非线性数学物理方程的行波解
一些非线性发展方程的行波解的开题报告
一些非线性发展方程的行波解的开题报告一、研究背景非线性发展方程（Nonlinear evolution equations）在数学中有重要应用，也在自然科学和工程技术中发挥着至关重要的作用。
行波解（traveling wave solution）是非线性发展方程的一种特解，具有很广泛的应用价值。
目前，已经有许多学者对非线性发展方程的行波解进行了研究，但对于某些非线性发展方程，其行波解的研究仍然是一个难点问题。
二、研究现状对于某些非线性发展方程，其行波解已经得到了很好的研究。
例如，经典的 Korteweg-de Vries 方程和非线性 Schrödinger 方程都有丰富的行波解研究。
同时，研究者还发现了一些新型非线性发展方程，其行波解呈现出了一些非常有意思的性质，例如波形的对称性、高阶波形等等。
但是，对于一些新型非线性发展方程，其行波解的研究仍然是相对较少的，并且很多方程的行波解也没有得到很好的分类和系统的研究。
因此，对于这些方程的行波解的研究仍然是非常有意义的。
三、研究内容本研究将重点关注某些非线性发展方程的行波解的研究。
具体来说，我们将进行以下方面的工作：1. 学习和总结已有的文献，了解非线性发展方程行波解的研究现状和方法。
2. 选取一些典型的非线性发展方程，分析其行波解的性质，例如波形的对称性、高阶波形等等。
3. 对于某些方程，根据其行波解的性质，对其进行分类和系统研究，以便更好地了解其行波解的特征和规律。
4. 如果可能的话，我们将尝试研究某些新型非线性发展方程的行波解，并分析其有意思的性质。
四、研究意义本研究将有助于深入了解非线性发展方程的行波解的性质和规律，为相关领域的研究提供新的启示和思路。
同时，对于某些新型非线性发展方程，我们的研究结果也有助于更好地了解其特征和规律，为这些方程的应用提供更好的理论支持。
非线性波方程求解的新方法!
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数学物理方程中的非线性波动方程研究
数学物理方程中的非线性波动方程研究在数学和物理学领域中，非线性波动方程是一类重要的数学模型，它们广泛应用于描述各种具有非线性行为的现象和过程。
本文将对非线性波动方程进行研究，并探讨其在实际应用中的意义和影响。
一、非线性波动方程的定义和性质非线性波动方程是一类具有非线性项的偏微分方程，常用的非线性波动方程包括Korteweg–de Vries (KdV) 方程、非线性Schrödinger (NLS) 方程等。
这些方程在研究光学、水波、声波等领域中起到了重要的作用。
非线性波动方程的数学模型一般形式如下：\[u_{xt} = F(u, u_x, u_{xx}, u_{xxx}, ...)\]其中，\(u\) 是波动的解，\(x\) 和 \(t\) 分别表示空间和时间，\(F\) 是非线性项函数。
非线性波动方程的性质与线性波动方程有较大的不同。
首先，非线性波动方程的解不再满足叠加原理，即两个或多个解的简单相加不能得到一个新的解。
其次，非线性波动方程可以出现孤立波解，即在无外力驱动的情况下，波动可以保持稳定而不衰减。
此外，非线性波动方程还表现出一些特殊的现象，如特征速度的变化、波的相互作用等。
二、非线性波动方程的应用和意义非线性波动方程在多个领域中都具有重要的应用价值，并对相关学科的发展做出了重要贡献。
1. 光学领域：非线性光学是非线性波动方程在光学领域的应用之一。
通过非线性波动方程，可以研究光在非线性介质中的传播和相互作用，为解释和实现非线性光学现象提供了理论基础。
例如，非线性光学中的自聚焦效应和光孤子现象，都可以通过非线性Schrödinger方程进行建模和解释。
2. 水波领域：非线性水波方程可以用来描述海洋中的大气尺度运动、风浪和海浪等现象。
通过非线性水波方程的研究，可以预测和模拟海洋中的海浪传播、波浪破碎等过程，对沿海工程的设计和海岸线的维护具有重要意义。
3. 力学领域：非线性波动方程在力学领域的应用较为广泛，尤其在固体力学和流体力学中。
用φ（ξ）展式法求非线性演化方程的行波解
第４０卷第１期２０２２年１月贵州师范大学学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧｕｉｚｈｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ）Ｖｏｌ．４０．Ｎｏ．１Ｊａｎ．２０２２引用格式：王骞，林府标．用φ（ξ）展式法求非线性演化方程的行波解［Ｊ］．贵州师范大学学报（自然科学版），２０２２，４０（１）：８５ ９１．［ＷＡＮＧＱ，ＬＩＮＦＢ．Ｓｏｌｖｉｎｇｔｒａｖｅｌｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｖｏｌｕｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅφ（ξ）ｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧｕｉｚｈｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ），２０２２，４０（１）：８５ ９１．］用φ（ξ）展式法求非线性演化方程的行波解王 骞１，林府标２（１．贵州师范大学附属中学，贵州贵阳 ５５０００１；２．贵州财经大学数学与统计学院，贵州贵阳 ５５００２５）摘要：研究精确求解某些非线性演化偏微分方程的４种φ（ξ）展式法。
用这些方法分别获得了七阶ＳＫ Ｉｔｏ方程、五阶ＫｄＶ方程、三阶ＫｄＶ方程、三阶Ｊｏｓｅｐｈ Ｅｇｒｉ方程的许多类型的新行波解。
这些方法还可用于求解其它一些非线性演化偏微分方程。
关键词：非线性演化方程；φ（ξ）展式法；行波解中图分类号：Ｏ１７５．２９ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００４—５５７０（２０２２）０１－００８５－０７ＤＯＩ：１０．１６６１４／ｊ．ｇｚｎｕｊ．ｚｒｂ．２０２２．０１．０１３Ｓｏｌｖｉｎｇｔｒａｖｅｌｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｖｏｌｕｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅφ（ξ）ｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄＷＡＮＧＱｉａｎ１，ＬＩＮＦｕｂｉａｏ２（１．ＴｈｅＭｉｄｄｌｅＳｃｈｏｏｌＡｔｔａｃｈｅｄｔｏｔｈｅＧｕｉｚｈｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｇｕｉｙａｎｇ，Ｇｕｉｚｈｏｕ５５０００１，Ｃｈｉｎａ；２．ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ，ＧｕｉｚｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＦｉｎａｎｃｅａｎｄＥｃｏｎｏｍｉｃｓ，Ｇｕｉｙａｎｇ，Ｇｕｉｚｈｏｕ５５００２５，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｏｕｒｔｙｐｅｓφ（ξ）ｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒａｃｃｕｒａｔｅｌｙｓｏｌｖｉｎｇｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｖｏｌｕｔｉｏｎｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒ ｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｅｒｅｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．Ｍａｎｙｔｙｐｅｓｏｆｎｅｗｔｒａｖｅｌｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｔｏｔｈｅｓｅｖ ｅｎｔｈｏｒｄｅｒＳＫ Ｉｔｏｅｑｕａｔｉｏｎ，ｔｈｅｆｉｆｔｈｏｒｄｅｒＫｄＶｅｑｕａｔｉｏｎ，ｔｈｅｔｈｉｒｄｏｒｄｅｒＫｄＶｅｑｕａｔｉｏｎ，ａｎｄｔｈｅｔｈｉｒｄｏｒｄｅｒＪｏｓｅｐｈ Ｅｇｒｉｅｑｕａｔｉｏｎｗｅｒｅｆｏｕｎｄｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｓｅφ（ξ）ｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓ．Ｔｈｅｓｅｍｅｔｈｏｄｓｃａｎａｌｓｏｂｅｕｓｅｄｔｏｓｏｌｖｅｓｏｍｅｏｔｈｅｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｖｏｌｕｔｉｏｎｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｖｏｌｕｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎ；φ（ξ）ｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄ；ｔｒａｖｅｌｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎ０ 引言受数学机械化［１］思想的启发，研究非线性演化偏微分方程［２－４］的方法与技巧不断涌现。
