中考数学专题复习——数形结合思想
中考数学——数形结合专题
第九讲数形结合思想【中考热点分析】数形结合思想是数学中重要的思想方法，它根据数学问题中的条件和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙的结合起来，并充分利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法。
几何图形的形象直观，便于理解；代数方法的一般性，解题过程的操作性强，便于把握。
【经典考题讲练】例1.（2015衢州）如图，已知直线334y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，P 是抛物线21252y x x =-++的一个动点，其横坐标为a ，过点P 且平行于y 轴的直线交直线334y x =-+于点Q ，则当PQ =BQ 时，a 的值是 ．例2.（2014•广州）已知平面直角坐标系中两定点A （-1，0），B （4，0），抛物线（）过点A 、B ，顶点为C ．点P （m ，n ）（n <0）为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式与顶点C 的坐标． （2）当∠APB 为钝角时，求m 的取值范围． （3）若，当∠APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移t （）个单位，点P 、C 移动后对应的点分别记为、，是否存在t ，使得首尾依次连接A 、B 、、所构成的多边形的周长最短？若存在，求t 值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．解析：（1）待定系数法求解析式即可，求得解析式后转换成顶点式即可．（2）因为AB 为直径，所以当抛物线上的点P 在⊙C 的内部时，满足∠APB 为钝角，所以-1＜m ＜0，或3＜m ＜4．（3）左右平移时，使A ′D+DB ″最短即可，那么作出点C ′关于x 轴对称点的坐标为C ″，得到直线P ″C ″的解析式，然后把A 点的坐标代入即可．答案：(1)解:依题意把的坐标代入得: ;解得:抛物线解析式为顶点横坐标,将代入抛物线得(2)如图,当时,设,则过作直线轴,(注意用整体代入法)解得,当在之间时，或时，为钝角.(3)依题意，且设移动（向右，向左）连接则又的长度不变四边形周长最小，只需最小即可将沿轴向右平移5各单位到处沿轴对称为∴当且仅当、B、三点共线时，最小，且最小为，此时，设过的直线为，代入∴即将代入，得：，解得：∴当，P、C向左移动单位时，此时四边形ABP’C’周长最小。
2018年浙江中考数学复习方法技巧专题一：数形结合思想训练(含答案)
方法技巧专题一 数形结合思想训练数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法(以形助数)，或利用数量关系来研究几何图形的性质解决几何问题(以数助形)的一种数学思想．一、选择题1．我们学习了一次函数、二次函数和反比例函数，回顾学习过程，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是( )A ．演绎B ．数形结合C ．抽象D ．公理化2．若实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图F 1－1所示，则下列式子中正确的是( )图F 1－1A ．ac ＞bcB ．|a －b |＝a －bC ．－a ＜－b ＜－cD ．－a －c ＞－b －c3．[2017·怀化] 一次函数y ＝－2x ＋m 的图象经过点P (－2，3)，且与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，则△AOB 的面积是( )A ．12 B.14C ．4D ．8 4．[2017·聊城] 端午节前夕，在东昌湖举行的第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙两队500米的赛道上，所划行的路程y (m )与时间x (min)之间的函数关系式如图F 1－2所示，下列说法错误的是( )图F 1－2A ．乙队比甲队提前0.25 min 到达终点B ．当乙队划行110 m 时，落后甲队15 mC ．0.5 min 后，乙队比甲队每分钟快40 mD ．自1.5 min 开始，甲队若要与乙队同时到达终点，甲队的速度需提高到255 m /min5．[2016·天津] 已知二次函数y ＝(x －h )2＋1(h 为常数)，在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为( )A ．1或－5B ．－1或5C ．1或－3D ．1或36．[2017·鄂州 ] 如图F 1－3，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象交x 轴于A (－2，0)和点B ，交y 轴负半轴于点C ，且OB ＝O C.下列结论：①2b －c ＝2；②a ＝12；③ac ＝b －1；④a ＋bc＞0.其中正确的个数有( )图F 1－3A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题7．如图F 1－4是由四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a ，b 的恒等式：________．图F 1－48．[2017·十堰] 如图F 1－5，直线y ＝kx 和y ＝ax ＋4交于A (1，k )，则不等式kx －6<ax ＋4<kx 的解集为________．图F 1－59．《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图F 1－6所示．由图易得：12＋122＋123＋…＋12n ＝________．图F 1－610．当x ＝m 或x ＝n (m ≠n )时，代数式x 2－2x ＋3的值相等，则x ＝m ＋n 时，代数式x 2－2x ＋3的值为________． 11．已知实数a 、b 满足：a 2＋1＝1a ，b 2＋1＝1b ，则2018|a －b |＝________．12．[2017·荆州] 观察下列图形：图F 1－7它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有________个点． 13．(1)观察下列图形与等式的关系，并填空：图F 1－8(2)观察图F 1－9，根据(1)中结论，计算图中黑球的个数，用含有n 的代数式填空：图F 1－91＋3＋5＋…＋(2n －1)＋(________)＋(2n －1)＋…＋5＋3＋1＝__________． 三、解答题14．[2016·菏泽] 如图F 1－10，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2过B (－2，6)，C (2，2)两点． (1)试求抛物线的解析式；(2)记抛物线顶点为D ，求△BCD 的面积；(3)若直线y ＝－12x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC (包括端点B 、C )部分有两个交点，求b 的取值范围．图F 1－10参考答案1．B 2.D 3.B 4.D5．B [解析] (1)如图①，当x ＝3，y 取得最小值时，⎩⎪⎨⎪⎧h >3，（3－h ）2＋1＝5，解得h ＝5(h ＝1舍去)；(2)如图②，当x ＝1，y 取得最小值时，⎩⎪⎨⎪⎧h <1，（1－h ）2＋1＝5，解得h ＝－1(h ＝3舍去)． 6．C [解析] 在y ＝ax 2＋bx ＋c 中，当x ＝0时，y ＝c ，∴C (0，c )，∴OC ＝－c .∵OB ＝OC ，∴B (－c ，0)．∵A (－2，0)，∴－c 、－2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个不相等的实数根，∴－c ·(－2)＝c a ，∵c ≠0，∴a ＝12，②正确；∵a ＝12，－c 、－2是一元二次方程12x 2＋bx ＋c ＝0的两个不相等的实数根，∴－c ＋(－2)＝－b12，即2b －c ＝2，①正确；把B (－c ，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得0＝a (－c )2＋b ·(－c )＋c ，即ac 2－bc ＋c ＝0.∵c ≠0，∴ac －b ＋1＝0，∴ac ＝b －1，③正确；∵抛物线开口向上，∴a ＞0.∵抛物线的对称轴在y 轴左侧，∴－b2a ＜0，∴b ＞0.∴a ＋b ＞0.∵抛物线与y 轴负半轴交于点C ，∴c ＜0.∴a ＋bc＜0，④不正确． 7．(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab8．1<x <52 [解析] 将A (1，k )代入y ＝ax ＋4得a ＋4＝k ，将a ＋4＝k 代入不等式kx －6<ax ＋4<kx 中得(a ＋4)x －6<ax ＋4<(a ＋4)x ，解不等式(a ＋4)x －6<ax ＋4得x <52，解不等式ax ＋4<(a ＋4)x 得x >1，所以不等式的解集是1<x <52.9．1－12n (或2n－12n )10．3 11.112．135 [解析] 第1个图形有3＝3×1＝3个点； 第2个图形有3＋6＝3×(1＋2)＝9个点； 第3个图形有3＋6＋9＝3×(1＋2＋3)＝18个点； …第n 个图形有3＋6＋9＋…＋3n ＝3×(1＋2＋3＋…＋n )＝3n （n ＋1）2个点．