特殊平行四边形的性质和判定的综合应用

1822菱形第二课时（李洪兵）

一、教学目标

1 .核心素养

通过菱形的判定学习，进一步强化形成观察能力、动手能力及逻辑思维能力，发展主动探究的思想和说理的基本方法.

2. 学习目标

（1）18.2.2.2 掌握菱形的判定及应用；

3. 学习重点

菱形的两个判定方法.

4. 学习难点

菱形的判定定理的证明及运用.

二、教学设计

（一）课前设计

1. 预习任务

任务1

阅读教材P57，什么是菱形？

任务2

阅读教材P57—P58,除了定义外菱形有哪些判定方法？

2. 预习自测

1. 下列给出的条件中，能判定一个四边形是菱形的是（）

A. —组对边平行且相等，有一个角是直角

B. 两组对边分别相等，并且有一条对角线平分一组对角

C. 两条对角线互相平分，并且一组邻角相等

D. 一组对边平行，一组对边相等，并且对角线互相垂直

（知识点：菱形的判定）

2. 在四边形ABCD中，给出四个条件：① AB=CD②AD // BC ;③ACL BD④AC平分/ BAD由其

中三个条件可推出四边形ABCD是菱形，你认为这三个条件是__________________________

（知识点：菱形的判定）

（二）课堂设计

1. 知识回顾

（1）什么是菱形？

（2）菱形的性质有哪些？

2 •问题探究 问题探究一 菱形有哪些判定方法？ |重点、难点知识

活动一动手操作探究菱形的判定1 动手探究：学生画图：先画两条等长的线段 AB.AD 然后分别以B,D 为圆心，AB 为半径画弧,

得两弧的交点C,连接BC,CD 得四边形ABCD.

想一想：画出的四边形是什么四边形？为什么？（引导用菱形的定义说明 ）

归纳总结：有一组邻边 ______ 的平行四边形是菱形 符号语言：

•••四边形ABCD 是平行四边形，AB=AD •••四边形ABCD 是菱形.

活动二继续探究需求菱形的判定2 动手探究：用一长一短的两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字 四周上套一根橡皮筋，做成一个四边形。

想一想：转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？学生猜想后动手操作验证或多媒体演示

学生总结，老师补充 大家写出已知，求证，进行证明

归纳总结：对角线 ____________ 的平行四边形是菱形. 符号语言：

•••四边形ABCD 是平行四边形，ACL BD •••四边形ABCD 是菱形.

活动三 动手画图，探究菱形的其他判定方法 想一想：还有哪些方法可以判定菱形？ 画图：先画两条等长的线段 AB AD 然后分别以B 、D 为圆心，AB 为半径画弧，得到两弧的交 点为C,连接BG CD 就画出了一个菱形.（画图思考为什么?） （理由：：CD=AB AD=BC •••四边形ABCD 是平行四边形. 又••• AB=AD •••口 ABCD1 菱形.)

1. 四条边 ______ 的四边形是菱形. ••• AB=BC=CD=AD

•四边形ABCD 是菱形.

2. 对角线 ___________ 的四边形是菱形.

符号语言：

••• AO=C , BO=D , AC 丄 BD

•••四边形ABCD 是菱形.

活动四 运用判定，解决关于菱形的证明

例1.如图，□ ABCD 勺对角线 AC BD 相交于点0,且AB=5 AO=4 BO=3求证：□ ABC ［是菱形.

B

D

B L

>

【知识点：菱形的判定和性质，勾股定理的逆定理】

详解：

证明：：AB=5 A0=4 B0=3

••• AB=A0+B0,

•••/ AOB=90 ,即ACL BD,

•平行四边形ABCD是菱形.

点拨：由AB=5 A0=4 B0=3易知△ ABO是直角三角形,从而得AC L BD,即可得平行四边形ABCD

是菱形.

例2.已知：如图，在矩形ABC冲,对角线AC BD相交于点0, E是CD中点，连结0E过点C 作CF// BD 交线段0E的延长线于点F ,连结DF.求证：

(〔)△0DE^A FCE

(2)四边形0DF(是菱形.

【知识点：菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质】详解：

证明：(1)v CF/ BD,

• / D0E N CFE

••• E是CD中点，

•CE=DE

在厶ODE ffiA FCE中,

/ DOE M CFE

DE=CE ,

/ DEO M CEF

•••△ ODE^ FCE( ASA;

(2)v^ ODE^FCE

•••OD=FC

T CF// BD

•••四边形ODF(是平行四边形，

•••在矩形ABCD中, OC=OD

•••四边形ODF(是菱形.

点拨：(1)根据两直线平行，内错角相等可得/ DOE M CFE根据线段中点的定义可得CE=DE 然后利用“角边角”证明△ ODEf^A FCE全等；(2)根据全等三角形对应边相等可得OD=FC再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODF(是平行四边形，根据矩形的

对角线互相平分且相等可得OC=O,然后根据“邻边相等的平行四边形是菱形”证明即可.

3 •课堂总结

【知识梳理】

(1)菱形的判定方法一(定义)：

有一组邻边—相等—的平行四边形是菱形•

(2)菱形的判定方法二(定理)：

对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

(3)菱形的判定方法三(定理)：

四条边相等的四边形是菱形.

(4)菱形的判定方法四(定理)：

对角线互相垂直平分的四边形是菱形.

【重难点突破】

(1)菱形的性质与判定是互为逆定理的，要记清判定与性质之间的区别与联系；

(2)针对具体题目，要分析清条件选用恰当的判定方法.

(3)在探索菱形的有关对角线的判定定理时，用教具演示，四边形的两条对角线在保持互相平分的前提下转动，当它们的位置关系是垂直时，平行四边形变为菱形，给人直观感受印象深刻.

(4)在探索菱形的另一个判定定理时，进行尺规作图画出四边相等的四边形，根据它的特殊性关系进行验证，从而得出定理，拓展思维空间.

4.随堂检测

1•顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是菱形，贝U四边形ABCD一定是()

A.菱形

B. 对角线互相垂直的四边形

C.矩形

D. 对角线相等的四边形

【知识点：菱形的判定和性质】

2. 如图，菱形ABCD寸角线AC与BD相交于点0,点E,F分别为边AB,AD的中点，连接0E,0F。

则四边形AE0F是__________ 形