7图论-邻接矩阵11-3解析
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v1 e2 e3 v2 e4 2 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 M(G)= 0 1 1 0 0 e5
v3
2）有向图的关联矩阵 定义：设有向图D＝<V，E>中无环， v4 v1 令 1 vi为边ej的终点 mij = 0 vi为边ej不关联 e2 e5 －1 vi为边ej的起点 e1 e3 e4 则称(mij)nxm，为D的关联矩阵，记作 M(D） v2 v3 有向图关联矩阵的性质 ∑mij= 0，j＝1，2，…，m M(D)中，负1的个数等于正1的个数， 1 -1 0 0 0 都等于边数m，这正是有向图握手定 M(D)= - 1 1 -1 0 0 理的内容（入度之和等于出度之和） 0 0 0 -1-1 + 第i行中，正1的个数等于d (vi)（结点的 0 0 1 1 1 入度），负1的个数等于d-(vi)（结点 的出度）． 平行边所对应的列相同
上次课主要内容： 图的连通性 无向图： 1、结点的连通： 设无向图G＝<V，E>，∀ u,v ∈V，若u，v之 间存在通路，则称u,v是连通的，记作u ～ v，∀ u ∈V，规定 u～u ～ ＝{<u，v> ┃u，v∈V且 u与v之间有通路} 结点的连通关系是等价关系 2、无向图的连通图 若无向图G是平凡图或G中任何两个顶点都是连通的，则称G为连 通图， 否则称G为非连通图或分离图（各子图为连通分支- 等价类） 3、结点之间的距离 设u，v为无向图G中任意两个顶点， 若u ～ v，称u，v之间长度最短的通路为u，v之间的短程线 短程线的长度称为u，v之间的距离，记作 d(u，v) 当u，v不连通时，规定d(u，v)＝ ∞ ．
利用A(D)确定出D中长度为L的通路数和回路数,就需要用到邻接 该项不为0表 矩阵的幂次运算
A2中的元素值b
说明：由矩阵的乘积定义 bij = ∑k aik * akj
该项不为0表 该项不为0表示vi到vj 示vk到vj有边 A3矩阵中的Cij元素值，表示从有长为 vi到v2 到长度恰为3的通路数 j 的通路
上次课主要内容： 1、图的矩阵表示 1）无向图的关联矩阵 设无向图G＝<V，E>，V＝{v1,v2,…，vn}。E={e1,e2,e3， …em}令mij为顶点vi与边ej的关联次数，则称(mij)nxm为G的关联 矩阵，记作 M(G)． 性质：M(G)每列元素之和均为2 M(G)第i行元素之和为结点vi的度数，i＝1，2，…n 所有行的和（即矩阵所有元素之和）等于边数的2倍 第j列与第k列相同，当且仅当边ej与ek是平行边． e10（即 ∑m = 0）,当且仅当v 是孤立点 某行i的和为 ij i
4、有向图的连通性 结点的可达性：设D＝<V，E>为一个有向图． ∀ vi,vj ∈V，若从vi到vj存在通路则称vi可达vj, 记作vi → vj 规定vi总是可达自身的，即vi → vi． 结点的可达关系为V上的二元关系，但不是等价关系 结点的相互可达：若vi → vj 且vj → vi 则称vi与vj是相互可达的。 记作: vi ↔ vj 规定：vi ↔ vi ． 5、相互可达关系为V上的二元关系，且是V上的等价关系 6、有向图中结点的距离 设D＝<V，E>为有向图，∀ vi,vj ∈V，若 vi → vj，称vi到vi长度 最短的通路为vi到vj的短程线 短程线的长度为vi到vj的距离，记作d<vi，vj> 一般地：d<vi，vj> ≠ d<vj,vi> （可能d<vi,vj> 不存在）
3）有向图的邻接矩阵 1、定义：设有向图D＝<V，E>，V＝{v1，v2，…，vn}，E＝{e1 ，e2，…，em} 令： aij为顶点vi邻接到顶点vj边的条数 称(aij))nxn为D的邻接矩阵，记作A(D)，或简记为A． 2）邻接矩阵的性质 每列元素之和为结点的入度， 每行元素之和为结点的出度，所有行的和也等于边数 邻接矩阵中元素 aij 反映了有向图中结点vi到vj通路长度为1的条 wenku.baidu.com A(D)中所有元素之和为D中长度为1的（边）通路总条数。 主对角线的元素值为图中结点vi长度为1 的环的条数
7、有向图的弱连通图、单向连通图和强连通图 设D＝{V，E)为一个有向图． 若D的作为无向图是连通图，则称D是弱连通图，简称为连通图． 若∀ vi,vj ∈V , vi → vj与vj→ vi至少成立其一，则称D是单向连通 图． 若∀ vi,vj ∈V，均有vi ↔ vj，则称D是强连通图 注：三种图的关系：强连通图一定是单向连通图，反之不成立 单向连通图一定是弱连通图．反之不成立
作业问题： 1：证明3个4阶四条边的无向简单图至少有二个是同构的 2：无向完全图Kn中任意二个顶点的距离d(u,v)=?