当n ＝9时， ＝135个点． 13.解：(1)1＋3＋5＋7＝16＝42.观察，发现规律，第一个图形：1＋3＝22，第二个图形：1＋3＋5＝32，第三个图形：1＋3＋5＋7＝42，…， 第(n －1)个图形：1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2. 故答案为：42；n 2. (2)观察图形发现：图中黑球可分三部分，1到n 行，第(n ＋1)行，(n ＋2)行到(2n ＋1)行， 即1＋3＋5＋…＋(2n －1)＋[2(n ＋1)－1]＋(2n －1)＋…＋5＋3＋1 ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(2n ＋1)＋[(2n －1)＋…＋5＋3＋1] ＝n 2＋2n ＋1＋n 2 ＝2n 2＋2n ＋1.故答案为：2n ＋1；2n 2＋2n ＋1.14．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋2＝6，4a ＋2b ＋2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1.∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－x ＋2.(2)如图，∵y ＝12x 2－x ＋2＝12(x －1)2＋32，∴抛物线的顶点坐标是(1，32)．由B (－2，6)和C (2，2)求得直线BC 的解析式为y ＝－x ＋4. ∴对称轴与直线BC 的交点是H (1，3)． ∴DH ＝32.∴S △BDC ＝S △BDH ＋S △CDH ＝12×32×3＋12×32×1＝3.(3)如图．①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋b ，y ＝12x 2－x ＋2消去y ，得x 2－x ＋4－2b ＝0.当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点，∴(－1)2－4(4－2b )＝0，解得b ＝158.②当直线y ＝－12x ＋b 经过点C 时，b ＝3.③当直线y ＝－12x ＋b 经过点B 时，b ＝5.综上，可知158＜b ≤3.。
专题复习数形结合(含答案)
专题复习三数形结合I、专题精讲：数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离＂．几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．II、典型例题剖析例1.某公司推销一种产品，设X(件）是推销产品的数量，y （元）是推销费，图3—3—1巳表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：(1)求Y1与Y2的函数解析式；(2)解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？(3)如果你是推销员，应如何选择付费方案？Y<兀）Y1 Y2-。
2。
」600500400300200100解：(1) y1=20x,y2=10x+300. 图3-3-1(2) Y1是不推销产品没有推销费，每推销10件产品得推销费200元，Y2是保底工资300元，每推销10件产品再提成100元．(3)若业务能力强，平均每月保证推销多于30件时，就选择Yi的付费方案；否则，选择Y2的付费方案．点拨：图象在上方的说明它的函数值较大，反之较小，当然，两图象相交时，说明在交点处的函数值是相等的．例2.某农场种植一种蔬菜，销售员平根据往年的销售t每于克销售价（元）情况，对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测 5情况如图3—3—2,图中的抛物线（部分）表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系，观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？答题要求：(1)请提供四条信息；(2)不必求函数的解析．解：(1) 2月份每千克销售价是3.5元；7对月份每千克销售价是0.5元；(3) 1月到7月的销售价逐月下降；(4) 7月到12月的销售价逐月上升；4321o I 1 2 3 4 5 6 7 s 9 10 11 12月份图3-3-2(5) 2月与7月的销售差价是每千克3元；(6) 7月份销售价最低，1月份销售价最高；(7) 6月与8月、5月与9月、4月与10月、3月与11月，2月与12月的销售价分别相同．点拨：可以运用二次函数的性质：增减性、对称性．最大（小）值等，得出多个结论．例3.某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图3—3—3所示的条形统计图：个单位：人2000(1)请写出从条形统计图中获得的一条信息；(2)请根据条形统计图中的数据补全如图3—3—4所示的扇形统计图（要求：第二版与第三版相邻，并说明这两福统计图各有什么特点？图3-3-3(3)请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议。
数学中考复习：数形结合思想PPT课件
距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米。 （1）求这条抛物线的解析式； y
（2）若不计其它因素，水池
A
的半径至少要多少米，才能
使喷出的水流不至于落在池 外？
P 3
4
O 1B 水平面 x
5． 已知一次函数y＝3x/2＋m和 y＝－x/2＋n的图象都经过点A（﹣2，0），且与 y轴分别交于B、C两点，试求△ABC的面积。
∴S△ABC＝1/2×BC×AO＝4
6.某机动车出发前油箱内有42升油，行驶若干小时
后，途中在加油站加油若干升。油箱中余油量Q（升）
与行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示，根
据下图回答问题：
(1)机动车行驶几小时后加油？答：＿5＿小时
(2)加油前余油量Q与行驶时间t的函数关系式
是：＿Q＝＿＿42＿－＿6＿t Q（升）
中考复习
数形结合思想
2024/9/19
1
谈到“数形结合”，大多与函数问 题有关。
函数的解析式和函数的图象分别从
“数”和“形”两方面反应了函数的性 质，
函数的解析式是从数量关系上反应 量与量之间的联系；
函数图象则直观地反应了函数的各
种性质，使抽象的函数关系得到了形象 的显示。
“数形结合思想”就是通过数量与
B、M = 0
C、M < 0
D、不能确定
运用数形结合的方法，将 -1 0 1
x
函数的解析式、图象和性
质三者有机地结合起来
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所
示.下列关于a,b,c的条件中，
不正确的是 ( D ) y
(A)a＜0,b＞0,c＜0
(B)b2－4ac＜0
(C)a＋b＋c＜0
中考数学专题之数形结合
中考数学专题 数形结合知识梳理数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维相结合，通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化，抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．另外,由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，从而起到优化计算的目的．华罗庚先生曾指出:“数与形本是相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休．”这充分说明了数形结合数学学习中的重要性，是中考数学的一个最重要数学思想．典型例题一、在数与式中的应用【例1】实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,化简2a ab +-=_________．【分析】 由数轴上a ，b 的位置可以得到a 〈0，b>0且a <b ．∴2a a =-，a b b a -=-．【解】()22a a b a b a a b +-=-+-=-+【例2】 如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……,则搭n 条“金鱼”需要火柴_________根．【分析】 由图形可知，搭1条金鱼需要8根火柴棒，后面每多一条就多6根火柴棒，所以搭n 条金鱼共需8+6（n －1）=(6n+2)根火柴棒． 【解】6n+2二、在方程、不等式中的应用【例3】 （08聊城）已知关于x 的不等式组020x a x ->⎧⎨->⎩的整数解共有2个，则a 的取值范围是___________．【分析】解不等式组得解集为2x ax >⎧⎨<⎩，我们可以将x<2标注在数轴上，要使得不等式组有2个整数解，由图象可知整数解为0，1，则a 应在－1～0之间，且可以等于－1，但不能为0，所以以的取值范围是－l ≤a <0．【解】 1≤n 〈0【例4】(08南通)用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示)，则所解的二元一次方程组是（）A．203210x yx y+-=⎧⎨--=⎩B．2103210x yx y--=⎧⎨--=⎩C．2103250x yx y--=⎧⎨+-=⎩D．20210x yx y+-=⎧⎨--=⎩【分析】根据图象我们可以知道这个方程组的解为11xy=⎧⎨=⎩,只要将解进行代入检验即可．