2018年11月1日绵阳市高中2016级第一次诊断性考试文科数学试题及参考答案

7 2 ≤2x- ≤ 即 ≤x≤ 时，函数 g ( x) 单调递减． 6 3 2 6 3
2 2 ∴ g ( x) 在 [ ， ] 上的单调递减区间为 [ ， ] ． ……………………… 9 分 6 3 3 3 2 ∵ g ( x) 在 [ ， ] 上单调递增，在 [ ， ] 上单调递减， 3 3 6 3
1 2 即 g ( x ) 在 [ ， ] 上的值域为 [− ， 1] ． 2 6 3
19 ． 解 ：（Ⅰ）∵ 2 c sin B =3 a tan A ， ∴ 2 c sin B cos A =3 a sin A ． 由正弦定理得 2 cb cos A =3 a 2 ， 由余弦定理得 2 cb • ∴ ……………………………………………… 2 分 ……………………………… 12 分
3(1 − 3n ) 3(3n − 1) = . ……………………… 10 分 1− 3 2
由 S n >39 ，得
3(3n − 1) >39 ，化简得 3 n >27 . 2

3
Hale Waihona Puke 解得 n >3 ， n ∈ N * . …………………………………………………………… 12 分 18 ． 解： （Ⅰ） f ( x) = 3 sin(2 x −
2 是函数 f ( x) 的一个极值点， 3
2 4 2 4 4a ∴ f ( ) = 3 + 2a + b= + + b = 0 ．② ……………………………… 5 分 3 9 3 3 3
联立①②得 a =2 ， b = - 4 ． ∴ a =2 ， b = - 4 ， c =5 ． ………………………………………………………… 6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 f ( x )= x 3 +2 x 2 - 4 x +5 ， 则 f ( x) = 3x 2 + 4 x − 4 =(3 x - 2)( x +2) ． 当 f ( x) 0 时， x < - 2 或 x > 当 f ( x) 0 时， - 2< x <
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．
17 ． 解 ：（Ⅰ）设等差数列 { a n } 的公差为 d ( d >0) ，
由 a 4 =7 ，得 a 1 +3 d =7 ，① …………………………………………………… 2 分 又∵ a 2 ， a 6 - 2 a 1 ， a 1 4 是等比数列 { b n } 的前三项， ∴( a6-2a1)2=a2a14， 即 (5 d - a 1 ) 2 =( a 1 + d )( a 1 +13 d ) ，化简得 d =2 a 1 ，②…………………………… 4 分 联立①②解得 a 1 =1 ， d =2. ∴ a n =1+2( n - 1)=2 n - 1. ……………………………………………………… 6 分
6 ，且 A ∈ (0 ， ) ．………………………………………………… 7 分 cos A 2
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根据重要不等式有 b 2 + c 2 ≥ 2 bc ，即 8 ≥ bc ，当且仅当 b = c 时“ = ”成立， ∴ cos A ≥
6 3 = ．……………………………………………………………… 9 分 8 4
( Ⅱ ) ∵ b 1 = a 2 =3 ， b 2 = a 6 - 2 a 1 =9 ， b 3 = a 1 4 =27 是等比数列 { b n } 的前三项， …………………………………………………… 8 分 ∴等比数列 { b n } 的公比为 3 ，首项为 3 . ∴等比数列 { b n } 的前 n 项和 S n =
绵阳市高中 2016 级第一次诊断性考试
数学（文史类）参考答案及评分意见
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． BABCD CBBDA AC 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13 ． 7 14 ． - 2 15 ． - 7 16 ． 32 - 16 3
∴ g ( x ) ma x = g ( ) = sin = 1 ． 2 3 又 g(


1 2 1 7 =sin ( + ) = - sin = − < g ( ) = sin = , ) = sin 6 3 6 2 6 6 6 2
1 ∴ − ≤ g ( x) ≤ 1 ． 2
∴ 当角 A 取最大值时， cos A = ∴ △ ABC 的面积 S =
3 ， bc =8 ． 4
………………… 12 分
1 1 bc sin A = 8 1 − cos2 A = 7 ． 2 2
20 ． 解 ：（Ⅰ） f ( x) = 3x 2 + 2ax + b ． ∵ 曲线 y = f ( x) 在点 x =0 处的切线为 4 x + y - 5=0 ， ∴ 切点为 (0 ， 5) ， f (0) = −4 即 b = - 4 ．① 由 f (0)=5 ，得 c =5 ． ………………………………………………………… 3 分 ∵ x=
= sin(2 x + 由题意得 g ( x) = sin[2( x − 化简得 g ( x )= sin(2 x − （Ⅱ）由 当

6
) + 2 ， …………………………………………… 4 分

) + ]+ 2− 2 ， 6 6


6
) ． …………………………………………………… 6 分
2 7 ≤x≤ ，可得 ≤ 2 x - ≤ ． 3 6 6 6 6
) + 4cos 2 x
= 3(sin 2 x cos = =

− cos 2 x sin ) +2(1+cos2 x ) ………………… 2 分 3 3

3 3 sin 2 x − cos 2 x +2cos2 x +2 2 2 3 1 sin 2 x + cos 2 x +2 2 2
数学（文史类）参考答案及评分意见第1页（共 6 页）
b 2 +c 2 − a 2 =3 a 2 ，化简得 b 2 + c 2 =4 a 2 ， 2bc
b2 + c 2 = 4 ． ……………………………………………………………… 5 分 a2
b 2 +c 2 − a 2 6 = ， 2bc bc
（Ⅱ）∵ a =2 ，由（Ⅰ）知 b 2 + c 2 =4 a 2 =16 ， 且由余弦定理得 cos A = 即 bc =