2013年高考真题——文科数学(天津卷)解析版

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

文 科 数 学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.

祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷

注意事项：

1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.

2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分. 参考公式:

·如果事件A , B 互斥, 那么 )()()(B P A P A P B ⋃=+

·棱柱的体积公式V = Sh ，

其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件A , B 相互独立, 那么 )()(()B P A A P P B =

·球的体积公式34

.3

V R π=

其中R 表示球的半径.

一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, B = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] 【答案】D

【解析】因为{22}A x x =-≤≤,所以{21}B A

x x =-≤≤，选D.

(2) 设变量x , y 满足约束条件360,

20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪

⎨⎪⎩

则目标函数2z y x =-的最小值为

(A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2

【答案】A

【解析】由2z y x =-得2y x z =+。作出可行域如图

，平移直线

2y x z =+，由图象可知当直线2y x z =+经过点D 时，直线2y x z =+的截距最小，此时z

最小，由2030x y y --=-=⎧⎨⎩，得5

3x y ==⎧⎨⎩

，即(5,3)D 代入2z y x =-得3257z =-⨯=-，选A.

(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输

出n 的值为

(A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4

【答案】D

【解析】第一次循环，1,2S n =-=；第二次循环，21(1)21,3S n =-+-⨯==；第三次循环，31(1)32,4S n =+-⨯=-=；第四次循环，42(1)42S =-+-⨯=，满足条件输出4n =，选D.

(4) 设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【答案】A

【解析】若2()0a b a -<，则0a b -<，即a b <。若0a b =<时2()0a b a -=，所以2()0a b a -<是a b <的充分而不必要条件，选A.

(5) 已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a = (A) 1

2-

(B) 1

(C) 2

(D)

12

【答案】C

【解析】设直线斜率为k ，则直线方程为2(2)y k x -=-，即220kx y k -+-=，圆心(1,0)

到直线的距离

22251

k k k +-=+，2251

k k -=+，解得1

2

k =-

。因为直线与直线10ax y -+=垂直，所以11

2

k a =-

=-， 即2a =,选C. (6) 函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上的最小值是

(A) 1- (B) 2

(C)

2

(D) 0

【答案】B

【解析】当0,2x π⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

时，02x π≤≤，32444x πππ-≤-≤，所以当244x ππ-=-时，函数

()sin 24f x x π⎛

⎫=- ⎪⎝⎭

的最小值为2sin()4y π=-=，选B.

(7) 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212

(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是

(A) [1,2] (B) 10,2⎛⎤

⎥⎝⎦

(C) 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦

(D) (0,2]

【答案】C

【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且12

2log log a a =-，所以

222122

(log )(log )(log )(log )2(log )2(1)f a f a f a f a f a f +=+-=≤，即2(log )(1)f a f ≤，因为函

数在区间[0,)+∞单调递增，所以2(log )(1)f a f ≤，即2log 1a ≤，所以21log 1a -≤≤，解得

122a ≤≤，即a 的取值范围是1,22⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，选C. (8) 设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 (A) ()0()g a f b << (B) ()0()f b g a <<

(C) 0()()g a f b << (D) ()()0f b g a <<

【答案】A

【解析】由220,()ln (30)x x g x x e x f x +-==+=-=得22,ln 3x x x e x =-+=-+，分别令

122(),()x f x e f x x =-+=，221()ln ,()3g x x g x x ==-+。在坐标系中分别作出函数122(),()x f x e f x x =-+=，221()ln ,()3g x x g x x ==-+的图象，由图象知01,12a b <<<<。

此时21()()g a g a <，所以()0g a <又。12()()f b f b >，所以()0f b >，即()0()g a f b <<，选A.