一类非线性波动方程行波解的研究的开题报告
一类非线性波动方程行波解的研究的开题报告开题报告：一类非线性波动方程行波解的研究一、选题背景非线性波动方程是自然科学和工程技术领域中涉及到的一类十分重要的数学模型，例如水波、声波、地震波等等。
其研究具有重要的理论和实际意义。
通过对非线性波动方程的研究，可以更好地了解波的传播规律，优化人类生活和工作环境。
非线性波动方程的行波解是其研究中的重要内容。
行波解是指在一定条件下，波的特定形式将沿某个方向传播，类似于一列列的波浪，具有稳定性和可观性。
因此，行波解的研究是探讨非线性波动方程的规律和应用的基础。
本次选题旨在研究一类非线性波动方程的行波解，探讨其数值解和数学分析方法，从而更好地理解和应用非线性波动方程。
二、研究内容和方法本次研究选取以下方程为研究对象：${u_t} + {a_1}(u){u_x} + {a_2}(u){u_{xxx}} + {a_3}(u){u_{xxxxx}} = 0$其中，$a_1(u)$、$a_2(u)$、$a_3(u)$是关于$u$的非线性函数。
研究包括以下几个方面：1.推导非线性波动方程的行波解形式，建立行波解的数学模型。
2.探究行波解的稳定性和可观性，分析波的传播规律和动力学特性。
3.实现基于数值计算的行波解求解算法，并对求解结果进行分析和验证。
4.研究非线性波动方程的其他解法和数值方法，比较分析其优缺点。
研究方法包括理论研究和数值模拟两方面。
理论研究将通过数学分析和建模的方式，推导非线性波动方程的行波解形式，并分析其稳定性和可观性；数值模拟将通过编程实现，基于已知的行波解模型，实现行波解的求解和分析验证。
三、预期成果预计本次研究的成果包括如下方面：1.推导一类非线性波动方程的行波解形式，并建立行波解的数学模型。
2.分析行波解的稳定性和可观性，探讨波的传播规律和动力学特性。
3.基于数值计算，实现非线性波动方程的行波解求解算法，并对求解结果进行分析和验证。
4.比较分析非线性波动方程的其他解法和数值方法，为实际应用提供参考。
非线性NLS方程的新显式精确行波解_赵长海
南通大学学报（自然科学版）２００７年０引言随着非线性科学的飞速发展，物理学、化学、生物学以及通讯工程等领域的许多现象可以通过非线性方程这一数学模型予以简练而准确的描述，因而求解非线性方程一直是数学家和物理学家研究的重要课题．近年来已发展了许多求解这些非线性发展方程的方法，例如反散射法，齐次平衡法等［１－２］．文献［３］用三角函数法得到非线性发展方程的若干解，文献［４－５］用双函数法找到非线性发展方程的广泛孤波解．非线性ＮＬＳ方程在非线性光学、电磁学、超导超流、生物物理、高分子物理、等离子体理论中均有应用．如可从光纤中的群速度色散与非线性效应相平衡时的情况来导出ＮＬＳ．从麦克斯韦方程出发亦可直接建立ＮＬＳ．事实上ＮＬＳ是非线性调制波方程．本文借助Ｍａｔｈｅｒｍａｔｉｃａ软件，采用双函数法和吴文俊消元法［６］，获得了非线性发展方程ＮＬＳ的多组行波解．１非线性ＮＬＳ方程的行波解ＮＬＳ方程可写成非线性ＮＬＳ方程的新显式精确行波解赵长海（南通大学理学院，江苏南通２２６００７）摘要：给出一种求解非线性发展方程精确行波解的新方法———双函数法．借助计算机代数系统Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ，利用双函数法和吴文俊消元法，获得ＮＬＳ方程的多组新的显式行波解，包括孤波解和周期解．关键词：双函数法；吴文俊消元法；ＮＬＳ方程；行波解中图分类号：Ｏ４１５文献标识码：ＡＮｅｗＥｘｐｌｉｃｉｔａｎｄＥｘａｃｔＴｒａｖｅｌｉｎｇＷａｖｅＳｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅＮＬＳＮｏｎｌｉｎｅａｒＥｑｕａｔｉｏｎｓＺＨＡＯＣｈａｎｇ－ｈａｉ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅｓ，ＮａｎｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｔｏｎｇ２２６００７，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｈｙｐｅｒｂｏｌａｆｕｎｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄｆｏｒｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇｅｘａｃｔｔｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｖｏｌｕｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｍａｎｙｔｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｔｏＮＬＳｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｅｒｅｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｕｓｉｎｇｈｙｐｅｒｂｏｌａｆｕｎｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄａｎｄＷｕ－ｅｌｉｍｉｎａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ，ｗｈｉｃｈｉｎｃｌｕｄｅｎｅｗｔｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓａｎｄｒａｔｉｏｎａｌｔｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅｍｅｔｈｏｄｕｓｅｄｈｅｒｅｃａｎａｌｓｏｂｅａｐｐｌｉｅｄｔｏｏｔｈｅｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｈｙｐｅｒｂｏｌａｆｕｎｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ；Ｗｕ－ｅｌｉｍｉｎａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ；ＮＬＳｅｑｕａｔｉｏｎ；ｔｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎ收稿日期：２００７－０３－１９基金项目：南通大学自然科学基金项目（０６Ｚ００４）作者简介：赵长海（１９６４－），男，南通大学理学院副教授，主要从事非线性物理的研究．文章编号：１６７３－２３４０（２００７）０３－００１２－０４南通大学学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＮａｎｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）第６卷第３期２００７年９月Ｖｏｌ．６Ｎｏ．３Ｓｅｐｔ．２００７ｉ!ｕ!ｔ＋!!２ｕ!ｘ２＋"ｕ２ｕ＝０（１）ＮＬＳ方程有通常只有线性方程才具有的形式为ｕ＝Ａｅｉ（ｋｘ－#ｔ）（２）的单波解．其中，Ａ、#和ｋ分别为振幅、园频率和波数．将式（２）代入方程（１）很快得到频散关系为#＝!ｋ２－"Ａ２（３）式（３）说明，非线性波的频散关系既与波数有关，又与振幅有关．由此求得群速度为ｃｇ≡ｄ#ｄｋ＝２!ｋ（４）因式（１）是根据式（２）得到的，所以式（３）可视为非线性ＮＬＳ方程（１）的最低阶的近似，相应式（２）是它的最低阶的解．因非线性ＮＬＳ方程通常表征非线性的调制作用，所以，我们通常求它的包络波形式解，即设解为ｕ＝$（%）ｅｉ（ｋｘ－#ｔ），%＝ｘ－ｃｇｔ（５）将式（５）代入方程（１）得到!ｄ２$ｄ%２＋ｉ（２!ｋ－ｃｇ）ｄ$ｄ%＋（#－!ｋ２）$＋"$３＝０（６）通常，我们要求$（%）是实函数形式，故要求ｄ$ｄ%前的复系数为零，而这恰好是式（４）的形式．又考虑式（３），我们设式（６）中$前的系数为#－!ｋ２＝－&（&＞０）（７）这样方程（６）就简化为－!ｄ２$ｄ%２＋&$－"$３＝０（８）１．