《自动控制理论(第版)》邹伯敏课件第4章

i1
n
n
s n pl s n1
pl
l 1
l 1
3、用分子除以分母得
GsH s
K0
s nm
n l 1
pl
m i 1
zi s nm1
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第四章 根轨迹法
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自动控制理论
当s 时,
令某系统的开环传递函数为W s
s
K0
A
nm
K0
snm
n
m
s nm1
A
1 W s 0,有n m条根轨迹分支,它们是由实轴上s σA点出发的射线,
图4-4 一阶系统
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图4-5 图4-4系统的等增益轨迹和根轨迹
第四章 根轨迹法
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自动控制理论
结论：
根轨迹就是s 平面上满足相角条件点的集合。由于相角条件是绘制根轨迹 的基础，因而绘制根轨迹的一般步骤是：
➢找出s 平面上满足相角条件的点，并把它们连成曲线 ➢根据实际需要，用幅值条件确定相关点对应的K值
例4-4
已知GsH s
ss
K0
4s 2
4s
20
求根的分离点
图4-12 例4-4的根轨迹
解：1）有4条根轨迹分支,它们的始点分别为0，-4，-2±j4
2） 渐近线与正实轴的夹角
2k 1 , 3 , 5 , 7 , k 0,1,2,3
4
44 4 4
渐近线与实轴的交点为
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-A
422 4 第四章
规则2：根轨迹的分支数及其起点和终点
闭环特征方程：
n
m
s pl K 0 s zi 0
l 1
i 1
➢当k由 0 变化时，方程中任一根由始点连续地向终点变化的轨迹称
为根轨迹的一条分支；
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第四章 根轨迹法
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自动控制理论
➢因为n≥m，所以根轨迹分支共计为n条；
➢根轨迹起点就是k0=0时根的位置，当k0=0时有：
n
s pl 0
l 1
根 轨 迹 的 始 点 为 开 环 传递 函 数 的 极 点
➢根轨迹终点就是当 K0 时 根的位置；
1 n
K 0 l1
s pl
m
s zi
i 1
0
当K0 时,则有
m
s zi 0
i 1
由此式可知,开环传递函数的零点 zi i 1,2, ,m是m条根轨迹分
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自动控制理论
图4-6 用试探法确定根轨迹
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第四章 根轨迹法
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自动控制理论
第二节 根轨迹的基本规则
开环传递函数有如下两种表示：
m
K i s 1
GsH s
i 1 n
,n m
Tl s 1
l 1
或
4 -12
m
K 0 s zi
GsH s
i 1 n
,n m
s pl
l 1
4 -13
其中，K为系统的开环增益；K0为系统的根轨迹增益它们之间的 关系为：
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第四章 根轨迹法
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自动控制理论
m
K0 zi
K
i 1 n
,n m
pl
l 1
绘制根轨迹的基本规则
4 -14
规则1：根轨迹的对称性
由于系统特征方程式的系数均为实数,因而特征根或为实数,或为共轭复 数.根轨迹必然对称于S平面的实轴
如果n-m≥2则闭环方程
sn n plsn1 n pl K m zi 0
l1
l1
i1
令 pcjj 1,2, ,n为方程的根,则有
n
n
n
s pcj sn pcjsn1 pcj 0
j1
j1
j1
于是得： n
n
pl pcj
l1
j1
n
n
m
pcj pl K zi
s4 8s3 36s2 80s K 0
由劳斯判据： s4
1
36 K
s3
8
80 0
s2
26
K
s1 8260 K 0
26
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s0
K 第四章 根轨迹法
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自动控制理论
当K 260时,由补助方程 26s2 260 0 s1,2 j 10
用s jω代入方程直接求解
ω4 -36ω2 K jω80 - 8ω2 0
且与实轴的夹角
2k 1 , k 0,1,2,
nm
n
m
若令n m A pl zi
l 1
i 1
n
m
则：
A
l 1
pl zi
i 1
nm
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第四章 根轨迹法
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自动控制理论
例4-2 绘制图4-8所示系统的根轨迹 解：1） 有三条根轨迹分支,它们的始点为开环极点(0,-1,-2）
