2001-2015年天津市大学生数学竞赛试题合集
天津市大学生数学竞赛
2007年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一、填空：（本题15分，每空3分。
请将最终结果填在相应的横线上面。
） 1. 设函数()()⎰⋅=xt at x f sin 02d sin ，()43x x x g +=，且当x →0时，()x f 与()x g 为等价无穷小，则a = 。
2. 设函数xx y 2=在0x x =点处取得极小值，则=0x 。
3.()=+⎰+∞121d x x x。
4. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+022401223:L 22222z y--z y x z--y x 在点（1，1，2）处的切线方程为 。
5.=+⎰⎰1132d 1d x y yxy x 。
二、选择题：（本题15分，每小题3分。
每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。
选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。
）1. 设函数()x f 连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ） （A ）()()[]⎰⋅-+xt t f t f t 0d ； （B ）()()[]⎰⋅--xt t f t f t 0d ；（C ）()⎰x t tf 02d ； （D ）()[]⎰xt t f 02d 。
2. 设函数()x f 具有一阶导数，下述结论中正确的是（ ） （A ）若()x f 只有一个零点，则()x f '必至少有两个零点； （B ）若()x f '至少有一个零点，则()x f 必至少有两个零点； （C ）若()x f 没有零点，则()x f '至少有一个零点； （D ）若()x f '没有零点，则()x f 至多有一个零点。
3. 设函数()x f 在区间()+∞,0内具有二阶导数，满足()00=f ，()0<''x f ，又b a <<0，则当b x a <<时恒有（ ）（A ）()()a xf x af >； （B ）()()b xf x bf >； （C ）()()b bf x xf >； （D ）()()a af x xf >。
天津市竞赛真题- 线、面积分试题解答
π
2 0
(2 cos 2 t + 2 ⋅ 2 sin 2 t )dt = 2 ∫
(1 + sin 2 t )dt = 2(
π
2
+
π
4
)=
3π ． 2
．
（2014g）若表达式 4．
( x + ay )dx + ydy 是某个二元函数的全微分，则常数 a = ( x + y) 2
注：考察曲线积分与路径无关的条件。 解：这里 P =
Γ
（D）被排除． f x′ ( x, y )dx + f y′ ( x, y )dy = 0 ，
（2009g） 设 L 为折线 x + x + y = 1 的正向一周， 则积分 9． （A） − 2 sin 2 ； （B） − 1 ；
∫x
L
2
（ y 2 dx − cos( x + y )dy = （D） 1 ．
x3 R2 − x2 − y2
； dxdy = 0 ，排除（A）
对于（B） ，如同（A）的解法，
∫∫ xdydz = ∫∫
Σ D yz
R 2 − y 2 − z 2 dydz − ∫∫ − R 2 − y 2 − z 2 dydz
（2009g） 设 L 是正向圆周 x 2 + y 2 = 2 在第一象限的部分， 则积分 3． 注：考察第二类曲线积分。 解：将 L 改写为参数方程， L：x =
∫
L
xdy − 2 ydx =
．
2 cos t，y = 2 sin t （起点 t = 0 ，终点 t =
π
2 0
π
2
） ，则
2023年天津市高等数学竞赛真题答案经管类
2023年 天津市大学数学竞赛试题参照解答 (经管类)一. 填空题（本题15分，每题3分）:1. 设()f x 是持续函数, 且0()lim41cos x f x x →=-, 则01()lim 1x xf x x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 2e .2. 设223()2x f x ax b x +=++- , 若 lim ()0,x f x →∞= 则 a =2,- b =4.- 3.1e ln d x x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰ e ln .xx C + 4. 设(,)f x y 是持续函数, 且(,)(,)d d ,Df x y xy f x y x y =+⎰⎰其中D 由x 轴、y 轴以及直线1x y +=围成, 则(,)f x y =1.12xy +5.ln 4ln 2x =⎰.6π二. 选择题（本题15分，每题3分）:1. 设()(2)ln(1),f x x x =+- 则()f x 在0x =处(A) (0)2f '=-, (B) (0)0f '=, (C) (0)2f '=, (D) 不可导. 答: (A)2. 设函数()y f x =具有二阶导数, 且满足方程sin e 0.x y y '''+-=已知0()0,f x '=则(A) ()f x 在0x 旳某个邻域中单调增长, (B) ()f x 在0x 旳某个邻域中单调增少,(C) ()f x 在0x 处获得极小值, (D) ()f x 在0x 处获得极大值. 答: ( C)3. 图中曲线段旳方程为()y f x =, 函数()f x 在区间[0,]a 上有持续旳导数, 则积分()d a x f x x '⎰表达(A) 直角三角形AOB 旳面积, (B) 直角三角形AOC 旳面积, (C) 曲边三角形AOB 旳面积, (D) 曲边三角形AOC 旳面积答: (D)4. 设在区间[,]a b 上旳函数()0,f x >且 ()0,f x '< ()0.f x ''> 令 1()d ,b aS f x x =⎰2()(),S f b b a =- 31[()()](),2S f a f b b a =+- 则 (A) 123,S S S << (B) 312,S S S << (C) 213,S S S << (D) 231.S S S << 答: (C )5. 设函数(,)f x y 持续, 且011d (,)d d (cos ,sin )d b dx acx f x y x f r r r r θθθ-+=⎰⎰⎰⎰, 则,,,a b c d 取值为(A) 1,,,1;2sin cos a b c d ππθθ====+(B) 1,,,1;2sin cos a b c d ππθθ====-(C) 0,,sin cos ,1;2a b c d πθθ===+=(D) 0,,sin cos , 1.2a b c d πθθ===-=答: (B)三. (7分) 设函数()f x 在点0x 处可微, 求极限 002lim cos ()cos ().n n f x f x n →∞⎡⎤--⎢⎥⎣⎦解 由导数旳定义和复合函数旳求导法则00002cos ()cos ()2lim cos ()cos ()(2)lim 2n n f x f x n n f x f x n n→∞→∞--⎡⎤--=-⋅⎢⎥⎣⎦-000(2)[cos ()]2sin()().x x f x f x f x =''=-⋅=⋅四. (7分) 设函数()f x 在(,)-∞+∞上二阶可导，且0()lim0x f x x→=，记10()()x f xt dt ϕ'=⎰，求)(x ϕ旳导数，并讨论)(x ϕ'在0x =处旳持续性. 解 由已知旳极限知(0)0,(0)0,f f '== 从而有 10(0)(0)d 0.f t ϕ'==⎰当 0x ≠时, 1100011()()()()d()()d ,x f x x f x t dt f x t x t f u u x x x ϕ'''====⎰⎰⎰从而有 (),0()0,0.f x x x xx ϕ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩由于()lim ()lim0(0),x x f x x xϕϕ→→===因此, ()x ϕ在0x =处持续. 当 0x ≠时, 2()()(),xf x f x x x ϕ'-'=在0x =处, 由(0)0,ϕ= 有200()(0)()()1(0)limlimlim (0)22x x x x f x f x f xx x ϕϕϕ→→→'-'''==== 因此,2()(),0()1(0),0.2xf x f x x x x f x ϕ'-⎧≠⎪⎪'=⎨⎪''=⎪⎩而20000()()()()lim ()limlim lim lim 2x x x x x f x f x f x f x x x x xx ϕ→→→→→''''=-=- 001()1()(0)1lim lim (0)(0),222x x f x f x f f x x ϕ→→'''-'''==== 故 ()x ϕ'在0x =处持续.五. (7分) 已知函数()((,))y f x x =∈-∞+∞旳导函数()y f x ''=是三次多项式，其图像如下图所示：（Ⅰ）有关函数()x f y =,填写下表:（Ⅱ）若还懂得()x f y =旳极大值为6，点()2,2在曲线()x f y =上，试求出()x f y =旳体现式. 解（Ⅰ）（Ⅱ）设32,y ax bx cx d '=+++ 则由(0)0,(2)0,(2)0,y y y '''=-== 得0,0,4,d b c a ===- 故34,y ax ax '=- 从而422.4a y x ax m =-+ 再由(0)6,(2)2,y y == 得 1, 6.a m == 因此 4212 6.4y x x =-+ 六. (7分)设函数()y y x =在(,)-∞+∞上可导, 且满足22,(0)0.y x y y '=+=(Ⅰ) 研究()y x 在区间(0,)+∞旳单调性和曲线()y y x =旳凹凸性.(Ⅱ) 求极限 30()lim.x y x x →解 (Ⅰ) 当0x >时, 有220,y x y '=+>故 ()y x 在区间(0,)+∞单调增长. 从而当0x >时, 22y x y '=+也单调增长. 可见, 曲线()y y x =在区间(0,)+∞向下凸.