１方法一由双函数法设方程（８）有如下形式的行波解$（%）＝ｎｉ＝１"ｓｉｎｈｉ－１#（Ｂｉｓｉｎｈ#＋Ａｉｃｏｓｈ#）＋Ａ０（９）并且通过平衡方程（８）线性最高阶导数项和非线性的次数易知ｎ为１，所以$（%）＝Ｂ１ｓｉｎｈ#＋Ａ１ｃｏｓｈ#＋Ａ０（１０）其中Ａ０，Ａ１，Ｂ１为待定系数，而ｄ$ｄ%可以有多种选法，令ｄ#ｄ%＝ｓｉｎｈ#（１１）将式（１０）、式（１１）代入式（８），并令其中的常数项以及各次项的系数为零，得到如下线性方程组：&Ａ０－"Ａ０３－３"Ａ０Ａ１２＝０，－!Ｂ１＋&Ｂ１－３"Ａ０２Ｂ１－３"Ａ１２Ｂ１＝０，－３"Ａ０Ａ１２－３"Ａ０Ｂ１２＝０，－２!Ｂ１－３"Ａ１２Ｂ１－"Ｂ１３＝０，&Ａ１－３"Ａ０２Ａ１－"Ａ１Ｂ１２＝０，－６"Ａ０Ａ１Ｂ１＝０，－２!Ａ１－"Ａ１３－３"Ａ１Ｂ１２＝０．利用吴消元法解上述关于Ａ０、Ａ１、Ｂ１的超待定代数方程组得：Ａ０＝０，Ａ１＝０，Ｂ１＝±ｉ２#!$"$，!＝&；Ａ０＝０，Ｂ１＝０，Ａ１＝±ｉ２$!$"$，&＝－２!；Ａ０＝０，Ａ１＝Ｂ１＝±ｉ!$２$"$，－!＝２&．对式（１１）分离变量并且两边积分，积分常数取为零，得：ｓｉｎｈ#＝－ｃｓｃｈ%，ｃｏｓｈ#＝－ｃｏｔｈ%．于是方程（８）有如下形式解：（１）$（%）＝%ｉ２$!$"$ｃｓｃｈ%；（２）$（%）＝%ｉ２$!$"$ｃｏｔｈ%；（３）$（%）＝%ｉ!$２$"$ｃｓｃｈ%%ｉ!$２$"$・ｃｏｔｈ%．进一步由式（５）得：（１′）ｕ＝%ｉ２$!$"$ｃｓｃｈ%・ｅｉ（ｋｘ－#ｔ）；（２′）ｕ＝%ｉ２$!$"$ｃｏｔｈ%・ｅｉ（ｋｘ－#ｔ）；（３′）ｕ＝（%ｉ２$!$"$ｃｓｃｈ%%ｉ!$２$"$・ｃｓｃｈ%）ｅｉ（ｋｘ－#ｔ）．赵长海：非线性ＮＬＳ方程的新显式精确行波解・１３・南通大学学报（自然科学版）２００７年如令ｄ!ｄ"＝ｃｏｓｈ!（１２）将式（１０）、式（１２）代入式（８）中，并令其中的常数项以及各次项的系数为零，得到如下线性代数方程组：#Ａ０－$Ａ０３－３$Ａ０Ａ１２＝０，－２%Ｂ１＋#Ｂ１－３$Ａ０２Ｂ１－３$Ａ１２Ｂ１＝０，－３$Ａ０Ａ１２－３$Ａ０Ｂ１２＝０，－２%Ｂ１－３$Ａ１２Ｂ１－$Ｂ１３＝０，－%Ａ１＋#Ａ１－３$Ａ０２Ａ１－$Ａ１３＝０，－６$Ａ０Ａ１Ｂ１＝０，－２%Ａ１－$Ａ１３－３$Ａ１Ｂ１２＝０．利用吴消元法解上述关于Ａ０、Ａ１、Ｂ１的超待定代数方程组得：Ａ０＝０，Ａ１＝０，Ｂ１＝±ｉ２!%!$!，２%＝#；Ａ０＝０，Ｂ１＝０，Ａ１＝±ｉ２!%!$!，#＝－%；Ａ０＝０，Ａ１＝Ｂ１＝±ｉ%!２!$!，%＝２#．对式（１２）分离变量并且两边积分，积分常数取为零，得：ｓｉｎｈ!＝－ｃｏｔ"，ｃｏｓｈ!＝－ｃｓｃ"．于是方程（８）有如下周期解：（４）&（"）＝"ｉ２!%!$!ｃｏｔ"；（５）&（"）＝"ｉ２!%!$!ｃｓｃ"；（６）&（"）＝"ｉ%!２!$!ｃｏｔ""ｉ%!２!$!ｃｓｃ"．进一步由式（５）得：（４′）ｕ＝"ｉ２!%!$!ｃｏｔ"・ｅｉ（ｋｘ－!ｔ）；（５′）ｕ＝"ｉ２!%!$!ｃｓｃ"・ｅｉ（ｋｘ－!ｔ）；（６′）ｕ＝（"ｉ%!２!$!ｃｏｔ""ｉ%!２!$!ｃｓｃ"）ｅｉ（ｋｘ－!ｔ）．１．２方法二由双函数法设方程（８）有如下形式的行波解&（"）＝Ｂ１ｓｉｎ!＋Ａ１ｃｏｓ!＋Ａ０（１３）令ｄ!ｄ"＝ｓｉｎ!（１４）将式（１３）、式（１４）代入式（８）中，并令其中的常数项以及各次项的系数为零，得到如下线性代数方程组：#Ａ０－$Ａ０３－３$Ａ０Ａ１２＝０，－%Ｂ１＋#Ｂ１－３$Ａ０２Ｂ１－３$Ａ１２Ｂ１＝０，３$Ａ０Ａ１２－３$Ａ０Ｂ１２＝０，２%Ｂ１＋３$Ａ１２Ｂ１－$Ｂ１３＝０，#Ａ１－３$Ａ０２Ａ１－$Ａ１３＝０，－６$Ａ０Ａ１Ｂ１＝０，２%Ａ１＋$Ａ１３－３$Ａ１Ｂ１２＝０．利用消元法解上述关于Ａ０、Ａ１、Ｂ１的超待定代数方程组得：Ａ０＝０，Ａ１＝０，Ｂ１＝±２!%!$!，%＝#；Ａ０＝０，Ｂ１＝０，Ａ１＝±ｉ２!%!$!，#＝－２%．对式（１４）分离变量并且两边积分，积分常数取为零，得：ｓｉｎ!＝ｓｅｃｈ"，ｃｏｓ!＝±ｔａｎｈ"．于是方程（８）有如下解：（７）&（"）＝"２!%!$!ｓｅｃｈ"；（８）&（"）＝"ｉ２!%!$!ｔａｎｈ"．进一步由式（５）得：（７′）ｕ＝"２!%!$!ｓｅｃｈ"・ｅｉ（ｋｘ－!ｔ）；（８′）ｕ＝"ｉ２!%!$!ｔａｎｈ"・ｅｉ（ｋｘ－!ｔ）．１．３方法三又由双函数法设方程（８）有如下形式的行波解・１４・!（"）＝Ｂ１ｆ（"）＋Ａ１ｇ（"）＋Ａ０（１５）若取ｆ（"）和ｇ（"）为修正的双函数如下：情况１：ｆ（"）＝１ｒ＋ｓｉｎｈ"，ｇ（"）＝ｃｏｓｈ"ｒ＋ｓｉｎｈ（"）．其中"为行波变量，ｒ为参数，可以调整波行的变化．则易知，ｇ２（"）＝ｆ２（"）＋（１－ｒｆ（"））２．又易知ｆ′（"）＝－ｆ（"）ｇ（"）ｇ′（"）＝－ｆ２（"）＋ｒｆ（"）－ｒ２ｆ２（"）（１６）将式（１５）、（１６）代入式（８）中，且令其中的常数以及各次项的系数为零，得到如下线性代数方程组：#Ａ０－$Ａ０３－３$Ａ０Ａ１２＝０，%Ａ１－３$Ａ０２Ｂ１－$Ａ１３＝０，ｒ&Ａ１＋２ｒ$Ａ１３－６$Ａ０Ａ１Ｂ１＝０，－&Ｂ１＋%Ｂ１＋６ｒ$Ａ０Ａ１２－３$Ａ０２Ｂ１－３$Ａ１２Ｂ１＝０，３ｒ&Ｂ１－３$Ａ０Ａ１２－３ｒ２$Ａ０Ａ１２＋６ｒ$Ａ１２Ｂ１－３$Ａ０Ｂ１２＝０，－２&Ａ１－２ｒ２&Ａ１－$Ａ１３－ｒ２$Ａ１３－３$Ａ１Ｂ１２＝０，－２&Ｂ１－２ｒ２&Ｂ１－３$Ａ１２Ｂ１－３ｒ２$Ａ１２Ｂ１－$Ｂ１３＝０．利用吴消元法解上述关于Ａ０、Ａ１、Ｂ１的超代定代数方程组得：Ａ０＝０，Ｂ１＝０，ｒ＝±ｉ，Ａ１＝%!$!，&＝－２%．舍去和前面计算结果相似的答案，将以上结果代入式（１５）中，则方程（８）有如下孤立波解：’（"）＝"%!$!ｃｏｓｈ"（"ｉ＋ｓｉｎｈ"）．进一步由式（５）得：ｕ＝"%!$!ｃｏｓｈ"（"ｉ＋ｓｉｎｈ"）ｅｉ（ｋｘ－(ｔ）．情况２：ｆ（"）＝１ｒ＋ｓｉｎ"，ｇ（"）＝ｃｏｓ"ｒ＋ｓｉｎ（"）．其中"为行波变量，ｒ为参数，可以调整波行的变化．则易知，ｇ２（"）＝ｆ２（"）－（１－ｒｆ（"））２．又易知ｆ′（"）＝－ｆ（"）ｇ（"）ｇ′（"）＝－ｆ２（"）－ｒｆ（"）＋ｒ２ｆ２（"）（１７）将式（１５）、（１７）代入式（８）中，且令其中的常数以及各次项的系数为零，得到如下线性代数方程组：%Ａ０－$Ａ０３＋３$Ａ０Ａ１２＝０，%Ａ１－３$Ａ０２Ａ１＋$Ａ１３＝０，－ｒ&Ａ１－２ｒ$Ａ１３－６$Ａ０Ａ１Ｂ１＝０，&Ｂ１＋%Ｂ１－６ｒ$Ａ０Ａ１２－３$Ａ０２Ｂ１＋３$Ａ１２Ｂ１＝０，－３ｒ&Ｂ１－３$Ａ０Ａ１２＋３ｒ２$Ａ０Ａ１２－６ｒ$Ａ１２Ｂ１－３$Ａ０Ｂ１２＝０，－２&Ａ１＋２ｒ２&Ａ１－$Ａ１３＋ｒ２$Ａ１３－３$Ａ１Ｂ１２＝０，－２&Ｂ１＋２ｒ２&Ｂ１－３$Ａ１２Ｂ１＋３ｒ２$Ａ１２Ｂ１－$Ｂ１３＝０．利用吴消元法解上述关于Ａ０、Ａ１、Ｂ１的超代定代数方程组得：Ａ０＝０，Ｂ１＝０，ｒ＝±１，Ａ１＝%!$!，&＝－２%．舍去和前面计算结果相似的答案，将以上结果代入式（１５）中，则方程（８）有如下孤立波解：’（"）＝±%!$!ｃｏｓ"（±１＋ｓｉｎ"）．进一步由式（５）得：ｕ＝±%!$!ｃｏｓ"（±ｉ＋ｓｉｎ"）ｅｉ（ｋｘ－(ｔ）．２结束语本文采用双函数法和吴消元法，获得了ＮＬＳ方程的多组孤波解，其中一些为复标量场中的解，丰富了ＮＬＳ方程解的结果，将有助于我们对ＮＬＳ方程所描述物理现象的进一步了解和研究．双函数法不仅可以用于求解一元非线性可积方程，而且可以用来求解非线性方程的各种解．其中双函数可以选择双曲函数，也可以选择三角函数等．参考文献：［１］ＡＢＬＯＷＩＴＺＭＪ，ＣＬＡＲＫＳＯＮＰＡ，Ｓｏｌｉｔｏｎ．ＮｏｎｌｉｎｅａｒＥｖｏｌｕｔｉｏｎｓａｎｄＩｎｖｅｒｓｅＳｃａｔｔｅｒｉｎｇ［Ｍ］．ＮｅｗＹｏｒｋ：ＣａｍｂｒｉｄｇｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＰｒｅｓｓ，１９９１．［２］ＷＨＩＴＨＡＭＧＢ．ＬｉｎｅａｒａｎｄＮｏｎｌｉｎｅａｒＷａｖｅｓ［Ｍ］．ＮｅｗＹｏｒｋ：Ｗｉｌｅｙ，１９７４．（下转第２２页）赵长海：非线性ＮＬＳ方程的新显式精确行波解・１５・南通大学学报（自然科学版）２００７年［３］阎振亚，张鸿庆，笵恩贵．一类非线性演化方程新的显式行波解［Ｊ］．物理学报，１９９９，４８（０１）：１－５．［４］郑赟，张鸿庆．一个非线性方程的显式行波解［Ｊ］．物理学报，２０００，４９（０３）：３８９－３９１．［５］赵长海，盛正卯．Ｚａｋｈａｒｏｖ方程的显式行波解［Ｊ］．物理学报，２００４，５３（０６）：１６２９－１６３４．［６］关霭云．吴消元法讲义［Ｍ］．北京：北京理工大学出版社，１９９４．（责任编辑：戴兵）Ａ!Ｘ＝ｂ－ＡＸＡ＊!ｙ＋!Ｓ＝Ｃ－Ｓ－Ａ＊ｙＳｐ（!ＸＳ＋Ｘ!Ｓ）＝!"Ｉ－Ｓｐ（ＸＳ!####"####$）（５）由文献［１］知，系统（５）有唯一解．定义４设#＞０，（Ｘ（$），ｙ（$），Ｓ（$））是系统（４）的解，则称集合（Ｘ（$），ｙ（$），Ｓ（$）│$＞０）为原始－对偶中心路径．定义５称Ｎ（%）＝｛（Ｘ，ｙ，Ｓ）∈Ｆ０（Ｐ）×Ｆ０（Ｄ）：‖ＸＳ－!"Ｉ‖≤%"，"＝Ｘ・Ｓｎ｝为中心路径邻域．