二项式定理(公开课)
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你能用个类似数列通项公式的式子来表示这些展开 式的规律吗？
3 通项
式中的 Cknan-kbk 叫做二项展开式的
通项，用 Tk+1 表示，即通项为展开式的第 k+1项：
Tk +1 = Cnkan-k bk
(a+b)n ＝ Cn0 an ＋Cn1 an-1b ＋Cn2 an-2b2 ＋‥·＋ Cnk an-kbk ＋ ‥·＋Cnnbn (n∈N*)
(2) (2 x 1 )6 x
解:
(1)(x
+
1 )4 x
=
C40x4
+
C14x3
(
1 x
)1
+
C42x2
(
1 x
)2
+C43x1
(
1 )3 x
+
C44
(
1 x
)4
= x4 + 4x2 + 6 + 4( 1 )2 + ( 1 )4 xx
（2）先将原式化简，再展开，得
(2
x-
1 x
)6
=
( 2x - 1)6 x
=
1 x3
(2x
- 1)6
=
1 x3
(2x)6
-
C16 (2x)5
+
C62 (2x)4
-
C63 (2x)3
+
C46
(2x)2
-
C56 (2x)
+
C66
=
1 x3
(64x6
-
6*
32x5
+ 15 * 16x4
-
20
*
8x3
+
15*
4x2
-
6
*
2x
+ 1)
=
64x3
-
192x2
+
240x
-
160
对二项式定理的理解
（1）它有n+1项; （2）各项的次数都等于二项式的次数n; （3）字母a按降幂排列，次数由n递减到0; 字母b按升幂排列，次数由0递增到n.
二项式定理：
(a + b)n = Cn0an + C1nan-1b + ... + Cknan-kbk + ... + Cnnbn .
2 二项式系数
先看下面的问题
若今天是星期四，20天后是星期几？再 过810天后的那一天是星期几？
810 = (7 + 1)10
数学问题:（a+b）n 的展开式是什么？
1.3.1二项式定理
在两个袋子中分别取一个球，共有多少种结果？
ab
ab
aa ab ab bb
(a+b)2=a2+2ab+b2
你能发现这两个问题的相似之处吗？
解析：
T31 C130 x7 (a)3 C130 a3 (1)3 x7 ,
C130
a3
15,a
1 2
.
2.二项式定理的特点
(1)项数：共n+1项,是关于a与b的齐次多项式 (2)系数 (3)指数 ：a的指数从n逐项递减到0,是降幂排 列；b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列.
高考链接
1. （2004年安徽、河北卷）在 (2x3 1 )7的
展开式中，常数项是______.
x
A.14 B.－14
若令a=1,b=x，则得到：
(1+x)n =1+ Cn1x+ Cn2x2+ … +Cnkxk +…+ Cnnxn 若令a=1,b= -x，则展开式又如何？ (1-x)n =1-Cn1x+ Cn2x2+ … +(-1)kCnkxk +…+(-1)n Cnnxn
例题1
用二项式定理展开下列各式：
(1) (x 1 )4 x
+
60 x
-
12 x2
+
1 x3
.
引例：若今天是星期四，20天后是星期几？再过810天
后的那一天是星期几？
810 = (7 + 1)10
C100 710
C110 79
C120 78
...
C190 7
C10 10
70
余数是1，则再过810天后的那一天是星期五。
例题2
(1)写出(1+2x)7的展开式的第4项的系数；
在三个袋子中分别取一个球，共有多少种结果？
aa a ×1
ab
ab
ab
由此你能推出下面的式子吗？ (a+b)3= a3+ a2b+ ab2+ b3
a a b ×3 a b b ×3 b b b ×1
(a+b)4= a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
如何从组合知识得到(a+b)4展开 式中各项的系数?
C.42 D. －42
解析：
Tk1 Ck7 (2x3 )7k (
1 x
)k
Ck7 (1)k
27k
21 7k
x 2 ,
令 21 7 k 0,
2
则k=6，故展开式中的常数项是
C67 (1)6 2 14 ,选答案A.
2.（2005年全国高考上海卷）在(x-a)10的展开 式中，x7的系数是15，则实数a的值为___-_1_/_2_.
C
4 4
种取法得b4.
ห้องสมุดไป่ตู้
(a+b)4= a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
那么(a+b)n =?
(a + b)n = Cn0an + C1nan-1b + ... + Cknan-kbk + ... + Cnnbn .
二项式定理：
(a + b)n = Cn0an + C1nan-1b + ... + Cknan-kbk + ... + Cnnbn .
(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
(1)若每个括号都不取b，只有C40 种取法得到a4；
(2)若只有一个括号取b，共有
C
1 4
种取法得到a3b；
(3)若只有两个括号取b，共有 C42 种取法得到a2b2； (4)若只有三个括号取b，共有 C43 种取法得到ab3；
(5)若每个括号都取b，共有
（2）求 (x 1 )9 的展开式中x3的系数。 x
解题归纳：利用通项公式解决问题比较简单规范。
例题3
求二项式 (3 3 1 )7的展开式中的有理项.
2
分析：方法一用通项公式（适用于任意次幂） 方法二用定理展开（次数较小时使用）
答案： 105 4
课堂小结
1.二项式定理
二项式定理(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+ Cnran-rbr+…+Cnnbn是通过不完全归纳法，并 结合组合的概念得到展开式的规律性，然后 用数学归纳法加以证明.
我们看到的二项展开式共有n+1项，其中
各项的系数 Ckn ( k 0,1, 2, ..., n )
叫做二项式系数（binomial coefficient）.
二项式定理：
(a + b)n = Cn0an + C1nan-1b + ... + Cknan-kbk + ... + Cnnbn .
