数学问题解决模式教案

《数学问题解决模式》教案教学单位：数学与信息科学学院授课教师：

教学过程：

一、学习准备

问题1：将一个三角形的三个内角折成一个平角．

问题2：如图，,,,AC CE AB CE BC DE AD ⊥==

交BE 于F ，求AFB ∠的大小．

解答要求： 1、尽可能详细地记录解答问题1与问题2的思维活动过程，包括对题目信息的理解、思路的产生、所遇到的的策困难、突破困难略以及所想到的其他相关知识与方法．

2、试着将你解答问题1与问题2的思维活动过程划分为相对明确的几个阶段，并试着用学过的数学学习心理学知识解释这些阶段的特点．你认为解答问题1与问题2的关键是什么？

3、在解答问题1与问题2的过程中，你最大的收获是什么？你认为解答数学题有什么好处？

二、数学问题解决的相关理论简介

1、波利亚（1887-1985）解题理论

论著：《怎样解题》（1944）、《数学与合情推理》（1954）、《数学的发现》（1962-1965）． 主要观点：（1）解题是人类的一项基本活动；掌握数学就意味着解题．

（2）解题步骤：理解题目——拟定方案——执行方案——回顾．

2、罗增儒（1945-）的解题理论

论著：《数学解题学引论》（2001）．

主要观点：如果把解题比作打仗，那么解题者的兵力就是基础知识，兵器就是数学基本方法，而调动数学基本知识 、运用数学基本解题方法的数学解题学正是“兵法”．

三、对话性讲解

（一）探讨解答问题１与问题2的思维过程

1、问题１的思维过程

（1）由两个小组的代表介绍他们的思维过程．

（2）提供以下解答过程：

当拿到这个问题时，我第一反应是：想办法将三个角往一块凑．一开始，虽然将三个角凑到一块儿了，但三个角之间有的有重叠，有的之间有间隙，所以，这样的折法无法验证三角形内角和为180度．上述折法中存在重叠与间隙，我想如何消除这些问题呢？是不是因为折三角形的时候太随意了，没有遵守一定的原则才会导致如此结果？忽然想到三角形的任意一条边都可看作一个平角，如果以任意一边为基准来折叠，把这条边所对的角折下来看看．经反复尝试就把三个角拼成了一个平角，这时图形变成了矩形．折出矩形后，才发觉，A B C

D E F

第一条折痕是整个三角形的一条中位线，且在整个折的过程中具有相当强的对称性．

通过对话协商梳理出如下思维过程：

尝试——发现问题——发现线索——提出想法——检验——回顾或反思．

杜威（介绍）：感觉到问题的存在——对问题进行试验性的解释——提出各种解决办法——使假设更加精确——检验假设．

2、问题2解答的思维过程

（1）由两个小组的代表介绍他们的思维过程．

（2）提供以下解答过程：

解法1：设,AB CE a BC DE b ====，AFB θ∠=，则 ()()

2cos AD BE

AC CD BC CE AC BC CD CE AD BE AD BE

AD BE θ⋅+⋅+⋅+⋅====⋅⋅⋅ 因(0,)θπ∈，所以045θ=.

解法2：如图,分别作矩形ABGH 与BCEJ ，

使矩形ABGH 与BCEJ 全等，连结,BH HE ，

则，,,BH BE BH BE AD HE =⊥，从而， 045AFB HEB ∠=∠=. 结合学生提供的解法，提炼出如下思维活动过程：

将已知信息赋予某种具体的“身份”——寻找可能有用的关系——利用相关的知识——审视解题过程．

（二）数学问题解决模式

1、数学题解认知模式（喻平）

A B C

D E F H G J

2、数学题解认知模式案例

问题3：已知,,a b c R +∈，求证：333

3a b c abc ++≥．

解答过程： 思维过程： 3a a b b c c b c c a a b

⋅+⋅+⋅≥ 3333a b c abc ++≥是轮换对称式，联想到“商”． 令,,a b c x y z b c a ===，则 发现a b a c b c b a c a c b

与，与，与均互为倒数，想到换元法． 3x y z z x y

++≥ 发现=x y y z x z ⋅，想到消元法．

x y z z z x y y

++≥ 联想到x y z x +≥检验：等号成立的条件是2x yz =．

111z z y y =+-≥ 发现1z y y z ⋅=倒数，想到降幂，检验等号成立的条件是y z =．

2≥ 提取基本不等式． 所以，3x y z z x y

++≥． 解题回顾：（1）整个过程是一个降幂、消元的过程．

（2）对于z y

又找到了两种处理思路：

①配方法：21)13z y =+-≥

t =，则22z t y t =+，对此式求导即可． （3）整个过程共用了三次不等式222a b ab +≥，而每用一次就相当于一次配平方，因

此，产生如下配方法：

3332223(0a b c abc c c c ++-=++-≥．

（三）数学解题过程的本质

1、数学问题解决的含义

数学问题解决就是解题者在自己的长时记忆中提取解题图式用于新的问题情境的过

程．解题图式包括个体已有的与新问题有关的知识基础、解题策略和解题经验．数学解题学习就是学会数学地思维的一种探究性学习活动，具体地讲，就是学生在对有价值的数学题的探索性学习活动过程中，实作性的理解数学基本知识、形成数学基本技能、体会数学基本思想的运用、积累数学基本活动经验，以增进和提高数学地发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力．

2、数学解题过程的本质

（1）解决问题是一种学习的过程

加涅：问题解决是一种产生高级规则的学习过程．

涂荣豹：问题解决是一种有意义学习过程．

（2）解题学习是个体建构知识的过程

解题学习是一个积极主动的建构过程；是一种双向的建构过程（通化与顺应）；是一种多元的建构过程．

（3）解题学习的本质是社会建构

数学知识是一种社会建构，本质上一种社会约定．个人建构的数学知识被看做是“个人意义”与“文化意义”的一种融合．

（四）“问题表征”与“模式识别”的基本策略

1、问题表征

（1）问题表征的含义

问题表征是指根据问题所提供的信息和自身已有的知识经验，发现问题的结构，构建自己的问题空间的过程，也是把外部的物理刺激转变为内部心理符合的过程．问题表征质量的高低将会直接影响到问题的解决．

a b∈，求证：

问题4：已知：,(0,1)

≥

表征1：将每个根式看做某个直角三角形的斜边；

表征2：将每个根式看做两点间的距离；

表征3：将每个根式看做某个向量的模；

表征4；将每个根式看做某个复数的模．

（2）问题表征的基本线索

未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？条件有可能满足吗？条件是否可以确定未知量？或者它不够充分？或者多余？或者矛盾？

画张图，引入适当的符号．把条件的不同部分分开．你能否把它们写出来吗？

2、模式识别

（1）模式识别的含义