等差数列及其前n项和学案

教案标题等差数列及其前n项和教师姓名学生姓名
学科数学
适用
年级高中三
年级
适用范
围
全国
教学目标
知识
目标
1、了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能
根据定义判断一个数列是等差数列;
2、熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式
与图象认识等差数列的性质;
3、掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的
前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.
能力
目标
通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从
一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思
路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与
广阔性的训练，发展学生的思维水平.
情感
态度
价值观
1、通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料
的能力，积极思维，追求新知的创新意识.
2、通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的
内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点;
知识点等差数列的概念、通项公式、性质及前n项和
重难点重点：等差数列的定义、通项公式、性质、前n项和的理解与应用
难点：灵活应用等差数列定义、通项公式、性质、前n项和公式解决一些简单的有关问题.
知识讲解
1．等差数列的有关定义 (1)一般地，如果一个数列从第__2__项起，每一项与它的前一项的__差__等于同一个常数，
那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为__ a n ＋1－a n ＝d __________ (n ∈N *
，d 为常数)．
(2)数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是__ A ＝a ＋b
2
________，其中A 叫做a ，b 的___
等差中项_______．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：a n ＝_ a 1＋(n －1)d _______，a n ＝a m ＋_ (n －m )d _______ (m ，n ∈N *
)．
(2)前n 项和公式：S n ＝_ na 1＋n (n －1)2d _________＝__(a 1＋a n )n
2
__________.
3．等差数列的前n 项和公式与函数的关系
S n ＝d 2
n 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 1－d 2n .
4．等差数列的性质
(1) 若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *
)，则有__a m ＋a n ＝a p ＋a q ________， 特别地，当m ＋n ＝2p 时，___ a m ＋a n ＝2a p ___________.
(2) 若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为__2d ______
(3) 若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *
)是公差为__ md ____的等差数列.
(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列.
(5) 等差数列的单调性：若公差d >0，则数列为__递增数列__________； 若d <0，则数列为____递减数列______；若d ＝0，则数列为___常数列_____． (6)等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列． (7)S 2n －1＝(2n －1)a n .
(8)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝n
2d .若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项).
5.等差数列的最值
在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最______值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最______值. 大 小
6．方法与技巧
等差数列的判断方法有：
(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列．
(2)中项公式：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *
)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．
(4)前n 项和公式：S n ＝An 2
＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列．
(5)在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为①a ，a ＋d ，a ＋2d ；②a －d ，a ，a ＋d ；③a －d ，a ＋d ，a ＋3d 等可视具体情况而定．
(6)在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解.
例题讲解
题型一 等差数列的基本量的计算
例1 等差数列{a n }的前n 项和记为S n .已知a 10＝30，a 20＝50， (1)求通项a n ； (2)若S n ＝242，求n .
解 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50，
得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝12，
d ＝2.所以a n ＝2n ＋10.
(2)由S n ＝na 1＋n (n －1)
2
d ，S n ＝242.
得12n ＋n (n －1)
2
×2＝242.解得n ＝11或n ＝－22(舍去)．
设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.
(1)若S 5＝5，求S 6及a 1； (2)求d 的取值范围. 解 (1)由题意知S 6＝－15
S 5
＝－3， a 6＝S 6－S 5＝－8.
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8.解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7.
(2)方法一 ∵S 5S 6＋15＝0，∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0， 即2a 2
1＋9da 1＋10d 2
＋1＝0.
因为关于a 1的一元二次方程有解，所以Δ＝81d 2
－8(10d 2
＋1)＝d 2
－8≥0， 解得d ≤－22或d ≥2 2.
方法二 ∵S 5S 6＋15＝0，∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0， 即2a 2
1＋9da 1＋10d 2
＋1＝0.故(4a 1＋9d )2
＝d 2
－8.所以d 2
≥8. 故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2.
探究提高 (1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.
(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
变式训练1
设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，它的前10项和S 10＝110，且a 1，a 2，a 4成等比数列，求公差d 和通项公式a n .
解 由题意，知
⎩⎪⎨
⎪⎧
S 10＝10a 1＋10×92d ＝110，(a 1＋d )2＝a 1·(a 1＋3d )，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
2a 1＋9d ＝22，
a 1d ＝d 2
.
∵d ≠0，∴a 1＝d .解得a 1＝d ＝2，∴a n ＝2n .
已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值.
解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝
n [1＋3－2n ]
2
＝2n －n 2
.
由S k ＝－35，可得2k －k 2
＝－35，
即k 2
－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *
，故k ＝7.
题型二 等差数列的判定或证明
例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1 (n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1 (n ∈N *
).
