线性代数教案-线性空间与线性变换
第1章线性空间与线性变换讲义教材
l Amn = Dmn R mn ,
∴ Rm×n是一个线性空间。
5
例3 次数小于n 的多项式的全体，记作 P[x]n P[ x]n = { an1xn1 + + a1x + a0 an1, , a0 R }
(8) 1a = a
则称V 为数域 F 上的线性空间，称V 的元素为向量， 称满足(1)-(4)的和为加法，满足(5)-(8)的积为数乘。
3
例1. 实数域上全体 n 维向量的集合
R n = { ( x1, x2 , , xn )T | x1, x2 , , xn R } a = ( x1, x2 ,, xn )T , b = ( x1, x2 ,, xn )T Rn , k R
定义加法：
a + b = ( x1 + y1 , x2 + y2 , , xn + yn )T
定义数乘：
ka = (kx1, kx2 ,, kxn )T ,
Rn 是数域 R 上的线性空间。 Cn 是数域C 上的线性空间。
4
例2 实数域 R上的全体 m×n 矩阵，对矩阵的加法 和数乘运算构成 R上的线性空间，记作 Rm×n
例2 设
1 0 0
a1 = 2, a2 = 1, a3 = 0
3
2
1
为 R3 的一组基， 求a = (1,0,-1)T 在基
a1 , a2 , a3 下的坐标。
13
例3
求
R22 中的元素
A
=
1 1
2 1
，在基
第讲-线性空间与线性变换
V x1, x2, x3, x4 x1 x2 x3 x4 0, x2 x3 x4 0, x1, x2 , x3, x4 R
（1）求V的基和维数；
（2）求V的一组标准正交基。
解 由V的构成可知，V是4元齐次线性方程组
x1 x2
x2 x3
x3 x4 x4 0
证 （1）由加法的定义知 V1 V2 对加法封闭，并容 易验证加法满足交换律与结合律。且
设 1,2分别是V1,V2 中的零元，则1,2 是V1 V2 的
零元。
对1,2 V1 V2 , 存在 1, 2 V1 V2 , 使得
1,2 1, 2 1,2 .
其次由数乘的定义知 V1 V2 对数乘封闭，且
构成V的一个子空间，称之为由1,2, ,s 生成的子空
间，记为L 1,2, ,s .
验证线性空间V的非空子集W是否构成子空间，只 要验证W对于V的两种线性运算的封闭性。
2、线性子空间的有关结果
（1）如果数域P上的线性空间V的非空子集W对于V的
两种线性运算封闭，即对于任意, W 有 W ,又 对于任意 k P, W 有 k W ，则W是V的子空间。
a1, a2 , , an .
设1,2, ,s 是线性空间V中的一组元素，则
dim L 1,2, ,n r1,2, ,n
且元素组 1,2, ,s 的任一极大线性无关组都是生成
子空间 L 1,2, ,s 的基。
设W是数域P上 n 维线性空间V的一个m 维子空间，
1,2, ,m 是W的一组基，则这组元素必可扩充成V 的一组基。即在V中必可找到n m个元素m1,m2, ,n 使得1,2, m,m1, ,n 是V的一组基。
dimV . 即V 不是有限维线性空间。
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、前言1. 教学目标：使学生理解线性代数的基本概念、理论和方法，培养学生运用线性代数解决实际问题的能力。
2. 适用对象：本教案适用于大学本科生线性代数课程的教学。
3. 教学方式：采用讲授、讨论、练习相结合的方式进行教学。
二、教学内容1. 第一章：线性代数基本概念1.1 向量及其运算1.2 线性方程组1.3 矩阵及其运算1.4 行列式2. 第二章：线性空间与线性变换2.1 线性空间2.2 线性变换2.3 矩阵与线性变换2.4 特征值与特征向量3. 第三章：特征值与特征向量3.1 特征值与特征向量的定义3.2 矩阵的特征值与特征向量3.3 矩阵的对角化3.4 二次型4. 第四章：线性方程组的求解方法4.1 高斯消元法4.2 克莱姆法则4.3 矩阵的逆4.4 最小二乘法5. 第五章：线性代数在实际应用中的案例分析5.1 线性规划5.2 最小二乘法在数据分析中的应用5.3 线性代数在工程中的应用5.4 线性代数在计算机科学中的应用三、教学方法1. 讲授：通过讲解线性代数的基本概念、理论和方法，使学生掌握线性代数的基础知识。
2. 讨论：组织学生就线性代数中的重点、难点问题进行讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
3. 练习：布置适量的练习题，让学生通过自主练习巩固所学知识，提高解题能力。
四、教学评价1. 平时成绩：考察学生的出勤、作业、课堂表现等方面，占总评的30%。
2. 期中考试：考察学生对线性代数知识的掌握程度，占总评的40%。
3. 期末考试：全面测试学生的线性代数知识水平和应用能力，占总评的30%。
五、教学资源1. 教材：推荐使用《线性代数》（高等教育出版社，同济大学数学系编）。
2. 辅助教材：可参考《线性代数教程》（清华大学出版社，谢乃明编著）。
3. 网络资源：推荐学生浏览线性代数相关网站、论坛，拓展知识面。
4. 软件工具：推荐使用MATLAB、Mathematica等数学软件，辅助学习线性代数。
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、前言1. 教学目标（1）理解线性代数的基本概念和原理；（2）掌握线性代数的基本运算方法和技巧；（3）能够应用线性代数解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性方程组；（2）矩阵及其运算；（3）线性空间和线性变换；（4）特征值和特征向量；（5）二次型。
