勾股定理期末复习讲义

勾股定理期末复习讲义

提要：本节内容的重点是勾股定理及其应用．勾股定理是解几何中有关线段计算问题的重要依据，也是以后学习解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大，它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用．本节内容的难点是勾股定理的证明．勾股定理的证明方法有多种，课本是通过构造图形，利用面积相等来证明的这里还涉及到了解决几何问题的方法之一：面积法。割补（……陌生的名词么，但是我们用过）的思想也要值得我们去注意．

【知识结构】

1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b，斜边长为c，那么

a2+b2=c2．……由这句话你能联想到那些东西？

2．勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．……这个定理有什么用？

3．勾股数

能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．

……你记得几组勾股数？

显然，若(a，b，c)为一组基本勾股数，则(ka，kb，kc)也为勾股数，其中

k为正整数．……如果熟练这个结论是不是能提高解题速度呢

4. 利用尺规画出长度是无理数的线段.了，知道画吧

5. 勾股定理及其逆定理的应用.……蚂蚁怎样走最近

【注意】

1.勾股定理的证明，是利用图形的割补变化，通过有关面积的数量关系进行证明的方法．

2．在应用勾股定理时，要注意在直角三角形的前提条件，分清直角三角形的直角边和斜边.

3. 在应用勾股定理逆定理时，先要确定最长边，再计算两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，最后确定三角形是不是直角三角形.

4. 本章关联的知识点：实数的运算，三角形，四边形，图形变换，解方程等

【基础训练A】

1.三角形三边之比分别为①1：2：3，②3：4：5；③1.5：2：

2.5，④4：5：6，

其中可以构成直角三角形的有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

2. 若线段a 、b 、c 能构成直角三角形，则它们的比为（ ）

A ．2：3：4

B ．3：4：6

C ．5：12：13

D ．4：6：7

3．下面四组数中是勾股数的有（ ）

（1）1.5，2.5，2 （2，2

（3）12，16，20 （4）0.5，1.2，1.3

A ．1组

B ．2组

C ．3组

D ．4组

4. △ABC 中，∠C =90°，c =10，a ：b =3：4，则a =______，b =_______．

5. 在△ABC 中∠C =90°，AB =10，AC =6，则另一边BC =________，面积为______，• AB 边上的高为________；

6. 如图，△ABC 中，AB =13，BC =14，AC =15，求BC 边上的高AD ．

A

7. 如图，已知CD=3m ，AD=4m ， ∠ADC=90°， AB=13m ，BC=12m ，

（1）求AC 边的长。

（2）△ABC 是什么样的三角形？为什么？

（3）求阴影部分的面积。

8. 如图，四边形ABCD 中，AB =4，BC =3，AD =13，CD =12，∠B =90°，•求该四边形的面积．

【综合训练B 】

1. 一个直角三角形的三边从小到大依次为x ，16，20，则x =_______；

2. 若一个矩形的长为5和12，则它的对角线长为_______．

3. 三角形三边长分别为6、8、10，那么它最短边上的高为______．

4. 已知一直角三角形两边长分别为3和4，则第三边的长为______．

5. 若等腰直角三角形斜边长为2，则它的直角边长为_______．

6. 测得一个三角形花坛的三边长分别为5c m ，12c m ，13c m ，•则这个花坛的面积是________．

7. 矩形纸片ABCD 中，AD =4c m ，AB =10c m ，按如图方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则DE =_______c m ．

8. 一轮船以16海里/时的速度从A 港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A

港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距

第6题图

________海里

9. 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ，当他把绳子的下端拉开5m •后，发现下端刚好接触地面，你能帮助他把旗杆的高度求出来是__________．

10. 等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则该等腰三角形面积为_______．

11. 有一长、宽、高分别为5c m 、4c m 、3c m 的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、形变忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，•能放入的细木条的最大长度是_________c m

12. 已知Rt △ABC 中，∠C =90°，若a +b =14，c =10，则Rt △ABC 的面积是_______．

13. 一直角三角形的斜边长比一条直角边大2，另一条直角边长为6，则斜边长为（• ）

A ．4

B ．8

C ．10

D ．12

14. 如图，长方形ABCD 中，AB=4，BC=3，将其沿直线MN

折叠，使点C 与点A 重合，•则CN 的长为（ ）

A ．

72 B ．258

C ．278

D ．154 15. 如图所示，A 、B 、C 均为正方形，B 、C 的面积

分别为64、180，则A 的面积为

16. 某农户有一块如图所示的土地，已知∠ADC ＝90°，AD ＝12m ，CD ＝9m ，AB ＝39m ，BC ＝36m 。你能帮该农户计算这块土地的面积吗？

在△ABC 中∠C =90°，AB =10，AC =6，则另一边BC =________，面积为______，• AB 边上的高为________；

【想一想】小强家有一块三角形的菜地，量得两边长分别为13m ，16m ，第三边上的高为12m ，请你计算这块菜地的面积。 17. 如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：AC=6c m ，BC=8c m ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于

14题图 第15题图 第16题图 第19题图