(1)求证：数列{b n }是等差数列；（2）求数列{a n }的最大值和最小值. (1)证明 ∵a n ＝2－
1
a n －1
(n ≥2，n ∈N *
)，b n ＝
1
a n －1
. ∴n ≥2时，b n －b n －1＝
1a n －1－1a n －1－1＝1⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2－1a n －1－1
－1
a n －1－1 ＝
a n －1
a n －1－1－1a n －1－1＝1.又
b 1＝1a 1－1＝－52
.
∴数列{b n }是以－5
2为首项，1为公差的等差数列.
(2)解 由(1)知，b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋2
2n －7
，
设函数f (x )＝1＋22x －7，易知f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72和⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞内为减函数.
∴当n ＝3时，a n 取得最小值－1；当n ＝4时，a n 取得最大值3.
探究提高 1．证明或判断一个数列为等差数列，通常有两种方法：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d ；(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.就本例而言，所用方法为定义法.
2．解选择、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断．
(1)通项法：若数列{a n }的通项公式为n 的一次函数，即a n ＝An ＋B ，则{a n }是等差数列．
(2)前n 项和法：若数列{a n }的前n 项和S n 是S n ＝An 2
＋Bn 的形式(A ，B 是常数)，则{a n }为等差数列．
3．若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可．
变式训练2
(1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝S n －1
2S n －1＋1
(n ≥2)，a 1＝2.
①求证：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1S n 是等差数列； ②求a n 的表达式.
①证明 由S n ＝S n －12S n －1＋1，得1S n ＝2S n －1＋1S n －1＝1
S n －1
＋2，
∴1S n －1S n －1＝2，∴⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1S n 是以1S 1即1
2为首项，以2为公差的等差数列. ②解 由知1S n ＝12＋(n －1)×2＝2n －32，∴S n ＝12n －
3
2，
∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝
1
2n －32－12n －72＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －32⎝ ⎛⎭⎪
⎫2n －72； 当n ＝1时，a 1＝2不适合a n ， 故a n
＝⎩⎪⎨⎪⎧
2 n ＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －32⎝ ⎛⎭
⎪⎫2n －72 n ≥2.
(2)已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2且n ∈N *
)． ①求a 2，a 3的值．
②是否存在实数λ，使得数列{a n ＋λ
2
n }为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说
明理由.
解 ①∵a 1＝5，∴a 2＝2a 1＋22－1＝13， a 3＝2a 2＋23
－1＝33.
②假设存在实数λ，使得数列{a n ＋λ
2
n }为等差数列．
设b n ＝
a n ＋λ
2
n
，由{b n }为等差数列，则有2b 2＝b 1＋b 3. ∴2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23.∴13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8
，
解得λ＝－1.
事实上，b n ＋1－b n ＝a n ＋1－12n ＋1－a n －1
2
n
＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )＋1]＝12
n ＋1[(2n ＋1
－1)＋1]＝1. 综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列{a n ＋λ
2
n }为首项为2、公差为1的等差数列．
题型三 等差数列性质的应用
例3 若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数．
解 方法一 设此等差数列为{a n }共n 项， 依题意有a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，① a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＋a n －4＝146. ② 根据等差数列性质，得
a 5＋a n －4＝a 4＋a n －3＝a 3＋a n －2＝a 2＋a n －1＝a 1＋a n . 将①②两式相加，得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋(a 3＋a n －2)＋(a 4＋a n －3)＋(a 5＋a n －4)＝5(a 1＋a n )＝180，
∴a 1＋a n ＝36.
由S n ＝n (a 1＋a n )2＝36n 2
＝360，得n ＝20.
所以该等差数列有20项．
方法二 设此等差数列共有n 项，首项为a 1，公差为d ，
则S 5＝5a 1＋5×4
2
d ＝34，①
S n －S n －5＝[n (n －1)d 2＋na 1]－[(n －5)a 1＋(n －5)(n －6)
2
d ]
＝5a 1＋(5n －15)d ＝146.②
①②两式相加可得10a 1＋5(n －1)d ＝180，
∴a 1＋n －12
d ＝18，
代入S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 1＋
n －12d ＝360， 得18n ＝360，∴n ＝20. 所以该数列的项数为20项．
变式训练3
已知数列{a n }是等差数列．
(1)若S n ＝20，S 2n ＝38，求S 3n ；
(2) 若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．
解 (1) ∵S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列， ∴S 3n ＝3(S 2n －S n )＝54.
