指数与指数函数课件
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第三章 第五节 指数函数 课件(共53张PPT)
解析： 函数 y＝|3x－1|的图象是由函数 y＝3x 的图象向下平移一个单位 后，再把位于 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴 上方得到的，函数图象如图所示．
由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以 k 的取值范围为(－∞，0].
答案： (－∞，0]
指数函数的性质及应用
角度一 比较指数幂的大小
解析： (1)由函数 y＝kx＋a 的图象可得 k<0，0<a<1.因为函数的图象与 x 轴交点的横坐标大于 1，所以 k>－1，所以－1<k<0.函数 y＝ax＋k 的图象可以 看成把 y＝ax 的图象向右平移－k 个单位长度得到的，且函数 y＝ax＋k 是减函 数，故此函数与 y 轴交点的纵坐标大于 1，结合所给的选项，选 B.
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
n (1)
an
＝(n
a
)n＝a(n∈N＋).(
)
m
(2)分数指数幂 an
可以理解为mn
个 a 相乘．(
)
(3)函数 y＝3·2x 与 y＝2x＋1 都不是指数函数．( )
(4)若 am<an(a>0，且 a≠1)，则 m<n.( )
答案： (1)× (2)× (3)√ (4)×
角度二 解简单的指数方程或不等式
(1)若
，则函数 y＝2x 的值域是( )
1 A．8，2
1 B．8，2
C．－∞，18
D．[2，＋∞)
4x，x≥0， (2)已知实数 a≠1，函数 f(x)＝2a－x，x<0， 若 f(1－a)＝f(a－1)，则 a 的
值为________．
解析： (1)因为
由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以 k 的取值范围为(－∞，0].
答案： (－∞，0]
指数函数的性质及应用
角度一 比较指数幂的大小
解析： (1)由函数 y＝kx＋a 的图象可得 k<0，0<a<1.因为函数的图象与 x 轴交点的横坐标大于 1，所以 k>－1，所以－1<k<0.函数 y＝ax＋k 的图象可以 看成把 y＝ax 的图象向右平移－k 个单位长度得到的，且函数 y＝ax＋k 是减函 数，故此函数与 y 轴交点的纵坐标大于 1，结合所给的选项，选 B.
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
n (1)
an
＝(n
a
)n＝a(n∈N＋).(
)
m
(2)分数指数幂 an
可以理解为mn
个 a 相乘．(
)
(3)函数 y＝3·2x 与 y＝2x＋1 都不是指数函数．( )
(4)若 am<an(a>0，且 a≠1)，则 m<n.( )
答案： (1)× (2)× (3)√ (4)×
角度二 解简单的指数方程或不等式
(1)若
，则函数 y＝2x 的值域是( )
1 A．8，2
1 B．8，2
C．－∞，18
D．[2，＋∞)
4x，x≥0， (2)已知实数 a≠1，函数 f(x)＝2a－x，x<0， 若 f(1－a)＝f(a－1)，则 a 的
值为________．
解析： (1)因为
幂函数、指数与指数函数课件-2025届高三数学一轮复习
标轴没有公共点，则 f ( 2 )＝(
A.
1
2
B. 2
A )
C. 2
D. 2 2
[解析] 因为 f ( x )为幂函数，所以 m 2＋ m －1＝1，解得 m ＝－2或 m ＝1，又 f ( x )的
图象与坐标轴无公共点，故 m ＜0，所以 m ＝－2，故 f ( x )＝ x －2，所以 f ( 2 )＝
＝
3
－
2
.
三、知识点例题讲解及方法技巧总结
命题点1
幂函数的图象与性质
例1 (1)[2023山西省运城市景胜中学模拟]如图所示的曲线是幂函数 y ＝ xn 在第一象限
1
2
内的图象.已知 n 分别取±2，± 四个值，与曲线 C 1， C 2， C 3， C 4对应的 n 依次为
(
A )
1
2
1
2
A. 2， ，－ ，－2
图象恒过定点 M ( m ， n )，则函数 g ( x )＝ m ＋ xn 的图象不经过(
A. 第第四象限
D )
[解析] ∵ a 0＝1，∴ f ( x )＝ ax －1－2的图象恒过定点(1，－1)，∴ m ＝1， n ＝－1，
1
∴ g ( x )＝1＋ ，其图象不经过第四象限，故选D.
5−1
5−1
≤ m ＜2，所以实数 m 的取值范围为[
，2).
2
2
命题点2 指数幂的运算
例2 计算：
2
−
3
3
(1)(－3 )
8
1
−2
＋(0.002 )
−
[解析] 原式＝(－1 )
4
9
2
3
A.
1
2
B. 2
A )
C. 2
D. 2 2
[解析] 因为 f ( x )为幂函数，所以 m 2＋ m －1＝1，解得 m ＝－2或 m ＝1，又 f ( x )的
图象与坐标轴无公共点，故 m ＜0，所以 m ＝－2，故 f ( x )＝ x －2，所以 f ( 2 )＝
＝
3
－
2
.