半定规划原始－对偶路径跟踪法的算法基本框架如下．令%∈（０，１），给定初始点（Ｘ０，ｙ０，Ｓ０）∈Ｎ（%）和误差容限&＞０，令"０＝Ｘ０・Ｓ０ｎ．循环直到"ｋ≤&：１）取矩阵Ｐｋ∈Ｓ＋＋ｎ和中心参数!ｋ∈［０，１］；２）求解系统（５），其中Ｐ＝Ｐｋ，"＝"ｋ，!＝!ｋ，（Ｘ，ｙ，Ｓ）＝（Ｘｋ，ｙｋ，Ｓｋ），得到解（!Ｘｋ，!ｙｋ，!Ｓｋ）；３）取（Ｘｋ＋１，ｙｋ＋１，Ｓｋ＋１）＝（Ｘｋ，ｙｋ，Ｓｋ）＋’ｋ（!Ｘｋ，!ｙｋ，!Ｓｋ），其中’ｋ＞０满足（Ｘｋ＋１，ｙｋ＋１，Ｓｋ＋１）∈Ｎ（%）；４）取(ｋ＋１＝Ｘｋ＋１・Ｓｋ＋１ｎ，ｋ＝ｋ＋１，返回．结束．５结语半定规划作为线性规划的推广，许多性质和算法都可以从线性规划直接推广得到，它们都是线性函数的极值问题，且都是凸优化问题，也都是特殊的锥优化问题；而半定规划比线性规划更一般，其对偶理论比线性规划的对偶理论弱，但是很多非线性凸优化问题可以化归为半定规划来求解，另外线性规划的可行集一般是多面体，其边界是光滑的，而半定规划的可行集的边界一般是非光滑的，因此线性规划有简单易行且高效的单纯形法，而半定规划尚无直接的、适用的单纯形法．参考文献：［１］ＷＯＬＫＯＷＩＣＺＨ，ＳＡＩＧＡＬＲ，ＶＡＮＤＥＮＢＥＲＧＨＥＬ．Ｈａｎｄ－ｂｏｏｋｏｆｓｅｍｉｄｅｆｉｎｉｔｅｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ［Ｍ］．Ｌｏｎｄｏｎ：ＫｌｕｗｅｒＡｃａ－ｄｅｍｉｃＰｕｂｌｉｓｈｅｒｓ，ＢｏｓｔｏｎＤｏｒｄｒｅｃｈｔ－Ｌｏｎｄｏｎ，２０００．［２］ＴＯＤＤＭＪ．Ｓｅｍｉｄｅｆｉｎｉｔｅｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ［Ｊ］．ＡｃｔａＮｕｍｅｒｉｃａ，２００１（１０）：５１５－５６０．［３］ＶＡＮＤＥＮＢＥＲＧＨＥＬ，ＢＯＹＤＳ．Ｓｅｍｉｄｅｆｉｎｉｔｅｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ［Ｊ］．ＳＩＡＭＲｅｖ．，１９９６（３８）：４９－９５．［４］ＨＥＬＭＢＥＲＧＣ．Ｓｅｍｉｄｅｆｉｎｉｔｅｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｈｏｍｅｐａｇｅ［ＥＢ／ＯＬ］．（２００５－０８－０４）［２００６－０５－０６］．ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｚｉｂ．ｄｅ／ｈｅｌｍ－ｂｅｒｇ／ｓｅｍｉｄｅｆ．ｈｔｍｌ．［５］ＫＡＲＭＡＲＫＡＲＮＫ．Ａｎｅｗｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ－ｔｉｍｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ［Ｊ］．Ｃｏｍｉｎａｔｏｒｉｅａ，１９８４（４）：３７３－３９５．［６］ＮＥＳＴＥＲＯＶＹＥ，ＮＥＭＩＲＯＶＳＫＩＩＡＳ．Ｉｎｔｅｒｉｏｒｐｏｉｎｔｐｏｌｙｎｏ－ｍｉａｌａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｉｎｃｏｎｖｅｘｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ［Ｍ］．ＳＩＡＭｐｕｂｌｉｃａ－ｔｉｏｎｓ，ＳＩＡＭ，ｐｈｉｌａｄｅｌｐｈｉａ，ＵＳＡ，１９９４．［７］ＷＲＩＧＨＴＳＪ．Ｉｎｔｅｒｉｏｒ－ｐｏｉｎｔｍｅｔｈｏｄｓｏｎｌｉｎｅｈｏｍｅｐａｇｅ［ＥＢ／ＯＬ］．（１９９８－０６－０７）［２００６－０５－０６］．ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ－ｕｎｉｘ．ｍｃｓ．ａｎｌ．ｇｏｖ／ｏｔｃ／ＩｎｔｅｒｉｏｒＰｏｉｎｔ．（责任编辑：张燕）（上接第１５页）・２２・。
求非线性薛定谔方程的行波解的一种新途径
数 变换 关 系 ， 据 Ｎ 根 ＫＧ 方 程 的 已 知 解 ， 获得 ＮＬ Ｓ方 程 系 统 丰 富 的 显 式 精 确 行 波 解 ， 包括 孤 波 解 ， 期 波 解 ， 周
雅 可 比 椭 圆 函数 解 ．
［ 关键词］ 变映射法 ； Ｓ方程 ；非线性 Ｋｌ ｎ ｏ ｒｏ Ｎ 形 ＮＬ ｅ —Ｇ ｄ ｎ（ ＫＧ） ｉ 方程 ； 行波解 ［ ｏ］Ｏ ３ ６ ／．ｓｎ １Ｏ —６ ７ ．０ ０ ０ ． ０ ｄｉｌ ． ９ ９ｊｉ ．Ｏ ８ ０ ２ ２ １ ． ３０ ３ ｓ ［ 中图分类号］ ７ ． ９ ０１ ５ ２ ［ 文献标识码］ Ａ ［ 文章 编号］０ ８ ６ ７ （０ ０ Ｏ一Ｏ ０ 一Ｏ １０－ ０２２１）３ ｏ７ ３
（）式 可 以行 波 约 化 为 非 线 性 常微 分 方 程 ２
０ 引 言
非 线性 现 象 的 研 究是 各 个 自然 科 学 领域 。 包 括 社 会 也
Ｆｎ “ Ｕ ， 。 ， ）＝ ０ （ 。 …
（） ４
其 中 ”表 示 ｄ ． ／ 为获 得 系 统 （ ）的行 波 解 。 如 下 ２ 作
变换 ：
“（ 一 “ （ ） ９ （ ９ （） ５
科 学领 域 所 十 分 关 心 的 问题 ． 理 、 学 、 物 、 讯 工 程 ， 物 化 生 通 甚 至社 会 的 经 济 问题 等都 存 在 着 大 量 的 、 要 的 非 线 性 问 重
题． 这些 问题 的研 究 最 终 可 用 非 线 性 偏 微 分 方 程 这 个 数 学
２１ ０ ０年 ６月
郧 阳 师 范 高等 专 科 学校 学报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｎ ａ ｇＴｅ ｃ ｅｓＣｏｌｇ ｏ ｒ ａ ｏ Ｙｕ ｙ ｎ ａ ｈ ｒ ｌ ｅ ｅ第 ３ 第 Nhomakorabea期 Ｏ卷
非线性波方程行波解分岔及其动力学行为的研究的开题报告
非线性波方程行波解分岔及其动力学行为的研究的开题报告摘要：本文旨在研究非线性波方程行波解分岔及其动力学行为。
首先，我们将介绍非线性波方程及其行波解的定义，特别是双曲型方程的行波解。
其次，我们将探讨行波解存在分岔的原因，并讨论分岔现象的数学描述。
然后，我们将考虑分岔前后的行波解的稳定性和动力学行为。
最后，我们将通过数值仿真模拟来验证我们的理论研究成果。
关键词：非线性波方程；行波解；分岔；稳定性；动力学行为1. 研究背景与意义非线性波方程是研究波动现象中的重要数学模型，具有很广泛的应用。
行波解是非线性波方程中的一类非常特殊和重要的解，具有稳定性和可预测性等优良性质。
分岔是一种普遍存在于动力学系统中的现象，其在非线性波方程的行波解中的存在也是非常普遍的。
因此，对于非线性波方程行波解分岔及其动力学行为的研究具有重要的理论和应用价值。
2. 研究方法和思路本文将采用非线性波方程的数学理论和方法，结合动力学系统的基本概念和理论，对非线性波方程中的行波解分岔及其动力学行为进行研究。
在理论分析的基础上，我们将通过数值仿真模拟来验证我们的理论研究成果。
3. 研究内容（1）非线性波方程及其行波解的定义介绍；（2）行波解存在分岔的原因，分岔现象的数学描述；（3）分岔前后的行波解的稳定性和动力学行为；（4）数值仿真模拟及结果分析。
4. 研究进度与计划目前，我们已对非线性波方程的性质和行波解的定义进行了深入的研究，以及分岔现象的分析和数学描述。
接下来，我们将从分岔前后的行波解的稳定性和动力学行为方面展开研究，并对分岔现象进行数值仿真模拟。
最后，我们将完成论文的撰写和修改。
变系数非线性Schrodinger方程的精确行波解
确行波解 ， 并且 当参数取特殊值时， 得到了孤波解。 关键词 ： 推广的 Ｇ ／ Ｇ展 开方 法 ； 非线性 Ｓ ｃ ｈ ｒ ｔ ｉ ｄ ｉ ｎ ｇ ｅ ｒ 方程 ； 行 波解 ； 齐次平衡 原理 中图分 类 号 ： ０１ ７ ５ ． ２ ９ 文献标 识码 ： Ａ
非 线性 Ｓ ｃ ｈ ｒ ６ ｄ ｉ ｎ ｇ ｅ ｒ 方 程 是 数学 物 理 中一 类 非 常重要 的非 线 性 方 程 ， 在 非 线 性 科 学 的众 多 领 域
确解 。
（ ３ ）将 方程 （ ５ ） 代 人方 程 （ ４ ） 并利用（ ６ ） 式， 令
（ ） Ｉ ＋ 吉 （ 詈 ） 每 一 项 的 系 数 为 零 ， 得 到 关
于 ， 卢 ， 和 ０ ０ ， ０ ， ｂ ｆ （ ｉ＝Ｉ ， ２ ， …， Ⅳ）的一个代数 方程组。借助于计算机代数系统求解得到的代数
造 非 线性 Ｓ 项 非 常 重 要 的研究 工作 。至 今为 止 ， 数 学 家和 物理 学家 提 出
这里 ＝ ｕ （ ｘ ， ｔ ） ， Ｇ是关 于 Ｈ ， ， ， Ｍ ， Ｍ ， … 的多 项式 。推 广 的 Ｇ ／ Ｇ展开方 法 的步骤 如下 ：
本文 将推 广 的 Ｇ ／ Ｇ展 开方 法应 用 于求解 变 系
数非 线性 Ｓ ｃ ｈ ｒ ｔ Ｍｉ ｎ ｇ ｅ ｒ 方程（ １ ） ， 得 出一些 结论 。
Ａｕ ｇ ．２ ０ １ ３
文章编 号