(2) 设项数为2n －1 (n ∈N *
)，则奇数项有n 项，偶数项有n －1项，中间项为a n ，则
S 奇＝
(a 1＋a 2n －1)·n
2
＝n ·a n ＝44，
S 偶＝(a 2＋a 2n －2)·(n －1)2
＝(n －1)·a n ＝33，
∴n n －1＝43
.∴n ＝4，a n ＝11. ∴数列的中间项为11，项数为7.
题型四 等差数列的前n 项和及综合应用
例4 (1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，
S n 取得最大值，并求出它的最大值；
(2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和. 解 (1)方法一 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，
∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－5
3.
∴a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－53＝－53n ＋653.
∴a 13＝0，即当n ≤12时， a n >0，n ≥14时，a n <0， ∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为
S 13＝S 12＝12×20＋
12×112×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－53＝130.
方法二 同方法一求得d ＝－53.∴S n ＝20n ＋
n n －12
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－53
＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524
.
∵n ∈N *
，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 方法三 同方法一得d ＝－5
3
.
又由S 10＝S 15得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.
∴当n ＝12或13时，S n 有最大值.且最大值为S 12＝S 13＝130. (2)∵a n ＝4n －25，a n ＋1＝4(n ＋1)－25， ∴a n ＋1－a n ＝4＝d ，又a 1＝4×1－25＝－21.
所以数列{a n }是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列.
令⎩⎪⎨
⎪⎧
a n ＝4n －25<0， ①a n ＋1＝4n ＋1－25≥0， ②
由①得n <614；由②得n ≥51
4
，所以n ＝6.
即数列{|a n |}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，而|a 7|＝a 7＝4×7－24＝3. 设{|a n |}的前n 项和为T n ，则
T n ＝
⎩
⎪⎨⎪⎧
21n ＋n n －12×－4 n ≤666＋3n －6＋n －6n －72
×4 n ≥7＝
⎩⎪⎨⎪⎧
－2n 2
＋23n n ≤6，2n 2－23n ＋132 n ≥7.
点评： 求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：
若{a n }是等差数列，求前n 项和的最值时，
(1)若a 1>0，d <0，且满足⎩⎪⎨
⎪⎧ a n ≥0a n ＋1≤0
，前n 项和S n 最大； (2)若a 1<0，d >0，且满足⎩
⎪⎨
⎪⎧
a n ≤0
a n ＋1≥0，前n 项和S n 最小；
(3)将等差数列的前n 项和S n ＝An 2
＋Bn (A 、B 为常数)看做二次函数，利用二次函数的
图象或配方法求最值，注意n ∈N *
.
变式训练4
(1) 已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *
)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72.若
b n ＝1
2a n －30，求数列{b n }的前n 项和的最小值．
解 方法一 ∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴{a n }是等差数列． 设{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72， 得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝106a 1＋15d ＝72，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝2d ＝4. ∴a n ＝4n －2.则
b n ＝1
2
a n －30＝2n －31.
解⎩
⎪⎨
⎪⎧
2n －31≤0，2(n ＋1)－31≥0，得292≤n ≤31
2
. ∵n ∈N *
，∴n ＝15.∴{b n }前15项为负值. ∴S 15最小．
可知b 1＝－29，d ＝2，
∴S 15＝15×(－29＋2×15－31)
2
＝－225.
方法二 同方法一求出b n ＝2n －31.
∵S n ＝n (－29＋2n －31)2
＝n 2－30n ＝(n －15)2
－225，
∴当n ＝15时，S n 有最小值，且最小值为－225.
(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1<0，S 2 009＝0.
①求S n 的最小值及此时n 的值；②求n 的取值集合，使a n ≥S n .
解 方法一 ①设公差为d ，则由S 2 009＝0⇒2 009a 1＋2 009×2 008
2d ＝0
⇒a 1＋1 004d ＝0， d ＝－11 004a 1，a 1＋a n ＝2 009－n
1 004
a 1，
∴S n ＝n 2(a 1＋a n )＝n 2·2 009－n 1 004a 1＝a 12 008
(2 009n －n 2
)
∵a 1<0，n ∈N *
，∴当n ＝1 004或1 005时，S n 取最小值1 0052a 1.
②a n ＝1 005－n 1 004
a 1.
S n ≤a n ⇔
a 1
2 008(2 009n －n 2
)≤1 005－n 1 004
a 1. ∵a 1<0，∴n 2
－2 011n ＋2 010≤0，
即(n －1)(n －2 010)≤0，解得：1≤n ≤2 010. 故所求n 的取值集合为{n |1≤n ≤2 010，n ∈N *
}.
(3)设等差数列{a n }的前n 项和S n ＝m ，前m 项和S m ＝n (m ≠n )，求它的前m ＋n 项 的和S m ＋n .
