数学分析讲解数列极限

定理5 若
lim
n
xn
A,
lim
n
yn
B, 则有
lim (
n
xn
yn )
A
B
lim
n
xn
lim
n
yn ;
lim (
n
xn
yn )
A
B
lim
n
xn
lim n
yn ;
(lim n
xnm
Am ,
m N)
(lnim(cxn
)
cA
c
lim
n
xn
)
lim
xn
A
lim
n
xn
n yn
B
lim
n
yn
(B 0);
n
12 n3
32 n3
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(2n 1)2 n3
例13. 求极限 1＋2＋L ＋n 1＋2＋L ＋(n 1)
定义4 对数列{xn} , 若 M 0, N N，当n N时 | xn | M ,
则称数列 {xn}为无穷大（量），记为
lim
n
xn
试一试
lim
n
xn
和lim n
xn
－的定义？
x3 x1 x2 x4 xn
例1 讨论数列的单调性和有界性
xn 2 2 L 2 2 （n重根号）
二、数列极限定义
例2 观察数列
1
(1)n1 n
当n
＋时的变化趋势.
定义2 设有数列{xn}. 若存在常数A，使得>0, NN,
当n>N时，|xnA|<，则称{xn}的极限为A，或称{xn}收敛
yn
B,
且A
B，
则N N，当n N时,有xn yn
推论2
若数列
{xn}满足xn
yn
,
且
lim
n
xn
A, lim n
yn
B则
A
B.
即使将“xn yn”换为“xn > yn”, 结论也不能改为“A > B”.
推论3 （保号性）若
lim
n
xn
A 0,则N N，当n N时,有
A
xn 2 0.
四、数列极限的运算
定义3
若
lim
n
xn
0
，则称数列 {xn}
为无穷小（量）。
有限个无穷小量之和仍为无穷小； 无穷小乘有界量仍为无穷小； 有限个无穷小之积仍为无穷小
定理4（极限与无穷小关系） 数列{xn}收敛 AR及无穷小量n使xn＝A + n.
例11 证明 {xn}为无穷小的充要条件是{|xn|}为无穷小.
lim
n
m
xn
m A
(A 0, m N)
思考
lim 1 sin n lim 1 lim sin n 正确吗？
n n
n n n
一个公式
0, (若l m)
lim
n
a0nl b0nm
a1nl 1 b1nm1
L L
al bm
a0 b0
,
(若l
m)
, (若l m)
例12 求极限
lim
例5 证明
n!
lim
n
nn
0.
适当放大法：| xn A | G(n) (n N1) 其中G(n)适合 (1) limG(n) 0; (2) 形式简单，即由
n
G(n) 容易解出n N2.
最后取N max{N1, N2}, 则n N时，| xn A | .
例6 证明
n2 n 9
lim
若将“A>0”换为“A<0”,
则结论改为xn
A 2
0.
推论4 若
lim
n
xn
A
0,则N
N,当n
N时,有
|
xn
|
|
A 2
|
0.
定理4（夹逼性）设数列{xn}, {yn}, {zn}满足条件
1)
xn yn zn, (n N);
2)
lim
n
xn
A
lim
n
zn
,
则数列{
yn}的极限存在，且
lim
n
yn
Chap2 极限与连续
古希腊Archimede—“穷竭法”； 中国魏晋时代刘徽—“割圆术”； Newton—“雏形”，Cauchy，Bolzano，
Weierstrass等“发展完善”。
Chap2 ― 1
数列极限
一、数列
定义1 函数 f : NR称为数列，记为{xn}. 即{xn＝f (n)}, nN,或x1, x2,…xn,… ① xn称为数列第n项，其表达式称为数列的通项。 ② 几何意义：数列对应着数轴上一个点列， 可看作一动点在数轴上依次取 x1, x2,L , xn ,L
n
7n3 9
0.
两个结果：(1) lim n a 1 (a 0); n (2) lim n n 1. n
例7 设数列{xn}对常数A和0 < q <1满足条件
| xn1 A | q | xn A | (n N)
证明
lim
n
xn
A.
例8
设
x1
1,
xn1
1 1 xn
,
(n
N).求
lim
n
xn
三、收敛数列的性质
定理1 （唯一性）若数列{xn}存在极限，则其极限值必唯一. 即
若lim n
xn
A, 又 lim n
xn
B,则A
B.
定理 2（有界性）收敛数列必有界。即如果{xn}收敛，则M>0,
使得nN有
| xn | M .
推论1 无界数列必发散。
定理3 （不等式性）若
lim
n
xn
A, lim n
A.
推论5 若数列{xn},{yn}满足条件
1) 0 xn yn
(n N),
2)
lim
n
yn
0,
则lim n
xn
0.
例 9. 设A max{a1, a2,L , am}, (ai 0, i 1, 2,L , m).
证明 : lim n n
a1n
a2n
amn
A.
例10. 设 f (x) lim n 1 x2n , 求f (x)的表达式. n
③ 通常N具有依赖性，即N＝N()，但不具有唯一性。
④ 几何意义
例3 证明当| q | 1时，lim qn 0. n
例4 证明 lim 3n 2 3 . n 2n 1 2
注 给定来找N似乎是解不等式 | xn A | ，由于N虽然 依赖于，但不唯一，因此只需要找一个N使得n >N成为
| xn A | 的充分条件即可. 这就是所谓的“适当放大法”.
无穷小，无穷大和无界的关系
定理 若xn
0,
则
lim
n
xn
lim
n
1 xn
0.
无穷大 无界，反之不成立
例8 当n
时，xn
n2
cos
n 是（
）.
(A) 无穷小.
(B) 无穷大.
(C) 有界的，但不是无穷小. (D) 无界的，但不是无穷大.
Stolz定理
设{yn}严格增加，且
lim
n
yn
.
若
lim xn xn1 A n yn yn1 则有 lim xn A (A可为). y n
于A，记为
lim
n
xn
A
或xn
A
(n )
若A不存在，则称数列{xn}无极限，或称为发散(不收敛)
① 是用来刻划xn与A的接近程度。首先，具有任意性， 说明xn与A的接近程度可以任意小；其次，具有相对 固定性，一旦给出，就固定这个再去找N。
② N的存在性说明无论怎么小，第N项后的所有xn都满足 |xnA|<，故不满足这种接近程度的xn仅仅有限项。