(或当0x >时, 可得222222()0.y x y y x y x y '''=+⋅=++> 可见, 曲线()y y x =在区间(0,)+∞向下凸. ) (Ⅱ) 由题设知, (0)(0)0.y y '== 应用洛必达法则22322000()()lim lim lim 33x x x y x y x x y x x x→→→'+== []22011111lim (0).33333x y y x →⎛⎫'=+=+= ⎪⎝⎭七. (7分) 设()f x 在[0,1]上具有持续导数, 且0()1,(0)0.f x f '<≤= 试证211300()d ][()]d .f x x f x x ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰证 令 2300()()d [()]d ,x xF x f t t f t t ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 则 ()F x 在 [0,1]持续, 且对 (0,1)x ∈,30()2()()d [()]x F x f x f t t f x '=-⎰20()2()d ().xf x f t t f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰ 又由题设知, 当(0,1)x ∈时, ()0.f x > 令20()2()d (),x g x f t t f x =-⎰则()g x 在[0,1]上持续, 且()2()[1()]0,(0,1),g x f x f x x ''=-≥∈故有()(0)0(0,1).g x g x ≥=∈因此()0,(0,1),F x x '≥∈于是()F x 在[0,1]上单调增长, ()(0)0,[0,1].F x F x ≥=∈ 取1x =, 即得211300(1)()d [()]d 0.F f t t f t t ⎡⎤=-≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 所证结论成立.八. (7分) (Ⅰ) 设函数(),()f x g x 在区间 [,]a a - 上持续(0)a >, ()g x 为偶函数, ()f x 满足条件()()f x f x c +-= (c 为常数). 证明:()()d ()d a aaf xg x x c g x x -=⎰⎰;(Ⅱ) 设 ()()sin ,u x x nx ϕ= 其中n 为正整数, 22,0,(),0.x x x x x x x ππϕππ⎧+-≤<=⎨-≤≤⎩计算定积分()arccot e d x I u x x ππ--=⎰.解 (Ⅰ)()()d ()()d ()()d .a aaaf xg x x f x g x x f x g x x --=+⎰⎰⎰对于上式右边旳第一种积分, 令,x t =- 有()()d ()()d (())()d a aaf xg x x f t g t t c f x g x x -=--=-⎰⎰⎰0()d ()()d aacg x x f x g x x =-⎰⎰因此()()d ()()d ()()d ()d .a aaaaf xg x x f x g x x f x g x x c g x x --=+=⎰⎰⎰⎰(Ⅱ) 由于 22e (arccot e arccot e )0,1e 1x xxxx xe e ----'+=+=++ 而当 0x =时, arccot 1arccot 1,2π+=因此, arccot e arccot e .2x x π-+=轻易验证,()u x 是偶函数. 应用(Ⅰ)旳结论20()arccot ed ()sin d 2xI u x x x x nx xπππππ--==-⎰⎰2011()cos (2)cos d 02x x nx x nx x n n πππππ⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦⎰2212(2)sin sin d 02x nx nx x nn ππππ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰33(1cos )[1(1)].nn nnπππ=-=--九. (7分) 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上持续, 并且对任一[,]x a b ∈, 存在[,]y a b ∈使得1()|()|.2f y f x =证明: 存在[,],a b ξ∈ 使()0.f ξ= 证法一 应用闭区间上持续函数旳最值定理, 存在12,[,]x x a b ∈, 使 12[,][,]()min ()()max ().x a b x a b f x m f x f x M f x ∈∈====由题设, 对于 [,]x a b ∈, 存在[,]y a b ∈, 使得1()|()|0.2f y f x =≥ 可见 0.M ≥ 目前证明: 1[,]()min ()0.x a b f x m f x ∈==≤ 实际上, 假如1()0,f x m => 由题设, 存在0[,]x a b ∈, 使011111()()()()22f x f x f x f x ==<此与“1()f x 是()f x 在 [,]a b 上旳最小值 ” 矛盾.综上, 得到结论: 0.m M ≤≤ 于是, 应用介值定理, 存在[,],a b ξ∈ 使()0.f ξ= 证法二 任取一种0[,],x a b ∈ 由题设存在1[,],x a b ∈ 使101()().2f x f x =从而存在2[,],x a b ∈ 使210211()()().22f x f x f x ==如此继续下去, 可得数列{}[,],n x a b ⊂ 使01()()0().2n n f x f x n =→→∞ 由于有界无穷数列{}n x 必有一种收敛旳子数列{}kn x , 可设存在一种[,]a b ξ∈, 使lim .k kn x ξ→∞=由()f x 旳持续性, ()lim ()0.k kn f f x ξ→∞== 证毕.十. (7分) 设函数()y f x =具有二阶导数, 且()0.f x ''>直线a L 是曲线()y f x =上任意一点(,())a f a 处旳切线, 其中[0,1].a ∈ 记直线a L 与曲线()y f x =以及直线0,1x x ==所围成旳图形绕y 轴旋转一周所得旋转体旳体积为().V a 试问 a 为何值时 ()V a 获得最小值.解 切线a L 旳方程为 ()()(),y f a f a x a '-=- 即 ()()().y f a x af a f a ''=-+ 于是10()2[()()()()]d V a x f x f a x af a f a x π''=-+-⎰10112()d ()()().322a xf x x f a f a f a π⎡⎤''=-+-⎢⎥⎣⎦⎰ 可见, ()V a 在[0,1]持续, 在(0,1)可导. 令1()2[()()]()(32)0323a V a f a f a f a a ππ'''''''=-+=-=,由于 ()0,f a ''> ()V a 在(0,1)内有唯一旳驻点2.3a =并且, 当 2(0,)3a ∈时, ()0V a '<; 当2(,1)3a ∈时, ()0,V a '> 因此, ()V a 在23a =处获得最小值.十一. (7分) 设（1）闭曲线Γ是由圆锥螺线 OA ：θθθθθ===z y x ,sin ,cos ，（θ从0变到2π）和直线段 AO 构成， 其中()0,0,0O ， ()2,0,2A ππ； （2）闭曲线Γ将其所在旳圆锥面z =∑是其中旳有界部分. ∑在xOy 面上旳投影区域为D .(Ⅰ) 求D 上认为∑曲顶旳曲顶柱体旳体积; (Ⅱ) 求曲面∑旳面积.解(Ⅰ) ∑在xOy 面上旳投影区域为D , 在极坐标系下表达为:0,02.r θθπ≤≤≤≤故所求曲顶柱体旳体积为d d V x y =⎰⎰220d d r r πθθ=⎰⎰234014d .33πθθπ==⎰(Ⅱ) Γ所在旳圆锥面方程为z =曲面上任一点处向上旳一种法向量为(,,1)x y n z z =--=故所求曲面∑旳面积d d d DDS x y x y ==⎰⎰⎰⎰2223d d d .23r r πθπθθθ===⎰⎰十二.(7分) 设圆 222x y y += 含于椭圆 22221x y a b +=旳内部, 且圆与椭圆相切于两点(即在这两点处圆与椭圆均有公共切线).(Ⅰ) 求 a 与 b 满足旳等式; (Ⅱ) 求 a 与 b 旳值, 使椭圆旳面积最小解 (Ⅰ) 根据条件可知, 切点不在y 轴上. 否则圆与椭圆只也许相切于一点. 设圆与椭圆相切于点00(,)x y , 则00(,)x y 既满足椭圆方程又满足圆方程, 且在00(,)x y 处椭圆旳切线斜率等于圆旳切线斜率, 即2002001b x xa y y -=--. 注意到00,x ≠ 因此, 点00(,)x y 应满足2200222200022001(1)2(2)1(3)1x y a b x y y b a y y ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩由(1)和(2)式, 得222200220.b a y y a b--+= (4)由 (3) 式得 2022.b y b a =- 代入(4) 式2242222222220.()b a b b a b b a b a-⋅-+=-- 化简得 2222,b a b a=- 或 22420.a b a b --= (5) (Ⅱ) 按题意, 需求椭圆面积S ab π=在约束条件 (5) 下旳最小值. 构造函数2242(,,)().L a b ab a b a b λλ=+-- 令2322242(24)0(6)(22)0(7)0(8)a b L b ab a L a a b b L a b a b λλλ⎧=+-=⎪=+-=⎨⎪=--=⎩(6) ·a − (7)·b , 并注意到 0λ≠, 可得 242b a =. 代入 (8) 式得 644220a a a --=, 故a =从而2b == 由此问题旳实际可知, 符合条件旳椭圆面积旳最小值存在,因此当2a b ==时, 此椭圆旳面积最小.。
2001年全国大学生数学建模竞赛题
2001年全国大学生数学建模竞赛题目A题血管的三维重建断面可用于了解生物组织、器官等的形态。
例如，将样本染色后切成厚约1m m的切片，在显微镜下观察该横断面的组织形态结构。
如果用切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片，可依次逐片观察。
根据拍照并采样得到的平行切片数字图象，运用计算机可重建组织、器官等准确的三维形态。
假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成。
例如圆柱就是这样一种管道，其中轴线为直线，由半径固定的球滚动包络形成。
现有某管道的相继100张平行切片图象，记录了管道与切片的交。
图象文件名依次为0.bmp、1.bmp、…、 99.bmp，格式均为BMP，宽、高均为512个象素（pixel）。
为简化起见，假设：管道中轴线与每张切片有且只有一个交点；球半径固定；切片间距以及图象象素的尺寸均为1。
取坐标系的Z轴垂直于切片，第1张切片为平面Z=0，第100张切片为平面Z=99。
Z=z切片图象中象素的坐标依它们在文件中出现的前后次序为（-256，-256，z），（-256，-255，z），…（-256，255，z），（-255，-256，z），（-255，-255，z），…（-255，255，z），……（ 255，-256，z），（ 255，-255，z），…（255，255，z）。
试计算管道的中轴线与半径，给出具体的算法，并绘制中轴线在XY、YZ、ZX平面的投影图。
第2页是100张平行切片图象中的6张，全部图象请从网上下载。
/mcm/MCM01/A01BMP.ZIP关于BMP图象格式可参考：1. 《Visual C++数字图象处理》第12页2.3.1节。
何斌等编著，人民邮电出版社，2001年4月。
2. /home/mxr/gfx/2d/BMP.txtB题公交车调度公共交通是城市交通的重要组成部分，作好公交车的调度对于完善城市交通环境、改进市民出行状况、提高公交公司的经济和社会效益，都具有重要意义。
(整理)天津市l理工高等数学竞赛真题答案.