１ ０ ０ ０— ５ ２ ６ ９ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４— ０ ０ ０ １ — ０ ３
变 系数 非 线 性 Ｓ ｃ ｈ ｒ ６ ｄ ｉ ｎ ｇ ｅ ｒ方 程 的精 确 行 波 解
曹 瑞
（ １ ．菏泽学院 数学 系， 山东 菏泽 ２ ７ ４ ０ １ ５ ； ２ ．四川师范大学 数学 与软件科学学 院， 四川 成都 ６ １ ０ ０ ６ ８ ）
求非线性偏微分方程行波解的几种方法毕业论文答辩PPT
数学科学学院 2015级1班
答辩人：
导师：
目录
CONTENTS
绪论
研究方法与思路
研究结果与应用
研究总结
绪论
选题背景 研究意义 研究现状
背景
罗素观察到一种奇妙的水波有稳定的速度且波的形状不变,后来 著名的KdV方程解释了这种现象,并说明这是偏微分方程的特殊 解——行波解.这一结果一定程度地推动了流体力学的发展.
研究 现状
研究现状
随着科学技术的发展,前人提出了许多描述非线性现象的偏微分方 程,涉及生物学、物理学以及力学等等领域.例如1895年,数学家 Korteweg研究浅水波运动,提出著名的KdV方程,再到其他科学家 提出的Schrodinger方程、BBM方程等等.
相关研究人员们已经提出了一些方法去寻找非线性偏微分方程的 行波解比如Tanh函数法、反散射变换法、Darboux变换法、辅助 函数法等.但到目前为止,求行波解没有普适的解法.
研究结果与应用
首次积分法的应用 齐次平衡法的应用 雅可比椭圆函数的应用
PHi-four方程的行波解 1
首次积论分文法总的结应用
PHi-four方程的行波解 1
首次积论分文法总的结应用
mKdV方程的行波解 2
首次积论分文法总的结应用
mKdV方程的行波解 2
首次积论分文法总的结应用
mKdV方程的行波解 1
研究思路与方法
预备基 本方法
了解首次积分 法,齐次平衡法, 雅可比椭圆函 数展开法的理 论依据,并分别 提取总结求解 步骤.
应用
应用这些方法 求具有实际应 用背景的非线 性偏微分方程 的行波解.
优缺点 分析
非线性波方程求解的新方法
非线性波方程求解的新方法3付遵涛 刘式适 刘式达(北京大学物理学院,北京 100871)(2002年5月10日收到;2003年5月23日收到修改稿) 从Legendre 椭圆积分和Jacobi 椭圆函数的定义出发,得到了新的变换,并把它用于非线性演化方程的求解.用三个具体的例子,如非线性K lein-G ordon 方程、Boussinesq 方程和耦合的mK dV 方程组,说明了具体的求解步骤.比较方便地得到非线性演化方程或方程组的新解析解,如周期解、孤子解等.关键词:Jacobi 椭圆函数,非线性方程,周期解,孤子解PACC :0340K3国家自然科学基金(批准号:40175016)和国家教育部博士点基金(批准号:2000000156)资助的课题.11引言在非线性波动方程的求解中,Jacobi 椭圆函数起到了十分重要的作用[1—4],我们把Jacobi 椭圆函数展开方法[1—4]应用到非线性演化方程的求解,得到了新的解析解.下面,从新的角度认识Legendre 椭圆积分和Jacobi 椭圆函数在非线性方程求解的重要作用.我们知道,第一类Legendre 椭圆积分定义为θ(<)=∫<11-m 2sin 2φd φ,(1)其中0<m <1称为模数.若令y =sin φ,τ=sin <则得到Jacobi 椭圆正弦函数的定义θ(τ)=∫τ=sin <1(1-y 2)(1-m 2y 2)d y ≡sn -1τ,(2)即τ=sn θ=sin <.(3) 若令y =cos φ,τ=cos <,则由(1)式得到Jacobi 椭圆余弦函数的定义θ(τ)=∫1τ=cos <1(1-y 2)(m ′2+m 2y 2)d y≡cn -1τ,(4)即τ=cn θ=cos <,(5)其中m ′称作余模数,而且有m ′2+m 2=1.事实上,由(1)式得到d <d θ=1-m 2sin 2<,(6)其基本解是sin <=sn θ,cos <=cn θ.(7) 同样,第三类Legendre 椭圆积分定义为θ(<)=∫<1m2-sin 2φd φ.(8)若令y =cos φ,τ=cos <,则由(8)式得到第三类Jaco 2bi 椭圆函数的定义θ(τ)=∫1τ=cos <1(1-y 2)(y 2-m ′2)d y ≡dn -1τ,(9)即τ=dn θ=cos <.(10)事实上,由(8)式得到d <d θ=m 2-sin 2<,(11)其基本解是cos <=dn θ,sin <=m sn θ.(12)(6)和(11)式可以看作两个基本变换,这两个变换可以用于非线性方程的求解中,简化求解过程.下面,用三个具体的例子进行说明,分别是非线性K lein 2G ordon 方程、Boussinesq 方程和耦合的mK dV 方程组.第53卷第2期2004年2月100023290Π2004Π53(02)Π0343206物 理 学 报ACT A PHY SIC A SI NIC AV ol.53,N o.2,February ,2004ν2004Chin.Phys.S oc.21非线性K lein 2G ordon 方程非线性K lein 2G ordon 方程为u tt -c 20u xx +αu -βu 3=0,(13)我们寻求它的行波解为u =u (ξ),ξ=k (x -ct ),(14)其中k 和c 分别为波数和波的传播速度.从而有k 2(c 2-c 2)d 2u d ξ2+αu -βu 3=0.(15) 将u (ξ)展开为下列三角函数的级数:u (ξ)=∑nj =1sin j -1ω(a j sin ω+b j cos ω)+a 0,(16)其中ω满足(6)式:d ωd ξ=1-m 2sin 2ω,(17)从而有d 2ωd ξ2=-m 2sin ωcos ω.(18)这样,在(16)式中,选择适当的n 使得非线性波动方程(13)中的非线性项和最高阶导数项平衡,即可得到方程的形式解,具体的求解步骤可参看文献[1—4].这里,可以得到n =1,因此,方程(13)的形式解为u =a 0+a 1sin ω+b 1cos ω.(19)注意到d 2u d ξ2=(a 1cos ω-b 1sin ω)d 2ωd ξ2-(a 1sin ω+b 1cos ω)d ωd ξ2=-(1+m 2)a 1sin ω-b 1cos ω+2m 2b 1cos ωsin 2ω+2m 2a 1sin 3ω.(20)u 3=(a 30+3a 0b 21)+3(a 20+b 21)a 1sin ω+(3a 20+b 21)b 1cos ω+6a 0a 1b 1cos ωsin ω+3a 0(a 21-b 21)sin 2ω+(3a 21-b 21)b 1cos ωsin 2ω+(a 21-3b 21)a 1sin 3ω.(21)这样,(19)式代入(15)式得到[αa 0-β(a 30+3a 0b 21)]+[-k 2(c 2-c 20)(1+m 2)a 1+αa 1-3β(a 20+b 21)a 1]sin ω+[-k 2(c 2-c 2)b 1+αb 1-β(3a 20+b 21)b 1]cos ω+[-6βa 0a 1b 1]cos ωsin ω+[-3βa 0(a 21-b 21)]sin 2ω+[2k 2(c 2-c 20)m 2b 1-β(3a 21-b 21)b 1]cos ωsin 2ω+[2k 2(c 2-c 20)m 2a 1-β(a 21-3b 21)a 1]sin 3ω=0.(22)令三角函数各幂次方的系数为零,则得到关于展开系数的方程组αa 0-β(a 30+3a 0b 21)=0,(23)-k 2(c 2-c 20)(1+m 2)a 1+αa 1-3β(a 20+b 21)a 1=0,(24)-k 2(c 2-c 20)b 1+αb 1-β(3a 20+b 21)b 1=0,(25)-6βa 0a 1b 1=0,(26)-3βa 0(a 21-b 21)=0,(27)2k 2(c 2-c 20)m 2b 1-β(3a 21-b 21)b 1=0,(28)2k 2(c 2-c 20)m 2a 1-β(a 21-3b 21)a 1=0.(29)由(23)—(29)式得到解的两种情况:1)a 1≠0,b 1=0:a 0=0,a 1=±2m 2α(1+m 2)β,k2=α(1+m 2)(c 2-c 20),(30) 2)b 1≠0,a 1=0:a 0=0,b 1=±2m 2α(2m 2-1)β,k2=α(1-2m 2)(c 2-c 20).(31)结合(6),(7),(17)和(19)式得到方程(13)的两种解:u 1=a 1sin ω=±2m 2α(1+m 2)β×sn ±α(1+m 2)(c 2-c 20)(x -ct ), (32)u 2=b 1cos ω=±2m 2α(2m 2-1)β×cn ±α(1-2m 2)(c 2-c 20)(x -ct ). (33)很明显,这是方程(13)的两类周期解:椭圆正弦波解和椭圆余弦波解.