高中立体几何证明方法及例题

1. 空间角与空间距离

在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算” ，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。

2. 立体几体的探索性问题

立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。近几年立体几何探索题考查的类型主要有：（1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么？（2）探索结论，即在给定的条件下命题的

结论是什么。

对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1 ）先观察，尝试给出条件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（3）把几何问题转化为

代数问题，探索出命题成立的条件。

对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。

（一）平行与垂直关系的论证

由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。

1. 线线、线面、面面平行关系的转化：

//

b

a

b

a

a

b

a

// //

//

//

a

a

b

O

b

a a

l

l

a

b

a

a

a

l a

a

a

a//

a, b a PO

a b

a AO

l a, l a // b

a b

a b A 面面平行性质

2.线线、线面、面面垂直关系的转化:

线面平行判定

公理4

3.平行与垂直关系的转化:

a //

b a// ,b // //

面面平行判定1 面面平行性质

a // b

三垂线定理、逆定理

面面垂直定义

l ，且二面角 I

成直二面角

(a//b,b//c a / /c

)

PA , AO 为 PO

在内射影

则 a OA a PO

线面平行性质

a //

面面平行性质1

线面垂直定义

面面垂直性质，推论 2

面面垂直判定

a // 线面垂直判定1 线线丄

线面丄

线面

面面

线线

4.应用以上“转化”的基本思路一一“由求证想判定，由已知想性质。 5•唯一性结论:

① 过直线外一点.有且只有一条直线与己知直线平行” ② 过空间一点.有且只有一条直线与已知平面垂直 ③ 过空间一点’有且只有一个平面与已知直线垂直

1.三类角的定义:

(1) 异面直线所成的角B: 0 ° <0 §0

（ 0 时，b // 或 b ）

线线//

/

面面平行判定2

面面-

线面垂直性质2

a

应曲中常坤于"反 '证法”或“同

TT

(2 )直线与平面所成的角:

b

（3）二面角：二面角的平面角B, 0 ° <0 480

2.三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”

即：（1 ）找出或作出有关的角;

（2 ）证明其符合定义； （3 ）指出所求作的角； （4 ）计算大小。

（三）空间距离：

求点到直线的距离，经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线， 然后在相关三角形中求

解。

求点到面的距离， 一般找出（或作出）过此点与已知平面垂直的平面利用面面垂直的性 质求之也可以利用“三棱锥体积法” 直接求距离，直线与平面的距离，面面距离都可转化为 点到面的距离。

【典型例题】

K 定义

（三垂线定理

J 4

f 垂丽法，灶棱门

EG // 丄 PC , FG // 丄AB

2 2

•••/EGF 为AB 与PC 所成的角

在AEGF 中，由余弦定理,

（一）与角有关的问题

例1. (1 )如图, E 、F 分别为三棱锥 P — ABC 的棱 AP 、BC 的中点，PC = 10, AB

EF = 7,则异面直线 AB 与PC 所成的角为（

A. 60

B. 45

C. 30

D. 120

解：取AC 中点G ,连结EG 、

FG ,

2 2

EG FG cos Z EGF

2 • EG •

EF 2

FG

52 32 2 5 3

72

••AB 与PC 所成的角为180

^20

=60

•••选 A

（2 ）已知正四棱锥以棱长为 1的正方体的某个面为底面，且与该正方体有相同的全面

积，则这一正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为（

O

设正四棱锥的高为h ,斜高为h' . h

2

1

解：

2

由题意：丄4 1 . h

2

1

12 6 12

2 \ 2

:.cos Z PBO

2 13

PB V26

13

2

•••选 A

(3)如图，在正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1上的一个定点，

A 1

B 1上的任意一点，E 、F 为CD 上任意两点，且EF 的长为定值，有下列命题:

① 点P 到平面QEF 的距离为定值； ② 直线PQ 与平面PEF 所成的角为定值；

③ 二面角P — EF — Q 的大小为定值； ④ 三棱锥P — QEF 的体积为定值

其中正确命题的序号是 ____________

13

D.

.26 26

•••侧棱长 PB .. h 2 OB 2

p

A 1 B