2011年 天津市大学数学竞赛试题参考解答 (理工类)一. 填空题（本题15分，每小题3分）: 1. 设()f x 是连续函数, 且0()lim41cos x f x x →=-, 则01()lim 1x xf x x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭2e .2. 设223()2x f x ax b x +=++- , 若 lim ()0,x f x →∞= 则 a =2,- b =4.- 3. 1e ln d x x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰ e ln .x x C +4. 设(,)f x y 是连续函数, 且(,)(,)d d ,Df x y xy f x y x y =+⎰⎰其中D 由x 轴、y 轴以及直线1x y +=围成,则(,)f x y =1.12xy +5. 椭球面22221x y z ++=平行于平面20x y z -+=的切平面方程为20x y z -++= 和20.x y z -+= 二. 选择题（本题15分，每小题3分）:1. 设()(2)ln(1),f x x x =+- 则()f x 在0x =处(A) (0)2f '=-, (B) (0)0f '=, (C) (0)2f '=, (D) 不可导. 答: (A) 2. 设函数()y f x =具有二阶导数, 且满足方程sin e 0.x y y '''+-=已知0()0,f x '=则(A) ()f x 在0x 的某个邻域中单调增加, (B) ()f x 在0x 的某个邻域中单调增少, (C) ()f x 在0x 处取得极小值, (D) ()f x 在0x 处取得极大值. 答: ( C) 3. 图中曲线段的方程为()y f x =, 函数()f x 在区间[0,]a()d af x x '表示(A) 直角三角形AOB 的面积, (B) 直角三角形AOC 的面积, (C) 曲边三角形AOB 的面积, (D) 曲边三角形AOC 的面积. 答: (D)4. 设在区间 [,]a b 上的函数()0,f x > 且 ()0,f x '< ()0.f x ''> 令 1()d ,aS f x x =⎰2()(),S f b b a =-31[()()](),2S f a f b b a =+- 则(A) 123,S S S << (B) 312,S S S << (C) 213,S S S << (D) 231.S S S << 答: (C )5. 设 曲面22{(,,)|,01},x y z z x y z ∑==+≤≤取上侧为正, 1∑是 ∑在 0x ≥的部分, 则曲面积分 (A) d d 0,x y z ∑=⎰⎰ (B) 1d d 2d d .z x y z x y ∑∑=⎰⎰⎰⎰x(C) 122d d 2d d ,y y z y y z ∑∑=⎰⎰⎰⎰ (D) 122d d 2d d ,x y z x y z ∑∑=⎰⎰⎰⎰ 答: (B)三. (6分) 设函数 ()2002[(1)()d ]d 0sin 00xt t u u t,x ,f x x,x .ϕ⎧-⎪≠=⎨⎪=⎩⎰⎰ 其中函数ϕ处处连续. 讨论()f x 在0x =处的连续性及可导性.解 222[(1)()d ]d (1)()d lim ()limlim2x x x x t x t u u tx u uf x x xϕϕ→→→--==⎰⎰⎰220()d ()d limlim22x x x x x u uu ux x ϕϕ→→=-⎰⎰202()0lim0(0)2x x x f ϕ→⋅=-== 因此, ()f x 在0x =处连续.200300[(1)()d ]d ()(0)lim lim xx x t t u u t f x f x x ϕ→→--=⎰⎰ 220(1)()d lim 3x x x u u x ϕ→-=⎰ 22002200()d ()d 11lim lim33x x x x x u u u u x x ϕϕ→→=-⎰⎰ 1(0)3ϕ=- 因此, ()f x 在0x =处可导, 且 1(0)(0).3f ϕ'=-四. (6分) 设函数()x x t =由方程cos 0t x x +=确定, 又函数()y y x =由方程2e 1y xy --=确定, 求复合函数(())y y x t =的导数d d .t y t=解 方程cos 0t x x +=两边对t 求导 d d cos sin 0.d d x x x t x t t -⋅+=当 t=0时, x=0, 故00d cos 1.d sin 1t t x x xt t x ====--= 方程2e 1y xy --= 两边对x 求导 2d d e 0.d d y y yy x x x-⋅--⋅= 当 0x =时,2,y = 故0220d 2.de x y y x yy xx==-==-=因此,00d d d .d d d 2t x t y yxt xt ====⋅=-五. (6分) 设函数()f x 在(,)-∞+∞上二阶可导，且0()lim0x f x x→=，记10()()x f xt dt ϕ'=⎰，求)(x ϕ的导数，并讨论)(x ϕ'在0x =处的连续性.解 由已知的极限知(0)0,(0)0,f f '== 从而有 10(0)(0)d 0.f t ϕ'==⎰当 0x ≠时, 1100011()()()()d()()d ,x f x x f x t dt f x t x t f u u x x x ϕ'''====⎰⎰⎰从而有 (),0()0,0.f x x x xx ϕ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩因为()lim ()lim0(0),x x f x x xϕϕ→→=== 所以, ()x ϕ在0x =处连续. 当 0x ≠时, 2()()(),xf x f x x xϕ'-'=在0x =处, 由(0)0,ϕ= 有 200()(0)()()1(0)limlimlim (0)22x x x x f x f x f xx x ϕϕϕ→→→'-'''==== 所以,2()(),0()1(0),0.2xf x f x x x x f x ϕ'-⎧≠⎪⎪'=⎨⎪''=⎪⎩而200000()()()()lim ()limlim lim lim2x x x x x f x f x f x f x x x x xx ϕ→→→→→''''=-=- 001()1()(0)1lim lim (0)(0),222x x f x f x f f x x ϕ→→'''-'''====故 ()x ϕ'在0x =处连续. 六. (7分) 设函数()y y x =在(,)-∞+∞上可导, 且满足: 22,(0)0.y x y y '=+=(Ⅰ) 研究()y x 在区间(0,)+∞的单调性和曲线()y y x =的凹凸性.(Ⅱ) 求极限 30()lim.x y x x →解 (Ⅰ) 当0x >时, 有220,y x y '=+>故 ()y x 在区间(0,)+∞单调增加. 从而当0x >时, 22y x y '=+也单调增加. 可见, 曲线()y y x =在区间(0,)+∞向下凸.(或当0x >时, 可得222222()0.y x y y x y x y '''=+⋅=++> 可见, 曲线()y y x =在区间(0,)+∞向下凸. ) (Ⅱ) 由题设知, (0)(0)0.y y '== 应用洛必达法则22322000()()lim lim lim 33x x x y x y x x y x x x →→→'+==[]22011111lim (0).33333x y y x →⎛⎫'=+=+= ⎪⎝⎭七. (7分) 设()f x 在[0,1]上具有连续导数, 且0()1,(0)0.f x f '<≤= 试证211300()d ][()]d .f x x f x x ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰证 令 2300()()d [()]d ,x xF x f t t f t t ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 则 ()F x 在 [0,1]连续, 且对 (0,1)x ∈,30()2()()d [()]x F x f x f t t f x '=-⎰20()2()d ().xf x f t t f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰ 又由题设知, 当(0,1)x ∈时, ()0.f x > 令20()2()d (),x g x f t t f x =-⎰则()g x 在[0,1]上连续, 且()2()[1()]0,(0,1),g x f x f x x ''=-≥∈故有()(0)0(0,1).g x g x ≥=∈ 因此()0,(0,1),F x x '≥∈于是()F x 在[0,1]上单调增加, ()(0)0,[0,1].F x F x ≥=∈ 取1x =, 即得211300(1)()d [()]d 0.F f t t f t t ⎡⎤=-≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 所证结论成立.八. (7分) 设函数()y f x =具有二阶导数, 且()0.f x ''> 直线a L 是曲线()y f x =上任意一点(,())a f a 处的切线, 其中[0,1].a ∈ 记直线a L 与曲线()y f x =以及直线0,1x x ==所围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为().V a 试问a 为何值时()V a 取得最小值. 解 切线a L 的方程为 ()()(),y f a f a x a '-=- 即 ()()().y f a x af a f a ''=-+ 于是10()2[()()()()]d V a x f x f a x af a f a x π''=-+-⎰10112()d ()()().322a xf x x f a f a f a π⎡⎤''=-+-⎢⎥⎣⎦⎰a可见, ()V a 在[0,1]连续, 在(0,1)可导. 令 1()2[()()]()(32)0323a V a f a f a f a a ππ'''''''=-+=-=, 由于 ()0,f a ''> ()V a 在(0,1)内有唯一的驻点2.3a =并且, 当 2(0,)3a ∈时, ()0V a '<; 当2(,1)3a ∈时, ()0,V a '> 因此, ()V a 在23a =处取得最小值. 九. (7分) 计算(sin )d (cos 1)d ,Ly y x x y y -+-⎰其中L 为从点(0,0)O 沿圆周222xy x +=在第一象限部分到点(1,1)A 的路径.解 令 sin ,cos 1,P y y Q x y =-=- 则cos (cos 1) 1.Q Py y x y∂∂-=--=∂∂ 取点(1,0).B 作有向直线段,OB 其方程为 0(y x =从0变到1).作有向直线段,BA 其方程为 1(x y =从0变到1). 由曲线L 、有向直线段AB 和BO 形成的闭曲线记为0L (沿顺时针方向), 0L 所围成的区域记为D , 则(sin )d (cos 1)d Ly y x x y y -+-⎰()((sin )d (cos 1)d )AB BOL y y x x y y =---+-⎰⎰⎰d (sin )d (cos 1)d DBAy y x x y y σ=-+-+-⎰⎰⎰(sin )d (cos 1)d OBy y x x y y +-+-⎰11(cos 1)d 04y y π=-+-+⎰ 1sin1 1.4π=-+- 十. (8分) 设（1）有向闭曲线Γ是由圆锥螺线 OA ：θθθθθ===z y x ,sin ,cos ，（θ从0变到2π）和有向直线段 AO 构成， 其中()0,0,0O ， ()2,0,2A ππ；（2）闭曲线Γ将其所在的圆锥面z =∑是其中的有界部分.（Ⅰ）如果()x z F -=,1, 表示一力场，求F沿Γ所做的功W ；（Ⅱ）如果()x z F -=,1,表示流体的流速，求流体通过∑流向上侧的流量. (单位从略）解（Ⅰ）作有向直线段,AO 其方程为 ⎩⎨⎧==x z y 0(x 从 2π变到0).