当m →1时,sn ξ→tanh ξ,cn ξ→sech ξ,因此,同时可以得到u 3=±αβtanh ±α2(c 2-c 20)(x -ct ),(34)443物 理 学 报53卷u4=±2αβsech±-α(c2-c2)(x-ct)(35)两类孤子解.若(17)式中ω满足(11)式,即dωdξ=m2-sin2ω,(36)从而有d2ωdξ2=-sinωcosω.(37)方程的形式解仍然为(19)式,类似,把(19)式代入(15)式,并考虑到(36)式,则可以得到方程(13)的另一类解:3)b1≠0,a1=0:a0=0,b1=±2α(2-m2)β,k2=α(m2-2)(c2-c2).(38)结合(11),(12),(36)和(19)式得到方程(13)的解u5=b1cosω=±2α(2-m2)β×dn±α(m2-2)(c2-c2)(x-ct). (39)很明显,这是方程(13)的另一类周期解:第三类椭圆函数解.当m→1时dnξ→sechξ,因此,同时可以得到孤子解为(35)式.31Boussinesq方程的解Boussinesq方程形式为u tt-c20u xx-αu xxxx-β(u2)xx=0,(40)求其行波解,把(14)式代入(40)式得到(c2-c20)d2udξ2-αk2d4udξ4-βd2u2dξ2=0,(41)方程积分两次得到(c2-c20)u-βu2-αk2d2udξ2=A,(42)其中A为积分常数.把(16)式代入(41)式得到方程(40)的形式解为u=a0+a1sinω+b1cosω+a2sin2ω+b2cosωsinω.(43)这里,取ω满足变换(36)式(满足(17)式的可以类似求解).把(43)式代入(42)式得到[(c2-c20)a0-β(a20+b21)-2αk2m2a2-A]+[(c2-c20)a1-β(2a0a1+2b1b2)+αk2(1+m2)a1]sinω+[(c2-c20)b1-2βa0b1+αk2m2b1]cosω+[(c2-c20)b2-β(2a0b2+2a1b1)+αk2(1+4m2)b2]cosωsinω+[(c2-c20)a2-β(2a0a2+a21-b21+b22)+4αk2(1+m2)a2]sin2ω+[-β(2a1b2+2a2b1) -2αk2b1]cosωsin2ω+[-β(2a1a2-2b2b1)-2αk2a1]sin3ω+[-2βa2b2-6αk2b2]cosωsin3ω+[-β(a22-b22)-6αk2a2]sin4ω=0.(44)令三角函数各幂次项的系数为零,得到展开系数的代数方程(c2-c2)a-β(a20+b21)-2αk2m2a2-A=0,(45)(c2-c2)a1-β(2a0a1+2b1b2)+αk2(1+m2)a1=0,(46)(c2-c2)b1-2βa0b1+αk2m2b1=0,(47)(c2-c2)b2-β(2a0b2+2a1b1)+αk2(1+4m2)b2=0,(48)(c2-c2)a2-β(2a0a2+a21-b21+b22)+4αk2(1+m2)a2=0,(49) -β(2a1b2+2a2b1)-2αk2b1=0,(50) -β(2a1a2-2b2b1)-2αk2a1=0,(51) -2βa2b2-6αk2b2=0,(52) -β(a22-b22)-6αk2a2=0.(53)由(45)—(53)式得到方程(40)的两种解:1)a1=b1=b2=0:a0=c2-c202β+2αk2(1+m2)β,α2=-6αk2β.(54) 2)a1=b1=0,b2≠0:a0=c2-c202β+αk2(1+4m2)2βa2=-3αk2β,b2=±i3αk2β,i=- 1.(55)结合(11),(12),(36)和(43)式得到方程(40)的解u1=a0+a2sin2ω=c2-c202β5432期付遵涛等:非线性波方程求解的新方法+2αk 2(1+m 2)β-6αk2βm 2sn 2[k (x -ct )]=c 2-c22β+2αk 2(1-2m 2)β+6αk2βm 2cn 2[k (x -ct )]=c 2-c 22β+2αk 2(m 2-2)β+6αk2βdn 2[k (x -ct )],(56)u 2=a 0+a 2sin 2ω+b 2cos ωsin ω=c 2-c 22β+αk 2(1+4m 2)2β-3αk2βm 2sn 2[k (x -ct )]±i 3αk2βm sn[k (x -ct )]dn[k (x -ct )].(57)当m →1时,同时可以得到孤子解u 3=c 2-c 202β+4αk 2β-6αk 2βtanh 2[k (x -ct )]=c 2-c22β-2αk2β+6αk2βsech 2[k (x -ct )],(58)u 4=c 2-c 22β+5αk 22β-3αk 2βtanh 2[k (x -ct )]±i 3αk2βtanh[k (x -ct )]sech[k (x -ct )].(59)41耦合mK dV 方程组的解耦合mK dV 方程形式为u t +α0v x +αu 2u x +βu xxx =0,v t +α1(uv )x +α2vv x =0,(60)求其行波解,即u =u (ξ),v =v (ξ),ξ=k (x -ct ).(61)把(61)式代入方程组(60)并积分一次-cu +α0v +α3u 3+βk 2d 2ud ξ2=C ,-cv +α1uv +α22v 2=C 2.(62)设(60)式的展开解为u (ξ)=∑n 1j =1sin j -1ω(a j sin ω+b j cos ω)+a 0,v (ξ)=∑n 2j =1sin j -1ω(A j sin ω+B j cos ω)+A 0.(63)(63)式代入(62)式可得到n 1=n 2=1,即形式解为u (ξ)=a 1sin ω+b 1cos ω+a 0,v (ξ)=A 1sin ω+B 1cos ω+A 0.(64)当ω满足(17)式时,(64)式代入(62)式得到方程(60)的两类周期解:1)a 1≠0,b 1=0:a 0=0,a 1=±6m 2(c α2+2α0α1)(1+m 2)αα2, A 0=2cα2,A 1=-2α1α2a 1,B 1=0,k2=-c α2+2α0α1(1+m 2)βα2.(65) 2)b 1≠0,a 1=0:a 0=0,b 1=±6m 2(c α2+2α0α1)(2m 2-1)αα2, A 0=2cα2,A 1=0,B 1=-2α1α2b 1,k2=c α2+2α0α1(2m 2-1)βα2,(66)即周期解为u 1=a 1sin ω=±6m 2(c α2+2α0α1)(1+m 2)αα2×sn ±-c α2+2α0α1(1+m 2)βα2(x -ct ),v 1=A 0+A 1sin ω=2cα2 2α1α26m 2(c α2+2α0α1)(1+m 2)αα2×sn ±-c α2+2α0α1(1+m 2)βα2(x -ct );(67)u 2=b 1cos ω=±6m 2(c α2+2α0α1)(2m 2-1)αα2×cn ±c α2+2α0α1(2m 2-1)βα2(x -ct ),v 2=A 0+B 1cos ω=2cα2 2α1α26m 2(c α2+2α0α1)(2m 2-1)αα2×cn ±c α2+2α0α1(2m 2-1)βα2(x -ct ).(68)相应的孤子解为u 3=±3(c α2+2α0α1)αα2×tanh ±-c α2+2α0α12βα2(x -ct ),643物 理 学 报53卷v 3=2cα2 2α1α23(c α2+2α0α1)αα2×tanh ±-c α2+2α0α12βα2(x -ct );(69)u 4=±6(c α2+2α0α1)αα2×sech ±c α2+2α0α1βα2(x -ct ),v 4=2cα2 2α1α26(c α2+2α0α1)αα2×sech ±c α2+2α0α1βα2(x -ct ).(70)当ω满足(36)式时,(64)式代入(62)式得到方程(60)的另一类周期解:3)b 1≠0,a 1=0:a 0=0,b 1=±6(c α2+2α0α1)(2-m 2)αα2,A 0=2cα2,A 1=0,B 1=-2α1a 2b 1,k2=c α2+2α0α1(2-m 2)βα2,(71)即u 5=b 1cos ω=±6(c α2+2α0α1)(2-m 2)αα2×dn ±c α2+2α0α1(2-m 2)βα2(x -ct ),v 5=A 0+B 1cos ω=2cα2 2α1α26(c α2+2α0α1)(2-m 2)αα2×dn ±c α2+2α0α1(2-m 2)βα2(x -ct ),(72)其对应的孤子解为(70)式.51结 论在非线性问题中,对非线性演化方程的求解和定性分析占有很重要的地位.已经发展了很多比较系统的求解方法和分析手段,如Jacobi 椭圆函数展开法[1—4],齐次平衡法[5—9],双曲正切函数展开法[10—12],试探函数法[13,14],非线性变换法[15,16],和sine 2cosine 方法[17].这些方法也求得了非线性波方程的周期解、冲击波解或孤立波解[1—32].