二、第一章：线性方程组1. 教学目标（1）理解线性方程组的定义和性质；（2）掌握线性方程组的求解方法；（3）能够应用线性方程组解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性方程组的定义和性质；（2）线性方程组的求解方法：高斯消元法、克莱姆法则；（3）线性方程组的应用：线性规划、电路方程等。
三、第二章：矩阵及其运算1. 教学目标（1）理解矩阵的定义和性质；（2）掌握矩阵的运算方法；（3）能够应用矩阵解决实际问题。
2. 教学内容（1）矩阵的定义和性质；（2）矩阵的运算：加法、数乘、乘法；（3）矩阵的逆矩阵及其求法；（4）矩阵的应用：线性方程组、线性变换等。
四、第三章：线性空间和线性变换1. 教学目标（1）理解线性空间和线性变换的定义和性质；（2）掌握线性变换的表示方法；（3）能够应用线性变换解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性空间的定义和性质；（2）线性变换的定义和性质；（3）线性变换的表示方法：矩阵表示、坐标表示；（4）线性变换的应用：图像处理、信号处理等。
五、第四章：特征值和特征向量1. 教学目标（1）理解特征值和特征向量的定义和性质；（2）掌握特征值和特征向量的求法；（3）能够应用特征值和特征向量解决实际问题。
2. 教学内容（1）特征值和特征向量的定义和性质；（2）特征值和特征向量的求法：幂法、矩阵对角化；（3）特征值和特征向量的应用：线性变换、振动系统等。
六、第五章：二次型1. 教学目标（1）理解二次型的定义和性质；（2）掌握二次型的标准形和规范形；（3）能够应用二次型解决实际问题。
2. 教学内容（1）二次型的定义和性质；（2）二次型的标准形和规范形：配方法、矩阵的对角化；（3）二次型的应用：最小二乘法、优化问题等。
线性代数与解析几何 第7章 线性空间与线性变换
§ 7.1 线性空间的定义与性质
7.1.1 线性空间的定义
7.1.2 线性空间的性质
7.1.3 子空间
§ 7.1 线性空间的定义与性质
7.1.1 线性空间的定义
定义7.1
设是一个非空集合，为实数域. 若在中定义
了两种运算，一种运算称为加法：即对于中任意两个元素
, ，在中都有唯一的元素与它们相对应，称为与的
证明
因为 a, b R , R
有 a b ab R , a a R
即R+对上述定义的加法与数乘运算封闭.
a
,
b
,
c
R
, , R 时，有
又因
(1) a b ab=ba b a ;
(2) (a b) c (ab) c (ab)c a(bc) a(b c) a (b c) ;
A R mn
又对矩阵加法和数与矩阵的乘法两种运算满足线性运算规律，
所以R mn对矩阵加法和数与矩阵的乘法，构成实数域R
上的线性空间，称此线性空间为mn矩阵空间.
§ 7.1 线性空间的定义与性质
注7.1
检验一个集合是否构成线性空间，当然不能只象例
7.1、例7.2、例7.3那样检验对运算的封闭性.若所定义的加法
(7) ( + ) a a a a a a a a ;
(8) (a b) (ab) (ab) a b
a b a b ;
所以R+对上述定义的加法与数乘运算构成线性空间.
*第7章
线性空间与线性变换
线性空间又称向量空间，是线性代数的中心内容和
线性代数教案-第一章 线性空间
第一章线性空间一、教学目标与基本要求数学的特点之一是抽象.从实数、复数、实值函数、无穷级数、向量等数学对象中,可以抽象出它们的共同特点:同一集合中的元素彼此可以相加,可与数相乘,这些运算还遵从一些共同规律.本章讨论的线性空间,就是针对上述特点建立的一种一般性的数学概念.它包括了所有前面提到的实例,另有许多数学对象也可归属其中.数学中所谓空间,就是具有某些特性的集合.所谓线性空间,概言之就是这样一个集合:在其上定义了称为加法和数乘的两种运算,并可在该集合上实施(准确的定义见后详述).在此,既不强调集合元素的本来属性,又不规定这两种运算是如何实施的,只规定运算具有称为公理的某些性质.1 线性空间的定义及例定义1.1.1设V是一个非空集合,其元素用x、y、z等表示.V被称为一个线性空间,如果它满足以下被分为三组由10条公理构成的公理体系:1.1.1封闭公理公理1(加法封闭公理)在V中定义了加法运算:对于V中任意两个元素x和y,有唯一的V中的元素与之对应并被称为x与y的和,记为x＋y.公理2(数乘封闭公理)在V中定义了实数乘法(简称数乘)运算:对于V中任意元素x和任意实数a,有唯一的V中的元素与之对应并被称为a与x的积,记为a x.加法运算和数乘运算合称线性运算.1.1.2加法公理公理3 (交换律)对于任意x,y∈V,有x++.=xyy公理4(结合律) 对于任意x,y,z∈V,有+x+=+.+y))z(z(yx公理5 (零元素存在性)V中存在一个记为θ的零元素,对于任意x∈V,有+.x=xθ-的x的负元素,使公理6 (负元素存在性)对于任意x∈V,V中存在记为x+)-(.θx=x1.1.3数乘公理公理7(结合律)对于任意x∈V,任意实数a和b,有b(aba=.x)x()公理8 (加法分配律)对于任意x ,y ∈V 及任意实数a ,有y x y x a a a +=+)(.公理9(实数相加分配律)对于任意x ∈V ,任意实数a 和b ,有x x x b a b a +=+)(.公理10(单位元素存在性)对于任意 x ∈V ,有x x =1.以上定义的线性空间,有时被称为实线性空间,以强调数乘运算是实数相乘.数乘运算也可以是复数相乘,此时的线性空间被称为复线性空间.线性空间又被称为向量空间,其元素可被称为向量.实数和复数被统称为数.本书主要讨论实线性空间,但所得结果在复线性空间中也成立.从线性空间的公理体系容易推得以下结论:(1)零元素是唯一的.(2)任意元素的负元素是唯一的.