1.2 晶体点群与极射赤面投影投影(简版)解析
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Baidu Nhomakorabea
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mmm 2
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4mm
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群的定义，group
元素的集合G={gi}，并且定义了一种乘法: gi gj = gk 1。封闭性：集合中的任意元素和另一元素 的乘积仍在这一集合中，gigj =gk G 2。单位元素e, gie = gi（恒等元素） 3。有逆元素,若 gigj =e，则gi和gj互为 逆元素，gi =gj-1 4。缔结律：gigj gk=gi（gj gk)= （gigj)gk
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单一极轴 10
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对称中心 11
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无心多极轴 11
4 4 42m 4/m 4mm 422 4/mmm
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国际符号 international symbol
采用国际符号，不仅可以表示出各种晶类中 有那些对称元素，而且还能表示出这些对 称元素在空间的方向。国际符号根据各种 晶类的对称性可以是三项、或二项、或一 项符号组成，它分别表示晶体某三个、或 二个、或一个方向上的对称元素。如果在 某一个方向上，同时具有对称轴和垂直于 此轴的对称面，则写成分数形式。
无
无 2，m Z 无， 2，m 底对 角线 无 无， 2，m 底对 角线
1，`1
2,m,2/m 222,mm2,mmm 4,`4，4/m，422， 4mm, `42m, 4/mmm 3,`3, 32,3m, `3m 6,`6, 6/m,622, 6mm, `62m, 6/mmm 23,m3,432, `43m, m`3m
T：除了四个三次旋转轴外，还包括三个 正交的二次旋转轴。 Th：除了T的对称性外，还包括与二次旋 转轴垂直的三个对称面。 Td：除了T的对称性外，还包括六个平分 两个二次旋转轴夹角的对称面。 O：包括三个互相垂直的四次旋转轴，六 个二次旋转轴，和四个三次旋转轴。 Oh：除了O的对称性外，还包括Td与Th的 对称面。
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Stereographic projections
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a plane
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Stereographic projections
Z Z
无， 2，m X 无， 2，m X
立方 2,m,4, `4
X
3,`3
体对 无， 2，m 面对 角线 角线
对称方向
晶系 第一 三斜 单斜 正交 四方 六方 三方 (R) 立方 无 b [010] a [100] c [001] c [001] a+b+c [111] a [100]/[010]/ [001] b [010] a [100]/[010] a [100]/[010] a-b [1 `1 0] a+b+c [111] a+b [110] c [001] a+b [110] 2a+b [120] 对称方向 第二 第三
Ci：表示有一个对称中心。 S4：表示有一个四次旋转倒反轴。 Dh：表示除了n次主旋转轴外，还包括n 个与之轴垂直的二次旋转轴。 Dnh：表示除了Dh 的对称性外，还包括一 个与主旋转轴垂直的对称面，和n个与二 次旋转轴重合（即平行）的对称面。 Dnd：表示除了Dh 的对称性外，还包括n 个平分两个二次旋转轴夹角的对称面。
国际符号与熊氏符号对比
国际符号 1 2 3 4 6 m
1
4
熊氏符号 C1 C2 C3 C4 C6 Cs Ci，S2 S4
• 点群： 保留一点不变的对称操作群。
熊夫利斯（Schöenfles）符号
Cn：字母表示旋转的意思，组标n表示旋 转的次数，n=1、2、3、4、6。例如C2代 表二次旋转轴。 Cnh：表示除了n次旋转轴外，还包括一个 与此轴垂直的对称面。 Cnv：表示除了n次旋转轴外，还包括一个 与此轴重合（即平行）的对称面。 Cni：表示除了n次旋转轴外，还包括一个 对称中心。
1 2 3 4 64m 1
知道了晶体的八个基本的宏观对称元素后， 下一个问题就是：在晶体中，究竟有哪些对 称元素和对称操作可以同时存在？它们的组 合方式有多少种？在数学上，把对称元素 （或对称操作）的集合叫做“对称群”。因 为上述对称元素中，不包括平移对称性，进 行对称操作时总是有一点保持不动，所以只 包括上述对称元素的集合叫做“点群”。
人们经过长期研究的结果，发现这八种对 称元素共有32种组合方式，即32种点群。 这32种电群对应于晶体的32种宏观对称 类型，就是说自然界千千万万种晶体， 可以归纳为32种宏观对称类型。
群的例子，examples
最简单的群: (1,-1),算术中的乘法；镜 面和反演中心； 所有不包括0的实数，普通乘法，单位元 素为1； 所有实数，普通加法，单位元素为0； 4点群：乘法 -> 旋转,每次旋转90；共 有四个元素：0,90,180,270；单位元 素是0； 90和270是互为逆元素，180 的逆元素是其本身；任何两次连续旋转都 会是这四个角度之一。
1.2 点群与极射赤面投影
极射赤面投影 群的概念 32种晶体点群
Stereographic projections
1 1
a point
2 m 2/m
P p
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222 2
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3m 2
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6
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62m
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p
晶体学点群的对称元素方向及国际符号
晶系 第一位 可能对称 元素 方向 第二位 可能对称 元素 无 2，m Y 无， 2，m X 方向 第三位 可能对称 元素 方向 点群
三斜 1,`1
单斜 2,m,2/m 正交 2，m 四方 4,`4， 4/m 三方 3,`3 六方 6,`6, 6/m
任意 无
Y X Z
2
m
2/m
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Baidu Nhomakorabea