三、知识点例题讲解及方法技巧总结
命题点1
幂函数的图象与性质
例1 (1)[2023山西省运城市景胜中学模拟]如图所示的曲线是幂函数 y ＝ xn 在第一象限
1
2
内的图象.已知 n 分别取±2，± 四个值，与曲线 C 1， C 2， C 3， C 4对应的 n 依次为
(
A )
1
2
1
2
A. 2， ，－ ，－2
图象恒过定点 M ( m ， n )，则函数 g ( x )＝ m ＋ xn 的图象不经过(
A. 第第四象限
D )
[解析] ∵ a 0＝1，∴ f ( x )＝ ax －1－2的图象恒过定点(1，－1)，∴ m ＝1， n ＝－1，
1
∴ g ( x )＝1＋ ，其图象不经过第四象限，故选D.
5−1
5−1
≤ m ＜2，所以实数 m 的取值范围为[
，2).
2
2
命题点2 指数幂的运算
例2 计算：
2
−
3
3
(1)(－3 )
8
1
−2
＋(0.002 )
−
[解析] 原式＝(－1 )
4
9
2
3
高一数学指数函数ppt课件
与对数式的转换、对数运算的性质等。
拓展延伸：挑战更高难度题目
复杂指数函数的性质研究
引入更复杂的指数函数形式，如复合指数函 数、分段指数函数等，探讨它们的性质和应 用。
指数函数在实际问题中的应 用
结合实际问题，如复利计算、人口增长等，展示指 数函数的应用价值，并引导学生运用所学知识解决 实际问题。
指数函数与其他数学知识 的综合应用
指数函数图像特征
当a>1时，图像在x轴上方，且随着x 的增大，y值迅速增大；当0<a<1时， 图像在x轴上方，但随着
当a>1时，指数函数在R上是增函数；当0<a<1时，指数函数在R 上是减函数。
指数函数的值域
指数函数的值域为(0, +∞)。
在解题时，要注意判断题目所给 条件是否满足对称性，以便更好
地应用这一性质。
05 复杂问题解决方 法与策略
分段讨论法在处理复杂问题时应用
分段讨论法概念
将复杂问题按照一定条件分成若 干段，每一段内问题相对简单，
易于解决。
分段讨论法应用
在处理指数函数问题时，当自变量 在不同区间内取值时，函数性质可 能发生变化，此时可以采用分段讨 论法。
数形结合思想概念
将数学中的“数”与“形”结合起来，通过图形 直观展示数量关系，帮助理解问题本质。
数形结合思想应用
在处理指数函数问题时，可以通过绘制函数图像 来观察函数性质，如单调性、周期性等。
数形结合思想优势
通过数形结合可以更加直观地理解问题，提高解 题准确性。
06 总结回顾与拓展 延伸
关键知识点总结回顾
幂的乘方规则
$(a^m)^n = a^{m times n}$，幂的乘方，底 数不变，指数相乘。
《指数与指数运算》课件
。
积的乘方时，将每个因 数分别乘方，然后再相
乘。
复合指数法则的实例
$(a^m)^n = a^{mn}$
$(a^m)^n$表示$a$的$m$次方的$n$次 方，根据复合指数法则 a^m times a^n$
根据同底数幂相乘的规则，$a^{m+n}$可 以化简为$a^m times a^n$。
详细描述
指数函数在许多实际问题中都有应用，如人口增长、复利计算、放射性物质的衰变等。通过建立数学 模型，我们可以利用指数函数的性质和图像解决这些问题，从而更好地理解和预测事物的变化趋势。
CHAPTER
04
复合指数法则与运算
复合指数法则的概念
指数法则
指数法则是一种数学运算规则， 用于表示一个数的指数幂。
指数的性质
当底数相同时，指数相加 表示乘法，指数相减表示 除法。
指数的运算顺序
先乘方后乘除，先括号后 加减。
指数的起源与历史
起源
指数概念最早可以追溯到古希腊 数学家欧几里得的《几何原本》 ，其中对指数进行了初步的探讨 。
发展历程
随着数学的发展，指数概念逐渐 完善，经历了文艺复兴、牛顿和 莱布尼茨等人的贡献，最终形成 了现代数学中的指数概念。
指数运算的技巧
简化指数式
利用幂的性质，如$a^{m} times a^{n} = a^{m+n}$，$a^{m} div a^{n} = a^{m-n}$等，简化复杂的指数式。
同底数幂的乘法与除法
当底数相同时，可以直接根据指数进行乘法或除法运算。
科学记数法
将大数表示为$a times 10^{n}$的形式，便于计算和比较大小。
非零实数的0次幂为1
同底数幂的除法法则
高中数学指数运算与指数函数课件
(2)f (x)＝2x2＋x＋1－1 2＝1－2x＋2 1， 因为 2x＋1>1，所以 0<2x＋2 1<2， 即－2<－2x＋2 1<0， 所以－1<1－2x＋2 1<1。 所以 f (x)的值域为(－1,1)。
(3)g(x)为偶函数。 由题意知 g(x)＝f xx＝22xx＋ －11·x， 易知函数 g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， g(－x)＝(－x)·22－ －xx＋ －11＝(－x)·11－＋22xx＝x·22xx－＋11＝g(x)， 所以函数 g(x)为偶函数。
(2)若 f (x)为奇函数，则 f (0)＝0，即 a－20＋2 1＝0，解得 a＝1。 此时 f (－x)＝1－2－x2＋1＝1－12＋·22xx＝－1－2x＋2 1＝－f (x)，故当 a＝1 时，函数 f (x) 为奇函数。 (3)由(2)知 f (x)＝1－2x＋2 1，因为 2x＋1>1，所以 0<2x＋1 1<1， 所以 0<2x＋2 1<2，所以－2<－2x＋2 1<0，所以－1<1－2x＋2 1<1，即－1<f (x)<1，所以 f (x)的值域为(－1,1)。
【解析】 因为 2x>0，所以 2x＋1>1，即|y|>1，又因为曲线|y|＝2x＋1 与 直线 y＝b 没有公共点，所以－1≤b≤1。
【答案】 [－1,1]
方法小结 (1)处理函数图象问题的策略 ①抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)。 ②巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)。 ③利用函数的性质：奇偶性与单调性。
23－x 的图象。
答案 A
[解析] (2)
由题意得[f(x)－2]·[f(x)－a]＝0，所以 f(x)＝2 或 f(x)＝a， 所以|3x－1|＋1＝2 或|3x－1|＋1＝a，所以|3x－1|＝1 或|3x－1|＝a－1， |3x－1|＝1 有一个根，所以方程|3x－1|＝a－1 有两个不同的实根， 函数 y＝|3x－1|的图象如图所示，所以 0<a－1<1，所以 1<a<2.