将差y x -定义为)(y x -+.(3)如果θx =a ,则0=a 或θx =.(4)θx =0；θθ=a ；)()()(x x x -=-=-a a a(5)若a x =a y 且0≠a ,则x =y .(6)若a x =b x 且θx ≠,则a =b .(7)y x y x y x --=-+-=+-)()()(.(8)x x x 2=+,x x x x 3=++,一般地有:n 个x 相加等于n x .定义1.1.2设V 是一个线性空间,S 是V 的一个非空子集.如果S 对于V 中定义的加法和数乘也构成一个线性空间,则称S 为V 的子空间.推论:线性空间V 的非空子集S 成为V 的子空间的充分必要条件是:S 中加法和数乘两种运算满足封闭公理.定义1.1.3设S 是线性空间V 的一个非空子集.集合{x ＝∑=k i i a1x i ︱k x x ,, 1∈S ；k a a ,, 1∈R ；k 是任意正整数}被称为S 中元素的有限线性组合.由于这是V 的一个子空间,故又被称为S 生成的子空间,记为L (S )2 线性空间中的相关集和独立集定义1.2.1设S 是线性空间V 的一个子集合.如果S 中存在由不同元素构成的有限集}{1k x x ,, ,以及不全为零的一组数k a a ,,1,使 ∑=k i i a1x i θ=(1.2.1)则S 称是相关集(又称线性相关集).当k a a ,, 1不全为零时,(1.2.1)式被称为零元素θ的一种非平凡表示.若S 不是相关集,则被称为独立集(又称线性无关集).等价说法是:对于S 中任意选定的不同元素k x x ,, 1,等式∑=k i i a1x i θ=蕴涵了01===k a a ,则S 是独立集.定理1.2.1 设S =}{1k x x ,, 是线性空间V 中k 个元素构成的独立集,L (S )是S 生成的子空间.则L (S )中任何k ＋1个元素构成的集合是相关的.3 基 维数与坐标定义1.3.1 设S 是线性空间V 中的一个有限集.若S 是独立集且V 由S 生成,则称S 是V 的一组有限基.若V 有一组有限基或V 只含零元素,则称V 为有限维空间；否则称为无限维空间.定理1.3.1 设V 是有限维线性空间,则V 的任何一组有限基与别的有限基所含元素个数相同.定义1.3.2 若线性空间V 有一组由n 个元素组成的基,则称整数n 为V 的维数,记为dim V n =.若}{θ=V ,则规定dim V 0=.R n 的维数是n (这是称R n 为n 维向量空间的缘由),}{1n e e ,, 是其一组基,被称为R n 的常用基.定理1.3.2设V 是n 维线性空间,则(a )V 中任何独立集必是V 的某组基的子集；(b )V 中任何由n 个元素组成的独立集必是V 的一组基.定义1.3.3在n 维线性空间V 中,给定确定了元素顺序的一组基}{1n e e ,, ,则对任意x ∈V ,有x ini i c e ∑==1. (称x 可表为这组基的线性组合,或称x 可被这组基线性表示)其中系数n c c ,, 2是由元素x 及这组基唯一确定的.这组系数就被称为x 在基}{1n e e ,, 下的坐标,记为)(1n c c ,,.4 内积 欧氏空间 范数定义1.4.1 设V 是实线性空间.如果对于V 中任意元素x 和y ,对应着唯一的实数,记为(x ,y ),满足以下4条公理:公理1(对称性) )()(x y y x ,,=,公理2(加性) )()()(z y y x z y x ,,,+=+,任意z ∈V ,公理3(齐性) )()(y x y x ,,c c =,任意c ∈R ,公理4(正定性) )(x x ,≥0,当且仅当x =θ时,0)(=x x ,,则称)(y x ,是x ,y 的内积.并称V 是一个欧几里德(Euclid )空间,简称欧氏空间.定义1.4.2在欧氏空间中,非负实数)(x x ,被称为元素x 的范数,记为||||x .为了在欧氏空间中引入两向量间夹角的概念,需要下面的定理.定理1.4.1(柯西—许瓦兹(Cauchy —Schwarz )不等式) 在欧氏空间中,有|)(|y x ,≤||||x ||||y .这里x ,y 是该空间中任意元素.当且仅当x 与y 相关时,上式取等号.定义1.4.3在欧氏空间中,任意两非零元素x 和y 之间的夹角ϕ(0≤ϕ≤π)按下式定义|||| |||| )(cos y x y x ,=ϕ. 注意:正是柯西—许瓦兹不等式保证了这个定义的准确性.关于范数,本书将作较深入的讨论.定理1.4.2在欧氏空间中,范数具有以下性质:(1) ||||x ≥0,当且仅当θx =,0||||=x (正定性)；(2) ||||||c c =x ||||x (正齐性)；(3) ||||y x +≤||||x +||||y (三角不等式).这里, x ,y 是该空间任意元素,c 是任意实数.5 欧氏空间中的正交性定义1.5.1 设是V 一个欧氏空间.对于任意x ,y ∈V ,如果0),(=y x ,则称x 与y 正交.又:设S 是V 的一个子集,若对于任意相异的x ,y ∈S 有0),(=y x ,则称是S 一个正交集.若一个正交集中任何元素的范数均为1,则称它是一个标准正交集.显然,零元素与V 中任何元素正交；零元素是唯一的与自己正交的元素.下面的定理表明了正交和独立之间的关系.定理1.5.1 在欧氏空间V 中,一个不含零元素的正交集是独立集.若dim V =n ，则任何一个包含n 个非零元素的正交集是V 的一组基.定理1.5.2设V 是有限维欧氏空间, dim V =n ，}{1n S e e ,, =是V 的一组正交基.对于任意x ∈V ,若x 关于基S 的坐标是)(1n c c ,, ,则)()(j j j j c e e e x ,,=,n j ,, 1=.若进一步假设S 是一组标准正交基,则j c =)(j e x ,,n j ,,1=. 