所求F沿Γ所做的功为d d d W z x y x z Γ=+-⎰()(d d d )OAAOz x y x z =++-⎰⎰()20cos sin sin cos cos d πθθθθθθθθθθ=-++-⎡⎤⎣⎦⎰()02d x x x π+-⎰220(cos sin )d 0πθθθθθ=-+⎰24π=.（Ⅱ）Γ所在的圆锥面方程为z =∑上任一点处向上的一个法向量为(,,1)x yn z z=--=∑在xOy面上的投影区域为D, 在极坐标系下表示为:0,02.rθθπ≤≤≤≤故所求流体通过∑流向上侧的流量为d d d d d d()()d dx yz y z z x x x y z z z x x y∑∑⎡⎤Φ=+-=⋅-+--⎣⎦⎰⎰⎰⎰d dx x x y∑⎛⎫=---⎪⎪⎝⎭⎰⎰()200d2cos sin dr r rπθθθθ=-+⎰⎰2232cos sin d32πθθθθθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭⎰26π-=.注: (Ⅰ)的另一解法应用Stokes公式，可得W2d d2d dyz x z x y∑∑==-⎰⎰⎰⎰2d x y∑=⎰⎰222000sin2d d sin drr rrπθπθθθθθ=-⋅=-⎰⎰⎰24π=.十一. (8分) 设函数(,)u u x y=在心形线:1cosL rθ=+所围闭区域D上具有二阶连续偏导数, n是在曲线L上的点处指向曲线外侧的法向量(简称外法向),un∂∂是(,)u x y沿L的外法向的方向导数, L取逆时针方向.(Ⅰ) 证明: d d d .L Lu u us x yn y x∂∂∂=-+∂∂∂⎰⎰(Ⅱ) 若222221,u ux y yx y∂∂+=-+∂∂求dLusn∂∂⎰的值.(Ⅰ) 证由方向导数的定义d(cos sin)d.L Lu u us sn x yαα∂∂∂=+∂∂∂⎰⎰其中, α是n相对于x轴正向的转角.设1α是L的切向量τ相对于x轴正向的转角, 则1,2παα=+或1.2παα=-故11d(sin cos)d.L Lu u us sn x yαα∂∂∂=-∂∂∂⎰⎰d d.Lu ux yy x∂∂=-+∂∂⎰(Ⅱ) 解应用格林公式22222d ()d d(1)d dD DLu uus x y x y y x yn x y∂∂∂=+=-+∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰由对称性x1cos 00d 1d d 2d d D L us x y x r rn πθ+∂==∂⎰⎰⎰⎰⎰203(1cos )d .2πθθπ=+=⎰十二.(8分) 设圆222x y y +=含于椭圆22221x y a b +=的内部, 且圆与椭圆相切于两点(即在这两点处圆与椭圆都有公共切线).(Ⅰ) 求 a 与b 满足的等式; (Ⅱ) 求a 与b 的值, 使椭圆的面积最小.解 (Ⅰ) 根据条件可知, 切点不在y 轴上. 否则圆与椭圆只可能相切于一点. 设圆与椭圆相切于点00(,)x y , 则00(,)x y 既满足椭圆方程又满足圆方程, 且在00(,)x y 处椭圆的切线斜率等于圆的切线斜率, 即2002001b x xa y y -=--. 注意到00,x ≠ 因此, 点00(,)x y 应满足2200222200022001(1)2(2)1(3)1x y a b x y y b a y y ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩由(1)和(2)式, 得222200220.b a y y a b--+=(4)由 (3) 式得 2022.b y b a =- 代入(4) 式2242222222220.()b a b b a b b a b a-⋅-+=-- 化简得 2222,b a b a=- 或 22420.a b a b --= (5) (Ⅱ) 按题意, 需求椭圆面积S ab π=在约束条件 (5) 下的最小值.构造函数2242(,,)().L a b ab a b a b λλ=+-- 令2322242(24)0(6)(22)0(7)0(8)a b L b ab a L a a b b L a b a b λλλ⎧=+-=⎪=+-=⎨⎪=--=⎩(6) ·a − (7)·b , 并注意到 0λ≠, 可得 242b a =. 代入 (8) 式得644220a a a --=, 故a = 从而2b ==由此问题的实际可知, 符合条件的椭圆面积的最小值存在,因此当22a b ==时, 此椭圆的面积最小.。
2001年全国大学生数学建模竞赛参考答案
2001年全国大学生数学建模竞赛参考答案A 题 血管的三维重建 参考答案以每个管道内的点为球心，可作内含于管道的球，其中具有最大半径的球记为该点的最大内含球。
容易证明最大内含球和管道曲面相切，且在同一截平面内中轴线上的点为球心的最大内含球具有最大的半径，即滚动球半径。
由此可设计相应的算法。
第一,最大内含球和管道曲面相切，意味着球心和管道边界上的点最短距离为最大内含球的半径。
为此需计算边界，方法如下： 首先定义象素（x ，y ）的领域：4-领域，其周围的四个象素，包括（x-1，y ），（x ，y-1），（x ，y+1）8-领域，其周围的八个象素，包括（x+1，y ），（x ，y-1），（x ，y+1），（x+1,y-1）,(x-1,y+1),(x+1,y+1), 则边界点是4-领域（8-领域）的颜色值不全相同的象素点，由图象可得管道边界，由此估算最大含球的半径（若更精细得到内外两边界，则能估算最大内含球半径的大小范围）。
第二,在同一截平面内中轴线上的点为球心的最大内含球具有最大的半径。
为找到中轴线上的点，有多种方法。
方法之一是分割象素到足够小，遍历管道内所有子象素点，求各个内部子象素点的最大内含球半径。
第三,上述方法可求的中轴线上与给顶截平面的交点和在该点的半径。
若要得到更多的点，需计算两相邻截平面之间与其平行的平面和中轴线的交。
与已知截平面不同的是该平面内特征函数未知，为判断平面上某点是否为管道内的点，以其在相邻截平面上的领域点是否在管道内部为准。
综上所述，解决本问题的关键在于几何推理；计算机图象处理的边界提取技术，及算发设计。
参考算法：1、 对每个Z 平面，计算管道的边界（或内外边界）。
2、 分割象素为较小的子象素点，把Z 平面管道的子象素点作为候选点（穷举法）。
3、 计算候选点到所有边界上的最小距离，即最大内含球的半径。
4、 挑选具最大半径的候选点作为中轴线与切片的交点。
5、 为求相邻两Z 平面之间的平行平面与中轴线的交，首先挑选在该截面内有可能的管道内部点作为候选，重复3、4。
天津市大学数学竞赛历年试题及答案（完整）
天津市大学数学竞赛历年试题及答案（1）(人文学科及医学等类)一、填空：（请将最终结果填在相应的横线上面。
）1．.22322302220sin sin cos ()()lim 1,lim lim ()()34sin sin limlimcos 34cos sin 2sin cos lim6122sin 2cos lim lim 16126243x x x xxx x x a x xf x f xg x g x xxa x xxxa x a x xx xa x a x a x xx 2．2ln 1x0y2ln 22，得令xxx y 3．=.udue dxex u ux 2,12131令22222212212121222222222eeee e e e e e eee due ue udeu uu u4．,24,2222222x f xx f dxy d x x f dxdy 5．切线方程为. 1．3 2. -1/ln2 3.2e24. 5．06yx3)1(33y3y 1,3-1,x ,3,63312即切线方程：时，即得令而，切线的斜率为xx y y x xy x二、选择题：（每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。
选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。
）1．设函数)(x f 连续，则下列函数中必为偶函数的是( A ).(A)；(B)；(C)；(D).2. D3. B4. B5. C解：令)()()()()()()(,)()()(0u d u f u f u dt t f t f t x F dt t f t f t x F x x x )()()()()(0x F dtt f t f t duu f u f u xx 2．设函数)(x f 具有一阶导数，下述结论正确的是( D )。
(A)若)(x f 只有一个零点，则)('x f 必至少有两个零点；反例：y=2x(B) 若)('x f 至少有一个零点，则)(x f 必至少有两个零点；反例：y=x2(C) 若)(x f 没有零点，则)('x f 至少有一个零点；反例：y=2+sinx(D) 若)('x f 没有零点，则)(x f 至多有一个零点。
章节复习之因式分解培优训练题(培优篇).doc
y 是整数，且D 、仝或-纟B 、b = —6 ,章节复习之因式分解（培优篇）因式分解的方法 ----- 基本方法知识要点：因式分解的基本方法有提公因式法、公式法、分组分解法和十字相乘法。
在 对一个多项式进行因式分解时，应根据多项式的特点选择合理的分解方法。
A 卷一、填空题1、 分解因式：^+r--v 2+-=942、 （河南省竞赛题）分解因式：%2+ 5xy + x + 3y + 6y 2= _____________ 3、 已知x 2 -ax-24在整数范围内可以分解因式，则整数a 的可能取值 为 ____________ •4、（ 2000 年第16届“希望杯”竞赛题）分解因式：ab(a + b)2 - (« + b)2 +1 = __________5、（ 2005年第16届“希望杯”初二年级培训题）如果x x 2 + 2004xy - 2005y 2 = 1,那么 x = _____________, y = ___________二、选择题6、如果多项式4.X 2 +kx + -是一个完全平方式，那么斤的值是（ 97、（2005年第16届“希望杯”初二年级培训题）已知二次二项式2x 2 +bx + c 分解因 式后为 2（x - 3）（x +1）,则（ ）A 、b = 3 , c = -1 C 、b = -6, c = 4 D 、b = —4, c = —68、（江苏省南通市2005年中等学校招生考试题）把多项式a 2-2ab + b 2-1分解因式, 结果为（）A 、(a - b + l)(tz —b — \)C> (a + b + 1X 。
+ b -1)D 、(a + b + 1X 。
- b -1)一、填空题39、研究下列算式：Ix2x3x4 + 1 = 25 = 52；2x3x4x5 + 1 = 121 = 11?；3x4x5x6 + 1 = 361 =192； 4x5x6x7 + 1 = 841 = 292, ……用含n的代数式表示此规律(〃为正整数) 是•二、选择题10、对于这5 个多项式：① a2b2 - a2 -b2 -1；② x3-9ax2 +Tlxa2 -Tla3；③(x - 2)2 + 4x ；④3m(m - /?)+ 6n(n - m)；⑤x(b + c - d) - y(d - b - c)- 2c + 2d -2b 其中在有理数范围内可以进行因式分解的有( )4、①②⑤B、②④⑤C、③④⑤D、①②④11、已知二次三项式21/ +血一10可以分解成两个整系数的一次因式的积，那么( )A、a—定是奇数B、a—定是偶数C、a可为奇数也可为偶数D、a—定是负数三、解答题12、分解因式：(1)(2000年第12届“五羊杯”数学竞赛试题)分解因式：(x-2)3-(y-2)3-(x-y)31 1 9(2)--.r2,1+2 - —.r2" +-.r2"+13 27 9(3)ax2 - a2x + bx2 - 2abx + a2b - b2x + ab，(4)(cz" — b2^x~ -4abx-+/?~(5)a2(b - c)+ b2(c - a)+ c2(a - b)(6)x，+ xy - + x + 13y - 6c卷一、解答题13、M ("Al)名运动员参加乒乓球循环赛，每两人之间正好只进行一场比赛。
2015天津市大学数学竞赛试题及答案(经管类)
一、填空题（本题 15 分，每小题 3 分）
1、lim x0
x et2 dt 2
0
x te2t2 dt
0
.
