《投资学》第四章 投资组合的选择

一、确定最优风险资产组合 ——证券选择决策
确定最优风险资产组合:决定每种风险资
产占风险资产组合的比例，从而达到投资效 用最大化。
（非系统风险可以通过多种风险资产的组合来降低，因此投 资者会根据资产的期望收益与方差情况，来选择组合中的风 险资产，并考虑自己的风险厌恶程度）
12
补充：最小方差的风险资产组合的 比例推导
• 那么，在这一已确定的有效集上的哪一个点是 投资者想要的呢？（最优点？）
• 显然，投资者要根据自己的风险厌恶程度，需 用到效用无差异曲线。
9
无差异曲线图
• E(r)
–
•
I1
•
I2
•
I3
•
10
最优风险资产组合的确定
– E(r)
•
I1
B（股票）
•
I2
•
N I3
•
A（债券)
I2点是适合投资者风险偏好的最大效用的风险资产组 合。（此时，该组合中11A和B的构成比例即确定）
25
最优资本配置举例
• 还用上述例子中的数据。假定风险厌恶系数A为3 ，求此投资者的最优配置y*的值。有
• y*=[9%-3%]/(3×21%2)=45.35%
• 根据结果，应将资金的45.35%投资于风险资产， 54.65%投资于无风险资产。
• 整个资产组合的 • E(rc)=3%+(45.35%6%)=5.72% • C=45.35%21%=9.52%
• wmin(D)=[E2-DEρDE]/[D2+E2-2 DEρDE] 13
举例
• 令2D=10，2E=15，ρDE=-0.5代入上式，有
wmin(D)=[15-(-6.123)]/[10+15-2(-6.123)]
=(21.123)/(37.246)=0.567
wE=1-0.567=0.433 • 这个最小化方差的资产组合的方差为
• 2min=(0.567210)+(0.433215)
•
+(20.5670.433-6.123)=3.02
• 该组合为相关系数确定下的最小方差的资产组合。
• 这一组合的期望收益为：
• E(rp)= 0.56710%+0.43320%=14.33%
14
15
托宾的收益风险理论
托宾(James Tobin)是著名的经济学家，1955-56年，发 现马克维茨假定投资者在构筑资产组合时是在风险资产 的范围内选择，没有考虑无风险资产和现金，而实际上 投资者会在持有风险资产的同时持有国库券等低风险资 产和现金的。
斜率为正，即(9-3）/21；斜率越大，单位风险的风
险溢价越大，越优；其中(9-3）为风险溢价。 两个极端点：如果选择将全部投资投向风险资产（
y=1），期望收益与标准差就是E(rp)=9%， (y=P=02)1，%；期如望果收选益择与将标全准部差投就资是投E(向rf)无=3风%，险资f=产0 如果y=0.5，可以在直线上表示为F与P的中点。
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风险资产组合可行集的一般式
•
E(r)
•
•
•
•
•
N
•
•
B（股票）
• A（债券）
（思考：如果是多个资产呢？ N点怎么求？）
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风险资产组合有效集
•
E(r)
•
•
B（股票）
•
•
•
N
•
•
A（债券）
•
曲线NB为资产组合有效集
（ρ=-1或ρ=1 时资产组合有效集？）
8
• 在进行实际的投资选择时，由于两种资产的特 征值以及两者之间的相关系数已定，所以这个 资产组合的有效集就确定了。
课外分享（北大宣传片）
• 除非你亲自弄清楚什么是你真正想做的事，否则你会做一些 对你没有太大意义的事，你的生命就会变得十分悲惨，正因 为你过得很悲惨，你就必须从戏院、酗酒、阅读数不尽的书 籍、做社会改革的工作以及其他事情来让自己分心。
• 你一旦发现真正爱做的事，你就是一个自由的人了，然后你 就会有能力、信心和主动创造的力量。
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E
CAL(A) B
CAL(B)
A
8
D
5
5
10
314 5
20
25
最优投资组合的确定
E(rp)
资本配置线 p
rf 资产组合可行集
0
35
三种资产最优值的公式推导
• 目的是找出wA，wB值，以获得斜率最大的资本配置线（最高
的CAL线）因此，目标函数就是斜率，即SP， Sp=[E(rp)rf]/σp