定理1.5.3设V 是一个维欧氏空间,}{1n e e ,, 是V 的一组标准正交基.对于任意x ,y ∈V ,若设x ,y 在这组基下的坐标分别是)(1n a a ,, ,)(1n b b ,, ,则有)()()(1i n i i e y e x y x ,,,∑==∑==ni i i b a 1 (1.5.1)∑∑====n i ni i i a 11222|)(|||||e x x ,. (1.5.2) 定理1.5.4 设}{21 ,,x x 是欧氏空间V 中的一个有限或无限序列,)(1k L x x ,, 表示由该序列前k 个元素生成的子空间.那么,V 中存在序列}{21 ,,y y ,对于可能取到正整数k ,具有以下性质:(1) 元素k y 与)(11-y y k L ,， 中任意元素正交；(2) )()(11k k L L x x y y ,，,， =；(3)除去数量因子,序列}{21 ,,y y 是唯一的(即若另有序列}{21 ,,y y ''满足性质(1)和(2),则有实数k c 使k y 'k k c y =, ,,21=k ). 1y =1x ,∑=+++-=r i i i i i r r r 1111)()(y y y y x x y ,,,11-=k r ,, . 这里给出的由一组独立集}{1k x x ,， 来构造由非零元素组成的正交集}{1k y y ,， 的过程,称为施密特(Schmidt )正交化过程.而且,}{1k y y ,， 生成的子空间与}{1k x x ,， 生成的子空间完全相同.而当}{1k x x ,， 是有限维欧氏空间的一组基时,}{1k y y ,， 就是一组正交基.而且,每一个i y 除以它的范数,就得到一组标准正交基.定理1.5.5任何有限维欧氏空间均存在标准正交基.它可由任何一组基经施密特正交化过程然后单位化而得到.6 同 构定义1.6.1设V ,W 是两个非空集合.若给定一个法则T ,使V 中任何元素x 都有W 中唯一确定的元素y 与之对应,则称T 是V 至W 的一个映射,记为T :V →W . y 被称为x 在T 下的像,记为)(x T y =.x 被称为y 在T 下的原像.称V 为T 的定义域.称V 中全体元素在T 下的像集合为T 的值域,记为T (V ).据此定义知,V 中元素x 在T 下的像是唯一的,但W 中元素y 在T 下未必有原像,若有也未必唯一.定义1.6.2设T 是V 至W 的映射.若T (V )=W ,则称为满射.据此定义知,T 为满射的充分必要条件是:对任意y ∈W ,存在x ∈V ,使y =T (x ).但这样的x 未必唯一.定义1.6.3设T 是V 至W 的映射.若V 中相异的元素在映射T 下的像也相异,即若有21x x ≠,则必有)()(21x T x T ≠,则称T 为单射.据此定义知,若)()(21x T x T =蕴涵21x x =,则T 为单射.定义1.6.4若V 至W 的映射T 既是满射又是单射,则称T 为双射,又称为1-1映射. 下面给出两个线性空间同构的定义.定义1.6.5设V ,V '均是线性空间.如果存在一个V 至V '的1-1映射T ,对任意x ,y ∈V 及任意实数c ,满足性质:(1))()()(y x y x T T T +=+,(2))()(x x T c c T =.则V 和V '是同构的.这样的映射T 被称为V 至V '的同构映射.通常把满足上述性质(1)和(2)的任何映射称为线性映射.所谓同构映射,就是一个线性1-1映射.定理1.6.1任何n 维线性空间与nR 是同构的.定义1.6.6设V ,V '均是欧氏空间,如果存在V 至V '的线性1-1映射T , 对任意x ,y ∈V ,满足性质 )())()((y x y x ,,=T T , (1.6.1)则称V 和V '是同构的.这样的映射T 被称为V 至V '的同构映射.由(1.6.1)式可以推得:对任何x ∈V ,有||||||)(||x x =T .故具有(1.6.1)式性质的映射又称为保范映射.因此,欧氏空间间的同构映射,必是一个保范的线性1-1映射.由于内积可用坐标表达(见定理1.5.3),故任何n 维欧氏空间与nR 是同构的.二、 教学内容及学时分配：第一节线性空间的定义2课时第二节线性空间中的相关集和独立集 2课时第三节基 维数与坐标 2课时第四节内积 欧氏空间 范数 2课时第五节欧氏空间中的正交性2课时三、教学内容的重点及难点：1．线性空间的概念2．判定相关集和独立集；3．判定线性空间的基及维数；4．了解内积. 欧氏空间. 范数. 及欧氏空间中的正交性。
线性代数--第五章++线性空间与线性变换
线性变换ℱ具有下列简单性质:
(1) ℱ(0)=0;
(2) ℱ()= ℱ();
(3) ℱ(x11+x22+…+xmm)
=x1ℱ(1)+x2ℱ(2)+…+xmℱ(m)
二. 线性变换的矩阵
设ℱ为线性空间VK的一个线性变换, 1, 2,…, n是VK的一组基, VK, 如果 =x11+x22+…+xnn, 则
定义5.2 设V是一个非空集合, K是一个数域, 如果在V上定义了加法和与K中数的乘法 两种运算, 且满足
(1) +=+(加法交换律); (2) (+)+=+(+)(加法结合律); (3) V中有零元素0, 使V有 +0= ; (4) V, -V, 使 +(-)=0, 称-为的负元素; (5) k(+)=k+k , , V, kK; (6) (k+l)=k+l , V, k, lK; (7) (kl)=k(l ) , V, k, lK; (8) 1= , V, 1K;
-1=(-1)+0=(-1)+(+(-2)) =((-1)+)+(-2)=0+(-2)=-2
3. 0=0, k0=0, V, kK 0+=0+1=(0+1)=, 由1.得0=0 .