解：lim x0
x et2 dt 2
2
0
x te2t2 dt
lim x0
0
x et2 dt
x
t t dt
(x 2). （1）证明： f (x) 8
2
3
（2）求曲线 y f (x) 与 x 轴所围成的封闭图形的面积。
(x 2) ；
（1）证明：由于 f (x) x x ，可知 f (x) 在区间2, ) 有唯一的驻点 x 0 。
当 x (2, 0) 时， f (x) 0 ；当 x (0, ) 时， f (x) 0 。因此 f (x) 在 x 0 取得最小
2
2
3
所围成的封闭图形的面积 A 2 f (x) dx 2 0 (x3 8)dx 8。
2
3 2
解法 1
直接求出
f
(
x)
1 3
(
x3
8),
1 (x3
8),
3
2 x 0,
可知 f (x) x t t dt 在区间[2, 2]
2
3
四、（6 分）设函数 y (ex 1)2 8(ex 1) 。（1）求此函数得增减区间和最值；（2）求此
函数得凹凸区间。
解：（1）此函数在 (, ) 上有定义，
y
2e2 x
2ex
2001—2010年天津市大学数学竞赛(用于打印)解析
2010年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、填空：（本题15分，每小题3分。
请将最终结果填在相应的横线上面。
） 1. 设nx n +++++++= 21131211，则=∞→n n x lim _______ 。
2.已知()x f 的一个原函数为x xsin ，则()='⎰ππx x f x 2d _______ 。
3.=⎰+∞e2ln d xx x_______。
4. 设a ，b 为非零向量，且满足（a + 3b ）⊥（7a – 5b ），（a – 4b ）⊥（7a – 2b ），则a 与b 的夹角为_______ 。
5.根据美国1996年发布的《美国能源报告》原油消耗量()t C 1的估计公式为（单位：十亿桶/年）：()15159060781000137021≤≤-++-=t ,.t .t .t C ，式中t 的原点取为2000年1月。
如果实测模型为：()15158761207000137022≤≤-++-=t ,.t .t .t C ，则自1995年至2015年共节省原油 _______ 。
二、选择题：（本题15分，每小题3分。
每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。
选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。
）1. 设函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=.x ,x x ,x ,xxx f 0g 0cos 1其中()x g 是有界函数，则()x f 在0=x 点处（ ）。
（A ）极限不存在； （B ）极限存在，但不连续；（C ）连续但不可导； （D ）可导。
2. 设曲线的极坐标方程为ϑcos 1+=r ，则在其上对应于32πϑ=点处的切线的直角坐标方程为（ ）。
（A ）01=+x ； （B ）01=+y ； （C ）0=+y x ； （D ）0=-y x 。
3. 设函数()x f 连续，则()=-⎰x t t x f t x 0223d d d （ ）。
2001年大学生数学竞赛(天津)试题及参考答案
2001年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、填空：（本题15分，每空3分。
请将最终结果填在相应的横杠上面。
）1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<-=，，；，0cos 01e )(22x x x a x xx f x 在（-∞，+∞）上连续，则a = 2 。
2. 设函数y = y (x ) 由方程0)cos(e =-+xy y x 所确定，则==0d x y x d - 。
3. 由曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积A =1237。
4. 设E 为闭区间[0，4π]上使被积函数有定义的所有点的集合，则⎰=Ex x x d sin cos38。
5．设L 是顺时针方向的椭圆1422=+y x ，其周长为l ，则()=++⎰L s y x xy d 422 4l 。
二、选择题：（本题15分，每小题3分。
每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。
选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。
）1. 若0)(lim 0u x x x =→ϕ且A u f =→)(lim 0u u ，则（ D ）（A ） )]([lim 0x f x x ϕ→存在； （B ） A x f x x =→)]([lim 0ϕ（C ） )]([lim 0x f x x ϕ→不存在； （D ） A 、B 、C 均不正确。
2. 设⎰=xx x x f sin 02d )sin()(，43)(x x x g +=，则当0→x 时，（ A ） （A ）)(x f 与)(x g 为同阶但非等价无穷小； （B ）)(x f 与)(x g 为等价无穷小；（C ）)(x f 是比)(x g 更高阶的无穷小； （D ）)(x f 是比)(x g 更低阶的无穷小。
3. 设函数)(x f 对任意x 都满足)()1(x af x f =+，且b f =)0('，其中a 、b 均为非零常数，则)(x f 在x = 1处（ D ）（A ）不可导； （B ）可导，且a f =')1(；（C ）可导，且b f =')1(； （D ）可导，且ab f =')1(。
2001—2007年天津市大学数学竞赛(打印版)
2007年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、填空：（本题15分，每空3分。
请将最终结果填在相应的横线上面。
） 1. 设函数()()⎰⋅=xt at x f sin 02d sin ，()43x x x g +=，且当x →0时，()x f 与()x g 为等价无穷小，则a = 3 。
2. 设函数x x y 2=在0x x =点处取得极小值，则=0x 。
3.()=+⎰+∞121d x x x。
4. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+022401223:L 22222z y--z y x z--y x 在点（1，1，2）处的切线方程为 。
5.=+⎰⎰1132d 1d xy yxy x 。
二、选择题：（本题15分，每小题3分。
每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。
选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。
）1. 设函数()x f 连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ） （A ）()()[]⎰⋅-+x t t f t f t 0d ； （B ）()()[]⎰⋅--xt t f t f t 0d ；（C ）()⎰xt t f 02d ； （D ）()[]⎰xt t f 02d 。
2. 设函数()x f 具有一阶导数，下述结论中正确的是（ ） （A ）若()x f 只有一个零点，则()x f '必至少有两个零点； （B ）若()x f '至少有一个零点，则()x f 必至少有两个零点； （C ）若()x f 没有零点，则()x f '至少有一个零点； （D ）若()x f '没有零点，则()x f 至多有一个零点。
3. 设函数()x f 在区间()+∞,0内具有二阶导数，满足()00=f ，()0<''x f ，又b a <<0，则当b x a <<时恒有（ ）（A ）()()a xf x af >； （B ）()()b xf x bf >； （C ）()()b bf x xf >； （D ）()()a af x xf >。
第一届大学生数学竞赛(数学类)考题及答案
考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分.一、（15分）求经过三平行直线1:L x y z ==，2:11L x y z -==+，3:11L x y z =+=-的圆柱面的方程. 二、（20分）设n n C ⨯是n n ⨯复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C 上的线性空间，121000100010001n n n a a F a a ---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭.（1）假设111212122212n n n n nn a a a a a a A aa a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，若AF FA =，证明：121112111n n n n A a F a F a F a E ---=++++；（2）求n n C ⨯的子空间{}()|n n C F X C FX XF ⨯=∈=的维数.三、（15分）假设V 是复数域C 上n 维线性空间（0n >），,f g 是V 上的线性变换.如果fg gf f -=，证明：f 的特征值都是0，且,f g 有公共特征向量.四、（10分）设{}()n f x 是定义在[],a b 上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛，并在[],a b 上满足'()n f x M ≤.（1）证明{}()n f x 在[],a b 上一致收敛；（2）设()lim ()n n f x f x →∞=，问()f x 是否一定在[],a b 上处处可导,为什么？ 五、（10分）设320sin sin n nta t dt t π=⎰， 证明11n na ∞=∑发散. 六、（15分） (,)f x y 是{}22(,)|1x y x y +≤上二次连续可微函数，满足222222f fx y x y∂∂+=∂∂，计算积分221x y I dxdy +≤⎛⎫=⎰⎰. 七、（15分））假设函数 ()f x 在 [0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导，过点 (0,(0))A f ，与点 (1,(1))B f 的直线与曲线 ()y f x =相交于点 (,())C c f c ，其中 01c <<. 证明：在 (0,1)内至少存在一点 ξ，使()0f ξ''=。
2019年天津大学生数学竞赛共7页word资料