有向完全图中任意二个顶点的距离d<u,v>=? N阶竞赛图中任意二个顶点的距离d<u,v>=?
3：n阶k-正则图G的边数 m = ?
无向图G有16条边，有3个4度结点和4个3度结点，其余结点 的度数均小于3，则G至少有几个结点？
ij是结点vi到vj长度为2
的通路条数：
示vi到vk有边
定理14．11 设A为有向图D的邻接矩阵，V＝{v1，v2，…，vn} 为D的顶点集，
则A的L次幂AL(L≥1)中元素cij为D中vi到vj长度为L的通路数， 其中cii为vi到自身长度为L的回路数 ∑∑cij(所有元素之和)为D中长度为L的通路总数， 其中 ∑cii为D中长度为L的回路总数． 推论 设BL＝A + A2十…+AL (L≥1)， 则BL中元素 bij为D中从 vi到vj 长度小于或等于L的通路数， 其中主对角线上元素值为D中长度小于或等于L的回路数
4、有向图的可达矩阵 1）定义：设D＝<V，E>为有向图, V＝{v1，v2，…，vn} 令 1 vi可达vi pij ＝ 0 否则 称(pij)nxn为D的可达矩阵，记作P(D)，简记为P 2）可达矩阵的性质 （1）主对角线元素均为1 （每个结点自身可达） （2）可通过图的邻接矩阵A的n-1次幂的和矩阵Bn-1得到（将其 非零元素换为1，主对角线元素均设为1即可）
v3
2）有向图的关联矩阵 定义：设有向图D＝<V，E>中无环， v4 v1 令 1 vi为边ej的终点 mij = 0 vi为边ej不关联 e2 e5 －1 vi为边ej的起点 e1 e3 e4 则称(mij)nxm，为D的关联矩阵，记作 M(D） v2 v3 有向图关联矩阵的性质 ∑mij= 0，j＝1，2，…，m M(D)中，负1的个数等于正1的个数， 1 -1 0 0 0 都等于边数m，这正是有向图握手定 M(D)= - 1 1 -1 0 0 理的内容（入度之和等于出度之和） 0 0 0 -1-1 + 第i行中，正1的个数等于d (vi)（结点的 0 0 1 1 1 入度），负1的个数等于d-(vi)（结点 的出度）． 平行边所对应的列相同
上次课主要内容： 图的连通性 无向图： 1、结点的连通： 设无向图G＝<V，E>，∀ u,v ∈V，若u，v之 间存在通路，则称u,v是连通的，记作u ～ v，∀ u ∈V，规定 u～u ～ ＝{<u，v> ┃u，v∈V且 u与v之间有通路} 结点的连通关系是等价关系 2、无向图的连通图 若无向图G是平凡图或G中任何两个顶点都是连通的，则称G为连 通图， 否则称G为非连通图或分离图（各子图为连通分支- 等价类） 3、结点之间的距离 设u，v为无向图G中任意两个顶点， 若u ～ v，称u，v之间长度最短的通路为u，v之间的短程线 短程线的长度称为u，v之间的距离，记作 d(u，v) 当u，v不连通时，规定d(u，v)＝ ∞ ．
利用A(D)确定出D中长度为L的通路数和回路数,就需要用到邻接 该项不为0表 矩阵的幂次运算
A2中的元素值b
说明：由矩阵的乘积定义 bij = ∑k aik * akj
该项不为0表 该项不为0表示vi到vj 示vk到vj有边 A3矩阵中的Cij元素值，表示从有长为 vi到v2 到长度恰为3的通路数 j 的通路
上次课主要内容： 1、图的矩阵表示 1）无向图的关联矩阵 设无向图G＝<V，E>，V＝{v1,v2,…，vn}。E={e1,e2,e3， …em}令mij为顶点vi与边ej的关联次数，则称(mij)nxm为G的关联 矩阵，记作 M(G)． 性质：M(G)每列元素之和均为2 M(G)第i行元素之和为结点vi的度数，i＝1，2，…n 所有行的和（即矩阵所有元素之和）等于边数的2倍 第j列与第k列相同，当且仅当边ej与ek是平行边． e10（即 ∑m = 0）,当且仅当v 是孤立点 某行i的和为 ij i
