概率论等可能概型

Cnk
Ank Akk
n! k !(n k)!
n(n 1) (n k k!
1)
第一章 概率论的基本概念
§4 等可能概型
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做一件事共有 n类方法
第一类方法有 m1种方法 第二类方法有 m2种方法
……
第 n 类方法有 mn 种方法
m1 m2
mn
完成这件事的方法总数
N m1 m2 mn
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球 --- 粒子，盒子 ---- 相空间中的小区域, 则这个 问题相应于统计物理学中的马克斯威尔·波尔茨曼（ Maxwell-Boltzmann）统计
概率论历史上有名的问题 --- 生日问题
参加某次聚会共 n个人, 求没有两人生日相同的概率
n 个人 n 只球 , 365天 365个盒子 ,则
概率非常小的事件，称为小概率事件
第一章 概率论的基本概念
§4 等可能概型
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(匹配问题) 将四把能打开四间不同房门的钥匙随机发
给四个人,试求至少有一人能打开门的概率.
不妨给门和钥匙编上号. 记
Ai {第 i 把钥匙打开 i 号门 } i 1, 2,3, 4
则所求概率为 P(A1 A2 A3 A4 ) 由对称性及乘法原理得
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从 n 个不同的元素中, 任取 k ( n) 个元素, 按 照一定的顺序排成一列，全部排列个数为
Ank
n! (n k)!
n(n 1) (n k
1)
当 k n 时，称为全排列，计算公式为
Ann n!
取数与次序有关
从 n 个不同的元素中, 任取 k ( n) 个元素并成 一组，全部组合数为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
11 3!第一4章!
5 8概率论的基本概念
§4 等可能概型
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50只铆钉随机地取来用在10个部件上,其中有 3个铆钉强度太弱,每个部件用3个铆钉. 若将3只强度太 弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱.问 发生一个部件强度太弱的概率是多少？
任记选 3个铆钉装在一个部件上作为基本事件 故样本点总A数i 为{第 i 个部件强度太弱 } i 1, 2,,10
因只有 3 个铆钉强度太C53弱0 , 故 A1, A2,, A10互不相容 故而发有生利一场个合部数件为强度太弱的概率是
故所求P概( A率1 为A2
A1C0 )1101C033P( i 1
Ai )
先从10个部件选出
p C110C1330P( A1一1) 个, 再将3个强度
C53010
119太60弱1的铆钉全装上
认为任一点能钻探到石油是等可能的, 则所求概率
为
p
40 50000
0.0008
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§4 等可能概型
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设随机试验的样本空间为有界区域 D,事件
A {试验结果落在区域 d 中 }
发生的概率定义为
P( A)
d 的面积 D的面积
称为几何概型
事件 A发生的概率与位置无关,只与 A的面积有关， 这体现了某种“等可能性”
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袋中有 a 只白球，b只红球. 从袋中任取 n只球， 求取到 k ( min(n, a) )只白球的概率.
从 a b只球中任取 n 只，样本点总数为
Canb
取到 k 只白球的有利场合数为
故所求概率为
Cak Cbnk
pk
Cak Cbnk Canb
第一章 概率论的基本概念
§4 等可能概型
S {HH, HT, TH, TT}
这是一个古典概型,事件 A“: 一个正面一个反面”的有利
场合是 HT, TH
P( A)
2 4
1 2
18世纪著名的法国数学家达朗贝尔 取样本空间为
S {HH, HT, TT}
他计算得
P( A) 1 3
这不是 等可能概型！
第一章 概率论的基本概念
§4 等可能概型
盒子至多有一只球的概率。
任一只球进任一盒子是等可能的, 故这是古典
概型问题 样本点总数为
基本事件
N N N Nn
“每个盒子至多有一只球”的有利场合数为
ANn N (N 1) [N (n 1)]
故所求概率为
p
ANn Nn
N(N 1) (N n 1) Nn
第一章 概率论的基本概念
§4 等可能概型
P(Ai) 1/ 4 (i 1, 2,3, 4)
P(A1A2) P(A3A4) 1/(43) P(A1A2 A3) P( A2 A3A4) 1/(4 3 2)
P(A1A2 A3A4) 1/(4 3 2 1)
P(A1
A2
A3
A4
)
4
1 4
6
1 43
4
4
1 3
2
4
1 32
1
1
1 2!
§4 等可能概型
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P( A)
P{ei1}
P{ei2}
P{eik
}
k n
A包含的样本点个数 k 样本点总数 n
A 包含的基本事件个数 k 样本点总数 n
A的有利场合数 k 样本点总数 n
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§4 等可能概型
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抛两枚硬币，求出现一个正面一个反面的概率
该试验的样本空间为
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§4 等可能概型
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做一件事共有 n个步骤
第一步有 m1种方法 第二步有 m2种方法
……
第 n 步有 mn 种方法
12
n
完成这件事的方法总数
N m1 m2 mn
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§4 等可能概型
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将 只球n 随机地放入 N (个 n盒)子中去，试求每个
C530 1960
按古典概型公式怎样计算
第一章 概率论的基本概念
§4 等可能概型
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古典概型的特点： 有限个样本点 基本事件的等可能性
怎样推广到“无限个样本点”而又 有某种“等可能性” ？
某5万平方公里的海域中，大约有40平方公里的大
陆架贮藏有石油。若在这海域中任选一点进行钻探，问
能够发现石油的概率是多少？
如果样本空间为有界区间、空间有界区域，则 “面积” 改为“长度”、“体积”
第一章 概率论的基本概念
§4 等可能概型
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(约会问题) 两人相约7点到8点在某地会面，先到者
等候另一人20分钟，过时离去。试求这两人能会面的概
率。
设 分x,别y 表示两人达到的时间， 则两人能会面的充要条件是
P{
n
个人生日各不相同
}
A3n65 365n
P{ 至少有两人生日相同
}
1
A3n65 365n
n 20 25 30 40 50 55 100 p 0.41 0.57 0.71 0.89 0.97 0.99 0.9999997
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§4 等可能概型
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注记
在实际应用中，概率非常接近 1 的事件可近似地 看成必然事件，称为 几乎必然事件