7.2.2 复数的乘、除运算

1＋i是方程的根，则代入方程成立，可通过复数相等求出b，c，然后再验 证1－i是否为方程的根 (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是否为方程的根.
解 (1)因为1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根， ∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0. ∴b2＋ ＋cb＝＝00，，得bc＝＝2－. 2，∴b＝－2，c＝2.
【训练3】 已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根及实数k的值. 解 设 x＝x0 是方程的实根，代入方程并整理得(x20＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0. 由复数相等的条件得 x20＋kx0＋2＝2x0＋k＝0， 解得xk0＝＝－22，2或xk0＝＝2－2，2， ∴方程的实根为 x＝ 2或 x＝－ 2， 相应的 k 的值为 k＝－2 2或 k＝2 2.
复数的乘法可以应用实数运算中的乘法公式，如平方差公式、
1.复数的乘法运算 完全平方公式等 (1)复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝_(_a_c_－__b_d_)＋__(_a_d_＋__b_c_)_i _.
(2)复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有
(2)方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边，x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0， 显然方程成立， ∴1－i也是方程的一个根.
规律方法 解决复数方程问题的方法 与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行 求解.根与系数的关系仍适用，但判别式“Δ”不再适用.
A.－3－I
B.－3＋i
C.3－i
D.3＋i
解析 (1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.
答案 D
－
3.设复数 z1＝2－i，z2＝1－3i，则复数zi1＋z52的虚部等于________. 解析 ∵zi1＋－z52＝2－i i＋1＋5 3i＝i（25＋i）＋15＋35i＝－15＋25i＋15＋35i＝i，∴虚部为 1.
答案 1
4.已知复数 z 满足：z·－z＋2zi＝8＋6i，求复数 z 的实部与虚部的和. 解 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z·－z＝a2＋b2，
∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i， 即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i， ∴a22a＋＝b62，－2b＝8，解得ab＝ ＝31， ， ∴a＋b＝4， ∴复数z的实部与虚部的和是4.
B.(－∞，－1)
C.(1，＋∞)
D.(－1，＋∞)
解析 因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，
所以它在复平面内对应的点为(a＋1，1－a)， 答又案此点B在第二象限，所以a1＋ －1a><00， ，解得 a<－1.
题型二 复数代数形式的除法运算
【例 2】 (1)31＋ ＋ii＝(
)
A.1＋2i
B.1－2i
C.2＋i
D.2－i
(2)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为( )
A.3＋5i
B.3－5i
C.－3＋5i
D.－3－5i
解析 (1)31＋ ＋ii＝（ （31＋ ＋ii） ）（ （11－ －ii） ）＝4－2 2i＝2－i. (2)∵z(2－i)＝11＋7i， ∴z＝112＋ －7i i＝（（112＋ －7i）i）（（22＋＋i）i）＝15＋5 25i＝3＋5i. 答案 (1)D (2)A
7.2.2 复数的乘、除运算
课标要求
素养要求
掌握复数代数形式的乘法和除法运算， 理解复数乘法的交换律、结合律和乘法 对加法的分配律.
通过本节课的学习体会数学抽象及数学 运算素养.
教材知识探究
两个实数的积、商是一个实数，那么两个复数的积、商是怎样的？怎样规定两个复 数的乘除运算，才能使在复数集中的乘法、除法与原实数集中的有关规定相容？复 数的加减运算把i看作一个字母，相当于多项式的合并同类项，那么复数乘法是否 可以像多项式乘法那样进行呢？ 问题 多项式(a＋b)(c＋d)的运算结果是什么？ 提示 (a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd.
规律方法 (1)进行复数的运算时，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单算式 要知道其结果，这样可简化运算过程.例如，1i ＝－i，(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，11＋ －ii ＝i，11－＋ii＝－i，a＋bi＝i(b－ai)，ab＋－baii＝i 等. (2)运算方法要灵活，有时要巧妙运用相应实数系中的乘法公式.
bi；若分母为 a－bi 型，则分子、分母同乘 a＋bi.
教材拓展补遗 [微判断] 1.复数加减乘除的混合运算则是先乘除，再加减.( √ ) 2.若 z1，z2∈C，且 z21＋z22＝0，则 z1＝z2＝0.( × ) 3.1i ＝－i.( √ ) 4.11＋ －ii＝－i.( × )
提示 1.复数的混合运算与实数的混合运算的顺序一致.