• 约束条件：只要满足权重和=1，即wA + wB =1 ，有
• 如果A和B两个公司的股票的相关系数ρ=1 ，（1）求出该 投资者所有投资组合的收益与风险。（2）并在直角坐标 系中画出收益与风险的关系图。（用描点法画图）
• E(rP)= x1E(rA)+ x2E(rB)= 0.25x1 + 0.18x2
• P=x1A+x2B = 0.08x1 + 0.04x2
19
资本配置线（CAL）的形成图
E(rc)
E(rp)=9%
p
rf=3% F 0
21%
σc
20
资本配置线的意义
线段FP称为资本配置线：表示所有可能选择的无风 险资产与风险资产构成的资产组合。（不同的y值决 定线段上的不同位置）
实质上也是无风险资产与风险资产构成的资产组合 的可行集，也是其有效集。图中看出：
• 但是如果你不知道自己真正爱做的是什么，你只好去做人人 羡慕的律师、政客或这个那个，于是你就不会快乐，因为那 份职业会变成毁灭你自己及其他人的工具。
1
课外分享
• 弄清楚我们想做什么是世上最困难的事情之一。你 必须亲自去发现什么是你爱做的事，不要从适应社 会的角度来选择职业，因为那将使你永远无法弄清 楚自己到底爱做什么。
他指出，投资者首先在风险资产和无风险资产这两种资 产之间进行选择，他还得出：各种风险资产在风险资产 组合中的比例与风险资产组合占全部投资的比例无关。 即投资者的投资决策包括两个决策，资产配置和证券的 选择。
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二、最优资本配置决策
• 投资者首先面临的最基本的决策 • 资本配置决策：在投资组合中，决定风险
26
资本配置习题
• 假 设 你 管 理 一 种 预 期 回 报 率 为 18% 和 标 准 差 为 28%的风险资产组合基金；市场短期国债利率为 8%。
• 你的一委托人决定将其资产组合的70%投入到你 的基金中，另外30%投入到短期国债：
• 1、那么你的委托人的资产组合的预期收益率与标 准差各是多少？
• 根据前面的公式，我们可以得到以下两式： • E(rc)=rf +y[E(rp)-rf] • σ2C=y2σ2p • 将两式代入效用函数，有 • U=E(rc)-0.5A2C
=rf+y[E(rp)-rf]-0.5Ay2σ2p 求一阶导数U’=E(rp)-rf—Ayσ2p • 令导数为0，有： • y*=[E(rp)-rf]/Aσ2p
预期收益,E(r) 标准差,σ 相关系数,ρAB
债券A 8% 12%
股票B 13% 20% 0.30
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风险资产组合有效集
•
E(r)
•
•
B（股票）
•
•
•
N
•
•
A（债券）
•
32
无风险资产与风险资产构成的资产组合 的有效集
E(rc)
E(rp)
p
rf F 0
33
σc σp
由于B的斜率大于A，B更优。 最高的CAL线？ 因此，两条线相切时，切点所对应的组合P最优。
资产占多大比重，无风险资产占多大的比 重。 • 最优资本配置决策？
17
资本配置线的形成
•
假定某风险资产p =9% ，标准差为P
的=2期1%望，收无风益险率资为产E(Fr的P)
收益率为rf =3% ，令投资者在风险资产P的
投资比例为y，无风险资产的投资比例则为
1-y，则整个资产组合C的期望收益率为：
• Max Sp=[E(rp)-rf]/σp • 将两种风险资产组合的期望收益和标准差
• [E(rp)= wA E(rA)+ wB E(rB)]
• P2= wA 2A2+ wB 2B2+2 wA wB ABρAB代入目标函数，有
• MaxS =[w E(r )+ w E(r )-r ]/ p
A
A
B
Bf
• x1 =0.5
x1 =0.2
x1 =0
x1 =1
x2 =0.5
x2 =0.8
x2 =1
x2 =0
• 代入求解画图即可
如果A和B两个公司的股票的相关系数ρ=-1，ρ=0， ρ=0.5？
可以分别得到一条曲线，如下图
4
不同ρ下收益与风险的关系几何表达
（给定ρ值后变换A、B两种资产的投资比例）
• E(rp) 25
21
资本配置线的数学表达式
• 根据公式：E(rc)=rf +y[E(rp)-rf]
•
σC=yσp
• 将两式变形约去y，得
• E(rc)=rf +[E(rp)-rf] σC σp
