非线性数学物理方程的行波解

非线性偏微分方程行波解

1直接积分法

行波解形式：0()u x ct φξξξ= =-+代入偏微分方程得常微分方程。这个过程简记为行波变换。直接积分法指直接求解这个常微分方程。

例0()()()()0t x xx u uu u c αφξφξφξαφξ''''+-=⇒-+-=

积分难计算：

1用特殊形式的解试凑：

exp()1exp()

B a u a ξξ=+ vakhnenko 方程20t x x x

x u u u u u +++=；fisher 方程(1)t x x u u u u αβ---= ()exp(())u i kx wt φξ=- Schrodinger 方程20t xx iu u u u αβ++=

2椭圆函数在常微分方程求解中的应用。

2混合指数方法

适用于多项式方程，非多项式方程需变换。如sine-Gordon 方程sin xt u u =【1】具体步骤

1.行波变换

2.进行奇性分析：将p φξ-=代入,平衡方程中最高阶导数项与最高阶非线性项,计算出p 的值。通常p 为正整数;若n 为有理数12/m m ,可令21m φϕ

-=,若n 为负数,可设1φϕ-=。 3.为获得更多的解，引入变换+C φϕ=

4.设1,exp()n n

n a g g k φξ∞===∑是方程相应线性项部分的指数解（若无则为最低次非线性项

构成方程的解），代入方程，得到递推关系。解出n a 。得到方程的解。

注：

1.n a 的递推关系难解，可以设n a 是n 的多项式。【2】

2.第3步也可以这样假设2020,exp()n n i i

i i i n

i n n i i

i i i n i a g a g g k b g b g φξ=-==-====∑∑∑∑，代入方程令g 前系数为0解出a ，b 。【3】

3齐次平衡法

齐次平衡法已推广到寻找非线性发展方程的自Backlund 变换、相似约化、多孤子解等领域。

1.()()()m n m n x t u f f φφφφ+=+关于x 和t 的各阶偏导数为变元的低于m+n 次的线性组合。代

入方程平衡中最高阶导数项与最高阶非线性项，确定m ，n （非正整数则进行变换）。

2.代入方程令最高阶导数项系数为0，解常微分方程确定f 。

3.将f 带回解出φ。

4双曲函数展开法

1.行波变换

2.进行奇性分析（同混合指数法）

3.20,tanh(),1p i i i u a T T T T ξ='=

==-∑代入方程用吴文俊消元法解之。得a 注：

1.双曲正割推广假设12200+,sec (),,1p p i i i i i i u a S bTS S h S ST T S ξ-=='=

==-=-∑∑ 2.拟双曲函数推广1

001sinh()+(),()cosh()cosh()p p i i i i

i i u a f b gf

f g r r ξξξξξ-====

=++∑∑， 2222,1,12(1)f fg g g rf g rf r f ''=-=--=-+-

5Jacobi 椭圆函数展开法

1.行波变换

2.进行奇性分析（同混合指数法）

3.0,()p

i

i

i u a S S sn ξ===∑代入方程用吴文俊消元法解之。得a 注：

1.满足椭圆函数性质方程的函数可代替椭圆函数展开。【4】

参考文献：

1.李志斌.非线性偏微分方程行波解M. 北京：科学出版社2007,52-54

2.李志斌.非线性偏微分方程行波解M. 北京：科学出版社2007,21-25（同 徐桂琼、李志斌 构造非线性发展方程孤波解的混合指数方法）

3.张善卿. 简化的混合指数方法及其应用[J]. 杭州电子科技大学学报.2007.27(2).45-48

4.李志斌.非线性偏微分方程行波解M. 北京：科学出版社2007,142-153

5.