4、有向图的连通性 结点的可达性：设D＝<V，E>为一个有向图． ∀ vi,vj ∈V，若从vi到vj存在通路则称vi可达vj, 记作vi → vj 规定vi总是可达自身的，即vi → vi． 结点的可达关系为V上的二元关系，但不是等价关系 结点的相互可达：若vi → vj 且vj → vi 则称vi与vj是相互可达的。 记作: vi ↔ vj 规定：vi ↔ vi ． 5、相互可达关系为V上的二元关系，且是V上的等价关系 6、有向图中结点的距离 设D＝<V，E>为有向图，∀ vi,vj ∈V，若 vi → vj，称vi到vi长度 最短的通路为vi到vj的短程线 短程线的长度为vi到vj的距离，记作d<vi，vj> 一般地：d<vi，vj> ≠ d<vj,vi> （可能d<vi,vj> 不存在）
3）有向图的邻接矩阵 1、定义：设有向图D＝<V，E>，V＝{v1，v2，…，vn}，E＝{e1 ，e2，…，em} 令： aij为顶点vi邻接到顶点vj边的条数 称(aij))nxn为D的邻接矩阵，记作A(D)，或简记为A． 2）邻接矩阵的性质 每列元素之和为结点的入度， 每行元素之和为结点的出度，所有行的和也等于边数 邻接矩阵中元素 aij 反映了有向图中结点vi到vj通路长度为1的条 wenku.baidu.com A(D)中所有元素之和为D中长度为1的（边）通路总条数。 主对角线的元素值为图中结点vi长度为1 的环的条数
7、有向图的弱连通图、单向连通图和强连通图 设D＝{V，E)为一个有向图． 若D的作为无向图是连通图，则称D是弱连通图，简称为连通图． 若∀ vi,vj ∈V , vi → vj与vj→ vi至少成立其一，则称D是单向连通 图． 若∀ vi,vj ∈V，均有vi ↔ vj，则称D是强连通图 注：三种图的关系：强连通图一定是单向连通图，反之不成立 单向连通图一定是弱连通图．反之不成立
作业问题： 1：证明3个4阶四条边的无向简单图至少有二个是同构的 2：无向完全图Kn中任意二个顶点的距离d(u,v)=?
有向完全图中任意二个顶点的距离d<u,v>=? N阶竞赛图中任意二个顶点的距离d<u,v>=?
3：n阶k-正则图G的边数 m = ?
无向图G有16条边，有3个4度结点和4个3度结点，其余结点 的度数均小于3，则G至少有几个结点？
ij是结点vi到vj长度为2
的通路条数：
示vi到vk有边
定理14．11 设A为有向图D的邻接矩阵，V＝{v1，v2，…，vn} 为D的顶点集，
则A的L次幂AL(L≥1)中元素cij为D中vi到vj长度为L的通路数， 其中cii为vi到自身长度为L的回路数 ∑∑cij(所有元素之和)为D中长度为L的通路总数， 其中 ∑cii为D中长度为L的回路总数． 推论 设BL＝A + A2十…+AL (L≥1)， 则BL中元素 bij为D中从 vi到vj 长度小于或等于L的通路数， 其中主对角线上元素值为D中长度小于或等于L的回路数
4、有向图的可达矩阵 1）定义：设D＝<V，E>为有向图, V＝{v1，v2，…，vn} 令 1 vi可达vi pij ＝ 0 否则 称(pij)nxn为D的可达矩阵，记作P(D)，简记为P 2）可达矩阵的性质 （1）主对角线元素均为1 （每个结点自身可达） （2）可通过图的邻接矩阵A的n-1次幂的和矩阵Bn-1得到（将其 非零元素换为1，主对角线元素均设为1即可）