3 通项
式中的 Cknan-kbk 叫做二项展开式的
通项，用 Tk+1 表示，即通项为展开式的第 k+1项：
Tk +1 = Cnkan-k bk
(a+b)n ＝ Cn0 an ＋Cn1 an-1b ＋Cn2 an-2b2 ＋‥·＋ Cnk an-kbk ＋ ‥·＋Cnnbn (n∈N*)
(2) (2 x 1 )6 x
解:
(1)(x
+
1 )4 x
=
C40x4
+
C14x3
(
1 x
)1
+
C42x2
(
1 x
)2
+C43x1
(
1 )3 x
+
C44
(
1 x
)4
= x4 + 4x2 + 6 + 4( 1 )2 + ( 1 )4 xx
（2）先将原式化简，再展开，得
(2
x-
1 x
)6
=
( 2x - 1)6 x
=
1 x3
(2x
- 1)6
=
1 x3
(2x)6
-
C16 (2x)5
+
C62 (2x)4
-
C63 (2x)3
+
C46
(2x)2
-
C56 (2x)
+
C66
=
1 x3
(64x6
-
6*
32x5
+ 15 * 16x4
-
20
*
8x3
+
15*
4x2
-
6
*
2x
+ 1)
=
64x3
-
192x2
+
240x
-
160
对二项式定理的理解
（1）它有n+1项; （2）各项的次数都等于二项式的次数n; （3）字母a按降幂排列，次数由n递减到0; 字母b按升幂排列，次数由0递增到n.
二项式定理：
(a + b)n = Cn0an + C1nan-1b + ... + Cknan-kbk + ... + Cnnbn .
2 二项式系数
先看下面的问题
若今天是星期四，20天后是星期几？再 过810天后的那一天是星期几？
810 = (7 + 1)10
数学问题:（a+b）n 的展开式是什么？
1.3.1二项式定理
在两个袋子中分别取一个球，共有多少种结果？
ab
ab
aa ab ab bb
(a+b)2=a2+2ab+b2
你能发现这两个问题的相似之处吗？
解析：
T31 C130 x7 (a)3 C130 a3 (1)3 x7 ,
C130
a3
15,a
1 2
.
2.二项式定理的特点
(1)项数：共n+1项,是关于a与b的齐次多项式 (2)系数 (3)指数 ：a的指数从n逐项递减到0,是降幂排 列；b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列.
高考链接
1. （2004年安徽、河北卷）在 (2x3 1 )7的
展开式中，常数项是______.
x
A.14 B.－14
若令a=1,b=x，则得到：
(1+x)n =1+ Cn1x+ Cn2x2+ … +Cnkxk +…+ Cnnxn 若令a=1,b= -x，则展开式又如何？ (1-x)n =1-Cn1x+ Cn2x2+ … +(-1)kCnkxk +…+(-1)n Cnnxn
例题1
用二项式定理展开下列各式：
(1) (x 1 )4 x
+
60 x
-
12 x2
+
1 x3
.
引例：若今天是星期四，20天后是星期几？再过810天
后的那一天是星期几？
810 = (7 + 1)10
C100 710
C110 79
C120 78
...
C190 7
C10 10
70
余数是1，则再过810天后的那一天是星期五。
例题2
(1)写出(1+2x)7的展开式的第4项的系数；
在三个袋子中分别取一个球，共有多少种结果？
aa a ×1
ab
ab
ab
由此你能推出下面的式子吗？ (a+b)3= a3+ a2b+ ab2+ b3
a a b ×3 a b b ×3 b b b ×1
(a+b)4= a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
如何从组合知识得到(a+b)4展开 式中各项的系数?
C.42 D. －42
解析：
Tk1 Ck7 (2x3 )7k (
1 x
)k
Ck7 (1)k
27k
21 7k
x 2 ,
令 21 7 k 0,
2
则k=6，故展开式中的常数项是
C67 (1)6 2 14 ,选答案A.
2.（2005年全国高考上海卷）在(x-a)10的展开 式中，x7的系数是15，则实数a的值为___-_1_/_2_.
C
4 4
种取法得b4.
ห้องสมุดไป่ตู้
(a+b)4= a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
那么(a+b)n =?
(a + b)n = Cn0an + C1nan-1b + ... + Cknan-kbk + ... + Cnnbn .
二项式定理：
(a + b)n = Cn0an + C1nan-1b + ... + Cknan-kbk + ... + Cnnbn .
(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
(1)若每个括号都不取b，只有C40 种取法得到a4；
(2)若只有一个括号取b，共有
C
1 4
种取法得到a3b；
(3)若只有两个括号取b，共有 C42 种取法得到a2b2； (4)若只有三个括号取b，共有 C43 种取法得到ab3；
(5)若每个括号都取b，共有
（2）求 (x 1 )9 的展开式中x3的系数。 x
解题归纳：利用通项公式解决问题比较简单规范。
例题3
求二项式 (3 3 1 )7的展开式中的有理项.
2
分析：方法一用通项公式（适用于任意次幂） 方法二用定理展开（次数较小时使用）
答案： 105 4
课堂小结
1.二项式定理
二项式定理(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+ Cnran-rbr+…+Cnnbn是通过不完全归纳法，并 结合组合的概念得到展开式的规律性，然后 用数学归纳法加以证明.
我们看到的二项展开式共有n+1项，其中
各项的系数 Ckn ( k 0,1, 2, ..., n )
叫做二项式系数（binomial coefficient）.
二项式定理：
(a + b)n = Cn0an + C1nan-1b + ... + Cknan-kbk + ... + Cnnbn .