4. 若k=0, 则, k=0或=0. =1=(1/kk)=1/k(k)=1/k0=0
三. 子空间 定义5.3 设U是线性空间V的一个非空子集. 如果U对V的加法和乘数两种运算也构成 线性空间, 则称U是V的子空间.
ℱ()=x1ℱ(1)+x2ℱ(2)+…+xnℱ(n) 即, ℱ()是由ℱ(1), ℱ(2),…, ℱ(n)唯一确定的.
线性代数学习课件讲义-第六章 线性空间与线性变换
第六章 线性空间与线性变换第一节 线性空间的定义与性质一 线性空间定义1 数域 P 是数集合，满足以下条件称为数域1． 包含零元素、单位元素；即 ;1,0P P ∈∈2． 对以下运算封闭： ⇒∈∀P b a ,)0(,,,≠∈∈∈-∈+b P baP ab P b a P b a定义2 线性空间V 非空集合 V ∈γβα,,，P 数域 P ∈νμλ,,， 建立两种运算加法 ⊕， 数乘对于两种运算封闭 V V ∈∈⊕αλβα ;关于定义的两种运算满足以下8条运算规律：1） 加法交换律 αββα⊕=⊕ 2） 加法结合律γβαγβα⊕⊕=⊕⊕)()(3） 存在零元素 αθαθ=⊕∈,V 4） 存在负元素,αβθβα-=⇒=⊕V ∈-α 5） 分配律 αμαλαμλ ⊕=+)(6） 分配律βλαλβαλ ⊕=⊕)(7） 结合律 αλμαμλ )()(= 8） 单位 P ∈=1,1ααV 称为线性空间（向量空间），V ∈γβα,,称为向量。
注意：* 线性空间中的元素不一定是通常意义下的向()Tn a a a ,,,21 但是统称为向量* 定义的加法和数与向量的乘法不一定是通常意义下的加法与向量的乘 法。
例 1 n 元有序数组构成的向量()Tn a a a ,,,21 的集合，关于通常意义下的加法与向量的乘法，封闭；满足（1）-（8）条性质。
这个集合构成向量空间，记为nR 。
例2 设 },),({2121R a a a a V ∈==α和实数域R ，定义两种运算V b b a a ∈==∀),(),,(2121βα R k ∈)(2211b a b a ++=⊕，βα， )0,(1ka k =α显然 第8条性质不满足αα≠=)0,(11a所以，V 不能构成线性空间。
例3 线性齐次微分方程的解}0)()(')('')({=++==x qy x py x y x f y V在V 中定义两种运算是通常函数的加法与数乘显然 齐次微分方程的解121,ky y y +仍然是它的解，（1）-（8）条性质满足， 所以形成线性空间。
《线性代数》教学课件—第6章 线性空间与线性变换 第四节 线性变换
变换的概念是函数概念的推广. 例如, 设二元 函数 z = f(x, y) 的定义域为平面区域 G , 函数值域 为 Z , 那么, 函数关系 f 就是一个从定义域 G 到实 数域 R 的变换; 函数值 f( x0 , y0 ) = z0 就是元素 (x0 , y0) 的像, (x0 , y0) 就是 z0 的源; G 就是源集, Z 就是像集.