2011年 天津市大学数学竞赛试题(理工类) 一. 填空题（本题15分，每小题3分）:1.设()f x 是连续函数, 且0()lim41cos x f x x →=-, 则01()lim 1x xf x x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭2e .2. 设223()2x f x ax b x +=++- , 若 lim ()0,x f x →∞= 则 a =2,- b =4.- 3. 1e ln d x x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰ e ln .xx C +4.设(,)f x y 是连续函数, 且(,)(,)d d ,Df x y xy f x y x y =+⎰⎰其中D 由x 轴、y 轴以及直线1x y +=围成, 则(,)f x y =1.12xy +5.椭球面22221x y z ++=平行于平面20x y z -+=和二. 选择题（本题15分，每小题3分）:1. 设()(2)ln(1),f x x x =+- 则()f x 在0x =处(A) (0)2f '=-, (B) (0)0f '=, (C) (0)2f '=, (D) 不可导.答: (A)2. 设函数()y f x =具有二阶导数, 且满足方程sin e0.xy y '''+-=已知0()0,f x '=则 (A) ()f x 在0x 的某个邻域中单调增加, (B) ()f x 在0x 的某个邻域中单调增少,(C) ()f x 在0x 处取得极小值, (D) ()f x 在0x 处取得极大值.答: ( C)3. 图中曲线段的方程为()y f x =, 函数()f x 在区间[0,]a 上有连续的导数, 则积分 0()d ax f x x '⎰表示(A) 直角三角形AOB 的面积, (B),(C) 曲边三角形AOB 的面积, (D) .答: (D) 4. 设在区间 [,]a b 上的函数()0,f x > 且 ()0,f x '< ()0.f x ''> 令 1()d ,ba S f x x =⎰2()(),S f b b a =- 31[()()](),2S f a f b b a =+- 则(A) 123,S S S << (B) 312,S S S << (C) 213,S S S << (D)231.S S S <<答: (C )5. 设 曲面22{(,,)|,01},x y z z x y z ∑==+≤≤取上侧为正, 1∑是 ∑在 0x ≥的部分, 则曲面积分 (A)d d 0,x y z ∑=⎰⎰ (B) 1d d 2d d .z x y z x y ∑∑=⎰⎰⎰⎰ x(C) 122d d 2d d ,y y z y y z ∑∑=⎰⎰⎰⎰ (D) 122d d 2d d ,x y z x y z ∑∑=⎰⎰⎰⎰答: (B)三. (6分) 设函数 ()2002[(1)()d ]d 0sin 00xt t u u t,x ,f x x,x .ϕ⎧-⎪≠=⎨⎪=⎩⎰⎰ 其中函数ϕ处处连续. 讨论()f x 在0x =处的连续性及可导性.解 222[(1)()d ]d (1)()d lim ()limlim2x x x x t x t u u tx u uf x x xϕϕ→→→--==⎰⎰⎰22()d ()d limlim22x x x x x u uu ux xϕϕ→→=-⎰⎰202()0lim0(0)2x x x f ϕ→⋅=-== 因此, ()f x 在0x =处连续.200300[(1)()d ]d ()(0)lim limxx x t t u u t f x f x x ϕ→→--=⎰⎰ 2020(1)()d lim 3x x x u u x ϕ→-=⎰ 22002200()d ()d 11lim lim 33x x x x x u u u u x x ϕϕ→→=-⎰⎰1(0)3ϕ=-因此, ()f x 在0x =处可导, 且 1(0)(0).3f ϕ'=-四. (6分) 设函数()x x t =由方程cos 0t x x +=确定, 又函数()y y x =由方程2e1y xy --=确定, 求复合函数(())y y x t =的导数0d d .t yt =解 方程cos 0t x x +=两边对t 求导d d cos sin 0.d d x x x t x t t -⋅+=当 t=0时, x=0, 故00d cos 1.d sin 1t t x x xt t x ====--=方程2e 1y xy --= 两边对x 求导 2d d e 0.d d y y y y x x x-⋅--⋅= 当 0x =时,2,y = 故0220d 2.de x y y x yy xx==-==-=因此,00d d d .d d d 2t x t y y xt xt ====⋅=-五. (6分) 设函数()f x 在(,)-∞+∞上二阶可导，且0()lim0x f x x→=，记10()()x f xt dt ϕ'=⎰，求)(x ϕ的导数，并讨论)(x ϕ'在0x =处的连续性.解 由已知的极限知(0)0,(0)0,f f '== 从而有 10(0)(0)d 0.f t ϕ'==⎰当 0x ≠时, 1100011()()()()d()()d ,x f x x f x t dt f x t x t f u u x x x ϕ'''====⎰⎰⎰从而有 (),0()0,0.f x x x xx ϕ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩因为()lim ()lim0(0),x x f x x xϕϕ→→=== 所以, ()x ϕ在0x =处连续. 当 0x ≠时, 2()()(),xf x f x x xϕ'-'=在0x =处, 由(0)0,ϕ= 有20()(0)()()1(0)lim lim lim (0)22x x x x f x f x f xxx ϕϕϕ→→→'-'''====所以,2()(),0()1(0),0.2xf x f x x x x f x ϕ'-⎧≠⎪⎪'=⎨⎪''=⎪⎩而20000()()()()lim ()limlim lim lim 2x x x x x f x f x f x f x x x x xx ϕ→→→→→''''=-=-001()1()(0)1lim lim (0)(0),222x x f x f x f f x x ϕ→→'''-'''==== 故 ()x ϕ'在0x =处连续.六. (7分) 设函数()y y x =在(,)-∞+∞上可导, 且满足: 22,(0)0.y x y y '=+=(Ⅰ) 研究()y x 在区间(0,)+∞的单调性和曲线()y y x =的凹凸性.(Ⅱ) 求极限 30()lim.x y x x →解 (Ⅰ) 当0x >时, 有220,y x y '=+> 故 ()y x 在区间(0,)+∞单调增加. 从而当0x >时, 22y x y '=+也单调增加. 可见, 曲线()y y x =在区间(0,)+∞向下凸. (或当0x >时, 可得222222()0.y x y y x y x y '''=+⋅=++> 可见, 曲线()y y x =在区间(0,)+∞向下凸. )(Ⅱ) 由题设知, (0)(0)0.y y '== 应用洛必达法则22322000()()lim lim lim 33x x x y x y x x y x x x →→→'+==[]22011111lim (0).33333x y y x →⎛⎫'=+=+= ⎪⎝⎭七. (7分) 设()f x 在[0,1]上具有连续导数, 且0()1,(0)0.f x f '<≤= 试证211300()d ][()]d .f x x f x x ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰证 令 2300()()d [()]d ,x xF x f t t f t t ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 则 ()F x 在 [0,1]连续, 且对 (0,1)x ∈,30()2()()d [()]xF x f x f t t f x '=-⎰20()2()d ().xf x f t t f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰ 又由题设知, 当(0,1)x ∈时, ()0.f x > 令20()2()d (),xg x f t t f x =-⎰ 则()g x 在[0,1]上连续, 且()2()[1()]0,(0,1),g x f x f x x ''=-≥∈故有()(0)0(0,1).g x g x ≥=∈ 因此()0,(0,1),F x x '≥∈于是()F x 在[0,1]上单调增加, ()(0)0,[0,1].F x F x ≥=∈ 取1x =, 即得211300(1)()d [()]d 0.F f t t f t t ⎡⎤=-≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 所证结论成立.八. (7分) 设函数()y f x =具有二阶导数, 且()0.f x ''> 直线a L 是曲线()y f x =上任意一点(,())a f a 处的切线, 其中[0,1].a ∈ 记直线a L 与曲线()y f x =以及直线0,1x x ==所围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为().V a 试问a 为何值时()V a 取得最小值. 解 切线a L 的方程为 ()()(),y f a f a x a '-=- 即 ()()().y f a x af a f a ''=-+于是10()2[()()V a x f x f a x af π'=-+⎰ 10112()d ()()().322a xf x x f a f a f a π⎡⎤''=-+-⎢⎥⎣⎦⎰ 可见, ()V a 在[0,1]连续, 在(0,1)可导. 令 1()2[()()]()(32)0323a V a f a f a f a a ππ'''''''=-+=-=, 由于 ()0,f a ''> ()V a 在(0,1)内有唯一的驻点2.3a =并且, 当 2(0,)3a ∈时, ()0V a '<; 当2(,1)3a ∈时, ()0,V a '> 因此, ()V a 在23a =处取得最小值. a九. (7分) 计算(sin )d (cos 1)d ,Ly y x x y y -+-⎰其中L 为从点(0,0)O 沿圆周222x y x +=在第一象限部分到点(1,1)A 的路径.解 令 sin ,cos 1,P y y Q x y =-=- 则cos (cos 1) 1.Q Py y x y∂∂-=--=∂∂ 取点(1,0).B 作有向直线段,OB 其方程为 0(y x =从0作有向直线段,BA其方程为 1(x y =从0变到1). 