椭圆方程及几何性质PPT课件

(2)离心率：e＝
c a
(0<e<1)．
(3)焦点到相应准线的距离：p＝
b2 c
.
(4)焦点在 x 轴上的椭圆焦点弦长 d
＝ a2－2ca2bc2os2θ(其中 θ 为倾斜角)
．
3．椭圆的几何性质
{M||MF1|＋|MF2|＝2a，(2a>|F1F2|)}
条件
{M|＝ |MdF1 1|＝|MdF2 2| ＝e(0<e<1)}
小结：椭圆中最值问题的求解策略：
总方针：建立目标函数（或目标不等式）
具体方法：
（1）转化成二次函数的最值问题。
（2）利用三角换元，转化成三角函数的最 值问题。
（3）结合圆锥曲线的定义，利用图形的几 何特征求最值。
（4）利用基本不等式放缩求最值。
考点三
Leabharlann Baidu椭圆的标准方程
椭圆标准方程的求法 (1)定义法； (2)待定系数法．若已知焦点的位置可
(2)平面内点M与定点F的距离和它到 定直线l的距离d的比是常数e(0<e<1)的点 的轨迹，即 |MdF|＝e
定点F为椭圆的 焦点 ，定直线l为椭
圆的 该焦点对应的准线 ．
2．椭圆中的几何量 (1)长轴|A1A2|＝ 2a ，短轴|B1B2|＝ 2b，
焦距|F1F2|＝ 2c ，且满足 a2＝b2＋c2 .
【答案】 2 120°
【点评】 椭圆的定义具有鲜明的特 点，即须是椭圆上的点与焦点的连线出 现时，才会出现椭圆的定义，因此，能 不能应用定义，也就应注意条件中是否 出现椭圆上的点与焦点的连线这种条 件．
考点二
椭圆中的最值问题
例2：求椭圆 x2 y2 1 上的动点P到其中 43
一个焦点F的距离的最大值和最小值。
椭圆方程及几何性质
基础知识梳理
1．椭圆的定义 的和(1等)平于面常内数一(大点于P与|F两1F定2|)点的F点1、的F轨2的迹距，离 即 |PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2| 若常数等于|F1F2|，则轨迹是线段F1F2 . 若常数小于|F1F2|，则轨迹 不存在 ．
注意：一定要注意椭圆定义中限制 条件“大于|F1F2|”是否满足．
e＝
c a
(0<e<1)
2b2 a
强化训练
1．(2009年陕西)“m>n>0”是“方程mx2 ＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的____ ____条件．
答案：充要
2.已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为 5 ，且过P(－5,4)，则
5
椭圆的方程为________．
答案：4x52＋3y62 ＝1
惟一确定标准方程；若焦点位置不确定， 可采用分类讨论法来确定方程的形式，也 可以直接设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1，其 中A，B为不相等的正常数或由已知条件设 椭圆系(如 xa22＋by22 ＝λ，λ>0)来求解，以 避免讨论和繁琐的计算．
例4
已知椭圆的中心在原点，焦点在 x
轴上，离心率为 22，且椭圆经过圆 C： x2＋y2－2 2x－2y＝0 的圆心 C.
y P
F
x
练习1：已知A(-1,1),B(1,0) 点P在椭圆 x2 y 2 1 上运动，求
43
PA+2PB的最小值。
练习2：求PA-PB的范围。
练习3：求PA+PB的最大值。
练习4：求椭圆 x2 y2 1 上 43
的动点P到直线 yx3的距离的最
小值。
例3：设P是椭圆 x2 y 2 1在第一象限的 4
标准方 程及 图形
xa22＋by22＝1 (a>b>0)
xb22＋ay22＝1
(a>b>0)
顶点
ABB112(((－00，，a,b－0))b，)，A2(a,0)，AAB121(((－00， ，b－a,0))，a，)，B2(b,0)
轴
对称轴： x轴、y轴，长轴长： |A1A2|＝2a ， 短轴长： |B1B2|＝2b
4（2010全国卷）已知F是椭圆C的一个焦
点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长
线交C于点D， 且BF=2FD，则C的离心率
为
.
5（2010湖北）:已知椭圆 c
:
x2 2
y2
1
的两焦点分别为 F 1 , F 2 , 点 P(x0 , y0 ) 满足
0___x_202___y，02 直 1,线则|xP0Fx1
点，A(2,0)、B(0,1)，O为原点，求四边形
OAPB的面积的最大值。
y
B
P
O
Ax
练习（2008 全国卷 ）设椭圆
中心在坐标原点，点 A(2,0),B(0,1) 是
它的两个顶点，直线 ykx (k0)
与 AB相交于点 D，与椭圆相交于 E, F
两点。
（Ⅰ）若 ED6DF，求k 的值；
（Ⅱ）求四边形 AEBF面积的最大值．。
2
|+|
PF
y0
2 |的取值范围为 y 1与椭圆C的公
共点个数_____。
考点一
椭圆的定义及应用
利用椭圆的定义可以将椭圆上的点到 两个焦点的距离进行转化，一般地，解决 与到焦点的距离有关的问题时，首先应考 虑用定义来解题．
例1
(09北京)椭圆 x92＋y22 ＝1的焦点为F1、F2， 点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝__；
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
准线 方程
l1：x＝－ac2，l2：x＝ac2
l1：y＝－ac2，l2：y＝ac2
焦半径
|MF1|＝a＋ex0， |MF2|＝a－ex0
|MF1|＝a＋ey0， |MF2|＝a－ey0
焦距 离心率
通径
|F1F2|＝2c(c>0)，c2＝a2－b2
∠F1PF2的大小为____．
【解析】 依题意，知 a＝3，b＝ 2， c＝ 7.
由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝6， ∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2.又|PF1|＝4， |PF2|＝2，|F1F2|＝2 7.在△F1PF2 中， 由余弦定理可得 cos∠F1PF2＝－12， ∴∠F1PF2＝120°.
3．(08年浙江)已知F1、F2为椭圆 2x52＋by22 ＝1(5>b>0)的两个焦点，过F1的直 线交椭圆于A，B点，若|F2A|＋|F2B|＝12， 则|AB|＝________.
解|B：F1由|＋椭|B圆F2定|＝义2a知，|A所F以1|＋|A|AFF1|＋2|＝|B2Fa1，|＋
||ABFF22||＋ ＝4|Ba，F2∴|＝|A4aB，|＝＝即44a|×A－5B－(||＋F12|2AA＝|F＋82|.|＋F2B|)