【解】D【例5】已知二次函数y=a x2+bx+c的图象如图所示，若关于x的方程a x2+bx+c－k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（）A．k〉3 B．k=3 C．k<3 D．无法确定【分析】如果根据b2－4a c的符号来判别解的情况，本题将无从入手，可将原方程变形为a x2+bx+c=k,从而理解成是两个函数的交点问题，即2y ax bx cy k⎧=++⎨=⎩，由图象可知只要y=k〈3就一定定与抛物线有两个不同的交点，所以答案选C．【解】C三、在函数中的应用【例6】(08安徽)如图为二次函数y=a x2+bx+c的图象，在下列说法中：①a c<0 ②方程a x2+bx+c=0的根是x1=－1,x2=3 ③a+b+c>0 ④当x>1时，y随x的增大而增大正确的说法有__________．(把正确的答案的序号都填在横线上）【分析】由图象可知，开口向上，与x轴交于－1和3两点,与y轴交于负半轴，则a>0，c〈0；由对称性知对称轴x=1,所以结论①②④正确．【解】①②④【例7】某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线如图所示，为经过原点O 的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件)．要跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面2103米，入水处距池边的距离为4米，同时,运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势，否则就会出现失误， (1）求这条抛物线的解析式；（2)在某次试跳中，测得运动员在空中运动路线是如图抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3导米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．【分析】（1)在给出的直角坐标系中,要确定抛物线的解析式,就要确定抛物线上三个点的坐标，如起跳点O(0,0),入水点（2,－10),最高点的纵点标为23． （2)求出抛物线的解析式后，要判断此次跳水会不会失误， 就是要看当该运动员在距池边水平距离为335米，3332155x =-=时, 该运动员距水面高度与5米的关系．【解】(1）在给定的直角坐标系下,设最高点为A ，入水点为B ，抛物线的解析式为y=a x 2+bx+c ，由图可知，O ，B 两点的坐标依次为（0，0)(2，－10），且顶点A 的纵坐标为23,则2042104243c a b c ac b a ⎧⎪=⎪⎪++=-⎨⎪-⎪=⎪⎩,解得2561030a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩或3220a b c ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩抛物线的对称轴在y 轴右侧，∴02b a ->．又抛物线开口向下，∴256a =-,103b =,c=0，∴2251063y x x =-+．（2）当运动员在空中距池边距离为335米时,即383255x=-=时，63y=-，∴此时运动员距水面高为16410533-=<．因此，试跳会出现失误．四、在概率统计中的应用【例8】(05江西)某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况,对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图所示的条形统计图:（1）请写出从条形统计图中获得的一条信息;(2）请根据条形统计图中的数据补全扇形统计图，并说明这两幅统计图各有什么特点；(3)请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议．【分析】观察条形统计图可以计算出调查总人数，画扇形统计图需计算出第一版、第二版的百分比和圆心角,分别为15003601085000⨯︒=︒，500360365000⨯︒=︒,建议可从不足的方面提出．【解】(1）参加调查的人数为5000人；（2)如图所示：条形统计图能清楚地表示出喜欢各版面的读者人数．扇形统计图能清楚地表示出喜欢各版面的读者人数占所调查的总人数的百分比．(3）如：建议改进第二版的内容,提高文章质量，内容更贴近生活,形式更活泼些．综合训练1．“数轴上的点并不都表示有理数,如图中数轴上的点P 所表示的数是2"，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做( )A ．代入法B ．数形结合C ．换元法D ．分类讨论2．（08大连）如图,两温度计读数分别为我国某地今年2月份某天的最低气温与最高气温，那么这天的最高气温比最低气温高 （ ）A ．5℃B ．7℃C ．12℃D ．－12℃3．某人从A 地向B 地打长途电话6分钟，按通话时间收费，3分钟以内收费2．4元,此后每加1分钟加收1元，则表示电话费y(元）与通话时间（分)之间的关系的图象正确的是（ ）4．若M 112y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，N 214y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，312y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，三点都在函数ky x=(k<0）的图象上，则y 1，y 2,y 3的大小关系为（ ）A ．y 2>y 3>y 1B ．y 2〉y 1>y 3C ．y 3>y 1〉y 2D ．y 3〉y 2〉y 15．关于x 的一元二次方程x 2－x －n=0没有实数根，则抛物线y=x 2－x －n 的顶点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限( )6．(08临沂）若不等式组302741x a x x +<⎧⎨+>-⎩的解集为x 〈0，则a 的取值范围为 ( ）A ．a 〉0B ．a =0C ．a >4D ．a =47．(08镇江)福娃们在一起探讨研究下面的题目：函数y=x 2－x+m （m 为常数)的图象如图所示，如果x=a 时，y<0;那么x=a －1时,函数值（ )下面是福娃们的讨论,请你解答该题．贝贝:我注意到当x=0时，y=m〉0．晶晶：我发现图象的对称轴为x=1 2欢欢：我判断出x1<a〈x2．迎迎:我认为关键要判断a－1的符号．妮妮：m可以取一个特殊的值．A．y<0 B．0<y<m C．y〉m D．y=m8．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=150°,OA=OB=2，则点A、B的坐标分别是_________和_________．9．在边长为a的正方形中，挖掉一个边长为b的小正方形（a>b）如图1，把余下的部分剪拼成一个矩形如图2，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是_______________．10．（08绍兴）如图，已知函数y=x+b和y=a x+3的图象交点为P,则不等式x+b>a x+3的解集为__________．11．方程组211y xy x=-⎧⎨=--⎩的解是__________．12．（08广州)如图，为实数a 、b 在数轴上的位置，化简()222a b a b ---．13．(02南京）（1)阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b,A 、B 两点之间的距离表示为AB ．当A 、B 两点中有一点在原点时,不妨设点A 在原点，如图1，AB OB b a b ===-； 当A 、B 两点都不在原点时，①如图2,点A 、B 都在原点的右边AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-; ②如图3，点A 、B 都在原点的左边,()AB OB OA b a b a a b =-=-=---=-； ③如图4,点A 、B 在原点的两边，()AB OB OA a b a b a b =+=+=+-=-．(2)回答下列问题:①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______,数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是_______,数轴上表示1和－3的两点之间的距离是________；②数轴上表示x 和－1的两点A 和B 之间的距离是_________，如果2AB =，那么x 为__________; ③当代数式12x x ++-取最小值时，相应的x 的取值范围是____________．14．(08苏州）某厂生产一种产品,图①是该厂第一季度三个月产量的统计图，图②是这三个月的产量与第一季度总产量的比例分布统计图,统计员在制作图①、图②时漏填了部分数据．根据上述信息,回答下列问题：(1)该厂第一季度_________月份的产量最高．（2）该厂一月份产量占第一季度总产量的_______％．(3)该厂质检科从第一季度的产品中随机抽样，抽检结果发现样品的合格率为98％．请你估计：该厂第一季度大约生产了多少件合格的产品？（写出解答过程)15．(08恩施）如图所示,C 为线段BD 上一动点,分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC 、EC ．已知AB=5,DE=1，BD=8；设CD=x ．（1)用含x 的代数式表示AC+CE 的长；(2）请问点C 满足什么条件时，AC+CE 的值最小？(3）根据(2）中的规律和结论，请构图求出代数式()224129x x ++-+的最小值．16．如图，已知抛物线与x 轴交于A （－1，0)、B （3,0）两点，与y 轴交于点C （0，3）。