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3m 2
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6
6
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6mm
622 622
6/mmm
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m3
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群的定义，group
元素的集合G={gi}，并且定义了一种乘法: gi gj = gk 1。封闭性：集合中的任意元素和另一元素 的乘积仍在这一集合中，gigj =gk G 2。单位元素e, gie = gi（恒等元素） 3。有逆元素,若 gigj =e，则gi和gj互为 逆元素，gi =gj-1 4。缔结律：gigj gk=gi（gj gk)= （gigj)gk
1
1
2
m
2/m
单一极轴 10
mm2 2
222 2
mmm 2
对称中心 11
3
3
3m 2
32
2
3m 2
无心多极轴 11
4 4 42m 4/m 4mm 422 4/mmm
6
6
62m
6/m
6mm
622 622
6/mmm
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m3
43m
432
m3m
国际符号 international symbol
采用国际符号，不仅可以表示出各种晶类中 有那些对称元素，而且还能表示出这些对 称元素在空间的方向。国际符号根据各种 晶类的对称性可以是三项、或二项、或一 项符号组成，它分别表示晶体某三个、或 二个、或一个方向上的对称元素。如果在 某一个方向上，同时具有对称轴和垂直于 此轴的对称面，则写成分数形式。
无
无 2，m Z 无， 2，m 底对 角线 无 无， 2，m 底对 角线
1，`1
2,m,2/m 222,mm2,mmm 4,`4，4/m，422， 4mm, `42m, 4/mmm 3,`3, 32,3m, `3m 6,`6, 6/m,622, 6mm, `62m, 6/mmm 23,m3,432, `43m, m`3m
T：除了四个三次旋转轴外，还包括三个 正交的二次旋转轴。 Th：除了T的对称性外，还包括与二次旋 转轴垂直的三个对称面。 Td：除了T的对称性外，还包括六个平分 两个二次旋转轴夹角的对称面。 O：包括三个互相垂直的四次旋转轴，六 个二次旋转轴，和四个三次旋转轴。 Oh：除了O的对称性外，还包括Td与Th的 对称面。
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m3
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m3m
Stereographic projections
1 1
a plane
2
m
2/m
mm2 2
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3m 2
32 2
3m 2
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42m
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4mm
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Stereographic projections
Z Z
无， 2，m X 无， 2，m X
立方 2,m,4, `4
X
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体对 无， 2，m 面对 角线 角线
对称方向
晶系 第一 三斜 单斜 正交 四方 六方 三方 (R) 立方 无 b [010] a [100] c [001] c [001] a+b+c [111] a [100]/[010]/ [001] b [010] a [100]/[010] a [100]/[010] a-b [1 `1 0] a+b+c [111] a+b [110] c [001] a+b [110] 2a+b [120] 对称方向 第二 第三
Ci：表示有一个对称中心。 S4：表示有一个四次旋转倒反轴。 Dh：表示除了n次主旋转轴外，还包括n 个与之轴垂直的二次旋转轴。 Dnh：表示除了Dh 的对称性外，还包括一 个与主旋转轴垂直的对称面，和n个与二 次旋转轴重合（即平行）的对称面。 Dnd：表示除了Dh 的对称性外，还包括n 个平分两个二次旋转轴夹角的对称面。
国际符号与熊氏符号对比
国际符号 1 2 3 4 6 m
1
4
熊氏符号 C1 C2 C3 C4 C6 Cs Ci，S2 S4
• 点群： 保留一点不变的对称操作群。
熊夫利斯（Schöenfles）符号
Cn：字母表示旋转的意思，组标n表示旋 转的次数，n=1、2、3、4、6。例如C2代 表二次旋转轴。 Cnh：表示除了n次旋转轴外，还包括一个 与此轴垂直的对称面。 Cnv：表示除了n次旋转轴外，还包括一个 与此轴重合（即平行）的对称面。 Cni：表示除了n次旋转轴外，还包括一个 对称中心。
1 2 3 4 64m 1
知道了晶体的八个基本的宏观对称元素后， 下一个问题就是：在晶体中，究竟有哪些对 称元素和对称操作可以同时存在？它们的组 合方式有多少种？在数学上，把对称元素 （或对称操作）的集合叫做“对称群”。因 为上述对称元素中，不包括平移对称性，进 行对称操作时总是有一点保持不动，所以只 包括上述对称元素的集合叫做“点群”。
人们经过长期研究的结果，发现这八种对 称元素共有32种组合方式，即32种点群。 这32种电群对应于晶体的32种宏观对称 类型，就是说自然界千千万万种晶体， 可以归纳为32种宏观对称类型。
群的例子，examples
最简单的群: (1,-1),算术中的乘法；镜 面和反演中心； 所有不包括0的实数，普通乘法，单位元 素为1； 所有实数，普通加法，单位元素为0； 4点群：乘法 -> 旋转,每次旋转90；共 有四个元素：0,90,180,270；单位元 素是0； 90和270是互为逆元素，180 的逆元素是其本身；任何两次连续旋转都 会是这四个角度之一。
1.2 点群与极射赤面投影
极射赤面投影 群的概念 32种晶体点群
Stereographic projections
1 1
a point
2 m 2/m
P p
mm2 2
222 2
mmm 2
3
3
3m 2
32 2
3m 2
4
4
42m
4/m
4mm
422
4/mmm
6
6
62m
6/m
6mm
622 622
6/mmm
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晶体学点群的对称元素方向及国际符号
晶系 第一位 可能对称 元素 方向 第二位 可能对称 元素 无 2，m Y 无， 2，m X 方向 第三位 可能对称 元素 方向 点群
三斜 1,`1
单斜 2,m,2/m 正交 2，m 四方 4,`4， 4/m 三方 3,`3 六方 6,`6, 6/m
任意 无
Y X Z