(2) 如果 T(p) = a0 , 那么 T 也是一个线性变 换. 这是因为
T(p + q) = a0 + b0 = T(p) + T(q) ; T(kp) = ka0 = kT(p). (3) 如果 T1(p) = 1, 那么 T1 是个变换, 但不 是线性变换, 这是因为
T1(p + q) = 1,
证明 设 证1 ,明2 设T(V1n,),则2 有T(V1n,),则2 有Vn 1, 使, 2
性质 5T使1 =T(1 ,)TT=021 =的=全21 ,,体T2 = 2 ,
从而 ST =从{ 而 | Vn , T( )= 0 },
也是 Vn的1 +子空2 =间T.11S++TT称2=为2 T=线T1性(+变1T+换2 2=T) T的(T核1(V+.n),2) T(V
证明 用归证纳明法证用.归当纳法m =证1. , 当结论m显= 然1 ,;结设证论对显毕然 性1 ,质···,3m-若11,·1V··,n,,2km1,-1·,····,,Vknmm,-线k11性, ·R·相·,有关km,-1则 R 有
T(1), T(T2)(,k·1··1, T+(k2Tm()2k亦1+线·1··+性+k相k2m-关21+.m··-·1)+ km-1m-1)
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、前言1. 教学目标：使学生理解线性代数的基本概念和性质，掌握线性代数的基本运算和应用，提高学生解决实际问题的能力。
2. 教学内容：本章主要介绍线性代数的基本概念、线性方程组、矩阵及其运算、线性空间和线性变换。
3. 教学方法：采用讲解、案例分析、练习相结合的方法，引导学生主动探究、积极参与，培养学生的逻辑思维和抽象思维能力。
二、第一节线性代数的基本概念1. 教学目标：使学生了解线性代数的发展历程，理解向量、线性方程组、线性空间等基本概念。
2. 教学内容：a. 线性代数的起源和发展；b. 向量的定义和性质；c. 线性方程组的解法；d. 线性空间的定义和性质。
3. 教学方法：通过讲解和案例分析，让学生了解线性代数的历史背景，通过练习，巩固基本概念。
三、第二节线性方程组1. 教学目标：使学生掌握线性方程组的求解方法，会运用线性方程组解决实际问题。
2. 教学内容：a. 线性方程组的矩阵表示；b. 高斯消元法求解线性方程组；c. 克莱姆法则；d. 线性方程组在实际问题中的应用。
3. 教学方法：通过讲解和练习，使学生掌握线性方程组的求解方法，培养学生解决实际问题的能力。
四、第三节矩阵及其运算1. 教学目标：使学生理解矩阵的概念，掌握矩阵的运算规则，会运用矩阵解决实际问题。
2. 教学内容：a. 矩阵的定义和性质；b. 矩阵的运算（加法、数乘、乘法）；c. 逆矩阵的概念和性质；d. 矩阵的应用。
3. 教学方法：通过讲解和练习，使学生掌握矩阵的基本运算，培养学生解决实际问题的能力。
五、第四节线性空间和线性变换1. 教学目标：使学生了解线性空间和线性变换的概念，理解它们在数学和其他领域的应用。
2. 教学内容：a. 线性空间的概念和性质；b. 线性变换的定义和性质；c. 线性变换的应用。
3. 教学方法：通过讲解和案例分析，使学生了解线性空间和线性变换的基本概念，培养学生的抽象思维能力。
六、第五节行列式1. 教学目标：使学生理解行列式的概念，掌握行列式的计算方法，会运用行列式解决实际问题。
《线性代数》(第二版)智能教学系统 电子教案 第三章 线性空间与线性变换 第一节
组
线
性
空
这
些
定
以
搬
到
的
结
论
n 为 间 义 数 .
元 元
的 出 域
数 素
一 发
F
组
相
应
概
念
的
定
义
完
全
相
同
的
向
量
空
间
，
就
是
我
们
这
里
个
实
例
.
不
仅
如
此
，
在
上
一
对
n
元
数
组
所
作
的
那
些
论
证
上
的
抽
象
的
线
性
空
间
中
来
并
2. 几个常用结论
单个向量 是线性相关的充分必要 条件是 = 0 . 两个以上的向量 1 , 2 , …, s 线性
相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可以表
为其余向量的线性组合.
证明 只证两个以上的情形.
先证必要性
设 1 , 2 , … , s 线 性 相 关 ， 则
存 在 不 全 为 零 的 k1 , k2 , … , ks 使 得
k1 1 + k2 2 + … + ks s = 0.
为 表 述 简 便 ， 不 妨 设 k1 0 , 于 是
当 F = R 时，得到 n 维向
量空间 Rn 的定义. 线性空间就是 n 维向量空间的
推广.
1. 定义
设 V 是一个非空集合，F 是一个数 域. 在 V 中定义了两种代数运算：
(完整word版)线性代数教案
二次型是一个二次齐次多项式，其一般形式为$f(x_1, x_2, ..., x_n) = sum_{i=1}^{n}sum_{ j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$，其中$a_{ij}$是常数，$x_i$是变量。
标准型表示方法
通过正交变换，二次型可以化为标准型$f = lambda_1y_1^2 + lambda_2y_2^2 + ... + lambda_ny_n^2$，其中$lambda_i$是二次型的特征值。
03 向量空间与线性变换
向量空间概念及性质
向量空间定义
设V是一个非空集合，P是一个数域，若对V中任意两个元素α与β，总有唯一元素γ∈V与之对应，称为α与β的和 ，记为γ=α+β，且在加法运算下V封闭；又对P中任意数与V中任意元素α，总有唯一元素δ∈V与之对应，称为该 数与α的积，记为δ=kα(k∈P)，且在数乘运算下V封闭，则称V是数域P上的线性空间，或向量空间。
向量空间维数
设V是数域P上的线性空间，若V中存在一个由n个向量组成的 基，且任意n+1个向量都线性相关，则称n为V的维数，记为 dimV=n。若V中不存在由有限个向量组成的基，则称V为无 限维的。
04 方程组求解与矩阵秩
齐次线性方程组求解方法
01
02
03
高斯消元法
通过消元将系数矩阵化为 上三角矩阵，然后回代求 解未知数。
向量空间性质
向量空间具有8条基本性质，包括加法交换律、加法结合律、零元存在性、负元存在性、数乘分配律、数乘结合 律、数乘单位元存在性以及数乘零元存在性。
线性变换定义及性质
线性变换定义
设V和W是数域P上的两个线性空间，σ是V到W的一个映射，若对V中任意元素α 、β和P中任意数k，都有σ(α+β)=σ(α)+σ(β)，σ(kα)=kσ(α)，则称σ是V到W的 一个线性映射或线性变换。
《线性代数》教学课件—第6章 线性空间与线性变换 第三节 基变换与坐标变换
第 三 节 基变换与坐标变换
主要内容
定义 坐标变换公式
由例 6 可见, 同一元素在不同的基下有不同 的坐标, 那么, 不同的基与不同的坐标之间有怎样 的关系呢?