北师大版高中数学课件必修第1册第三章 指数运算与指数函数
2.
3.1 指数函数的概念＋ 3.2 指数函数的图象和性质
刷基础
3．[江苏镇江 2021 高一期中]已知指数函数 f(x)的图象过点(－2，4)，则 f(6)＝( B )
3
1
4
A.
B.
C.
4
64
3
1 D.
12
解析
1
设
f(x)＝ax(a>0
且
a≠1)，∴f(－2)＝a－2＝4，解得
1 a＝ ，∴f(6)＝
3.1 指数函数的概念＋ 3.2 指数函数的图象和性质
刷基础
6．[宁夏大学附属中学 2021 高一期中]已知 f(x)＝ka－x(k，a 为常数，a>0 且 a≠1)的图象过点 A(0，1)，B(－ 3，8)． (1)求 f(x)的解析式；
f（x）－1
(2)若函数 g(x)＝
，试判断 g(x)的奇偶性并给出证明．
10
解析
103x－2y＝103x＝（10x）3＝33＝27，故选 C. 102y （10y）2 42 16
§2 指数幂的运算性质
刷能力
5．已知 ab＝－5，则 a
A．2 5 C．－2 5
解析
b － ＋b
a
a － 的值是( B )
b
B．0
D．±2 5
由题意知 ab<0，a 故选 B.
b － ＋b
a
a － ＝a
2
6＝
1
.故选
B.
2
64
3.1 指数函数的概念＋ 3.2 指数函数的图象和性质
刷基础
4．[福建福州第三中学 2021 高一期中]以下关于函数 f(x)＝2x 的说法正确的是( D ) A．f(mn)＝f(m)f(n) B．f(mn)＝f(m)＋f(n) C．f(m＋n)＝f(m)＋f(n) D．f(m)f(n)＝f(m＋n)
数学人教A版必修第一册4.2.2指数函数的图像与性质课件
轴且与轴无交点.
(2)所有图像都过(0,1)
之势;y =
1 x
和y
2
=
1 x
呈下降之势.
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
y=
不同点：
y = 2x 和y = 3x 的图像从左到右呈上升
()
1
3
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
思考2：你认为是什么原因造成y = 2x 和y = 3x 的图像从
的大小是否有关？如有，底数的大小是如何影响函
数图像在第一象限内的分布呢？
y=
()
1
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
底数越大，其图像越在上方
y=
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
探
究
新
知
思考4:你能根据对上述四个函数图像及其性质的分
析，填写下表吗？
0<a<1
图像
y
y
4
4
3
3
2
2
1
1
–2 –1 O 1
(2)判断该函数的奇偶性和单调性．
1
解：(1)根据题意，函数 = (2)|| + 的图象过原点，则
有0 = + ，则 = −，
又由 () 的图象无限接近直线 = −2 但又不与该直线相交，
则 = 2，又由 + = 0，则 = −2，
(2)所有图像都过(0,1)
之势;y =
1 x
和y
2
=
1 x
呈下降之势.
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
y=
不同点：
y = 2x 和y = 3x 的图像从左到右呈上升
()
1
3
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
思考2：你认为是什么原因造成y = 2x 和y = 3x 的图像从
的大小是否有关？如有，底数的大小是如何影响函
数图像在第一象限内的分布呢？
y=
()
1
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
底数越大，其图像越在上方
y=
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
探
究
新
知
思考4:你能根据对上述四个函数图像及其性质的分
析，填写下表吗？
0<a<1
图像
y
y
4
4
3
3
2
2
1
1
–2 –1 O 1
(2)判断该函数的奇偶性和单调性．
1
解：(1)根据题意，函数 = (2)|| + 的图象过原点，则
有0 = + ，则 = −，
又由 () 的图象无限接近直线 = −2 但又不与该直线相交，
则 = 2，又由 + = 0，则 = −2，
4.2.1 指数函数的概念 4.2.2 指数函数的图象和性质 课件(20张)
4.2 指数函数
4.2.1 指数函数的概念 4.2.2 指数函数的图象和性质
1.理解指数函数的概念. 2.探索指数函数的单调性与图象的特殊点,并掌握指数函数图象的性质. 3.体会直观想象的过程,加强数学抽象、数学运算素养的培养.