中考数学第二轮复习资料—专题复习(共50页,大量对应练习)
中考数学第二轮复习资料—专题复习（一）、初中阶段主要的数学思想1.数形结合的思想把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机的结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，使问题得到解决的思想方法，在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获取简便易行的方法。
涉及实数与数轴上点的对应关系，公式、定理的几何背景问题，函数与方程的对应关系等。
一：【要点梳理】1.数形结合思想方法是初中数学中一种重要的思想方法.数是形的抽象概括,形是数的直观表现,用数形结合的思想解题可分两类:一是利用几何图形的直观表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等;二是运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等2.热点内容(1).利用数轴解不等式(组)(2).研究函数图象隐含的信息,判断函数解析式的系数之间的关系,确定函数解析式和解决与函数性质有关的问题.(3).研究与几何图形有关的数据,判断几何图形的形状、位置等问题.(4).运用几何图形的性质、图形的面积等关系,进行有关计算或构件方程(组),求得有关结论等问题.二：【例题与练习】1.选择：（1）某村办工厂今年前5个月生产某种产品的总量c（件）关于时间t（月）的图象如图所示，则该厂对这种产品来说（）A.1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量逐月减少B.1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量与3月持平C.1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月均停止生产D.1月至3月每月生产总量不变，4、5两月均停止生产（2）某人从A 地向B 地打长途电话6分钟，按通话时间收费，3分钟以内收费2．4元每加 1分钟加收 1元，则表示电话费y （元）与通话时间(分）之间的关系的图象如图所示，正确的是（ ）（3）丽水到杭州的班车首法时间为早上6时,末班车为傍晚18时,每隔2小时有一班车发出,且丽水到杭州需要4个小时.图中相遇的次数最多为( )A.4次B.5次C.6次.D.7次 2.填空：（1）已知关于X 的不等式2x-a>-3的解集如图所示,则a 的值等于 （2）如果不等式组8 4x-1x mx ⎧+⎪⎨⎪⎩的解集为x>3,则m 的取值范围是3.考虑2xy =的图象,当x=－2时,y= ；当x<-2时,y 的取值范围是 。
中考数学总复习数学思想方法8.2数形结合思想试卷部分省公开课一等奖百校联赛赛课微课获奖PPT课件
=32 -3 1×8×(12 -3 t)-3 (1t-4)( t-83 )- 3(121-t)×4
3
2
2
2
=- 3 t2+12 t3-56 . 3
2
综上,S与t函数关系式为S=
4 3t(0 t 4),
40
36
3t
4
t
20 3
,
6
3t 40
3
20 3
t
8
,
3 t2 12
3t 56
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3.(凉山州,7,4分)小明和哥哥从家里出去买书,从家出来走了20分钟到一个离家1 000米 书店,小明买了书后随即按原速返回.哥哥看了20分钟书后,用15分钟返回家.下面图形中哪 一个表示哥哥离家时间与距离之间关系 ( )
答案 D 依据题意,从20分钟到40分钟哥哥在书店里看书,离家距离没有改变,是一条平行 于x轴线段.
3
即t= 20 秒时,P与N重合.
3
(3)①当0≤t≤4时,PN=OA=8,且PN∥OA,PM= t3,
∴S△APN= 1 ×8× 3t=4 t3.
2
②当4<t≤ 20 时,PN=8-3(t-4)=20-3t,
3
∴S△APN= 1 ×4 3×(20-3t)=40 -36 t. 3
2
③当 20 <t≤8时,PN=3(t-4)-8=3t-20,
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解析 (1)如图①,过点P作PD⊥AB于点D.
∵∠A=30°,PA=2x,∴PD=PA·sin 30°=2x·1 =x,
中考数学 (浙江专用)
第八章 数学思想方法
§8.2 数形结合思想
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好题精练
1.(烟台,11,3分)二次函数y=ax2+bx+c图象如图所表示,以下结论:①4ac<b2;②a+c>b;③2a +b>0.其中正确有 ( )
中考数学复习专题 数形结合思想(含答案)
数形结合思想一、选择题1、已知点M(1-a ，a+2)在第二象限，则a 的取值范围是（ ）（A ）a>－2 (B)－2<a<1 (C)a<－2 (D)a>1 2、在频率分布直方图中，小长方形的面积等于（ ）（A ）相应各组的频数 （B ）组数 （C ）相应各组的频率 （D ）组距 3、已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，当y <0时，x 的取值范围是（ ）A ．x >0B ．x <0C ．-2<x <0D ．x <1 4、过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ． 则OM 的长为（ ）A．3cmB ．5cmC ．2cmD ．3cm5、一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开图(扇形)的圆心角的度数为（ ） A ．600B ．1800C ．300D ．9006、若用(a)、(b)、(c)、(d)四幅图像分别表示变量之间的关系，请按图像所给顺序，将下面的①、②、③、④对应顺序。
① 小车从光滑的斜面上滑下(小车的速度与时间的关系)② 一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物(弹簧长度与所挂重物的重量的关系) ③ 运动员推出去的铅球(铅球的高度与时间的关系)④ 小杨从A 到B 后，停留一段时间，然后按原速度返回(路程与时间的关系) 正确的顺序是A ．③④②①B ．①②③④C ．②③①④D ．④①③②7、小圆圈是网络的结点，结点之间的边线表示它们之间的网线相联，边线标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量，现在的结O 1-2点A向结点B传递信息，可以分开沿不同的路线同时传递，单位时间内传递的最大信息量为：A．19B．20C．24D．268、如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面能大致表示水的最大深度h与时间t之间的关系的图像是( )9、如图，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD面积为（）（A）98 （B）196 （C）280 (D) 28410、如图，在□ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，则图中面积相等的平行四边形有（）（A）0对（B）1对（C）2对（D）3对二、填空题：1、把正方形ABCD沿着对角线AC的方向移动到正方形A'B'C'D'的位置，它们的重叠部分(图中的阴影部分)的面积是正方形ABCD面积的一半，若AC=2，则正方形移动的距离AA'是2、如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B的坐标为(4，2)，直线12y x b=+恰好将矩形OACB分成面积相等的两部分，则b= 。
中考数学总复习 专题一 数形结合思想课件
性，2017年的第21题则体现了统计中数形结合的重要性等， 它是数学中非常重要的数学方法之一，应该(yīnggāi)予以重视．
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数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系
和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结 合思想．数、式能反映图形的准确性，图形能增强数、式 的直观性，“数形结合”可以调动和促进学生形象思维和
抽象思维的协调(xiétiáo)发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂
的数量关系中凸显最本质的特征．常见的情形：利用数
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轴、函数的图象和性质、几何模型、方程与不等式以及数 式特征可以将代数(dàishù)问题转化为几何问题；利用代数(dàishù)计算、 几何图形特征可以将几何问题转化为代数问题；利用三角 知识解决几何问题；利用统计图表让统计数据更形象更直 观等．
