2013-01-2自然坐标系下的速度-加速度

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2

0
dv v 2 a n=a x i a y j a z k dt

瞬时曲率半径
大学物理
三、推广:一般平面曲线运动 运动中的加速度
an
v
2

dv a dt

0
2
a
力学中利用加速度与曲率半径的关系求曲线轨迹上各点的曲率半径。
a

a
大学物理
Key: c
大学物理
三、推广:一般平面曲线运动中的加速度
质点的轨迹可以看成是由无穷多个圆组合而成。 对圆周运动而言:曲率半径各点相同 R, 于是对曲线上任一点,研究该点的速度、加速度情况时, 仅需要将 R 换成 就得到一般曲线运动的加速度的正交分解式。
v an a dv t dt



以圆周运动为例:
v dv
d
dv d ( ) v dt dt
d
B

v
A
1 d d ds v n n n dt dt ds dt
dS d
d 1 ds
d

d 2
1
dv v a n0 dt
v0
x

an
a
y
g
大学物理
(2)
vx v0 , v y gt
v v x v y v0 g t
gt arctg v0
2 2 2 2 2
o
v0
x

an
a
y
2
g
2
dv gt a 2 dt v0 g 2 t 2
与速度同向
an g a
2
v0 g v0 g t
v2
2
2 an
v 2 dv dt
2
dv a2 dt
2

1 y
y x
2 x
3
2
大学物理
四、讨论几种特殊情况:
下面三种情况分别代表那一类运动?
1 . ,an=0, a 0, 2. =常量,an 0,a =0, 3. =常量,an 0,a 0,
2 2 2
与切向加速度垂直
大学物理
例题
一质点沿半径为R的圆周按规律
s v0t bt2 / 2 运动,
v0、b 都是正的常量。求:
( 1) t 时刻质点的总加速度的大小
(2) t 为何值时,总加速度的大小b (3)当总加速度大小为b时,质点沿圆周运 行了多少圈。
s
o
R
P
大学物理
解:先作图如右,t = 0 时,质点位于s = 0 的 p 点处。 在t 时刻,质点运动到位置 s 处。其速度大小为:
一、自然坐标系下的速度
s s(t t ) s(t ) r v lim t 0 t ds dt
z
s
p
r (t )
v
r
s
q
r (t t )
o
x
自然坐标系下的 速度表达式 大学物理
y
ds v v dt
讨论物理意义:
例、由楼窗口以水平初速度v0射出一发子弹,取枪口 为原点,沿v0为x轴,竖直向下为y轴,并取发射时 t=0.试求:
(1)子弹在任一时刻t的位置坐标及轨道方程; (2)子弹在t时刻的速度,切向加速度和法向加速度。 解:(1)
x v0 t 1 2 y gt 2
o
1 x2 g y 2 2 v0
大学物理
a a 0 an an n0
切向加速度、反映速度大小变化,
法向加速度、反映速度方向变化, an 0,a 0 变速直线运动;
a 0,an 0 为匀速率曲线运动(圆 周运动)
2 dv v a a an 0 n0 dt
a

2 2 2 a a a an dv dt v 2
加速度总是指向曲线的凹侧

an
2
a
大学物理
自然坐标系中总加速度为:
a a an
改变速度大小
大小 a
2 a an 2
a

加速度
方向
tan
(2)令a = b ,即
a (v0 bt) (bR)
2 2
R
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b
v0 t b
大学物理
(3)当a = b 时,t = v0/b ,质点历经的弧长为
s v0t bt /2 2 v0 /2b
2
它与圆周长之比即为圈数:
2 s v0 n 2R 4Rb
大学物理
v v
dv d a v dt dt
大学物理
讨论物理意义:
以圆周运动为例讨论上式中两个分项的物理意义:
dv d a v dt dt

难点:
d 的大小如何?方向如何 ? dt
大学物理
d dv a v(t ) dt dt
1
an a
a
n
an

i jk 与
两组单位矢量
o
大学物理
的区别是什么?
练习
1: 下列哪一种说法是正确的( ) (A)运动物体加速度越大,速度越快 (B)作直线运动的物体,加速度越来越小,速 度也越来越小 (C)切向加速度为正值时,质点运动加快 (D)法向加速度越大,质点运动的法向速度变 化越快
1. 变速直线运动 2. 匀速率圆周运动 3. 变速率圆周运动
大学物理
讨论
质点沿固定的圆形轨道, 若速率 v 均匀增加,at 、an、 a以及加速度与速度间的夹角中哪些量随时间变化?
an
v2 an R

at
a
an
2 t

a
变化
at
2 n
a a
变化
a
at
an tg at
变化
大学物理
均匀=不变
ds v v0 bt dt
s
o
R
大学物理
P
(1)t 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小:
d2s dv b aτ 2 dt dt 2 2 a v ( v bt ) n 0 R R
2 2 ( v bt ) ( bR ) 0 2 a aτ2 an R
大学物理
上册
v,a
自然坐标系
在运动轨道上任一点建立正交坐 标系 , 其一根坐标轴沿轨道切线 方向 , 正方向为运动的前进方向; 另一根沿轨道法线方向,正方向 指向轨道内凹的一侧。 切向单位矢量
n

n
大学物理
n


法向单位矢量
显然,轨迹上各点处,自然坐标轴的方位不断变化。
2
=1
大学物理
自然坐标系下加速度表达式:
2 dv v a n dt R
o
n
a
即圆周运动的加速度可分解为两个正交分量:
an a P
a dv dt
2 v an R
a 切向加速度,其大小表示质点速率变化的快慢 an 法向加速度,其大小反映质点速度方向变化的快慢
ds v v dt
ds v dt
1、 瞬时速率
v

n
S+
反映了质点任一时刻沿轨道运动的快 慢。
2、任何时刻质点的速度总沿轨道的 切线方向,速度只有切线分量而无法 向分量。

O

大学物理
二、 自然坐标系下的加速度
由加速度的定义有
d v a dt
由于质点速度的方向一定沿着轨迹的切向,因此, 自然坐标系中可将速度表示为:
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