指数函数 一般地,函数① y=ax(a>0,且a≠1) 叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义 域是② R .
解下列方程:
(1)81×32x=
1 9
x2
;(2)22x+2+3×2x-1=0.
思路点拨
(1)两边化为同底数幂 利用指数相等求解.
(2)令2x=t(t>0),将原方程化为4t2+3t-1=0 求出t的值
解析
(1)∵81×32x=
1 9
x
2
,∴32x+4=3-2(x+2),
∴2x+4=-2(x+2),解得x=-2.
与指数函数有关的复合函数的定义域、值域问题
大家对“水痘”应该不陌生,它与其他的传染病一样,有一定的潜伏期,这段时 间里病原体在机体内不断地繁殖.病原体的繁殖方式有很多种,分裂就是其中的一 种.我们来看某种球菌的分裂过程:由1个分裂成2个,2个分裂成4个,4个分裂成8个, …… 问题 1.2个这样的球菌分裂x次后,得到的球菌的个数y与分裂次数x的关系式是什么? 提示:y=2x+1. 2.上述求出的关系式中x的范围是什么? 函数的值域是什么? 提示:x∈N*;值域是{22,23,24,…}.
比较指数幂大小
1.01365 37.8, 0.99365 0.03,
1.02365 1 377.4, 0.98365 0.000 6.
问题 1.上面的式子告诉我们一个什么道理? 提示:积跬步以致千里,积怠惰以致深渊. 2.如果不计算出结果,如何比较上式中各指数幂的大小? 提示:利用函数单调性进行比较.
4.2.1 指数函数的概念 4.2.2 指数函数的图象和性质
1.理解指数函数的概念. 2.探索指数函数的单调性与图象的特殊点,并掌握指数函数图象的性质. 3.体会直观想象的过程,加强数学抽象、数学运算素养的培养.
指数函数 一般地,函数① y=ax(a>0,且a≠1) 叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义 域是② R .
解下列方程:
(1)81×32x=
1 9
x2
;(2)22x+2+3×2x-1=0.
思路点拨
(1)两边化为同底数幂 利用指数相等求解.
(2)令2x=t(t>0),将原方程化为4t2+3t-1=0 求出t的值
解析
(1)∵81×32x=
1 9
x
2
,∴32x+4=3-2(x+2),
∴2x+4=-2(x+2),解得x=-2.
与指数函数有关的复合函数的定义域、值域问题
大家对“水痘”应该不陌生,它与其他的传染病一样,有一定的潜伏期,这段时 间里病原体在机体内不断地繁殖.病原体的繁殖方式有很多种,分裂就是其中的一 种.我们来看某种球菌的分裂过程:由1个分裂成2个,2个分裂成4个,4个分裂成8个, …… 问题 1.2个这样的球菌分裂x次后,得到的球菌的个数y与分裂次数x的关系式是什么? 提示:y=2x+1. 2.上述求出的关系式中x的范围是什么? 函数的值域是什么? 提示:x∈N*;值域是{22,23,24,…}.
比较指数幂大小
1.01365 37.8, 0.99365 0.03,
1.02365 1 377.4, 0.98365 0.000 6.
问题 1.上面的式子告诉我们一个什么道理? 提示:积跬步以致千里,积怠惰以致深渊. 2.如果不计算出结果,如何比较上式中各指数幂的大小? 提示:利用函数单调性进行比较.
3.4指数与指数函数课件高三数学一轮复习
所以当0<b<2时,两函数图象有两个交点,从而函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点. 所以b的取值范围是(0,2).
考点三指数函数的性质的应用 考情提示 指数函数的性质及应用是高考的命题热点,多以选择题或填空题的形式呈现,重 点考查比较大小、解方程或不等式、求值域等问题,难度中档或以下.
解题技法
第三章 函数及其应用
第四节 指数与指数函数
必备知识·逐点夯实 核心考点·分类突破
【课标解读】 【课程标准】 1.了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质. 2.了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念. 3.会画出具体指数函数的图象,理解指数函数的单调性与特殊点. 【核心素养】 数学抽象、逻辑推理、数学运算.
(0,1)∪(1,+∞)
核心考点·分类突破
1
-10y
47
解题技法 指数幂的运算
(1)运算顺序:有括号先算括号内的,无括号先进行指数的乘方、开方,再乘除后加 减,底数是负数的先确定符号. (2)运算基本原则:①化负指数为正指数;②化根式为分数指数幂;③化小数为分数, 化带分数为假分数.
由图象知,其在(-∞,0]上单调递减,所以实数k的取值范围为(-∞,0].
解题技法 有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象,一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过这些点,若 不满足则排除; (2)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、 伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论; (3)有关指数方程、不等式问题的求解,往往是利用相应的指数型函数图象,数形结合求 解; (4)根据指数函数图象判断底数大小的问题,可以通过直线x=1与图象的交点进行判断.