No 值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：。的一部分，请画出该函数图象的另一。(3)观察函数图象，写出两条函数的。(4)①3 3 ②2
③－1＜a＜0。A
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12/9/2021
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【归纳总结(zǒngjié) 此类题目需充分发挥图形的作用，从图中读出已知条件，借助图形解决问题是关键．
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1．(2017·威海)如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标(zuòbiāo) 为(－4，0)，点B在y轴上，若反比例函数y＝ (k≠0k )的图 象过点C，则该反比例函数的表达式为( ) A x
内容 总结 (nèiróng)
专题一 数形结合思想。体现了函数问题解决的过程中数形结合的重要性，2017年。的第23题则体现了几何问题解决的过程中数形结合的重 要。的直观性，“数形结合”可以调动和促进学生形象思维和。的数量关系中凸显最本质的特征(tèzhēng)．常见的情形：利用数。(1)自变量x的取
中考总复习数学专题优化训练： 数形结合思想
专题训练五 数形结合思想一、选择题1.已知在第二象限内，点P 到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，则P 点的坐标是A.(2，3)B.(-2，3)C.(-3，2)D.(3，2)2.把不等式组⎩⎨⎧≤->+01,01x x 的解集表示在数轴上，正确的是图2-33.若M(-21,y 1)、N(-41,y 2)、P(21,y 3)三点都在函数y=xk (k ＜0)的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系为A.y 2＞y 3＞y 1B.y 2＞y 1＞y 3C.y 3＞y 1＞y 2D.y 3＞y 2＞y 14.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图2-4所示，则a 、b 、c 满足图2-4A.a ＜0,b ＜0,c ＞0B.a ＜0,b ＜0,c ＜0C.a ＜0,b ＞0,c ＞0D.a ＞0,b ＜0,c ＞05.已知二次函数y=x 2-2x-3，当_______________时，y 随x 的增大而增大；当_______________时，y 的值小于0A.x ＜1；-1＜x ＜3B.x ＞1；x ＜-1或x ＞3C.x ＞1；-1＜x ＜3D.x ＜-1；x ＜-1或x ＞3二、填空题6.实数a 、b 在数轴上的位置如图2-5所示,化简2a +∣a-b ∣=__________________.图2-57.若不等式组⎩⎨⎧->+<12,1m x m x 无解，则m 的取值范围是________________.8.青岛市是严重缺水地区，自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，若某户居民每月应交水费是用水量的函数，其图象如图2-6所示：观察函数图象，回答自来水公司采取的收费标准______________________________________ _______________________________________________________________________________ .图2-69.观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：(1)在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；图2-7(2)通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式为___________________.10.如图2-8，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A(-1，0)、B(3，0)和C(0，-3)，一次函数的图象与抛物线交于B、C两点.图2-8(1)二次函数的解析式为_______________________.(2)当自变量x_______________时，两函数的函数值都随x增大而增大.(3)当自变量_______________时，一次函数值大于二次函数值.(4)当自变量x_______________时，两函数的函数值的积小于0.三、解答题11.某广电局与长江证券公司联合推出广电宽带网业务，用户通过宽带网可以享受新闻点播、影视欣赏、股市大户室等项服务，用户交纳上网费的方式有：方式一，每月80元包干；方式二，每月上网时间x(小时)与上网费y(元)的函数关系用图2-9中的折线表示；方式三，以0小时为起点，每小时收费1.6元，月收费不超过120元.若设一用户每月上网x小时，月上网费为y元.图2-9(1)根据图2-9，写出方式二中y与x的函数关系式；(2)试写出方式三中y与x的函数关系式；(3)若此用户每月上网60小时，选用哪种方式上网费用最少？最少费用是多少？12.如图2-10，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.图2-10(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式.(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，它跳离地面的高度是多少？一、选择题1答案：C提示：点P到x轴的距离是2，所以y=2；到y轴的距离是3，所以x=3.2答案：B提示：不等式组的解集在数轴上表示,要注意实心点和空心点的区别.3答案：B提示：由k＜0，反比例函数的图象过第二、四象限，由此可知y1、y2为正值，y3为负值；然后再根据增减性确定y1、y2的大小.4答案：A提示：二次函数y=ax 2+bx+c 图象中，a 决定抛物线的开口方向，c 决定抛物线与y 轴交于正半轴或负半轴，a 、b 同号对称轴为负，a 、b 异号对称轴为正.5答案：C提示：求出抛物线的对称轴，以及抛物线和x 轴的交点坐标，通过数形结合，得出答案.二、填空题6答案：b-2a提示：根据绝对值意义和二次根式化简.7答案：m ≥2提示：不等式组⎩⎨⎧->+<12,1m x m x 无解，即2m-1≥m+1.8答案：用水量不超过5吨时，每吨0.72元；当用水量超过5吨时，超过5吨的部分，每吨0.9元提示：5吨水花费3.6元，便可求出单价.超过5吨水后，每用3吨花费2.7元，便可求出水的单价.9答案：(1)1+3+5+7=42 1+3+5+7+9=52 (2)1+3+5+7+…+（2n-1）=n 2提示：点阵中点的总数实际上可以看作正方形的面积.10答案：(1)y=x 2-2x-3 (2)x ＞1 (3)0＜x ＜3 (4)＜-1提示：用待定系数法求出函数解析式,再由图象判断.11答案：（1）y=⎩⎨⎧>-≤≤.50,22.1,500,58x x x （2）y=⎩⎨⎧>≤≤.75,120,750,6.1x x x （3）第二种费用最少，最少费用为70元.提示：运用待定系数法求直线解析式.12答案：(1)y=-51x 2+3.5；(2)0.2米. 提示：把实际问题转化为数学问题：求抛物线上点的坐标.。
专题48 中考数学数形结合思想(解析版)
专题48 中考数学数形结合思想数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。
作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。
“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。
1.数形结合思想的含义数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。
2.数形结合思想应用常见的四种类型（1）实数与数轴。
实数与数轴上的点具有一一对应关系,借助数轴观察数的特点,直观明了。
（2）在解方程(组)或不等式(组)中的应用。
利用函数图象解决方程问题时,常把方程根的问题看作两个函数图象的交点问题来解决;利用数轴或函数图象解有关不等式(组)的问题直观,形象,易于找出不等式(组)解的公共部分或判断不等式组有无公共解。
（3）在函数中的应用。
借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法,函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与方法。
（4）在几何中的应用。
对于几何问题,我们常通过图形,找出边、角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等。