本文注意了Jacobi 椭圆函数和三角函数的转换,既简化了求解过程,又能够得到周期解和孤子解,这样便于复杂方程的求解.[1]Liu S K,Fu Z T ,Liu S D and Zhao Q 2001Acta Phys .Sin .502068(in Chinese )[刘式适、付遵涛、刘式达、赵 强2001物理学报502068][2]Liu S K,Fu Z T ,Liu S D and Zhao Q 2002Acta Phys .Sin .5110(in Chinese )[刘式适、付遵涛、刘式达、赵 强2002物理学报5110][3]Liu S D ,Fu Z T ,Liu S K and Zhao Q 2002Acta Phys .Sin .51718(in Chinese )[刘式达、付遵涛、刘式适、赵 强2002物理学报51718][4]Liu S K,Fu Z T ,Liu S D and Zhao Q 2002Acta Phys .Sin .511923(in Chinese 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received23M ay2003)AbstractFrom the definition of Legendre elliptic integration and Jacobi elliptic function,new trans formations are obtained and ap2 plied to construct the exact solutions of nonlinear wave equations.The nonlinear K lein-G ordon equation,Boussinesq equation and the coupled mK dV equations are taken as three exam ples to illustrate the detailed steps in obtaining exact solutions.There new analytical solutions such as periodic solutions and soliton solutions are derived for these nonlinear ev olution equation(or equations).K eyw ords:Jacobi elliptic function,nonlinear wave equation,periodic solution,soliton solutionPACC:0340K3Project supported by the National Natural Sciences F oundation of China(G rant N o.40175016)and the D octorate Programs F oundation of M inistry of Edu2 cation of China(G rant N o.2000000156).843物 理 学 报53卷。
huxley方程的行波解
huxley方程的行波解Huxley方程是描述神经元膜电势变化的非线性偏微分方程，可以用来描述神经元的电活动。
该方程是由英国物理学家阿尔德萨·伦纳德·洛顿·哈克斯利在1952年提出的，被广泛运用于研究神经元的动态行为。
Huxley方程的行波解是指方程的解具有波动形式的解，它描述了神经冲动在神经纤维中以波的形式传播的过程。
行波解可以用来研究神经冲动的传播速度、传播形态等重要的生理现象。
为了得到Huxley方程的行波解，首先需要建立起方程的数学模型。
Huxley方程描述的是神经元膜电势和离子通道的动力学过程，其一般形式为：∂V/∂t = C∂V/∂t + g( V – Vr)(V – Vt) –gM∞^4( V – VK ) –gN∞^3( V – VNa ) – Iapp其中，V是神经元膜电势，t是时间，C是膜电容，Vr是静息电位，Vt是阈值电位，g是离子通道的电导率，M∞和N∞分别是钠离子通道和钾离子通道的门控变量，VK和VNa分别是钾离子和钠离子的平衡电位，Iapp是外部激励电流。
为了得到行波解，我们可以将神经冲动传播的过程看作是一个解的传播过程，假设解具有行波的形式：V(x, t) = f(x – ct)其中，x是空间坐标，c是行波的传播速度，f是关于x的函数，也被称为行波形状。
将上述形式的解代入Huxley方程可以得到：–cf'(x – ct) = C(cf'(x – ct) + g( f(x – ct) – Vr)(f(x– ct) – Vt) –gM∞^4( f(x – ct) – VK ) –gN∞^3( f(x – ct) – VNa ) – Iapp)化简后得到：f'(x – ct) = -1/C (cf'(x – ct) + g( f(x – ct) – Vr)(f(x– ct) – Vt) –gM∞^4( f(x – ct) – VK ) –gN∞^3( f(x – ct) – VNa ) – Iapp)/c进一步化简可得：f'(x – ct) = – f(x – ct) + Vr + (1/C)(-g(f(x – ct) –Vt)(f(x – ct) –Vr) + gM∞^4( f(x – ct) –VK ) + gN∞^3( f(x – ct) – VNa ) + Iapp)/c这就是Huxley方程的行波解。
7数学与物理非线性方程行波解
数学与物理非线性方程行波解【摘要】目前，随着科学的大力发展，线性科学理论也得到了不断地完善，从而使得人们对于非线性理论的关注程度也在不断地加深，而且又由于非线性现象无处不在，就更加的带动了非线性科学研究的发展，从而去有效的解决数学与物理中的非线性方程，所以在本文中，主要就是从集中数学与物理的非线性方程的解法进行探究，在加深认识的基础上去更好的进行非线性方程的波解。
【关键词】数学与物理；非线性方程；行波解目前，随着线性科学理论的不断完善，人们对非线性科学的研究也越来越重视，这主要是由于在现实生活中，越来越多的现象用线性理论已经无法进行有效的解答，这就使得非线性科学逐渐的成为了研究中的重点。
而且随着时代的发展，非线性科学的研究已经取得了极大的发展，其中的典型理论就是孤分子理论[1]，它在非线性科学的所扮演的角色也越来越重要。
而且近年来，随着对孤分子的深入研究，对于数学与物理非线性方程的行波解的研究也极大的引起了相关学者的关注。
在本文中，主要就是对数学与物理非线性方程行波解的各种解法进行探究，不断的从理论以及实践中去完善对孤分子理论的研究。
1.数学与物理非线性方程解法的相关概述在人类所处的大自然界的相关活动中，大多数的现象都必须通过非线性理论才能得到有效的解释，所以对于自然界中所出现的各种现象，学者都会去不断地需找一种合适的属性和或物理模型来进行深入的研究，进而从模型中得到解答这些现象的非线性方程。
而且目前随着非线性科学的快速发展，使得越来越多的非线性模型应运而生，但是对于这些模型进行解释仍然面临着较大的困难，所以为了能更好的去解释自然界中所产生的各种现象，从而去制定相应的解决措施，促使越来越多的数学家以及物理学家不断地去对这些模型的解法进行研究，而这些方程的出现则对自然现象的解释提供了坚实的基础。
2.数学与物理非线性方程的各种解法2.1反散射方法在1976年，人们发现了反散射方法，这种方法主要是利用量子力学中的方程中的正散射与反散射之间的关系，经过对GLM线性方程的求解而得出了KDV方程的解，经过这次后，将反散射方法逐渐的精制成更简练、更精确的数学形式，通在此基础上进行了极大的推广，逐渐的使反散射方法成为了解孤分子方程的一种系统有效的行波解，但是要有效的通过反散射方法进行非线性方程的求解就必须事先找出所求非线性方程的Lax表示。
非线性波方程的奇异曲线和奇异行波
Abstract
