大学物理竞赛辅导汇总

m1
a1
a1
m2
a2.
解：
画隔离体图，受力分析
a1
m1
a1 T
T T
a1
m2
a2.
m1
a1
m2
a2.
a1 T
m1
列方程：
T
T
a1
m2
a2.
T T cos m1a1
T cos m2 (a1 a2 cos )
m2g T sin m2a2 sin
沿绳的方向加速度应该相等：a1 a2
解得：a1 a2 g cot
0
2l 0
得到
2
3g l
(sin
sin0 )
Ry
轴反力的两个分量 Rx
0
Rx
和 Ry ,列出质心运动方程:
mg
法线方向 切线方向
m
l 2
2
mg
s in
Rx
cos
Ry
s in
m
l 2
d
dt
mg
cos
Rx
sin
Ry
cos
或写成
3mg 2
(sin
sin0 )
mg
s in
Rx
cos
Ry
s in
3mg 4
1 2
J
P 2
这里
JC
1 12
m(2l)2
1 3
ml 2
JP
1 12
m(2lLeabharlann Baidu2
mr 2
Al
v Cr l B
P
r R
R
解得: l0
l 2 3r 2
vC r
l0 r
l 2 3r 2
细杆质心C将沿着圆的渐开 线运动
切向加速度为
aC切
dvC dt
dvC dr
dr
d
d
dt
l
4 2 0
R
l 2 3r 2 2
力学部分主要公式：
（1). 牛顿第二定律 dP
F
dt
（2). 角动量定理
dL
M
dt 对于质点,角动量
L r P
对于刚体,角动量 L J
(3). 保守力与势能关系 F Ep
(4). 三种势能
重力势能 Ep mgz
弹性势能
Ep
1 2
k x2
万有引力势能 Ep
(5). 保守力的特点
cos 2 / m
m
例3：长为l 质量为M的均质重梯上端A靠在光滑的竖直
墙面上，下端B落在水平地面上，梯子与地面夹角为 600
一质量也为M的人从B端缓慢爬梯，到达梯子中点时
梯子尚未滑动，稍过中点，梯子就会滑动，求梯子与
地面之间的摩擦系数 解：系统力平衡
A N1
力矩平衡
f N1 N2 N2 2Mg
G
Mm r
F dr 0 作功与路径无关
L
(6).振动的微分方程
d 2q dt 2
Cq
0
圆频率: C
(7). 阻尼振动
l. 水平轻绳跨过固定在质量为m1的水平物块的一个 小圆柱棒后，斜向下连接质量为m2的小物块，设系统 处处无摩擦，将系统从静止状态自由释放，假设两物块
的运动方向恒如图所示，即绳与水平桌面的夹角 始终不变，试求 , a1, a2.
且无初速度.假设而后细杆可无相对滑动地绕着
圆环外侧运动,直至细杆的B端与环接触后彼此分离,
已知细杆与圆环间的摩擦系数 处处相同,试求
的取值范围.
解: 设初始时细杆的旋转
角速度为 0 ,转过 角后 A l
C
lB
角速度为 .由于摩擦力
并不作功,故细杆和圆环
R
构成的系统机械能守恒
应有:
1 2
J
2
C0
N1l sin 600
求得：
2Mg
1
l 2
c
os600
23
N2
2Mg
f 600 B
例4：在水平地面上的一个桶内成有水，桶的侧面有个 小孔，孔与水面相距为 h 水从小孔
流出，求水从小孔流出时的速度。 解：在孔处取单位体积的小体元
体元左侧面积为单位面积，受力等于
该处的压强 fl gh p0
右侧面积为单位面积，受力 fr p0
cos
mg
cos
Rx
s in
Ry
cos
3mg 2
(sin
s in 0
)
mg
s in
Rx
cos
Ry
s in
3mg 4
cos
mg
cos
Rx
s in
Ry
cos
当 0 时,得到
Rx
3mg 4
Ry
mg 4
0
Ry Rx
例6.一长为 l 的细麦杆可绕通过中心 o 的水平转轴
在铅锤面内自由转动。开始时麦杆静止于水平位置
解: 由转动定理
J d mg l cos
dt
2
这里 J 1 ml2
3
得到角加速度
d 3g cos
dt 2l
表达式可写成 d d d 3g cos dt d dt 2l
0
mg
d 3g cos d 3g cosd
d 2l
2l
d 3g cosd
2l
两边积分 d 3g cosd
V
小以滑地块为对参地照的系速. 度为
半球面对地的速度为V
小滑块滑离半球面前绕球心的角速度为
小球速度：
x V R cos
y R sin
V
水平方向动量守恒 mx MV 0
系统机械能守恒：
1
2
m
x2
2 y
1 MV 2 mgRcos
2
mgRcos
解得：
2g R
1
cos
m cos
此体元经受力 f gh
fl
fr p0
此体元 运动单位距离就可以流出 按照牛顿第二定律：
a f gh 速度：v 2as 2gh
(s 1)
例5. 质量为 m 长为 l 的匀质棒可绕固定的支点在竖直
平面内运动. 若棒在与水平线成 300角位置从静止开始 下落,试计算当棒落到水平位置时,作用于支点的力.
arccos12
m1 m2
2
m1 m2
m1 m2
4
例2. 质量为M、半径为R的光滑半球，其底面放在光 滑水平面上。有一质量为m的小滑块沿此半球面滑下。
已知小滑块初始位置与球心联线与竖直线成 角。系
统开始时静止。求小滑块滑离半球面前绕球心的角速 度。
解：设半球面到图示
虚线位置时，小滑块 与竖直线夹角为
法向加速度为
aC法
r 2
l
2 2 0
r
l 2 3r 2
列出细杆质心运动方程
Al
maC切 N maC法 f
不打滑的条件: f N
N v
Cr l B
P
R
f
即
f
N
aC法 aC切
(l 2
3r2 )r l2R
时系统的转动惯量为
J 1 ml2 mx2 12
作用在系统上的重力矩为：
o
v0
x
M mgxcos
据转动定理： d J M 应有：
dt
J d dJ mgxcos(t) 即：2mx dx mgxcos(t)
dt dt
dt
于是甲虫的速度为： v g cos(t) 2
例7. 光滑水平面上有一半径为R的固定圆环,长为 2l 的匀质细杆AB开始时绕着C点旋转,C点靠在环上,
一质量与麦杆相同的甲虫以速度 v0 垂直落到麦杆的
1 长度处，落下后甲虫立即向端点爬行。问为使
4
麦杆以均匀的角速度旋转，甲虫沿麦杆爬行的速度
多大？
v0
解： 以麦杆和甲虫为系统
o
碰撞过程角动量守恒，设碰后系统的角速度为
于是有：
l 4
mv0
1 12
ml
2
m
1 4
l
2
解得： 12v0
7l
碰后，当甲虫距轴心为 x