3.数形结合思想解题方法“数”和“形”是数学中两个最基本的概念, 每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路；或者在研究图形时,利用代数的知识,解决几何的问题.实现了抽象概念与具体图形的联系和转化,化难为易,化抽象为直观.【例题1】（2020•遵义）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°=AC CD =12+√3=2−√3(2+√3)(2−√3)=2−√3．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）A ．√2+1B ．√2−1C ．√2D ．12 【答案】B【分析】在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝22.5°，设AC ＝BC ＝1，则AB ＝BD =√2，根据tan22.5°=ACCD 计算即可．【解析】在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝22.5°，设AC ＝BC ＝1，则AB ＝BD =√2，∴tan22.5°=AC CD =11+√2=√2−1 【对点练习】（2019•湖北省仙桃市）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）A． B．C．D．【答案】C【解答】解：解不等式x﹣1＞0得x＞1，解不等式5﹣2x≥1得x≤2，则不等式组的解集为1＜x≤2【例题2】（2020•济宁）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是（）A．x＝20 B．x＝5 C．x＝25 D．x＝15【答案】A【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．【解析】∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）∴直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P为x＝20．【对点练习】（2020株洲模拟）直线y=k1x+b1（k1＞0）与y=k2x+b2（k2＜0）相交于点（﹣2，0），且两直线与y轴围城的三角形面积为4，那么b1﹣b2等于．【答案】4【解析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点以及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．如图，直线y=k1x+b1（k1＞0）与y轴交于B点，则OB=b1，直线y=k2x+b2（k2＜0）与y轴交于C，则OC=﹣b2，∵△ABC的面积为4，∴OA•OB+=4，∴+=4，解得：b1﹣b2=4．【例题3】（2020通化模拟）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD 与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．(1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．(2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE 的长．(3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．【答案】见解析。
人教版九年级数学中考培优专题：数形结合思想(含答案)
例 2 D 提示:设两直角边长为 a，b，斜边长为 c，由题意得 a+b+c=x， 1 ab x ,又 a 2 b2 c 2 ，得 2
a
42 b
. .因 4b
a,h
2 为边长且是整数.故当
4
b b
0,
得
0,
b<2，取 b
1, a
4 3
不是整数;当
2 b 0, 4 b 0, 得 b>4，要使 a,b 为整数，只有两种取法:若 b=5 时，a=12(或 b= 12,a=5);若 b=8 时，a=6(或
a
b
c
①,知正数 a,b, c 适合方程 x 2s L. 当 x 0 时，有 x
x 2 Lx 2s 0 ②，故 a, b, c 是方程②的根.但任何二次方程至多只有两个相异的根，所以 a, b, c 中的
某两数必相同.设
a
b
,若
c
a
，由①得 a
c
2s
1 c
提示：由条件 a 2 ab ac ab b2 , 即 b2 aa c, b a c ，延长 CB 至 D，使
ab
BD=AB，易证△ABC∽△DAC，得∠ABC=∠D+∠BAD=2∠D=2∠BAC.
9. D
10. C 提示:设直角三角形的两条直角边长为 a, ba b, 则 a b a 2 b2 k 1 ab ( a,b, k 均为正
秒）．
A
C
Q
M
N
B
图 14图 图
15. 如图，已知 D 是△ABC 边 AC 上的一点，AD：DC＝2：1，∠C＝ 450 ，∠ADB＝ 600 ．
试析中考数学压轴题中的数学思想及解题思路
试析中考数学压轴题中的数学思想及解题思路
中考数学压轴题是考试中最难的一道题，其难度和复杂程度相对于其他题目较高，需要考生具备一定的数学思想和解题思路才能够解答出来。
以下是对中考数学压轴题的数学思想及解题思路进行分析。
数学思想：
1. 数形结合的思想
数形结合是一种数学思想，指的是通过几何图形来解决数学问题。
在数学压轴题中，考生需要通过画图、构建模型等方式将问题转化成几何图形问题，然后再求解。
2. 数量关系的思想
数量关系是指数学中各种量之间的联系和变化规律。
在数学压轴题中，考生需要通过建立各种量之间的关系，从而解决问题。
3. 分析与综合的思想
分析与综合是人类思维的特点之一，指的是将一个整体拆分成几个部分，对每个部分进行分析，最后将各个部分综合起来，形成一个完整的结论。
在数学压轴题中，考生需要通过分析和综合，找到问题的本质和解决办法。
解题思路：
1. 理清题意
数学压轴题往往涉及多个概念和知识点，考生需要认真读题，理清题意，把握问题的核心和难点，避免在解题过程中出现误解。
2. 分析数据
在理清题意之后，考生需要分析数据，找到其中的规律和特点，将数据转化为数学模型或形式化表示，并用数学方法进行计算和分析。
4. 检查答案
最后，考生需要对答案进行检查，确保计算的准确性和解决方案的可行性。
在此过程中，考生需要回顾一遍题意，确认自己的计算步骤和结果是否符合题目要求。
综上所述，中考数学压轴题需要考生具备数形结合、数量关系、分析与综合等数学思想，并遵循理清题意、分析数据、综合分析、检查答案的解题思路，才能够完成高难度的数学问题。
中考数学专题复习
G O H A
例5：把两个全等的等腰直角三角形 ：把两个全等的等腰直角三角形ABC 和EFG（其直角边长均为 ）叠放在一起 （其直角边长均为4） 如图①），且使三角板 且使三角板EFG的直角顶 （如图①），且使三角板 的直角顶 与三角板ABC的斜边中点 重合 现 的斜边中点O重合 点G与三角板 与三角板 的斜边中点 重合.现 将三角板EFG绕O点顺时针旋转（旋转角 点顺时针旋转（ 将三角板 绕 点顺时针旋转 α满足条件：0°＜α＜90°＝，四边形 满足条件： ° 满足条件 ＜ °＝，四边形 CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部 是旋转过程中两三角板的重叠部 如图②）。(1)在上述旋转过程中 在上述旋转过程中， 分（如图②）。 在上述旋转过程中， BH与CK有怎样的数量关系？四边形 有怎样的数量关系？ 与 有怎样的数量关系 CHGK的面积有何变化？证明你发现的 的面积有何变化？ 的面积有何变化 结论； 连接 连接HK，在上述旋转过程中， 结论；(2)连接 ，在上述旋转过程中， 的面积为， 设BH=，△GKH的面积为，求与之间的 ， 的面积为 函数关系式，并写出自变量的取值范围； 函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)在(2)的前提下，是否存在某一位置， 的前提下， 在 的前提下 是否存在某一位置， 的面积恰好等于△ 面积的？ 使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的？ 的面积恰好等于 面积的 若存在，求出此时的值；若不存在， 若存在，求出此时的值；若不存在，说 明理由. 明理由
A F B E C B 图1 图2 C E
D
F A
D
A
G(O)
C E A ① G(O) K E C H ②
B F
B
F
【练习】： 练习】
1．已知二次函数y=x2+bx+c图象经过点 （－ ，6）， ．已知二次函数 图象经过点A（－ 图象经过点 （－3， ）， 并与x轴交于点 （－1， ）和点C，顶点为P。 轴交于点B（－ 并与 轴交于点 （－ ，0）和点 ，顶点为 。⑴求这 个二次函数的解析式； 为线段OC上的一点 上的一点， 个二次函数的解析式；⑵设D为线段 上的一点，满 为线段 的坐标。 足∠DPC=∠BAC，求点 的坐标。 ∠ ，求点D的坐标
中考数学专题复习——数形结合思想PPT课件
2 无论 m 为何实数，直线 y ＝ x ＋ 2m 与 y ＝－x＋4的交点不可能在 （ C） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
y
O
x
y＝－x＋4
3 已 知 二 次 函 数 y1 ＝ ax2 ＋ bx ＋ c （a≠0)与一次函数 y2＝kx ＋m(k≠0) 的 图 象 相 交 于 点 A( － 2,4) ， B(8,2) （如图所示），则能使 y1 ＞ y2成立的 x＜－2或x＞8 x的取值范围是＿＿＿＿＿
24 24 18 (3)中途加油＿＿升 (4)如果加油站离 12 目的地还有230公里， 6 车速为40公里/小时， 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （小时） t
要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由 .