无风险资产（组合）和风险资产（组合）所构
成的资产组合的CAL也一样。（风险资产组合
点是风险资产组合有效集上的一点）
22
资本配置线（CAL）的几何图
28
总结：最优风险资产组合的确定
百度文库
• E(r)
–
•
I1
B（股票）
•
I2
•
N I3
•
A（债券)
I2点是适合投资者风险偏好的最大效用的风险资产组
合
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总结：最优资本配置的确定
•
E(rp)=9% • • • • (rf)=3% F
•
0
•
p
21%
30
三种资产的最优资产组合 ——股票+债券+国库券
• 如果投资者投资组合中有三种资产：两种风险资产，一 是债券A，一是股票B；一种是年收益率为5%的无风险 短期国库券。有关数据如下：
•
ρ=-1
A（资金全部投在A上）
•
ρ=0.5
•
ρ=-0.5
•
ρ=1
•
18
B （资金全部投在B上）
•
•
0
4
8
5
风险资产组合的可行集
机会集合线：由某些给定资产所构建的全部资产组合的集合。 如上图中连接两个资产组合的连线，即为相关系数不同的两种风 险资产组合的可行集。从图中可以看出： 1、两个资产构成的资产组合的可行集是一条通过两个资产点的曲 线，随着相关系数的不断变小，这条曲线越是往左弯曲，弯曲程 度越来越高； 2、当集合线为直线（ ρ=1 ），表示分散化没有益处，不能降低风 险； 3、当 ρ=-1 ，曲线弯曲程度达到极限成一条折线，资产组合存在 一个完全对冲的机会，此时从分散化中获得最多利益，构造了一 个无风险资产组合； 4、当集合线为抛物线（ -1<ρ<1 ），表示从分散化中获得更多利 益，可以有效降低风险，且存在最小的方差组合（在图中找到， 也可通过数学推导出来）
• E(rc)=y E(rP) +(1-y)rf= 3%+y(9%-3%) = 3+6y
• 整个资产组合C的标准差为：
• σC=yσp=21y
18
资本配置线的形成
• 根据σC=yσp=21y，有y=c/21，将y代入 • E(rc)=3+6y • 得到 E(rc)=3+(9-3)/21σc
从式中可看出，此资产组合的期望收益率 是标准差的线性函数。 • 可以画出有关E(rc)和σc的几何图形
p
[wD2
2 D
wE2
2 E
1
2wDwECov(rDrE )] 2
• 用1-wA代替wB ，对其求导，令导数为零，有
• wA={[E(rA)-rf]B2-[E(rB)-rf]Cov(rA,rB)}/[E(rA)rf]B2+[E(rB)-rf]A2-[E(rA)-rf+E(rB)-rf]Cov(rA,rB)} 36
• 假定投资组合中的股票与债券的相关系数ρ 为确定值
• 求该组合方差的最小值？ （即图中N点） • 公式推导如下： • 由p2=w2DD2+ w2EE2+2wDwEDEρDE ， • 用(1-wD)来替代wE，有： • p2=w2DD2+(1-wD)2E2+2wD(1-wD)DEρDE • 求其一阶导数，令其等于0，有
• 2、在预期收益与标准差的图表上画出你的资产组 合的资本配置线(CAL)，并求出其斜率？
• 3、在该资本配置线上标出你的委托人的位置。 • 4、假设你的委托人风险厌恶程度为A=3.5，则 • a.应将占总投资额的多少（y）投入到你的风险资
产组合中，以达到其最佳资产组合？ • b差.你各的是委多托少人？的最佳资产27 组合的预期回报率与标准
• 发现你真正爱做的事，需要很深的专注力及洞察力 。你心中有爱，让爱自己去运作，它就会带来正确 的行动，因为爱是永远不会追求成就的，它也永远 不会陷入模仿中。
2
第四章 投资组合的选择
• 确定最优风险资产组合 • 最优资本配置决策
3
例题
• 假定投资者选择了A和B两个公司的股票作为组合对象，已
知数据为： E(rA)= 0.25 A=0.08 ; E(rB)= 0.18 B=0.04
E(rc)
E(rp)
p
rf F 0
23
σc σp
最优资本配置的确定
•
E(rp)=9% • • • • (rf)=3% F
•
p
•
0
21%
确定最优资本配置的程序是首先确定资本配置线，
然后沿这条线找到与效用2无4 差异曲线相切的点。
最优资本配置推导
• 在给定可行集中（资本配置线上）选出一个最优组 合（y值），从而使效用最大化。(y是投资者在风 险资产P的投资比例) 公式推导如下：