指数与指数函数课件

an＝

a |a|
，n为奇数， ，n为偶数.
(3)分数指数幂
m
an
＝n
am ；a －
m n
＝
1
m
＝
1
.(a>0，m，n∈N，且
a n n am
n>1) (4)指数幂的运算性质
ar·as＝ar＋s，(ar)s＝ar·s，
(a·b)r＝ar·br.(a>0，b>0，r，s∈R)
2．指数函数的图象和性质
解析：原式＝[(287)23
－(499)21
2Leabharlann Baidu
＋1253
1
÷502
×(1560)12
]÷(0.54)
1 4
＝
[49－73＋25×
1× 50
450]÷12＝29.
答案：29
指数函数的图象 [例2] (文)(2011·杭州月考)函数y＝a|x|(a>1)的图象是 ()
解析：y＝a|x|＝
ax a－x
考点典例讲练
指数幂的运算
[例1] (1)化简： a－4b23 ab2(a>0，b>0)；
1
(2)已知a2
＋a－12
＝3，求a＋a－1，a2＋a－2的值．
解析：
1
1
(2)(a2 ＋a－2 )2＝a＋2＋a－1＝9，
所以a＋a－1＝7，
(a＋a－1)2＝a2＋2＋a－2＝49，
所以a2＋a－2＝47.
点评：(1)有理指数幂的运算，一般是小数化成分数，根 式化成分数指数幂进行．
(2)对于条件求值问题，一般先把条件式或待求式化简变 形，找出已知与未知的联系后代入求值．
计算：[(3
3 8
)
2 －3
－(5
4 9
)0.5＋(0.008)
2 －3
÷(0.02)
1 －2
×(0.32)
1
2 ]÷0.06250.25＝________.
夯实基础 稳固根基
1．整数指数幂的运算性质 (1)am·an＝ am＋n ，(am)n＝ am·n ， (a·b)n＝ an·bn .(m、n∈Z)
(2)xn＝a，(n∈N，n>1)⇔x＝n a，n为奇数， x＝±n aa>0，n为偶数.
(n a)n＝ a ； a2＝ |a| ；
n
2．在指数里含有未知数的方程的解法． (1)形如af(x)＝ag(x)(a>0，a≠1)的方程，化为f(x)＝g(x)求 解； (2)形如af(x)＝bg(x)(a>0，b>0，a≠1，b≠1)的方程，两边 取对数； (3)形如a2x＋b·ax＋c＝0的方程，用换元法令ax＝t化为二 次方程求解．
指数函数
定义
y＝ax(a>0，a≠1)
图象
指数函数
(1)定义域：R
(2)值域：(0，＋∞)
(3)过(0,1)点，即x＝0时，y＝1. 性 (4)当a>1时，在R上是增函数； 质 当0<a<1时，在R上是减函数．
x>0
x<0
a>1
y>1
0<y<1
0<a<1
0<y<1
y>1
疑难误区 点拨警示 1．忽视底数a>1与0<a<1时性质的区别及函数的值域致 误．解题的每一步要等价转化． 2．比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相 等．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数 函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1 等的运用．指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方 向底数依次变大)． 3．用换元法解题时，要注意“新元”的取值范围．
C．(12)c>(12)b>(12)a
D．(12)c>(12)a>(12)b
答案：43或23
三、解题技巧 1．比较一组幂式、对数式形式的数的大小时，一般先区 分正、负(与0比)；正数再与1比较，找出大于1的和小于1 的；底数相同的幂式，用指数函数的单调性；底数相同的对 数式用对数函数的单调性；指数相同的幂式用幂函数的单调 性或指数函数的图象；真数相同的对数式用对数函数的图 象；底数不同、指数也不同的幂式或底数不同、真数也不同 的对数式可引入中间量转化或化成同底，另外要注意指对互 化的灵活运用．
x≥0 x<0
，当x≥0时，与指数函数y
＝ax(a>1)的图象相同；当x<0时，y＝a－x与y＝ax的图象关于y
轴对称，由此判断B正确．
答案：B
点评：一般地，非基本初等函数的图象与性质的讨论， 先化归为基本初等函数来解决．
(理)已知函数y＝loga(x＋1)的图象如图所示，则函数y＝ a1－x的图象大致是( )
3 2
3 <4
3 2
，∴233<34
3 2
.
二、分类讨论的思想 [例2] 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小 值大a3，则a的值为________．
解析：0<a<1时，f(x)＝ax在[1,2]上单调递减， ∴a－a2＝a3，∴a＝23； a>1时，f(x)＝ax单调递增，∴a2－a＝a3， ∴a＝43.
思想方法技巧
一、数形结合的思想 有关幂值大小的比较，指数型函数的问题，借助于图象 来求解常能起到事半功倍的效果．
[例1]
比较233与34
3 2
的大小．
解析：在同一直角坐标系中作出函数y＝49x与y＝34
x的图象，考察x＝32时y值大小，
∵49<34，∴49
解析：由a⊗b＝a b
a≤b， a>b， 得
f(x)＝1⊗2x＝2x x≤0， 1 x>0.
答案：A
指数函数的单调性与值域
[例3] 已知log 3 b<log3 a<log3 c，则( )
2
2
2
A．(12)b>(12)a>(12)c
B．(12)a>(12)b>(12)c
第二章 函 数
第二章
第四节 指数与指数函数
基础梳理导学
3 考点典例讲练
思想方法技巧
4 课堂巩固训练
5 课后强化作业
基础梳理导学
重点难点 引领方向 重点：1.指数幂的运算法则． 2．指数函数的概念、图象与性质． 难点：1.根式与分数指数幂的运算． 2．a>1与0<a<1时，指数函数图象、性质的区别． 3．指数函数图象与性质的应用和简单指数方程、不等式 的求解．
解析：由y＝loga(x＋1)的图象知，函数y＝loga(x＋1)为减
函数，∴0<a<1，∴y＝a1－x＝(
1 a
)x－1是增函数，且当x＝1时，y
＝1，x＝0时，y＝a<1，故选A.
答案：A
(2011·济南模拟)定义运算a⊗b＝
a

a≤b ，则函数f(x)＝1
b a>b
⊗2x的图象大致为( )