分式函数最美图像

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1.（2013年5月上中周练，2014徐汇一模14，华二高一期中）定义区间(),c d 、[),c d 、(],c d 、[],c d 的长度均为()d c d c ->.已知实数(),a b a b >.则满足

111x a x b

+≥--的x 构成的区间的长度之和为 2.（2019上中周练）定义区间(,]c d 、[,)c d 、(,)c d 、[,]c d 的长度均为d c -，则满足不等式11111

mx nx +≥--（,0m n >）的x 构成的区间长度之和为 3.函数12016()122017

x x x f x x x x ++=++⋅⋅⋅++++的图像的对称中心为 4.已知a b c <<，111()f x x a x b x c =

++---的零点所在的区间为（ ） A. (,)a -∞和(,)c +∞ B. (,)a -∞和(,)b c

C. (,)a b 和(,)b c

D. (,)a b 和(,)c +∞

5. (2017年11月华二高三期中21)设函数12()1231

x x x x n f x x x x x n +++=+++⋅⋅⋅++++++（n N ∈）.（1）当1n =时，证明：()f x 在区间(2,1)--上是增函数；（2）当2017n =，函数()f x 的零点个数，并说明理由；（3）求函数()y f x =的对称中心，并说明理由.

6.（2014浦东一模23）定义区间(,)c d 、[,)c d 、(,]c d 、[,]c d 的长度均为d c -，

其中d c >； （1）已知函数|21|x y =-的定义域为[,]a b ，值域为1

[0,]2

，写出区间[,]a b 长度的最大值与最小值；（2）已知函数()M f x 的定义域为实数集[2,2]D =-，满足,(),M x x M f x x x M

∈⎧=⎨-∉⎩（M 是D 的非空真子集），集合[1,2]A =，[2,1]B =--，求()()()()3A B A B f x F x f x f x =++的值域所在区间长度的总和；（3）定义函数1234()11234

f x x x x x =+++-----，判断函数()f x 在区间(2,3)上是否有零点，并求不等式()0f x >解集区间的长度总和；

7.已知函数()y f x =的图像(如图所示)过点(0,2)、(1.5,2)和点(2,0)，且函数图像关于点(2,0)对称；直线1x =和3x =及0y =是它的渐近线.现要求根据给出的函数图像研究函数1()()

g x f x =的相关性质与图像， (1)写出函数()y g x =的定义域、值域及单调递增区间； （2）作函数()y g x =的大致图像（要充分反映由图像及条件给出的信息）；（3）试写出()y f x =的一个解析式,并简述选择这个式子的理由。