由曲线L 、有向直线段AB 和BO 形成的闭曲线记为0L (沿顺时针方向), 0L 所围成的区域记为D , 则(sin )d (cos 1)d Ly y x x y y -+-⎰()((sin )d (cos 1)d )AB BOL y y x x y y =---+-⎰⎰⎰Ñd (sin )d (cos 1)d D BAy y x x y y σ=-+-+-⎰⎰⎰(sin )d (cos 1)d OBy y x x y y +-+-⎰101(cos 1)d 04y y π=-+-+⎰ 1sin1 1.4π=-+-十. (8分) 设（1）有向闭曲线Γ是由圆锥螺线 »OA ：θθθθθ===z y x ,sin ,cos ，（θ从0变到2π）和有向直线段 AO 构成， 其中()0,0,0O ， ()2,0,2A ππ；（2）闭曲线Γ将其所在的圆锥面z =∑是其中的有界部分.（Ⅰ）如果()x z F -=,1,ρ 表示一力场，求F ρ沿Γ所做的功W ；（Ⅱ）如果()x z F -=,1,ρ表示流体的流速，求流体通过∑流向上侧的流量. (单位从略）解（Ⅰ）作有向直线段,AO 其方程为 ⎩⎨⎧==xz y 0(x 从 2π变到0).所求F ρ沿Γ所做的功为d d d W z x y x z Γ=+-⎰Ñ »()(d d d )OAAOz x y x z =++-⎰⎰()20cos sin sin cos cos d πθθθθθθθθθθ=-++-⎡⎤⎣⎦⎰()02d x x x π+-⎰220(cos sin )d 0πθθθθθ=-+⎰24π=.（Ⅱ）Γ所在的圆锥面方程为z = ∑上任一点处向上的一个法向量为(,,1)x y n z z =--=r∑在xOy 面上的投影区域为D , 0,02.r θθπ≤≤≤≤ 故所求流体通过∑流向上侧的流量为d d d d d d ()()d d x y z y z z x x x y z z z x x y ∑∑⎡⎤Φ=+-=⋅-+--⎣⎦⎰⎰⎰⎰d d x x x y ∑⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰ ()200d 2cos sin d r r r πθθθθ=-+⎰⎰ 22302cos sin d 32πθθθθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰26π-=.x注: (Ⅰ)的另一解法 应用Stokes 公式， 可得 W 2d d 2d d y z x z x y ∑∑==-⎰⎰⎰⎰2d x y∑=⎰⎰22200sin 2d d sin d r r r rπθπθθθθθ=-⋅=-⎰⎰⎰ 24π=.十一. (8分) 设函数(,)u u x y =在心形线:1cos L r θ=+所围闭区域D 上具有二阶连续偏导数, n r 是在曲线L 上的点处指向曲线外侧的法向量(简称外法向), un∂∂是(,)u x y 沿L 的外法向的方向导数, L 取逆时针方向.(Ⅰ) 证明:d d d .L Luu us x y n y x∂∂∂=-+∂∂∂⎰⎰蜒 (Ⅱ) 若222221,u ux y y x y∂∂+=-+∂∂ 求d L u s n ∂∂⎰Ñ的值. (Ⅰ) 证 由方向导数的定义 d (cos sin )d .LLuu us s nx y αα∂∂∂=+∂∂∂⎰⎰蜒其中, α是n r 相对于 x 轴正向的转角.设1α是 L 的切向量τr 相对于x 轴正向的转角, 则1,2παα=+ 或 1.2παα=-故11d (sin cos )d .L L u u u s s n x y αα∂∂∂=-∂∂∂⎰⎰蜒d d .L u u x y y x ∂∂=-+∂∂⎰Ñ(Ⅱ) 解 应用格林公式22222d ()d d (1)d d D D L u u us x y x y y x yn x y ∂∂∂=+=-+∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰Ñ由对称性1cos 00d 1d d 2d d D L us x y x r rn πθ+∂==∂⎰⎰⎰⎰⎰Ñ203(1cos )d .2πθθπ=+=⎰ 十二.(8分) 设圆222x y y +=含于椭圆22221x y a b+=的内部, 且圆与椭圆相切于两点(即在这两点处圆与椭圆都有公共切线).(Ⅰ) 求 a 与b 满足的等式; (Ⅱ) 求a 与b 的值, 使椭圆的面积最小.解 (Ⅰ) 根据条件可知, 切点不在y 轴上. 否则圆与椭圆只可能相切于一点. 设圆与椭圆相切于点00(,)x y , 则00(,)x y 既满足椭圆方程又满足圆方程, 且在00(,)x y 处椭圆的切线斜率等于圆的切线斜率, 即2002001b x xa y y -=--. 注意到00,x ≠ 因此, 点00(,)x y 应满足2200222200022001(1)2(2)1(3)1x y a b x y y b a y y ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩由(1)和(2)式, 得222200220.b a y y a b--+=(4) 由 (3) 式得 2022.b y b a=- 代入(4) 式 2242222222220.()b a b b a b b a b a-⋅-+=-- 化简得 2222,b a b a=- 或 22420.a b a b --= (5)(Ⅱ) 按题意, 需求椭圆面积S ab π=在约束条件 (5) 下的最小值.希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价。
2001年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题
2001年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题一、选择题(每题5分，共30分．) 1．350，440，530的大小关系为( )．(A)350<440<530(B)530<350<440(C)530<440<350(D)440<530<3502．二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，则点(a+b ，ac)在直角坐标系中的象限是( )．(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限3，凸五边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝120°，EA ＝AB ＝BC ＝2，CD ＝DE ＝4，则它的面积为 ( )．(A)63 (B)73 (C)83 (D)934.若x+y+z ＝30，3x+y-z ＝50，x ，y ，z 均为非负数，则M ＝5x+4y+2z 的取值范围是( )．(A)100≤M ≤110 (B)110≤M ≤120 (C)120≤M ≤130 (D)130≤M ≤1405．周长为有理数的等腰三角形，底边上的高是底边长的21，则该三角形的( )．(A)腰和底边的高都是有理数 (B)腰和底边的高都不是有理数 (C)腰是有理数，底边上的高是无理数 (D)腰是无理数，底边上的高是有理数6．如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠C ＝90°，若AD ＝31AC ，CE ＝31BC ，则∠l 和∠2的大小关系是( )，(A)∠l>∠2 (B)∠l<∠2 (C)∠l ＝∠2 (D)无法确定 二、填空题(每空5分，共30分，)7． 已知：x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14＝0，则x+y+z ＝ 8．计算：(3+1)2001-2(3+1)2000-2(3+1)1999+2 001=9．已知：m ，n 是有理数，并且方程x 2+mx+n ＝0有一个根是5-2，那么，m+n ＝ 10．如图，已知一个三角形的一边长为2，这边上的中线长为1，另两边之和为l+3，则这两边之积为11．已知：a 、b 满足a 3-3a 2+5a ＝l ，b 3-3b 2+5b ＝5，则a+b ＝ · 12．如图，由五个边长为1 cm 的正方形组成的图形中，过点A 的一条直线l 与ED 、CD 分别交于M 、N ，若直线l 将图形分为面积相等的两部分，则EM ＝cm ．三、解答题(每题15分，共60分．)13． 已知抛物线y ＝x 2+Px+q 上有一点M(x 0，y 0)位于x 轴下方． (1)求证：此抛物线与x 轴交于两点；(2)设此抛物线与x 轴的交点为A(x 1，0)，B(x 2，0)且x 1<x 2，求证:x 1<x 0<x 2 14．如图，任意五边形ABCDE 中，M 、N 、P 、Q 分别为AB 、CD 、BC 、DE 的中点，K 、L 分别为MN 、PQ 的中点．求证：KL ∥AE ，且KL ＝41AE ．15．如图，直线y ＝-33x+l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ ABC ，∠BAC ＝90°，如果在第二象限内有一点P(a ，21)，且△ ABP 的面积与△ ABC 的面积相等，求a的值．16．如图，已知点P 在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB(不含端点)上运动，PH ⊥OA ，垂足为H ，△OPH 的重心为G ．(1)当点P 在弧AB 上运动时，线段GO 、GP 、GH 中有无长度保持不变的线段?如果有，请指出并求其相应的长度；(2)设PH ＝x ，GP ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；(3)如果△PGH 是等腰三角形，试求出线段PH 的长，2001年天津市初中数学竞赛试题答案2002年全国初中数学联合竞赛天津赛区复赛一、选择题(本大题共6小题．每小题7分，满分42分．每小题均给出了代号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的，将正确结论的代号填在下表相应的括号中．填对得7分，不填、填错或所填代号多于一个得O分．)1．已知a=2－l，b=22-6，c=6－2，那么a、b、c的大小关系是( )．A ．a<b<cB ．b<a<cC ．c<b<aD ．c<a<b2．若m 2=n+2．n 2=m+2(m≠n)，则m 3－2mn+n 3的值为( )． A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－23．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，并设M==|a+b+c|—|a －b+c|+|2a+b|—|2a －b|，则( )． A ．M>0 B ． M=O C ．M<0D ．不能确定M 为正、为负或为04．直角三角形ABC 的面积为120，且∠BAC=90°，AD 是斜边上的中线，过点D 作DE⊥AB 于点E ，连CE 交AD 于点F ，则△AFE 的面积等于( )． A ．18 B ．20 C ．22 D ．245．如图所示。