The results show that the equation exist a new double compacton solutions. The new compacton solutions are different from the famous Rosenau-Hyman compacton solutions, because they are derived by a singular elliptic curve tangenting to the homoclinic orbits rather than the singular straight line in the phase space. In Chapter 6, we study the relasionship of the parabola singular curves and the singular traveling wave. The deformed Hunter-Zheng equation is specifically studied and corresponding travelling wave system possing the parabola singular curves is well derived. This is the first time that this type of equations has been found. Futher studying the periodic curves tangent to the parabola singular curves, we obtain the new singular periodic wave and analyze its dynamical behaviors. In Chapter 7, we summarize the work of the paper and put forward the research work in the future. Keywords: peakon solutions; compacton solutions; cuspon solutions; pseudo-cuspon solutions；periodic wave solutions
非线性NLS方程的新显式精确行波解
直接建立 Ｎ Ｓ 事实上 Ｎ Ｓ 非线性 调制波方程 ． Ｌ． Ｌ是
本 文 借助 Ｍａｈ ｒ ｔ ａ软件 。采用 双 函数 法 和 ｔｅｍａ ｃ ｉ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
６ 】 得 了非线 性 发展 方 程 Ｎ Ｓ的 多 ，获 Ｌ 要课题． 近年来 已发展 了许 多求解这些 非线性发展 方 吴文 俊 消元 法【
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第 ６卷 第 ３期
２０ ０ ７年 ９ 月
南通 大学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊｕ ａ ｏ ａ ｔｎ ｎｖｒｉ （ ａ ｒｌ ｃｅ ｃ ） ｏ ｒｌ ｆ ｎｏ ｇＵ ｉｅ ｔ Ｎ ｔ ａ Ｓ ｉｎ ｅ ｎ Ｎ ｓｙ ｕ
１ 非 线性 Ｎ Ｓ方 程 的行 波解 Ｌ
Ｎ Ｓ方程 可写 成 Ｌ
作 者 简 介 ：赵 长 海 （ ９ ４ ， ， 通 大学 理 学 院 副教 授 ，主 要从 事非 线 性 物 理 的研 究 １６ 一） 男 南
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摘
要 ： 出一 种 求 解 非 线 性 发 展 方 程 精 确 行 波 解 的新 方 法— — 双 函 数 法 ． 助 计 算机 代 数 系统 Ｍａ ｏ ｔａ 利 给 借 ｔ ｍａｃ ， ｈ ｉ
用 双 函数 法和 吴文 俊 消元 法 。 获得 Ｎ Ｓ方 程 的 多 组新 的显 式 行 波 解 ， Ｌ 包括 孤 波 解 和 周期 解． 关键词 ： 函数法 ； 双 吴文 俊 消 元 法 ； Ｌ Ｎ Ｓ方程 ； 波 解 行
Ｖｏ ． Ｎｏ３ １ ６ ． Ｓ ｐ． ０ ７ ｅｔ２０
文 章 编 号 ：６ ３ ２ ４ （０ ７ ０ — ０ ２ ０ １７ — ３ ０ ２０ ３ ０ １－ ４ Ｊ
几类高次非线性波方程的行波解研究
几类高次非线性波方程的行波解研究
本文利用微分方程定性理论、动力系统分支方法、符号计算以及数值模拟等多种方法综合研究高次非线性波方程或方程组的精确行波解、分支相图以及行波解之间的联系.首先,利用行波变换,把非线性波方程化为平面动力系统.其次,根据动力系统理论的特点,利用连接奇点的轨线的特点结合轨线与行波之间的对应关系来研究非线性波方程的精确行波解的显式表达式,获得了一系列新的结果.本文主要研究工作如下:第二章,利用动力系统分支方法研究广义KP-BBM方程的周期波解以及它们的极限,获得了一系列显式周期波解,这些解包括光滑周期波解和周期爆破波解,它们的极限形式包括周期波解、扭波解、无界波解、爆破波解和孤立波解等.相对于以前对该方程的研究,我们所获得的精确解大部分都是新的,这在一定程度上拓展了以前的工作.第三章,利用微分方程定性理论和动力系统分支方法研究二次非线性Klein-Gordon方程的行波解以及它们之间的联系.通过一些特殊的轨线,获得许多光滑的周期波解和周期爆破波解,它们的极限形式包括周期波解、爆破波解以及孤立波解.第四章,我们给出了具幂律非线性Klein-Gordon方程的分支分析.获得了相图并讨论了与相图对应的定性分析,在不同的参数条件下获得了一些有意义的精确解.第五章,我们给出了具对偶幂律非线性Klein-Gordon方程的分支分析.首先,我们画出相图,并讨论了对应的定性分析.随后,研究了行波解和哈密顿量h之间的关系.最后,我们获得了用高斯超几何函数表示的一个隐式解.第六章,利用动力系统分支方法研究
Davey-Stewartson方程的行波解,求出该方程的一系列行波解,这些行波解包括显式周期波解、周期爆破波解、无界波解,扭波解以及孤立波解.最后研究了这些行波解之间的联系.我们的结果拓展了前人的研究结果.。
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非线性偏微分方程行波解
1直接积分法
行波解形式：0()u x ct φξξξ= =-+代入偏微分方程得常微分方程。
这个过程简记为行波变换。
直接积分法指直接求解这个常微分方程。
例0()()()()0t x xx u uu u c αφξφξφξαφξ''''+-=⇒-+-=
积分难计算：
1用特殊形式的解试凑：
exp()1exp()
B a u a ξξ=+ vakhnenko 方程20t x x x
x u u u u u +++=；fisher 方程(1)t x x u u u u αβ---= ()exp(())u i kx wt φξ=- Schrodinger 方程20t xx iu u u u αβ++=
2椭圆函数在常微分方程求解中的应用。
2混合指数方法
适用于多项式方程，非多项式方程需变换。
如sine-Gordon 方程sin xt u u =【1】具体步骤
1.行波变换
2.进行奇性分析：将p φξ-=代入,平衡方程中最高阶导数项与最高阶非线性项,计算出p 的值。
通常p 为正整数;若n 为有理数12/m m ,可令21m φϕ
-=,若n 为负数,可设1φϕ-=。
3.为获得更多的解，引入变换+C φϕ=
4.设1,exp()n n
n a g g k φξ∞===∑是方程相应线性项部分的指数解（若无则为最低次非线性项
构成方程的解），代入方程，得到递推关系。
解出n a 。
得到方程的解。
注：
1.n a 的递推关系难解，可以设n a 是n 的多项式。
【2】
2.第3步也可以这样假设2020,exp()n n i i
i i i n
i n n i i
i i i n i a g a g g k b g b g φξ=-==-====∑∑∑∑，代入方程令g 前系数为0解出a ，b 。
【3】
3齐次平衡法
齐次平衡法已推广到寻找非线性发展方程的自Backlund 变换、相似约化、多孤子解等领域。
1.()()()m n m n x t u f f φφφφ+=+关于x 和t 的各阶偏导数为变元的低于m+n 次的线性组合。
代
入方程平衡中最高阶导数项与最高阶非线性项，确定m ，n （非正整数则进行变换）。
2.代入方程令最高阶导数项系数为0，解常微分方程确定f 。
3.将f 带回解出φ。
4双曲函数展开法
1.行波变换
2.进行奇性分析（同混合指数法）
3.20,tanh(),1p i i i u a T T T T ξ='=
==-∑代入方程用吴文俊消元法解之。
得a 注：
1.双曲正割推广假设12200+,sec (),,1p p i i i i i i u a S bTS S h S ST T S ξ-=='=
==-=-∑∑ 2.拟双曲函数推广1
001sinh()+(),()cosh()cosh()p p i i i i
i i u a f b gf
f g r r ξξξξξ-====
=++∑∑， 2222,1,12(1)f fg g g rf g rf r f ''=-=--=-+-
5Jacobi 椭圆函数展开法
1.行波变换
2.进行奇性分析（同混合指数法）
3.0,()p
i
i
i u a S S sn ξ===∑代入方程用吴文俊消元法解之。
得a 注：
1.满足椭圆函数性质方程的函数可代替椭圆函数展开。
【4】
参考文献：
1.李志斌.非线性偏微分方程行波解M. 北京：科学出版社2007,52-54
2.李志斌.非线性偏微分方程行波解M. 北京：科学出版社2007,21-25（同 徐桂琼、李志斌 构造非线性发展方程孤波解的混合指数方法）
3.张善卿. 简化的混合指数方法及其应用[J]. 杭州电子科技大学学报.2007.27(2).45-48
4.李志斌.非线性偏微分方程行波解M. 北京：科学出版社2007,142-153
5.。