电磁学答案第2章

第二章 导体周围的静电场

2.1.1 证明： 对于两个无限大带电平板导体来说：

（1）相向的两面（附图中2和3）上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；

（2）相背的两面（附图中1和4）上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同；

证：(1) 选一个侧面垂直于带电板，端面分别在A,B 板内的封闭圆柱形高斯面，由高斯定理得：

S S E S E S d E S d E B A ∆+=∆+∆+•=•⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰0

32εσσ）（内

内侧

侧ϖϖϖϖ 侧侧S d E ϖϖ

Θ⊥ 0==内内R A E E

⎰⎰=•∴0S d E ϖ

ϖ 023=+σσ

23σσ-=即：

（2）在导体内任取一点P ，0=p E ϖ

Θ

0ˆ2ˆ2ˆ2ˆ20

40302034321=-++=+++=∴n n n n E E E E E p εσ

εσεσεσϖϖϖϖϖ 41σσ=∴

其中n

ˆ是垂直导体板向右的单位矢。 2.1.2两平行金属板分别带有等量的正负电荷,若两板的电位差为160伏特,两板的面积都是平方厘米,两板相距毫米,略去边缘效应,求两板间的电场强度和各板上所带的电量(设其中一板接地).

解：设A 板带负电，其电量是-q ，B 板带正电，其电量是+q ，且A 板接地。

两板间的电场强度： 米）伏/(1010

6.11605

3

=⨯==-d V E 又

因

为

εσ

=

E ）米库2751203/(1085.8101085.8--⨯=⨯⨯==∴E εσ

根据上题结论：3241σσσσ-==； 又由于A 板接地，041==∴σσ

）米（库27

32/1085.8-⨯-=-=∴σσ

库）板所带电量(102.3106.31085.8:10472---⨯-=⨯⨯⨯-==-∴S q A σ

B 板所带电量： 库）(102.3106.3.1085.810473---⨯=⨯⨯⨯==S q σ 2.1.3三块平行放置的金属板A,B,

C 其面积均为S,AB 间距离为x,BC 间距离为d,设d 极小,金属板可视为无限大平面,忽略边缘效应与A 板的厚度,当B,C 接地(如图),且A 导体所带电荷为Q 时,试求: (1)B,C 板上的感应电荷; (2)空间的场强及电位分布. 解：（1）根据静电平衡时，导体中的场强为零，又由B,C 接地： ))((()(0

502

43615

43

2板的电位得由板的总电量得）

由A x d x A Q S -==+==-=-=∴εσεσσσσσσσσσ 解以上方程组得出：

Sd x d Q )(2--

=σ Sd x d Q )(3-=σ Sd Qx =4σ Sd

Qx

-=5σ B 板上感应电荷：

d

x d Q S Q B )

(2--

==σ C 板上的感应电荷：

d

Qx S Q c -==5σ (2)场强分布：

0=ⅠE ϖ AB Ⅱr Sd x d Q E ˆ)(0ε-=

ϖ AC Ⅲr Sd Qx

E ˆ0

ε=ϖ 0=ⅣE ϖ 电位分布：

;01=U 0=ⅣU )()

(0

r x Sd x d Q U Ⅱ--=

ε

)(r x d Sd Q U X

--=

︒

εⅢ 其中r 是场点到板A 的距离。

2.1.4 一个接地无限大导体平面前放置一半无限长均匀带电直线,使该带电线一端距导体平面距离为d,如图所示,若带电电线上线密度为η.试求:

(1)垂足处O 点的面电荷密度.

(2)求平面上距O 点为r 处的面电荷密度 解：（1）半无限长直带电线在O 电的场强：

i x dx

E d ˆ42⎰∞︒

-=πεηρ = -

i d

ˆ

4︒πεη 根据题意知：导体板左侧接地，没有面电荷，对导体板右侧面电荷以O 点为中心对称分布，由对称性知导体板上的电荷在导体内O 点产生的场强只有导体板的法线分量，设O 点的面密度为：i E ˆ

2︒

︒︒︒-

='εσσρ

由叠加原理知，导体板内任一点的场强由带电线与导体板的电荷所共同产生的，在静电平衡时，该场强为零。

即 -024=--︒

︒︒εσπεη

d ∴d

πησ2-

=︒ （2）半无限长直带电线在P 点的场强x 分量为：

2

12

2

2

32

2

2

3222

12

2

22)

(4)

(4)

(4)

()

(4cos r x r x xdx E r x xdx r x x r x dx dE dE d

X X +-

=+-=∴+-

=+•

+-

=-=︒∞

︒︒︒⎰πεηπεηπεηπεηα

同理，在静电平衡时，导体板内的场强为零。因而其x 分量与y 分量均为零。

在x 方向:

-2

1222

12

2

)

(202)

(4d r r x p p

+-

=∴=-

+-

︒

︒πη

σεσπεη

在y 方向，Y E 在导体内也为零。原因在于导体面上的电荷分布不均匀，这

些电荷在ｐ点所产生的场强与半无限长带电线在P 点的场强y 方向上恰好相抵。 2.1.5 半径为r 的 金属球与大地相连，在与球心相距d=2R 处有一点电荷q(>0),求球

上的感应电荷q '有多大（设其距离地面及其他物体可认为是很远的） 解∵金属球在静电平衡情况下是一个等位体，与地等电位，即U=0。球心处

的电位也为零。

根据叠加原理知道，球心上电位等于点电荷q 及球面上电荷在O 点的点位代数和：

电荷q 在求新出的点位： R

q U q ︒=

πε8；

球面上的 电荷在球心产生的点位： 设球面上某面元的电荷面密度为σ

R

q ds

R ds

U R ︒︒'=

•=⎰⎰

⎰⎰πεσπεσ44

由叠加原理得：

2

48q

q R

q R

q U U U R q -

='∴='+

=

+=︒︒πεπε

讨论：q '的大小与q 到球心的距离有关，当q 很接近球面时，即q 到球心的距离约为R 时，球面对点电荷q 所在处而言，可视为无限大平面，因而有q q ='.

2.1.6如图所示，半径为1R 的 导体球带电量q ，在它外面罩一同心的金属球壳，其内外壁的半径分别为32R R ⋅,已知13123,2R R R R ==,今在距球心为14R d =处放一电量为Q 的点电荷，并将球壳接地，试问：

（1）球壳带的总电量是多大