2.当 z1＝1 且 z2＝i 也满足 z21＋z22＝0.
3.1i ＝ii2＝－i. 4.11＋ －ii＝（1－（i1）＋（i）1＋2 i）＝22i＝i.
[微训练]
1.若复数满足z＝i(1－i)，则|z|＝( )
A.1
B. 2
C.2
解析 z＝i(1－i)＝i－i2＝1＋i，所以|z|＝ 2.
答案 B
提示 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并 且把实部与虚部分别合并即可.
题型一 复数代数形式的乘法运算 【例1】 计算下列各题：
(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i. 解 (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i. (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i ＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
二、素养训练
1.设 a 是实数，且1＋a i＋1＋2 i是实数，则 a 等于(
)
A.12
B.1
C.32
D.2
解析 ∵1＋a i＋1＋2 i＝a（12－i）＋1＋2 i＝1＋2 a＋1－2 ai，
又∵1＋a i＋1＋2 i∈R，∴1－2 a＝0，解得 a＝1.
答案 B
2.(1＋i)(2－i)＝( )
交换律
z1·z2＝__z2_·_z_1 __
结合律
(z1·z2)·z3＝_z_1_·(_z_2·_z_3)___
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝__z1_z_2_＋__z1_z_3__
2.复数的 除法运算 复数除法的实质就是分母实数化的过程，这与实数的除法有所不同
设 z1＝a＋bi，,z2＝c＋di(c＋di≠0))，则zz12＝ac＋＋bdii＝((ac＋＋bdii))((cc－－ddii))＝acc2＋＋bdd2 ＋bcc2－＋add2i. 复数的除法的实质是___分__母__实__数__化______.若分母为 a＋bi 型，则分子、分母同乘 a－
【训练 2】 (1)在复平面内，复数25－i i的对应点位于(
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
(2)计算：（（12＋－ii））（（41＋－3ii））＝________.
解析 (1)25－i i＝（25－i（i）2＋ （i2）＋i）＝5i（25＋i）＝－1＋2i，对应的点的坐标为(－1，2)， 位于第二象限. (2)法一 （（12＋－ii））（（41＋－3ii））＝11＋ －73ii＝（1＋7i）10（1＋3i）＝－2＋i.
D.－ 2
解析 ∵(m2＋i)(1＋mi)＝(m2－m)＋(m3＋1)i是实数，m∈R，
∴由a＋bi(a，b∈R)是实数的充要条件是b＝0，
得m3＋1＝0，即m＝－1.
答案 B
[微思考] 1.怎样进行复数的混合运算？
提示 三个或三个以上的复数相乘，可按照从左到右的顺序或利用结合律运算，复 数的混合运算与实数的混合运算法则一样. 2.怎样进行复数的乘法运算？
法二 （（12＋－ii））（（41＋－3ii））＝11＋ －ii42＋－3ii＝i（4＋3i）5 （2＋i） ＝（－3＋4i5）（2＋i）＝－105＋5i＝－2＋i. 答案 (1)B (2)－2＋i
题型三 复数范围内解方程 【例3】 已知 1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根 (b，c为实数).
规律方法 复数代数形式的乘法运算常用公式 (1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R). (2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R). (3)(1±i)2＝±2i.
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【训练1】 若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围
是( )
A.(－∞，1)
一、素养落地 1.通过学习复数代数形式的乘法和除法运算，提升数学运算素养.通过学习复数乘法的
交换律、结合律及乘法对加法的分配律，培养数学抽象素养. 2.利用复数的代数形式对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足
的关系式.求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋bi(a， b∈R)时应先转化形式.
D. 3
2.已知 i 是虚数单位，则31＋－ii＝(
)
A.1－2i
B.2－i
C.2＋i
解析 31＋ －ii＝（ （31＋ －ii） ）（ （11＋ ＋ii） ）＝2＋2 4i＝1＋2i，故选 D.
答案 D
D.1＋2i
3.如果复数(m2＋i)(1＋mi)是实数，则实数m等于( )
A.1
B.－1
C. 2