考点三指数函数的性质的应用 考情提示 指数函数的性质及应用是高考的命题热点,多以选择题或填空题的形式呈现,重 点考查比较大小、解方程或不等式、求值域等问题,难度中档或以下.
解题技法
第三章 函数及其应用
第四节 指数与指数函数
必备知识·逐点夯实 核心考点·分类突破
【课标解读】 【课程标准】 1.了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质. 2.了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念. 3.会画出具体指数函数的图象,理解指数函数的单调性与特殊点. 【核心素养】 数学抽象、逻辑推理、数学运算.
(0,1)∪(1,+∞)
核心考点·分类突破
1
-10y
47
解题技法 指数幂的运算
(1)运算顺序:有括号先算括号内的,无括号先进行指数的乘方、开方,再乘除后加 减,底数是负数的先确定符号. (2)运算基本原则:①化负指数为正指数;②化根式为分数指数幂;③化小数为分数, 化带分数为假分数.
由图象知,其在(-∞,0]上单调递减,所以实数k的取值范围为(-∞,0].
解题技法 有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象,一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过这些点,若 不满足则排除; (2)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、 伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论; (3)有关指数方程、不等式问题的求解,往往是利用相应的指数型函数图象,数形结合求 解; (4)根据指数函数图象判断底数大小的问题,可以通过直线x=1与图象的交点进行判断.
高三数学总复习PPT课件-指数与指数函数
y=ax
a>1
图象
定义域 (-∞,+∞) 值域 (0, +∞)
第7页
0<a<1
性质
当x>0时,y>1;
当x<0时,0<y<1
在(-∞,+∞)上是 增函数
过定点(0,1) 当x>0时,0<y<1; 当x<0时,y>1 在(-∞,+∞)上是 减函数
第8页
考点训练
1.若f x ex ex , g(x) ex ex ,
迹是图中的( B )
A.线段BC和OC
B.线段AB和BC
C.线段AB和OA
D.线段OA和OC
解析:据题意当a=-2,0≤b≤2时,函数的值域符合条件,其轨迹为 图中线段AB,当-2≤a≤0,b=2时,函数值域符合条件,此时其 轨迹为图中线段BC,故选B.
第14页
典例研习:
题型一 指数函数的图象
解题准备:指数函数图象的特点 (1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对 位置与底数大小的关系如图所示,则0<c<d<1<a<b. 在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小; 在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小; 即无论在y轴的左侧还是右侧,底数随逆时针方向变大.
2指数函数yax与y1 ax(a0且a1)
的图象关于y轴对称 .
第15页
【.
典
例
2】
已
知
函
数
y
1 2
|x 2|
,
1作 出 图 象 ;
2 指 出 该 函 数 的 单 调 递 增 区 间;
3求值域.
[分析]本题要考虑去绝对值符号,把函数解析式写成分段函 数的形式,再作出图象,然后根据图象寻求其单调递增区间 和值域.
2024届新高考一轮总复习人教版 第二章 第5节 指数与指数函数 课件(40张)
分数指数幂 负分数指数幂
1 规定 a－mn＝ 1m＝__n_a_m__(a>0，m，n∈N*，n>1)
an
0 的分数指数幂 0 的正分数指数幂等于_0__，0 的负分数指数幂没有意义
4.有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝__a_r＋__s __(a>0，r，s∈Q). (2)(ar)s＝__a_r_s _(a>0，r，s∈Q). (3)(ab)r＝__a_rb_r__(a>0，b>0，r∈Q). 5．指数函数定义 一般地，函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，定义域是 _R___．
在(－∞，＋∞)上是_减__函__数___
[必记结论] 指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx 的图象，底数 a，b，c，d 与 1 之间的大小关系为 c>d>1>a>b.
由此我们可得到以下规律：在 y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
第二章 函 数
[课标解读] 1.了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 2.了解指数函数 的实际意义，理解指数函数的概念． 3.能画具体指数函数的图象，探索并理解指数函 数的单调性与特殊点．
备考第 1 步——梳理教材基础，落实必备知识 1．根式及相关概念 (1)a 的 n 次方根定义 如果_x_n_＝__a__，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1，且 n∈N*. (2)根式：式子n a叫做根式，这里 n 叫做_根__指__数___，a 叫做_被__开__方__数___．
备考第 2 步——突破核心考点，提升关键能力 考点 1 指数幂的运算 【考点集训】
北师版高中数学必修第一册精品课件 复习课 第3课时 指数运算与指数函数
)
解析:∵a=40.9=(22)0.9=21.8,
b=(23)0.48=21.44,c=
-.
=(2-1)-1.5=21.5,
且指数函数y=2x在R上是增函数,
∴21.8>21.5>21.44,因此,a>c>b,故选D.
答案:D
比较指数式大小的策略:
(1)能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小;
(3)若函数f(x)是指数函数,且f(1)>1,则f(x)是增函数.( √ )
(4)若函数g(x)=af(x)(a>0,且a≠1),则g(x)与f(x)的定义域与值域
相同.( × )
(5)函数y=4-|x|的单调递增区间是(0,+∞),单调递减区间是(-∞,0).