7、思考题：
已知：如图，直线y＝－√3 x/3＋1和x 轴、 y 轴分别相交于 A、 B 两点，以线段 AB 为 边在第一象限内作一个等边三角形ABC，点P 在第一象限内，且使△ABP与△ABC的面积相 y 等。（1）求C点坐标； （2）求直线PC的解析式； D （3）若点Q的坐标为 C (√3 m,m2－3),问点Q在 P B x 不在直线PC上？ A E O
2 例3：已知二次函数 y ax bx c 的图象如图所示
1、试判断a , b , c 的符号 2、点（b , 2a-b）在第
二
象限
3、若M= a b c a b c 则 （ A ） A、M > 0 B、 M = 0 C、M < 0 D、不能确定
2a b 2a b y
运用数形结合的方法，将 函数的解析式、图象和性 质三者有机地结合起来
-1
0
中考代数几何-用数形结合的思想解题
中考用数形结合的思想解题1. 用数形结合的思想解题可分两类:（1）利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等；（2）运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等.2. 热点内容：在初中教材中，数的常见表现形式为: 实数、代数式、函数和不等式等，而形的常见表现形式为: 直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一次函数的图象对应着一条直线，二次函数的图象对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容.特别是二次函数，不仅是学生学习的难点之一，同时也使数形结合的思想方法在中学数学中得到最充分体现.在平面直角坐标系中，二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与坐标轴的交点等都与其系数a，b，c密不可分.事实上，数a 决定抛物线的开口方向, b 与a 一起决定抛物线的对称轴位置, c 决定了抛物线与y 轴的交点位置，与a、b 一起决定抛物线顶点坐标的纵坐标，抛物线的平移的图形关系只是顶点坐标发生变化，其实从代数的角度看是b、c 的大小变化.可分两类:（1）利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等；（2）运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等.方法点拨数形结合：就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有“数的严谨”与“形的直观”之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法.数形结合问题，也可以看作代数几何综合问题.从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也会融入开放性、探究性等问题.经常考查的题目类型主要有坐标系中的几何问题(简称坐标几何问题)，以及图形运动过程中求函数解析式的问题等．解决这类问题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题；第三，要善于联系与转化，进一步得到新的结论.尤其要注意的是，恰当地使用综合分析法及方程与函数的思想、转化思想、数形结合思想、分类与整合思想等数学思想方法，能更有效地解决问题．类型一、利用数形结合探究数字的变化规律1. 如图，网格中的每个四边形都是菱形．如果格点三角形ABC的面积为S，按照如图所示方式得到的格点三角形A1B1C1的面积是，格点三角形A2B2C2的面积是19S，那么格点三角形A3B3C3的面积为（）.A. 39SB. 36SC. 37SD. 43S答案与解析举一反三【思路点拨】设网络中每个小菱形的边长为一个单位，由于ABC的面积为S，则小菱形的面积为2S；从图上观察可知三角形A2B2C2三个顶点分别在边长为3个单位的菱形的内部，其中一顶点与菱形重合，另两顶点在与前一顶点不相连的两边上，三角形A n B n C n三顶点分别在边长为（2n+1）个单位的菱形的内部，此菱形与三角形A n B n C n不重合的部分为三个小三角形；由此得到关于三角形A n B n C n面积公式，把n=3代入即可求出三角形A3B3C3的面积．【答案】C.【解析】网络中每个小菱形的边长为一个单位，由于ABC的面积为S，则小菱形的面积为2S；从图上观察可知三角形A2B2C2三个顶点分别在边长为3个单位的菱形的内部，其中一顶点与菱形重合，另两顶点在与前一顶点不相连的两边上，三角形A n B n C n三顶点分别在边长为2n+1个单位的菱形的内部，此菱形与三角形A n B n C n不重合的部分为三个小三角形；而三角形A n B n C n 面积=边长为2n+1个单位的菱形面积-三个小三角形面积=2S（2n+1）2-,=S（8n2+8n+2-2n2-n-2n2-3n-1-n2-n），=S（3n2+3n+1），把n=3分别代入上式得：S3=S（3×32+3×3+1）=37S．故选 C．【总结升华】此题主要考查菱形的性质，也考查了学生的读图能力以及探究问题的规律并有规律解决问题的能力．【变式】正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线(k＞0)和x轴上，已知点B1(1，1)，B2(3，2)，则B n的坐标是______________．答案与解析【答案】解：∵B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），∴正方形A1B1C1O1边长为1，正方形A2B2C2C1边长为2，∴A1的坐标是（0，1），A2的坐标是：（1，2），代入 y=kx+b得：解得：则直线A1A2的解析式是：y=x+1．∵A1B1=1，点B2的坐标为（3，2），∴点A3的坐标为（3，4），∴A3C2=A3B3=B3C3=4，∴点B3的坐标为（7，4），∴B1的纵坐标是：1=20，B1的横坐标是：1=21-1，∴B2的纵坐标是：2=21，B2的横坐标是：3=22-1，∴B3的纵坐标是：4=22，B3的横坐标是：7=23-1，∴B n的纵坐标是：2n-1，横坐标是：2n-1，则 B n（2n-1，2n-1）．∴B4的坐标是：（24-1，24-1），即（15，8）．故答案为：（15，8）．类型二、利用数形结合解决数与式的问题2. 已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|2-a|+的结果为__________.答案与解析【思路点拨】由数轴可知，0＜a＜2，由此去绝对值，对二次根式化简．【答案与解析】解：∵0＜a＜2，∴|2-a|+=2-a+a=2.故答案为：2．【总结升华】本题考查了绝对值的化简和二次根式的性质与化简，实数与数轴的对应关系．关键是根据数轴上的点的位置来判断数a的取值范围，根据取值范围去绝对值，化简二次根式．类型三、利用数形结合解决代数式的恒等变形问题3.（1）在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是__________________（用字母表示）．（2）设直角三角形的直角边分别是a，b，斜边为c，将这样的四个完全相同的直角三角形拼成正方形，验证等式a2+b2=c2成立。
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中考数学专题复习——数形结合思想 一、知识梳理
数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维相结合，通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化，抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。
另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，从而起到优化计算的目的。
华罗庚先生曾指出：“数与形本是相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休。
”这充分说明了数形结合在数学学习中的重要性，是中考数学的一个最重要数学思想。
二、典型例题
（一）在数与式中的应用
例1、实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简2||a a b +-=_________。