一、定义
设 1 , 2 , ···, n 及 1 , 2 , ···, n 是线性空
间 Vn 中的两个基, 且有
1 p111 p212 pn1n ,
x1
x2
P
x2
,
或
x2
P
1
x2
.
xn
xn
xn
xn
证明 证明 x1
x1
x
x
(3)
x1 x
pn2
2
PT
2
(p1P,nn 2xx足两x,1n2变种n,,换坐或这n公标个)P式满定xxx（1n2足理2坐n的）标P逆变命1 换题xxx1n2公也式成（立3.）即若，任则一两元个素基的满
例8
在 R3 中求向量
3
7
在基
1
1
1 3,
5
6
2 3,
2
3
3 1
0
下的坐标.
解 求向量 在基 1 , 2 , 3 下的坐标,即
用基 1 , 2 , 3 表示向量 . 用矩阵的初等行变
本若请本若请本若请节想本单若请节想本单若请本若节想请本单若内请结本若节击想请本单若内请结本若节击想请本单若节想内请结本 本单若 若节击想请 请本容单若束节想内请返结本 本单若 若节击想请 请本容单若束节想内请返结本单若节击想内请结本容单若束节节击想 想内请返结本单单若节已击想本内请结本容单若回束节 节想 想击内请返结单单节已击想本内结本容单若回束节想击内请返结容单束节已击想本内内返结 结本容单若回束节击想击内结请返结堂容单束节已击想按本内 内返结 结本容单若回束击击内结请返结堂容束节已击想按本内返结本容单若回束已击本内结请返结堂容容回束 束节已击想按本内返返结容束单回束课已击本内结返结钮堂容 容回束 束节已击想按本返返容束单回束课已本内结返结钮堂容回束节已击想按本结返堂容束单回束课已已按本 本内结返结钮堂容回回束已击按本,结返堂容束回束课.已 已按本 本内结!返结钮堂回回已击按本,结堂容束回束课.已按本内结!返结钮堂束回课已击按本,结结钮堂 堂容束回束课.已按按本结!返钮堂束回课已按本,结 结钮堂 堂容束回束课.按按结!返钮堂束课已按本,结钮堂容束回束课.按,结!返钮堂束束课 课.已按本,结!钮钮堂束回课.按,结!钮堂束 束课 课.已按本,!钮钮束回课.,结!钮堂束课.已按本,!钮束回课.,,结!钮堂束课..按,!!钮束课.,,结!钮堂..按,!!束课.,结!钮堂.按,!束课.,!钮.,!束课.!钮,束课.!钮,.!,.!,.!
《线性代数》教学课件—第6章 线性空间与线性变换 第一节 线性空间与线性变换
(i) + = + ;
(ii) ( + ) + = + ( + ) ; (iii) 在 V 中存在零元素 0， 对任何 V ,
都有 + 0 = ;
(iv) 对任何 V , 都有 的负元素 V,
使
+=0;
(v) 1 = ;
(vi) ( ) = ( ) ;
(vii) ( + ) = + ; (viii) ( + ) = + .
例 3 正弦函数的集合
S[x] {s Asin(x B) | A, B R}
对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成向量
空间. 这是因为通常的函数加法及乘数运算显然 满足线性运算规律, 故只要验证 S[ x ] 对运算封 闭:
s1 s2 A1 sin(x B1) A2 sin(x B2 ) (a1 cosx b1 sin x) (a2 cosx b2 sin x) (a1 a2 ) cosx (b1 b2 ) sin x Asin(x B) S[x] ,
数乘: a a ( R, a R ) ,
验证 R+ 对上述加法与数乘运算构成线性空间.
证 实际上要验证十条:
对加法封闭: 对任意的 a , b R+ , 有
a b abR ;
对数乘封闭: 对任意的 R, a R+ , 有
a a R ; ( i ) a b ab ba b a ;
(1) 向量不一定是有序数组; (2) 向量空间中的运算只要求满足八条运算 规律, 当然也就不一定是有序数组的加法及数乘 运算.
二、举例
下面举一些例子.
例 1 次数不超过 n 的多项式的全体, 记作
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地，如果取Vn U m ，那么T 是一个从线性空间Vn 到其自身的线性映射，称为线性空间Vn 中的线性变换.
二、线性变换的性质：
性质 1 T 0 0,T T ；
性质 2
若
k 1
k
12
2
km
m
，则T
kT 1
k T
12
2
kmT
m
；
性质 3 若1,2,,m 线性相关，则T 1,T 2,,T m 亦线性相关.
的一个基，n 称为线性空间V
的维数，记作 dimV
n 。只含一个零元
素的线性空间称为零空间，零空间没有基，规定它的维数为 0. n 维线性空间V 也记作Vn .
定义
2：设
, 1
,, 2
n
是线性空间Vn
的一个基，对于任一元素
Vn
，总有且仅有一组有序数组
x, 1
x, 2
,
xn
，使
x 11
x 22
xnn ，
集合，关于通常的函数加法和数乘函数的乘法构成线性空间.
例3
设
M
mn
A
a11 a21
am1
a12 a22
am2
a1n a2n
amn
aij 1 i m;1
j
n
是实数域上的矩阵全体所成的
集合. 显然 M mn 是非空的， M mn 对通常的矩阵加法和数乘构成线性空间. 特别地，
教 学 基本内容
一、线性变换的定义：
定义 1：设Vn,Um 分别是n 维和m 维线性空间，如果映射T :Vn Um 满足
(i)
任给 , 12
Vn ，有T
1
2
T
1
T
2
；
(ii)任给 Vn, （从而 Vn ），有T T ，
那么，T 就称为从Vn 到Um 的线性映射，或称为线性变换. 即线性映射就是保持线性组合的对应的映射. 特别
,
p 1
,
p 2
,
p 3
,
p 4
到基
q 0
,
q1,
q 2
,
q 3
,
q 4
的
过渡矩阵，以及任一不超过 4 次的多项式
p a a x a x2 a x 3 a x 4 在这两组基下的坐标和坐标
0
1
2
3
4
变换公式.