( × )
(6)若a>1,则当f(x)有最大值时,g(x)=af(x)也有最大值.( √ )
第3课时
指数运算与指数函数
知 识 网 络
要 点 梳 理
专题归纳·核心突破
指数概念
· = + ( > )
指数运算 ( ) = ( > )
() = ( > , > )
指数函数 =
( > ,且 ≠ )
指数函数概念
指数函数图象
- -
解析:∵f(-x)= =-f(x),
∴f(x)为奇函数,排除 A,令 x=10,则
排除 C,D,故选 B.
)
-
f(10)=
>1,
答案:B
考点二
指数函数的性质及应用
f(x)=
,则对任意实数
指数函数的性质与图像ppt课件
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教案下载：./j ia oa n/
手抄报：./shouchaobao/
P P T课件：./ke j ia n/
语文课件：./kejian/y uwen/ 数学课件：./kejian/shuxue/
英语课件：./kejian/y ingy u/ 美术课件：./kejian/meishu/
化学课件：./kejian/huaxue/ 生物课件：./kejian/shengwu/
地理课件：./ke j ia n/dili/
历史课件：./ke j ia n/lishi/
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
■名师点拨 底数 a 与 1 的大小关系决定了指数函数图像的“升”与“降”．当 a＞1 时，指数函数的图像是“上升”的；当 0＜a＜1 时，指数函数 的图像是“下降”的．
科学课件：./kejian/kexue/ 物理课件：./kejian/wuli/
化学课件：./kejian/huaxue/ 生物课件：./kejian/shengwu/
地理课件：./ke j ia n/dili/
历史课件：./ke j确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝x2 是指数函数．(× )
栏目 导引
⑤指数函数的图像．
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2024版高一数学指数函数及其性质PPT课件图文
学习方法建议
深入理解指数函数的概念
掌握指数函数的定义、图像和性质， 理解底数、指数和幂的含义。
多做练习题
通过大量的练习题，加深对指数函数 的理解和掌握，提高解题能力。
系统学习指数函数的运算
学习指数函数的四则运算，掌握运算 规则和技巧。
解题技巧分享
换元法
通过将指数函数中的变量 进行换元，简化问题，使 问题更容易解决。
指数函数在数学模 型中的应用举例
在经济学中，指数函数被用来描 述复利、折旧等问题；在物理学 中，指数函数被用来描述放射性 元素的衰变等问题；在工程学中， 指数函数被用来描述材料的疲劳 寿命等问题。
数学模型在解决实际问题中的价值
提高解决问题的效率
揭示问题的本质和规律
通过建立数学模型，可以将实际问题转化为 数学问题，利用数学方法和技术进行求解， 从而提高解决问题的效率。
05
指数函数与数学模型
数学模型简介
01
数学模型的定义
数学模型是描述客观事物或它的本质和本质的一系列数学形 式。它或能利用现有的数学形式如数学公式、数学方程、数 学图形等加以表述，或能抽象出数学的基本概念和基本结构。
02
数学模型的分类
根据研究目的，可以将数学模型分为描述性模型和预测性模 型。
03
数学模型的作用
指数方程求解
通过对方程两边取相同的底数的对数或者 利用换元法等方法求解指数方程。
指数函数性质应用
利用指数函数的单调性、奇偶性、周期性 等性质解决相关问题。
03
指数函数性质探究
单调性
01
指数函数的单调性取决于底数a的 大小
02
当a>1时，指数函数在整个定义 域上是增函数；
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答案：43或23
三、解题技巧 1．比较一组幂式、对数式形式的数的大小时，一般先区 分正、负(与0比)；正数再与1比较，找出大于1的和小于1 的；底数相同的幂式，用指数函数的单调性；底数相同的对 数式用对数函数的单调性；指数相同的幂式用幂函数的单调 性或指数函数的图象；真数相同的对数式用对数函数的图 象；底数不同、指数也不同的幂式或底数不同、真数也不同 的对数式可引入中间量转化或化成同底，另外要注意指对互 化的灵活运用．
3 2
3 <4
3 2
，∴233<34
3 2
.
二、分类讨论的思想 [例2] 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小0<a<1时，f(x)＝ax在[1,2]上单调递减， ∴a－a2＝a3，∴a＝23； a>1时，f(x)＝ax单调递增，∴a2－a＝a3， ∴a＝43.
an＝
a |a|
，n为奇数， ，n为偶数.
(3)分数指数幂
m
an
＝n
am ；a －
m n
＝
1
m
＝
1
.(a>0，m，n∈N，且
a n n am
n>1) (4)指数幂的运算性质
ar·as＝ar＋s，(ar)s＝ar·s，
(a·b)r＝ar·br.(a>0，b>0，r，s∈R)
2．指数函数的图象和性质
第二章 函 数
第二章
第四节 指数与指数函数
基础梳理导学
3 考点典例讲练
思想方法技巧
4 课堂巩固训练
5 课后强化作业
基础梳理导学
重点难点 引领方向 重点：1.指数幂的运算法则． 2．指数函数的概念、图象与性质． 难点：1.根式与分数指数幂的运算． 2．a>1与0<a<1时，指数函数图象、性质的区别． 3．指数函数图象与性质的应用和简单指数方程、不等式 的求解．
解析：原式＝[(287)23
－(499)21
2
＋1253
1
÷502
×(1560)12
]÷(0.54)
1 4
＝
[49－73＋25×
1× 50
450]÷12＝29.