2
1
两边取正切得
22 2
2
2
图4-14 例4-5的根轨迹图
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第四章 根轨迹法
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自动控制理论
第三节 参量根轨迹的绘制
一个可变量根轨迹的绘制
例4-7 试绘制图4-18所示的系统以α为参变量的根轨迹
j1
l1
i1
例4-5 已知一单位反馈控制系统的
Gs
K s ss
2 1
试证明该系统根轨迹的复数部分为一圆
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第四章 根轨迹法
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自动控制理论
证
args 2 args args 1
令s j代 入,则 得
ar c tan
ar c tan
ar c tan
2
1
arctan arctan arctan
➢如要求系统在阶跃信号的作用下，超调量为49%。 由式（3-26）求得
0.707 由于 arccos 45o，在图4-2上过坐标原点
作与负实轴夹角为45°和射线，它与根轨迹的 交点S= -05±j0.5，这就是所求的希望闭环极点。
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第四章 根轨迹法
图4-2 系统的根轨迹
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自动控制理论
或
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dK 0 ds
第四章 根轨迹法
图4-11 根轨迹的复数分离点
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自动控制理论
例4-3 求图4-8所示系统的分离点 解：特征方程
ss 1s 2 K 0
K s3 3s 2 2s
dK 3s 2 6s 2 0,
ds
s1 0.423, s2 1.577 不 含 稳 定
mr nr 奇 数， 点si满 足 相 角 条 件。
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第四章 根轨迹法
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自动控制理论
规则4：根轨迹的渐近线
1、渐近线的倾角
n m 2k 1 2k 1 , k 0,1,2,
nm
2、渐进线与实轴交点
K0 sm
m
zi s m1
m zi
GsH s
i 1
假设系统开环传递函数用零、极点形式表示：
GsH s
K s s
z1 s z2 p1 s p2
s s
zm pn
,
n
m
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第四章 根轨迹法
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自动控制理论
式中K 0;z1,z2 zm为开环零点,在s平面用“o”表示, p1, p2 pn 为开环极点,在s平面用“x”表示。
ω4 -36ω2 K 0
jω80 - 8ω2 0
求得 ω 10 , K 260
规则8：特征方程式根之和与根之积
把式（4-13）改为
G s H s
Ksm
m
i1 n
zism1
m i1
zi
n
sn plsn1 pl
l1
l1
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第四章 根轨迹法
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自动控制理论
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第四章 根轨迹法
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自动控制理论
1 2 3 4 5 2k 1π
所以:
4 2k 1π 1 1 2 3 5
计算出射角的通式为
同理
m
n
l 2k 1π i j
i1
j1
jl
n
m
k 2k 1π j i
j1
i1
规则7：根轨迹与虚轴的交点
ik
例 已知闭环特征方程式为
2） 三条根轨迹分支的终点均在无限远 3） 渐近线与正实轴的夹角
2k 1 , , 5 , k 0,1,2
3
33
渐近线与实轴的交点为
-A
1 2 3
1
图中虚线为渐近线
图4-8 控制系统方框图
4）实轴上的0至-1和-2至-∞间的线段为根轨迹
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第四章 根轨迹法
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自动控制理论
规则5：分离点与会合点 当根轨迹分支在实轴上相交后走向复平面，此交 点称为根轨迹的分离点。当根轨迹由复平面走向 实轴时，它们在实轴上的交点称为会合点
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i 1
l 1
第四章 根轨迹法
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自动控制理论