解 方法一 设{a n }的公差为d ，
则由S n ＝m ，S m ＝n ，
得⎩
⎪⎨⎪⎧
S n
＝na 1
＋n n －12
d ＝m ， ①S m ＝ma 1
＋m m －12
d ＝n . ②
②－①得(m －n )a 1＋m －n m ＋n －12
·d ＝n －m ，
∵m ≠n ，∴a 1＋m ＋n －1
2
d ＝－1.
∴S m ＋n ＝(m ＋n )a 1＋m ＋n m ＋n －12
d
＝(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋m ＋n －12d ＝－(m ＋n ).
方法二 设S n ＝An 2＋Bn (n ∈N *
)，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
Am 2＋Bm ＝n ， ③An 2＋Bn ＝m . ④ ③－④得A (m 2－n 2
)＋B (m －n )＝n －m .
∵m ≠n ，∴A (m ＋n )＋B ＝－1，
∴A (m ＋n )2
＋B (m ＋n )＝－(m ＋n )，
∴S m ＋n ＝－(m ＋n ).
课后作业
A. 基础题自测
1．如果等差数列{}a n 中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝ ( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．35
2．已知{a n }是等差数列，a 1＝－9，S 3＝S 7，那么使其前n 项和S n 最小的n 是 ( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
3在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－1
3
a 11的值为 ( )
A ．14
B ．15
C ．16
D ．17
4．等差数列{a n }的前n 项和满足S 20＝S 40，下列结论中正确的是 ( ) A ．S 30是S n 中的最大值 B ．S 30是S n 中的最小值 C ．S 30＝0 D ．S 60＝0
5．设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1＝10，b 1＝90，a 2＋b 2＝100，那么数列{a n ＋b n }的第2 012项的值是
( )
A.85
B.90
C.95
D.100
6．已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15，若b n ＝a 3n ，则数列{b n }的前9项和等于________．
[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝a 1＋d ＝6，a 5＝a 1＋4d ＝15⇒⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝3，d ＝3， ∴a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，
b n ＝a 3n ＝9n ，
∴数列{b n }的前9项和为S 9＝9＋81
2
×9＝405.
7．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝___15_____.
8．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2
m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝__10______. 9．在数列{a n }中，若点(n ，a n )在经过点(5,3)的定直线l 上，则数列{a n }的前9项和S 9＝____27____.
10．设{a n }是一个公差为d (d ≠0)的等差数列，它的前10项和S 10＝110，且a 2
2＝a 1a 4. (1)证明：a 1＝d ；
(2)求公差d 的值和数列{a n }的通项公式．
(1) 证明 ∵{a n }是等差数列，∴a 2＝a 1＋d ，a 4＝a 1＋3d ，又a 2
2＝a 1a 4，
于是(a 1＋d )2
＝a 1(a 1＋3d )，即a 2
1＋2a 1d ＋d 2
＝a 2
1＋3a 1d (d ≠0)．化简得a 1＝d
(2)解 由条件S 10＝110和S 10＝10a 1＋10×9
2
d ，得到10a 1＋45d ＝110.
由(1)知，a 1＝d ，代入上式得55d ＝110， 故d ＝2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n .
因此，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ，n ∈N *
11．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；
(2)令b n ＝1a 2n －1
(n ∈N *
)，求数列{b n }的前n 项和T n .
解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26， 所以a 1＋2d ＝7,2a 1＋10d ＝26， 解得a 1＝3，d ＝2
由于a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝n (a 1＋a n )
2
，
所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2))
(2)因为a n ＝2n ＋1，所以a 2
n －1＝4n (n ＋1)，
因此b n ＝14n (n ＋1)＝14⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1n ＋1
故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－1
3＋…＋1n －1n ＋1
＝14⎝
⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n
4(n ＋1). 所以数列{b n }的前n 项和T n ＝n
4(n ＋1)
B.中档题演练
1.设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于 ( ) A.31
B.32
C.33
D.34
2.数列{a n }为等差数列，a 10＝33，a 2＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 20－2S 10等于( ) A.40
B.200
C.400
D.20
3设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k 等于( ) A.8
B.7
C.6
D.5
4.已知数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝1，若⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
11＋a n 是等差数列，则a 11等于 ( ) A.0
B.1
6
C.1
3
D.12
5.在各项均不为零的等差数列{a n }中，若a n ＋1－a 2
n ＋a n －1＝0 (n ≥2)，则S 2n －1－4n 等于( ) A.－2
B.0
C.1
D.2
6．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝
7n ＋45n ＋3，则使得a n
b n
为整数
的正整数n 的个数是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6．D [解析] a n b n ＝2n －1a n 2n －1b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12
n ＋1
，所以当n ＝1,2,3,5,11
时满足．
7 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝__15______. 8. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝__1
3
______.
9. 等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫
S n n 的前10项和为
___75_____.
10. 设等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝
2n －3
4n －3
，则
a 9
b 5＋b 7
＋
a 3
b 8＋b 4的值为_____19
41
___. 11.已知数列{a n }的通项公式a n ＝pn 2
＋qn (p 、q ∈R ，且p 、q 为常数). (1)当p 和q 满足什么条件时，数列{a n }是等差数列； (2)求证：对任意实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }是等差数列.