答案：29
指数函数的图象 [例2] (文)(2011·杭州月考)函数y＝a|x|(a>1)的图象是 ()
解析：y＝a|x|＝
ax a－x
解析：由a⊗b＝a b
a≤b， a>b， 得
f(x)＝1⊗2x＝2x x≤0， 1 x>0.
答案：A
指数函数的单调性与值域
[例3] 已知log 3 b<log3 a<log3 c，则( )
2
2
2
A．(12)b>(12)a>(12)c
B．(12)a>(12)b>(12)c
C．(12)c>(12)b>(12)a
D．(12)c>(12)a>(12)b
解析：由y＝loga(x＋1)的图象知，函数y＝loga(x＋1)为减
函数，∴0<a<1，∴y＝a1－x＝(
1 a
)x－1是增函数，且当x＝1时，y
＝1，x＝0时，y＝a<1，故选A.
答案：A
(2011·济南模拟)定义运算a⊗b＝
a
a≤b ，则函数f(x)＝1
b a>b
⊗2x的图象大致为( )
x≥0 x<0
，当x≥0时，与指数函数y
＝ax(a>1)的图象相同；当x<0时，y＝a－x与y＝ax的图象关于y
轴对称，由此判断B正确．
答案：B
点评：一般地，非基本初等函数的图象与性质的讨论， 先化归为基本初等函数来解决．
(理)已知函数y＝loga(x＋1)的图象如图所示，则函数y＝ a1－x的图象大致是( )
2．在指数里含有未知数的方程的解法． (1)形如af(x)＝ag(x)(a>0，a≠1)的方程，化为f(x)＝g(x)求 解； (2)形如af(x)＝bg(x)(a>0，b>0，a≠1，b≠1)的方程，两边 取对数； (3)形如a2x＋b·ax＋c＝0的方程，用换元法令ax＝t化为二 次方程求解．
点评：(1)有理指数幂的运算，一般是小数化成分数，根 式化成分数指数幂进行．
(2)对于条件求值问题，一般先把条件式或待求式化简变 形，找出已知与未知的联系后代入求值．
计算：[(3
3 8
)
2 －3
－(5
4 9
)0.5＋(0.008)
2 －3
÷(0.02)
1 －2
×(0.32)
1
2 ]÷0.06250.25＝________.
指数函数
定义
y＝ax(a>0，a≠1)
图象
指数函数
(1)定义域：R
(2)值域：(0，＋∞)
(3)过(0,1)点，即x＝0时，y＝1. 性 (4)当a>1时，在R上是增函数； 质 当0<a<1时，在R上是减函数．
x>0
x<0
a>1
y>1
0<y<1
0<a<1
0<y<1
y>1
疑难误区 点拨警示 1．忽视底数a>1与0<a<1时性质的区别及函数的值域致 误．解题的每一步要等价转化． 2．比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相 等．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数 函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1 等的运用．指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方 向底数依次变大)． 3．用换元法解题时，要注意“新元”的取值范围．
夯实基础 稳固根基
1．整数指数幂的运算性质 (1)am·an＝ am＋n ，(am)n＝ am·n ， (a·b)n＝ an·bn .(m、n∈Z)
(2)xn＝a，(n∈N，n>1)⇔x＝n a，n为奇数， x＝±n aa>0，n为偶数.
(n a)n＝ a ； a2＝ |a| ；
n
思想方法技巧
一、数形结合的思想 有关幂值大小的比较，指数型函数的问题，借助于图象 来求解常能起到事半功倍的效果．
[例1]
比较233与34
3 2
的大小．
解析：在同一直角坐标系中作出函数y＝49x与y＝34
x的图象，考察x＝32时y值大小，
∵49<34，∴49
考点典例讲练
指数幂的运算
[例1] (1)化简： a－4b23 ab2(a>0，b>0)；
1
(2)已知a2
＋a－12
＝3，求a＋a－1，a2＋a－2的值．
解析：
1
1
(2)(a2 ＋a－2 )2＝a＋2＋a－1＝9，
所以a＋a－1＝7，
(a＋a－1)2＝a2＋2＋a－2＝49，
所以a2＋a－2＝47.
三、解题技巧 1．比较一组幂式、对数式形式的数的大小时，一般先区 分正、负(与0比)；正数再与1比较，找出大于1的和小于1 的；底数相同的幂式，用指数函数的单调性；底数相同的对 数式用对数函数的单调性；指数相同的幂式用幂函数的单调 性或指数函数的图象；真数相同的对数式用对数函数的图 象；底数不同、指数也不同的幂式或底数不同、真数也不同 的对数式可引入中间量转化或化成同底，另外要注意指对互 化的灵活运用．
3 2
3 <4
3 2
，∴233<34
3 2
.
二、分类讨论的思想 [例2] 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小0<a<1时，f(x)＝ax在[1,2]上单调递减， ∴a－a2＝a3，∴a＝23； a>1时，f(x)＝ax单调递增，∴a2－a＝a3， ∴a＝43.
an＝
a |a|
，n为奇数， ，n为偶数.