设一控制系统的框图如图4-4所示，由根轨迹 的幅值条件得：
4K 1 s3 即
4 1 s3 K
（4-10）
令 s j,则式(410)可化为
( 3)2 2 (4K )2
（4-11）
式（4-11）表明，系统的等增益轨迹是一簇 同心圆，如图4-5所示。
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
自动控制理论
第四章
根轨迹法
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作者： 浙江大学 邹伯敏 教授
第四章 根轨迹法
1
自动控制理论
第一节 根轨迹法的基本概念
什么是根轨迹法
闭环特性方程式
s2 s K 0 (4-1)
方程式(4-1)的根为
s1,2
1 2
1 2
1 4K
图4-1 二阶系统
当K由0→∞变化,特征根s1和s2相应的变化关系如表4-1所示。 表4-1 根与K的关系
2
根轨迹法
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自动控制理论
3） 实轴上的0至-4间的线段是根轨迹 4） 求分离点，系统的特征方程为
ss 4 s2 4s 20 K0 0 K0 ss 4 s2 4s 20 s4 8s3 36s2 80s
dK0 s4 8s3 36s 2 80s 0
ds 解之得s1 2, s2,3 2 j2.45
规则6：出射角与入射角
根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向
的夹角称根轨迹的出射角，根轨迹进入开环复数
零点处的切线与实轴正方向夹角称入射角
图4-13 根轨迹出射角的确定
设一系统的开环零,极点的图如4- 13所示,令试验点清si十分靠近 开环复数极点 p4.如果si在根轨迹上,则有 :
规则3：根轨迹在实轴上的分布
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第四章 根轨迹法
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自动控制理论
图4-7 实轴上根轨迹的确定
➢实轴上根轨迹的确定完全取决于试验点 右方S i实轴上开环极点数 与零点数之和的数是否为奇数。
argGsHs ssi mr nr 2k 1 , k 0,1,2,
mr和nr分 别 为 点si右 方 实 轴 上 的 开 环 零、 极 点 结 论。
支的终点
当n＞m时,余下n m条根轨迹分支的终点位置需确定
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第四章 根轨迹法
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自动控制理论
m
s zi
i 1
1
n
s pl
K0
l 1
当K0 时,则有
m
lim
s zi
i 1
lim
1 0
K0 n s pl
K K0 0
l 1
可见s ej 也能满足上式
n条 根 轨 迹 分 支mn个开m 个 环开 极环 点极 点m个开n环 有m 个 限开 零环 点有 限 零 点
➢求解根轨迹的分离点和会合点
图4-10 根轨迹的分离点和会合点
令
GsH s
KBs As
方 程 出 现 重 根 的 条 件 是S必 须 同 时 满 足 下 列 方 程
Ds As KBs 0 Ds As KBs 0
由 上 述 两 式 导 出 确 定 分离 点 和 会 合 点 的 方 程
AsBs AsBs 0
根轨迹的幅值条件与相角条件
特征方程：
1 GsHs 0
由上式可知，凡是满足方程 GsHs 1
的s值，就是该方程的根，或是根轨迹上的
一个点。由于s 是复数，故有：
图4-3 控制系统的框图
G s H s e j{argGsHs} 1e j2k1 , k 0,1,2,
于是得：
GsH s 1 根轨迹幅值条件 argGsH s 2k 1 , k 0,1,2, 根轨迹相角条件
例4-1 求图4-1所示系统的根轨迹
解： 1）用相角条 1
arg s args 1 2k 1 , k 0,1,2,
2）用幅值条件确定增益K
K s s 1
例如图4-6d中的重根s1,2 0.5,其对应的K值为
K 0.5 0.5 0.25
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第四章 根轨迹法
令s zi pie ji , i 1,2, m s pl rle jl , l 1,2, n
则上式改写为：
m
G s H s K
m
n
i
i
j
i
e
i1
l1
e n
rl
于是得：
l 1
m
i
GsH s K
i 1 n
rl
m
n
l 1
i l 2k 1 , k 0,1,2,
K 0 0.25
0.5
1
…
∞
s1 0 -0.5 -0.5+j0.5 -0.5+j0.87 … 0.5+j∞
s2 -1 -0.5 -0.5-j0.5 -0.5-j0.87 … -0.5-j∞
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第四章 根轨迹法
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自动控制理论
对于不同的K值,系统有下列三种不同的工作状态:
1) 0≤K＜¼， s1、 s1为两相异的实数根（过阻尼状态） 2) K=¼， s1、 s1为两相等实根，s1 = s2 =-0.5，（临界阻尼） 3) ¼＜K＜∞， s1 、s2为一对共轭复根（欠阻尼）