6
授课序号 03
教学基本指标
教学课题 教学方法 教学重点
第五章 第三节 线性变换
例6
设 3 上线性变换T
定义为T
x
1
x 2
2x1
x 2
x 2
x 3
，分别求T
在基e 1
1
0
,
e 2
0 1 ,e3
0 0 与基
x
3
2x 1
0
0
1
1
1
1
1
0
,
2
1 ,3
1 下的矩阵.
0
0
1
1 0 0
1 2 2
例7
设 R 3 上线性变换T
在基e 1
0
,
e 2
(ii) 如果T p 1，那么T 是个变换，但不是线性变换.
例3
在 2
x y
x, y
中定义映射T
: 2
2 为：T
x y
cos sin
sin x cos y ，
验证T 是 2 上的线性变换. 这个线性变换的几何意义是：T 将 xoy 平面上任一向量绕原点按逆时针方向旋转
1
,
e 3
0 下的矩阵为 A
2
1
2 ，求T 在基
0
0
1
2 2 1
1
0
1
1
1
,
2
1 ,3
0
下的矩阵.
0
1
2
9
0
1
2
3
4
都可表示为
p
ap 00
ap 11
ap 22
ap 33
a4p4,
因此 p在这个基下的坐标为
a0,a1,a2,a3,a4
T
.
例2
在线性空间
M
2
A
a11 a21
a12 a22
aij
1
i,
j
2
中，由于对任一向量
A
a11 a21
a12 a22
M
2
有
且容易证明
A
a11 a21
T
, 1
2,,
n
T
1
,T
2
, ,T
n
, 1
2,,
n
A，
矩阵 A
称为线性变换T
在基
, 1
2,,
n
下的矩阵.
定理 1
设线性变换T
在基
, 1
,, 2
n
下的矩阵是 A
，向量
与T
在基
, 1
, 2
,
n
下的坐标分别为
按坐标表示，有T A.
x1 x2
和
y1 y2
间.
3
授课序号 02
教学基本指标
教学课题 教学方法 教学重点
参考教材
第五章 第二节 维数、基与坐标 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 线性空间的基、维数与坐标、基变换与坐标变换
同济版《线性代数》
课的类型 教学手段 教学难点
作业布置
新知识课 黑板多媒体结合
线性空间的基、基变换与坐标变 换 课后习题
大纲要求
角.
8
例 4
设有n 阶矩阵 A aij
1, 2, , n
，其中 i
a1i a2i
.定义 n
中的变换 y
T
x为
ani
T x Ax x n ，验证T 为 n 上的线性变换.
例5
在P
x
3
中取基
p 1
1,
p 2
x
,
p 3
x
2
,
p 4
x 3 ，求微分运算 D
的矩阵.
x1 x2
P
y1 y2
或
y1 y2
=P
1
x1 x2
.
xn yn
yn
xn
三、主要例题：
例1
在线性空间 P
x
4
中，
p 0
1, p 1
x, p 2
x2, p 3
x3, p 4
x 4 就是它的一个基，任一不超过 4 次的多
项式
p a a x a x2 a x3 a x4
性质 4 线性变换T 的像集T Vn 是一个线性空间，称为线性变换T 的像空间.
性质 5 使T 0 的 的全体 ST Vn,T 0 也是Vn 的一个线性子空间，称ST 为线性变换T 的
核.
三、线性变换的矩阵表示式：
7
设线性空间Vn 的一个基为1,2,,n ， T 是 Vn 中的线性变换，则
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
线性变换的概念和性质、线性变换的矩阵表示
参考教材 同济版《线性代数》
课的类型 教学手段 教学难点
作业布置
复习、新知识课
黑板多媒体结合
线性变换的概念和性质、线性变 换的矩阵表示 课后习题
大纲要求
了解线性变换的概念； 会求线性变换的矩阵表示； 了解线性变换的像空间、核和秩。
A
a11 a21
a12 a22
在
这
个
基
下
的
坐
标
就
是
5
a11, a12 , a21, a22
T
.
例3
在P
x
4
中取两个基为
p 0
1,
p 1
x,
p 2
x
2,
p 3
x
3,
p 4
x 4 ，及
q 1,q 1 x,q
0
1
2
1 x
2
,q 3
1 x
3
,q 4
1 x
4
，求从基
p 0
定的一个元素 与之对应，称为 与 的数量乘积，记作 .如果这两种运算满足以下八条运算规律(设 , , V ; , ):
(i) 加法交换律： ；
(ii) 加法结合律： ；
(iii) 在V 中存在零元素 0；对于任何 V ，都有是 0 ； (iv) 负元素：对于任何 V ，都有是 的负元素 V ，使 0； (v) 1 ；
了解线性空间的基、维数、坐标的概念； 了解基变换与坐标变换； 会求向量在给定基下的坐标。
教 学 基本内容
一、线性空间的基、维数与坐标：
定义 1：在线性空间V
中，如果存在
n
个元素
1,
2,,
n
满足
(i)
, 1
, 2
,
n
线性无关；
(ii)
V
中任一元素
总可由
, 1
,
2
,
n
线性表示，
那么，
, 1
2,,
n
就称为线性空间V
P
称为由基
1, 2, , n
到基
,
1
2,,
n
的过渡矩阵.
由于
,12,,n线性无关，过渡矩阵P
可逆.
设Vn 中的元素
在基1,2,,n 下的坐标为
x, 1
x, 2
,
xn