(3)分数指数幂
m
an
＝n
am ；a －
m n
＝
1
m
＝
1
.(a>0，m，n∈N，且
a n n am
n>1) (4)指数幂的运算性质
ar·as＝ar＋s，(ar)s＝ar·s，
(a·b)r＝ar·br.(a>0，b>0，r，s∈R)
2．指数函数的图象和性质
第二章 函 数
第二章
第四节 指数与指数函数
基础梳理导学
3 考点典例讲练
思想方法技巧
4 课堂巩固训练
5 课后强化作业
基础梳理导学
重点难点 引领方向 重点：1.指数幂的运算法则． 2．指数函数的概念、图象与性质． 难点：1.根式与分数指数幂的运算． 2．a>1与0<a<1时，指数函数图象、性质的区别． 3．指数函数图象与性质的应用和简单指数方程、不等式 的求解．
解析：原式＝[(287)23
－(499)21
2
＋1253
1
÷502
×(1560)12
]÷(0.54)
1 4
＝
[49－73＋25×
1× 50
450]÷12＝29.
答案：29
指数函数的图象 [例2] (文)(2011·杭州月考)函数y＝a|x|(a>1)的图象是 ()
解析：y＝a|x|＝
ax a－x
解析：由a⊗b＝a b
a≤b， a>b， 得
f(x)＝1⊗2x＝2x x≤0， 1 x>0.
答案：A
指数函数的单调性与值域
[例3] 已知log 3 b<log3 a<log3 c，则( )
2
2
2
A．(12)b>(12)a>(12)c
B．(12)a>(12)b>(12)c
C．(12)c>(12)b>(12)a
D．(12)c>(12)a>(12)b
解析：由y＝loga(x＋1)的图象知，函数y＝loga(x＋1)为减
函数，∴0<a<1，∴y＝a1－x＝(
1 a
)x－1是增函数，且当x＝1时，y
＝1，x＝0时，y＝a<1，故选A.
答案：A
(2011·济南模拟)定义运算a⊗b＝
a
a≤b ，则函数f(x)＝1
b a>b
⊗2x的图象大致为( )
x≥0 x<0
，当x≥0时，与指数函数y
＝ax(a>1)的图象相同；当x<0时，y＝a－x与y＝ax的图象关于y
轴对称，由此判断B正确．
答案：B
点评：一般地，非基本初等函数的图象与性质的讨论， 先化归为基本初等函数来解决．
(理)已知函数y＝loga(x＋1)的图象如图所示，则函数y＝ a1－x的图象大致是( )
2．在指数里含有未知数的方程的解法． (1)形如af(x)＝ag(x)(a>0，a≠1)的方程，化为f(x)＝g(x)求 解； (2)形如af(x)＝bg(x)(a>0，b>0，a≠1，b≠1)的方程，两边 取对数； (3)形如a2x＋b·ax＋c＝0的方程，用换元法令ax＝t化为二 次方程求解．
点评：(1)有理指数幂的运算，一般是小数化成分数，根 式化成分数指数幂进行．
(2)对于条件求值问题，一般先把条件式或待求式化简变 形，找出已知与未知的联系后代入求值．
计算：[(3
3 8
)
2 －3
－(5
4 9
)0.5＋(0.008)
2 －3
÷(0.02)
1 －2
×(0.32)
1
2 ]÷0.06250.25＝________.
指数函数
定义
y＝ax(a>0，a≠1)
图象
指数函数
(1)定义域：R
(2)值域：(0，＋∞)
(3)过(0,1)点，即x＝0时，y＝1. 性 (4)当a>1时，在R上是增函数； 质 当0<a<1时，在R上是减函数．
x>0
x<0
a>1
y>1
0<y<1
0<a<1
0<y<1
y>1
疑难误区 点拨警示 1．忽视底数a>1与0<a<1时性质的区别及函数的值域致 误．解题的每一步要等价转化． 2．比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相 等．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数 函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1 等的运用．指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方 向底数依次变大)． 3．用换元法解题时，要注意“新元”的取值范围．
夯实基础 稳固根基
1．整数指数幂的运算性质 (1)am·an＝ am＋n ，(am)n＝ am·n ， (a·b)n＝ an·bn .(m、n∈Z)
(2)xn＝a，(n∈N，n>1)⇔x＝n a，n为奇数， x＝±n aa>0，n为偶数.
(n a)n＝ a ； a2＝ |a| ；
n
思想方法技巧
一、数形结合的思想 有关幂值大小的比较，指数型函数的问题，借助于图象 来求解常能起到事半功倍的效果．
[例1]
比较233与34
3 2
的大小．
解析：在同一直角坐标系中作出函数y＝49x与y＝34
x的图象，考察x＝32时y值大小，
∵49<34，∴49
考点典例讲练
指数幂的运算
[例1] (1)化简： a－4b23 ab2(a>0，b>0)；
1
(2)已知a2
＋a－12
＝3，求a＋a－1，a2＋a－2的值．
解析：
1
1
(2)(a2 ＋a－2 )2＝a＋2＋a－1＝9，
所以a＋a－1＝7，
(a＋a－1)2＝a2＋2＋a－2＝49，
所以a2＋a－2＝47.