关系
ˆx , L ˆ y ] iL ˆz [L ˆ ●自旋角动量 S ˆx , S ˆ y ] iS ˆz [S
角动量算符和仍为角动量算符
— — * — —
0,

m(m 1) ( m- 1)(m- 1 1) 0
— —
— —
角动量算符本征值的推导
●
(续) m m，
— — — —
又，m j - m j-1 1 m- m 正整数 即， m 正整数 / 2, 定义： m j，（j取值为非负半整数）
)
j j z ij y [ j z , j ] j , (其中 j j z ij y
新算符的引入，性质，对易关系
●定义 J J x iJ y ●
以J 、J 代替J x、J y
●对易关系
j j j j 2jz
●角动量平方算符的重新表示 j j j j 2( j 2 jz )
§5.3 角动量算符的矩阵元
角动量算符矩阵元的计算
●表象：" J 2 , J z " ●阵元： j ' m'| jm j ' j m 'm
j ' m'| J 2 | jm j ( j 1) 2 j ' j m 'm j ' m'| J z | jm m j ' j m 'm j ' m'| J | jm j ( j 1) m(m 1) j ' j m 'm 1
有， j 2 j j j 2 0
2
上式两边取矩阵元，
' m' j j j j m 0 , 带入本征方程，
2
得， ( '- ) ' m' j m 0, 分析：若 ' ，则 ' m' j m 0， 即只有当 ' ， ' m' j m 才可能不为零。