(1)解 a n ＋1－a n ＝[p (n ＋1)2
＋q (n ＋1)]－(pn 2
＋qn )＝2pn ＋p ＋q ，
要使{a n }是等差数列，则2pn ＋p ＋q 应是一个与n 无关的常数，所以只有2p ＝0， 即p ＝0.
故当p ＝0，q ∈R 时，数列{a n }是等差数列. (2)证明 ∵a n ＋1－a n ＝2pn ＋p ＋q ， ∴a n ＋2－a n ＋1＝2p (n ＋1)＋p ＋q ，
∴(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2p 为一个常数.∴{a n ＋1－a n }是等差数列. 12．在等差数列{a n }中，a 16＋a 17＋a 18＝a 9＝－36，其前n 项和为S n .
(1)求S n 的最小值，并求出S n 取最小值时n 的值． （2）求数列{|a n |}的前n 项和.
解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，
∵a 16＋a 17＋a 18＝3a 17＝－36，∴a 17＝－12，∴d ＝a 17－a 9
17－9
＝3，
∴a n ＝a 9＋(n －9)·d ＝3n －63， a n ＋1＝3n －60， 令⎩
⎪⎨⎪⎧
a n ＝3n －63≤0a n ＋1＝3n －60≥0，得20≤n ≤21，∴S 20＝S 21＝－630， ∴n ＝20或21时，S n 最小且最小值为－630.
(2)由(1)知前20项小于零，第21项等于0，以后各项均为正数．
当n ≤21时，T n ＝－S n ＝－32n 2＋123
2
n .
当n >21时，T n ＝S n －2S 21＝32n 2－123
2
n ＋1 260.
综上，T n
＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－32n 2＋1232
n (n ≤21，n ∈N *)32n 2
－123
2n ＋1 260 (n >21，n ∈N *
)
.
C.难题我破解
1．在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)． (1)证明数列{1
a n
}是等差数列；
(2)求数列{a n }的通项；
(3)若λa n ＋1
a n ＋1
≥λ对任意n ≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．
(1)证明 将3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)整理得1a n －1a n －1
＝3(n ≥2)．
所以数列{1
a n
}为以1为首项，3为公差的等差数列
(2)解 由(1)可得1
a n
＝1＋3(n －1)＝3n －2，
所以a n ＝1
3n －2
(3)解 若λa n ＋1
a n ＋1
≥λ对n ≥2的整数恒成立，
即
λ
3n －2
＋3n ＋1≥λ对n ≥2的整数恒成立． 整理得λ≤(3n ＋1)(3n －2)
3(n －1)
(9分)
令c n ＝(3n ＋1)(3n －2)3(n －1)
c n ＋1－c n ＝(3n ＋4)(3n ＋1)3n －(3n ＋1)(3n －2)3(n －1)＝(3n ＋1)(3n －4)
3n (n －1)
.
因为n ≥2，所以c n ＋1－c n >0，
即数列{c n }为单调递增数列，所以c 2最小，c 2＝28
3
.
所以λ的取值范围为(－∞，28
3
]
2.已知等差数列{a n }中，公差d >0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)令b n ＝
S n
n ＋c
(n ∈N *
)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，求
出c 的值；若不存在，请说明理由.
解 (1)由题设知，{a n }是等差数列，且公差d >0，则由⎩⎪⎨
⎪
⎧
a 2a 3＝45，a 1＋a 5＝18，
得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋d a 1＋2d ＝45，a 1＋a 1＋4d ＝18.
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝1，d ＝4. ∴a n ＝4n －3 (n ∈N *
).
(2)由b n ＝
S n
n ＋c
＝
n 1＋4n －32
n ＋c
＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12n ＋c
，
∵c ≠0，∴可令c ＝－1
2
，得到b n ＝2n .
∵b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *
)，∴数列{b n }是公差为2的等差数列. 即存在一个非零常数c ＝－1
2，使数列{b n }也为等差数列.。