（二）在方程、不等式中的应用 例2、已知关于x 的不等式组0
20
x a x ->⎧⎨
->⎩的整数解共有2个，则a 的取值范围是____________。
例3、用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（ ）
A ．203210x y x y +-=⎧⎨--=⎩，
B ．2103210x y x y --=⎧⎨--=⎩
，
C ．2103250x y x y --=⎧⎨
+-=⎩
，
D ．20210x y x y +-=⎧⎨
--=⎩
，
（三）在锐角三角函数中的应用 例4、画△ABC ，使cosA=
2
1
，AB ＝2cm ，∠A 的对边可以在长为1cm 、2cm 、3cm 中任选，这样的三角形可以画_______个。
（四）在函数中的应用
例5、如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，在下列说法中： ①0ac <；②方程20ax bx c ++=的根为11x =-，23x =； ③0a b c ++>；④当1x >时，y 随着x 的增大而增大． 正确的说法有 ．（请写出序号）
（五）在概率统计中的应用
例6、某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图所示的条形统计图： ⑴请写出从条形统计图中获得的一条信息；
⑵请根据条形统计图中的数据补全扇形统计图，并说明这两幅统计图各有什么⑶请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议。
a b
0 · P （1，1）
1 1
2 2
3 3 －1 －1
O
x y
x
y
O
3 -1
例７ 以ｘ为自变量的二次函数ｙ=-ｘ2+2ｘ+ｍ，它的图象与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于点A 、B ，点A 在点B 的左边，点O 为坐标原点，
（1）求这个二次函数的解析式及点A ，点B 的坐标，画出二次函数的图象；
（2）在x 轴上是否存在点Q ，在位于x 轴上方部分的抛物线上是否存在点P ，使得以A ，P ，Q 三点为顶点的三角形与△AOC 相似（不包含全等）？若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
三、综合训练
1、“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点A 所表示的数是2”，这种利用图形直观说明问题的方式体现的数学思想方法叫（ ）
A ．代入法
B ．数形结合
C ．换元法
D ．分类讨论
2、某人从A 地向B 地打长途电话6分钟，按通话电话收费，3分钟以内收费2.4元，此后每加1分钟加收1元，则表示电话费y （元）与通话时间（分）之间的关系的图象正确的是（ ）
3、若M 11
,2y ⎛⎫- ⎪⎝
⎭
，N 21,4y ⎛⎫- ⎪⎝
⎭
，P 31,2y ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
三点都在函数(0)k
y k x =<的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系
为（ ）
A 、y 2＞y 3＞y 1
B 、y 2＞y 1＞y 3
C 、y 3＞y 1＞y 2
D 、y 3＞y 2＞y 1
4、关于x 的一元二次方程x 2―x ―n ＝0没有实数根，则抛物线y ＝x 2―x ―n 的顶点在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
5、如图，在平面直角坐标系中，∠AOB =150°，OA ＝OB=2， 则点A 、B 的坐标分别是___________和___________。
A 1 0
-1
2
6、如图，已知函数y x b =+和3y ax =+的图象交点为P ，则不等式3x b ax +>+的解集为 ．
7、如图，为实数a 、b 在数轴上的位置， 化简
222()a b a b -
思考题：
5、函数2
y x x m =-+（m 为常数）的图象如图，如果x a =时，0y <；那么1x a =-时，函数值（ ）
A ．0y <
B ．0y m <<
C ．y m >
D ．y m =
2、如图1是一种带有黑白双色、边长是20cm 的正方形装饰瓷砖，用这样的四块瓷砖可以拼成如图2的图案．已知制作图1这样的瓷砖，其黑、白两部分所用材料的成本分别为0.02元/(cm 2)和0.01元/(cm 2)，那么制作这样一块瓷砖所用黑白材料的最低成本是_________元（π取3.14，结果精确到0.01元） 中考链接
１.(湖北中考)将不等式⎪⎩⎪
⎨⎧-≤-<+x x x x 238211
48的解集在数轴上表示出来，正确的是(
2.(临沂中考)直线ｌ1:ｙ=ｋ1ｘ+ｂ与直线ｌ２:ｙ=ｋ２ｘ在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x+b ＞k 2x 的解为（ ）
Ａ．ｘ>-1 B.<-1 C.ｘ<-2 D.ｘ无法确定
３.(威海中考)下列四个点中，有三个点在同一条直线上，不在这条直线上的是( )
Ａ．(-３，-１) Ｂ．(１，１) Ｃ．(３，２) Ｄ．(４，３)
４.(赤峰中考)如下图所示，半径为１的圆和边长为３的正方形如下图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t ，正方形除去圆部分的面积为S （阴影部分），则S 与t 的大致图象为（ ）
y
O x 1
x 2
O y 1 P
y=x+b
y=ax+3
图2
图1
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
5.(金华中考)如图在24个边长为１的小正三角形组成的网格中，以格点P 为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长 ．
6.在直角坐标系中，△ＡＢＣ的三个顶点的位置如图所示，现将△ＡＢＣ
平移使点Ａ移至图中的点Ａ／的位置．
(１)在直角坐标系中，画出平移后所得的△Ａ／Ｂ／
Ｃ／(其中Ｂ／，Ｃ／分别是Ｂ，Ｃ的对应点)．
(２)计算：对应点的横坐标的差：
ｘA ／-ｘA= ,ｘB /-ｘB= , ｘＣ／-ｘC ＝ ；
对应点的枞坐标的差：ｙA /-ｙA= ,ｙB /-ｙ
B= ,Ｙc /
- ｙC ＝ ．
(３)从(２)的计算中，你发现了什么规律？请你把你发现的规律用文字表述出来．
(４)根据上述规律，若将△ＡＢＣ平移使得点Ａ移至Ａ""(2,-2),那么相应的点Ｂ""，Ｃ" "
(其中Ｂ""，Ｃ""分别是Ｂ，Ｃ的对应点）的坐标分别是 ， ．
7.(乐山中考)解不等式组⎪⎩⎪
⎨⎧-≤-+>+3122
145)1(3x x x x 并将解集在数轴上表示出来．
8.某公司推销一种产品，设x （件）是推销产品的数量，y （元）是推销费，如图表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：
（1）求y l 与y 2的函数解析式；
（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的；
（3）如果你是推销员，应如何选择付费方案．
9.(德州中考)某公司专销产品A，第一批产品A上
市40天内全部售完．该公司对第一批产品A上市后的
市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其
中图1中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关
系；图2中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上
市时间的关系．
（1）试写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式；
（2）第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？
10.(贵阳中考)甲、乙两人骑自行车前往A地，他们距A地的路程s（km）
与行驶时间t（h）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答
下列问题：
（1）甲、乙两人的速度各是多少？
（2）求出甲距A地的路程s与行驶时间t之间的函数关系式．
（3）在什么时间段内乙比甲离A地更近？。