大连市、天津市大学生高等数学竞赛试题
大连市、天津市大学生高等数学竞赛试题（有删减）大连市第九届大学生高等数学竞赛试题1. 确定正整数n ，使极限12arcsin sin 0(1)limsin t xxnx t dtI e x-→+=⎰存在，并求出此极限。
2. 讨论由x y a r c t g y x =+22ln在区域⎭⎬⎫⎩⎨⎧><=0,2),(x xy y x D 内确定的隐函数)(x f y =的极值点的极值，并说明是极小值还是极大值。
3. 设)(x f y =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有二阶导数且0)0(='f ，证明：存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0,,321πξξξ，使)()2sin()(21132ξξξξπf f '=⋅''⋅。
4. 求极限,lim n n u ∞→其中)11(2n u n +=)21(2n +…)11(2nn -+)1(2n n +。
5. ⎰+=22sin u x xytdt z ， ),(y x u u =可微，求dz 。
6. 平面1π为椭球面42x 1422=++z y 在点)21,1,1(A 处的切平面，平面2π是此椭球面的另一切面，切点为2.πB 平行于1π，求以点)0,0,2(,C B A 及为顶点的三角形的面积。
7. 求曲线⎰-==1)(:dt t x x f y C ，[]1,0∈x 绕x 轴旋转所成的曲面的表面积。
大连市第八届大学生高等数学竞赛试题1、求323112arcsin )11ln(lim--+→x x x 。
2、讨论x x x f sin )(=在0=x 处二阶可导性。
3、求证：+nx +-1n x……+2x x ＝１在（０,1）内必有唯一根3,2(=n x n ……）并求n n x ∞→lim4、w uv z arcsin +=其中xe u = ，y v cos = ，22yx x w +=， 求dz 。
5、设)1()(1-≥=⎰-x dt t t x f x求)(x f 与x 轴围成封闭圆形的面积。
2002年天津市大学数学竞赛试题参考答案(理工类)
１2002年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、填空：（本题15分，每空3分。
请将最终结果填在相应的横线上面。
）1．=-+∞→xx x x 1sin 1312lim232。
2．设摆线方程为⎩⎨⎧-=-=t y t t x cos 1sin 则此曲线在3π=t 处的法线方程为3331π+-=x y 。
3．=+⎰∞+e2)ln 1(x x dx4π。
4．设22y xy x z +-=在点(－1,1)处沿方向{}1251，=→l 的方向导数=∂∂lz53-。
5．设Σ为曲面222R y x =+介于0≤Z ≤R 的部分，则22222π=++⎰⎰∑z y x dS。
二、选择题：（本题15分，每小题3分。
每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。
选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。
）1. 曲线)2)(1(1arctane 212-++-=x x x x y x 的渐近线有（ B ） （A ） 1条； （B ） 2条；（C ） 3条； （D ） 4条。
2. 若2)]([)(x f x f ='，则当n>2时=)()(x f n （ A ）（A ）1)]([!+n x f n ； （B ）1)]([+n x f n ；（C ）n x f 2)]([； （D ）nx f n 2)]([!。
3. 已知函数f (x )在（－∞，+∞）内有定义，且x 0是函数f (x )的极大值点，则（ C ）（A ）x 0是f (x )驻点； （B ）在（－∞，+∞）内恒有f (x )≤f (x 0)； （C ）－x 0是－f (－x )的极小值点； （D ）－x 0是－f (x )的极小值点。
4. 设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,222222y x y x yx xyz ，则z = z (x ,y )在点（0，0）（ D ）（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但不可微；（C ）不连续且偏导数不存在； （D ）不连续但偏导数存在。
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（A）与 s 和 t 有关；
（B）与 s、t 及 x 有关；
（C）与 s 有关，与 t 无关；
（D）与 t 有关，与 s 无关。
5.
设 u (x，y)
在平面有界闭区域 D 上具有二阶连续偏导数，且满足 2u xy
2u 0 及 x 2
2u y 2
0 ，则
（ B ）。 （A）u (x，y) 的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的内部； （B）u (x，y) 的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的边界上； （C）u (x，y) 的最大值点在区域 D 的内部，最小值点在区域 D 的边界上； （D）u (x，y) 的最小值点在区域 D 的内部，最大值点在区域 D 的边界上。
u11 ''(x,2x) 2u12 ''(x,2x) 2x ，
u'2
(x,2x)
1 x2 2
两边对
x
求导，得到
u21 ''(x,2x) 2u22 ''(x,2x) x 。
以上两式与已知
2u x 2
2u y 2
联立，又二阶导数连续，所以 u12 ''
u21 ' ' ，故
２
u11
'
'
( x，2 x)
x 1 ex
0
1 dx
0 1 ex
1
dx
0 1 ex
命： e x
t，则d x
1 d t ，于是
t
0
x ex 1 ex
2
dx
1 d t 1 t(1 t)
1 1 d t ln t
1 t t 1
1 t
ln 2
1
五、设函数
u(x,
y)
的所有二阶偏导数都连续，
2u x 2
2u y 2
2001 年天津市大学数学竞赛试题参考答案 （理工类）
一 填空：（本题 15 分，每空 3 分。请将最终结果填在相应的横杠上面。）
1.
函数
f
(x)
e2x 1 ，
x
x 0；在（-∞，+∞）上连续，则 a =
a cos x x2，x 0，
2。
2. 设函数 y = y(x) 由方程 e x y cos(xy) 0 所确定，则 d y x0 d x 。
（B） f (x) 与 g(x) 为等价无穷小；
（C） f (x) 是比 g(x) 更高阶的无穷小；
（D） f (x) 是比 g(x) 更低阶的无穷小。
3. 设函数 f (x) 对任意 x 都满足 f (x 1) af (x) ，且 f '(0) b ，其中 a、b 均为非零常数，则 f (x)
设
f (x, y) S 2 p( p x)( p y)(x y p) ，
问题转化成求 f (x, y) 在
D (x, y) 0 x p,0 y p, p x y 2 p
上的最大值。其中 D 中的第 3 个条件是这样得到的，由于三角形的任意两边之和大于第三边，故有 x + y >
x2 2x 2x 2x2 o(x2 )
1 x4 o(x4 )
lim 4 o(x 4 ) 24
x ex
四、计算
d x 。（本题 6 分）
0 1 ex 2
解：
x ex 0 1 ex
dx
2
x ex 0 1 ex
dx
2
0
x
d
1
1 e
x
在 x = 1 处（ D ） （A）不可导；
（C）可导，且 f (1) b ；
（B）可导，且 f (1) a ； （D）可导，且 f (1) ab 。
s
4. 设 f (x) 为连续函数，且 f (x) 不恒为零，I=t t f (tx) d x ，其中 s > 0，t > 0，则 I 的值（ C ） 0
o(x4 )
1
x2 2
x4 8
o(x4 ) ；
ln(1 2 x) 2 x 1 (2 x) 2 o( x 2 ) 2 x 2 x 2 o( x 2 ) ； 2
由此得到：
x2
cos x e 2 lim
1 lim
x2 2!
x4 4!
o
(x
4
)
1
x2 2
x4 8
o
(x
4
)
x0 x 2[2x ln(1 2x)] x0
以下各题的解答写在试题纸上，可以不抄题，但必须写清题号，否则解答将被视为无效。
１
x2
cos x e 2
三、求极限 lim
。（本题 6 分）
x0 x 2[2x ln(1 2x)]
解： cos x 1 x 2 x 4 o(x 4 ) ； 2! 4!
x2
e2
1 x2 2
1 2!
x2 2
2
4 3
x
。
六、在具有已知周长 2p 的三角形中，怎样的三角形的面积最大？（本题 7 分）
解：设三角形的三条边长分别为 x、y、z，由海伦公式知，三角形的面积 S 的平方为
S 2 p( p x)( p y)( p z)
则本题即要求在条件 x + y + z = 2p 之下 S 达到的最大值。它等价于在相同的条件下 S2 达到最大值。
3. 由曲线 y x3 x 2 2x 与 x 轴所围成的图形的面积 A =
37
。
12
4. 设 E 为闭区间[0，4π]上使被积函数有定义的所有点的集合，则 cos x sin x d x E
x2
5．设 L 是顺时针方向的椭圆
y2
1，其周长为 l
，则
xy x 2 4y 2 d s 4l
4
L
8
。
3
。
二、选择题：（本题 15 分，每小题 3 分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确
选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）
1.
若
lim
x x0
(x)
u0
且
lim
uu0
f (u)
A ，则（
D
）
（A） lim f [(x)] 存在； x x0
（B） lim f [( x)] A x x0
（C） lim f [(x)] 不存在； x x0
（D） A、B、C 均不正确。
2. 设 f (x) sin x sin(x 2 ) d x ， g(x) x3 x 4 ，则当 x 0 时，（ A ） 0
（A） f (x) 与 g(x) 为同阶但非等价无穷小；
且u ( x,2 x)
x
，
u'1
(x,2x)
x2
，求
u11 ''(x，2x) 。（本题 6 分） 解： u(x,2x) x 两边对 x 求导，得到
u'1 (x,2x) 2u'2 (x,2x) 1
代入 u'1 (x,2x) x 2 ，求得
u'2
(x,2x)
1 x2 2
，
u'1 (x,2x) x 2 两边对 x 求导，得到