中考数学专题复习——数形结合思想

中考数学专题复习——数形结合思想 一、知识梳理

数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维相结合，通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化，抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，从而起到优化计算的目的。

华罗庚先生曾指出：“数与形本是相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休。”这充分说明了数形结合在数学学习中的重要性，是中考数学的一个最重要数学思想。 二、典型例题

（一）在数与式中的应用

例1、实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简2||a a b +-=_________。 （二）在方程、不等式中的应用 例2、已知关于x 的不等式组0

20

x a x ->⎧⎨

->⎩的整数解共有2个，则a 的取值范围是____________。

例3、用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（ ）

A ．203210x y x y +-=⎧⎨--=⎩，

B ．2103210x y x y --=⎧⎨--=⎩

，

C ．2103250x y x y --=⎧⎨

+-=⎩

，

D ．20210x y x y +-=⎧⎨

--=⎩

，

（三）在锐角三角函数中的应用 例4、画△ABC ，使cosA=

2

1

，AB ＝2cm ，∠A 的对边可以在长为1cm 、2cm 、3cm 中任选，这样的三角形可以画_______个。

（四）在函数中的应用

例5、如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，在下列说法中： ①0ac <；②方程20ax bx c ++=的根为11x =-，23x =； ③0a b c ++>；④当1x >时，y 随着x 的增大而增大． 正确的说法有 ．（请写出序号）

（五）在概率统计中的应用

例6、某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图所示的条形统计图： ⑴请写出从条形统计图中获得的一条信息；

⑵请根据条形统计图中的数据补全扇形统计图，并说明这两幅统计图各有什么⑶请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议。

a b

0 · P （1，1）

1 1

2 2

3 3 －1 －1

O

x y

x

y

O

3 -1

例７ 以ｘ为自变量的二次函数ｙ=-ｘ2+2ｘ+ｍ，它的图象与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于点A 、B ，点A 在点B 的左边，点O 为坐标原点，

（1）求这个二次函数的解析式及点A ，点B 的坐标，画出二次函数的图象；

（2）在x 轴上是否存在点Q ，在位于x 轴上方部分的抛物线上是否存在点P ，使得以A ，P ，Q 三点为顶点的三角形与△AOC 相似（不包含全等）？若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

三、综合训练

1、“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点A 所表示的数是2”，这种利用图形直观说明问题的方式体现的数学思想方法叫（ ）

A ．代入法

B ．数形结合

C ．换元法

D ．分类讨论

2、某人从A 地向B 地打长途电话6分钟，按通话电话收费，3分钟以内收费2.4元，此后每加1分钟加收1元，则表示电话费y （元）与通话时间（分）之间的关系的图象正确的是（ ）

3、若M 11

,2y ⎛⎫- ⎪⎝

⎭

，N 21,4y ⎛⎫- ⎪⎝

⎭

，P 31,2y ⎛⎫ ⎪⎝

⎭

三点都在函数(0)k

y k x =<的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系

为（ ）

A 、y 2＞y 3＞y 1

B 、y 2＞y 1＞y 3

C 、y 3＞y 1＞y 2

D 、y 3＞y 2＞y 1

4、关于x 的一元二次方程x 2―x ―n ＝0没有实数根，则抛物线y ＝x 2―x ―n 的顶点在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限

C 、第三象限

D 、第四象限

5、如图，在平面直角坐标系中，∠AOB =150°，OA ＝OB=2， 则点A 、B 的坐标分别是___________和___________。

A 1 0

-1

2

6、如图，已知函数y x b =+和3y ax =+的图象交点为P ，则不等式3x b ax +>+的解集为 ．

7、如图，为实数a 、b 在数轴上的位置， 化简

222()a b a b -

思考题：

5、函数2

y x x m =-+（m 为常数）的图象如图，如果x a =时，0y <；那么1x a =-时，函数值（ ）

A ．0y <

B ．0y m <<

C ．y m >

D ．y m =

2、如图1是一种带有黑白双色、边长是20cm 的正方形装饰瓷砖，用这样的四块瓷砖可以拼成如图2的图案．已知制作图1这样的瓷砖，其黑、白两部分所用材料的成本分别为0.02元/(cm 2)和0.01元/(cm 2)，那么制作这样一块瓷砖所用黑白材料的最低成本是_________元（π取3.14，结果精确到0.01元） 中考链接

１.(湖北中考)将不等式⎪⎩⎪

⎨⎧-≤-<+x x x x 238211

48的解集在数轴上表示出来，正确的是(

2.(临沂中考)直线ｌ1:ｙ=ｋ1ｘ+ｂ与直线ｌ２:ｙ=ｋ２ｘ在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x+b ＞k 2x 的解为（ ）

Ａ．ｘ>-1 B.<-1 C.ｘ<-2 D.ｘ无法确定

３.(威海中考)下列四个点中，有三个点在同一条直线上，不在这条直线上的是( )

Ａ．(-３，-１) Ｂ．(１，１) Ｃ．(３，２) Ｄ．(４，３)

４.(赤峰中考)如下图所示，半径为１的圆和边长为３的正方形如下图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t ，正方形除去圆部分的面积为S （阴影部分），则S 与t 的大致图象为（ ）

y

O x 1

x 2

O y 1 P

y=x+b

y=ax+3

图2

图1