高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 1.1 平面直角坐标系ppt课件
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2．坐标法．
根据几何对象的特征，选取适当的__坐__标__系__，建立它的方 程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系，这就是 研究几何问题的__坐__标__法__．
3．伸缩变换．
设 P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换 φ：yx′ ′＝ ＝μλxy， ，μλ>>00， 的作用下，点 P(x，y)对应点 P′(x′，y′)，称为平面直角坐标系中
的___坐__标__伸___缩__变__换____，简称伸缩变换．
预习 思考
1．到直角坐标系两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是
_y_＝___x_或__y_＝___－__x__． 2．将点(2,3)变成点(3,2)的伸缩变换是( B )
x′＝23x， A.
y′＝32y
x′＝y， C.y′＝x
x′＝32x， B.
44 由图可知，点 P 为双曲线右支与 x 轴的交点时，|OP|最小， |OP|min＝32.
变式
训练
1．已知 M(－2,0)，N(2,0)，则以 MN 为斜边的直角
三角形的直角顶点 P 的轨迹方程是( D )
ห้องสมุดไป่ตู้
A．x2＋y2＝2
B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝2(x≠±2)
D．x2＋y2＝4(x≠±2)
例2 平面内有一固定线段 AB，|AB|＝4，动点 P 满足|PA|－|PB|
＝3，O 为 AB 中点，求|OP|的最小值． 解析：以 AB 的中点 O 为原点，AB 所在直线为 x 轴建立
平面直角坐标系，如右图， ∵|PA|－|PB|＝3＜|AB|，
则点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的双曲线的右支上． 由题意知 2c＝4，∴c＝2. 由题意知 2a＝3，∴a＝32. ∴b2＝c2－a2＝4－94＝74. ∴点 P 的轨迹方程为x92－y72＝1x≥32.
解析：设 P(x，y)为曲线 C 上任意一点，把xy′′＝＝4xy， 代入 x′2＋y1′62＝1，得 x2＋y2＝1.
故曲线 C 的方程为 x2＋y2＝1.
________．
解析：令变换公式为yx′′＝＝μλxy，，μλ>>00，.
x＝1λx′， ∴y＝μ1y′
代入 y＝sin x 得μ1y′＝sin 1λx′.
与 y′＝12sin 4x′比较知：
λ＝14， μ＝12.
x′＝14x，
∴
y′＝12y.
答案：
x′＝14x， y′＝12y
变式 训练
2．已知伸缩变换公式xy′′＝＝4xy，， 曲线 C 在此变换下变为 x′2＋y1′62＝1，求曲线 C 的方程．
第一讲 坐 标 系
1.1 平面直角坐标系
1.体会直角坐标系的作用，掌握平面直角坐标系中刻画 点的位置的方法和坐标法的解题步骤.
2.会运用坐标法解决实际问题与几何问题.
3.通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换下平 面图形的变化情况及作用.
1．平面直角坐标系．
在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并 确定度量单位和这两条直线的方向，就建立了 平__面__直__角__坐__标__系__．它使平面上任一点P都可以由_唯__一__的___实数 对(x，y)确定．
题型2 伸缩变换
例3 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经
过伸缩变换xy′′＝＝42yx， 后的图形．
(1)2x＋4y＝1；
(2)x2＋y2＝4.
解析：由伸缩变换式xy′′＝＝42yx，
得
x＝12x′， y＝14y′.
①
(1)将①代入 2x＋4y＝1，得到经过伸缩变换后的图形方程为 x′＋y′＝1.
设 P(x，y)，由于△OAB 是直角三角形，P 为 AB 的中点，所 以，|OP|＝21|AB|，即 x2＋y2＝12×4，即 x2＋y2＝4.
故点 P 的轨迹方程为 x2＋y2＝4. 解法二 建立直角坐标系同解法一． 设 P(x，y)，A(x1,0)，B(0，y2)， 则 x21＋y22＝16.① 又 P 为 AB 的中点，所以 x1＝2x，y2＝2y. 代入①，得 4x2＋4y2＝16. 故点 P 的轨迹方程为 x2＋y2＝4.
所以，经过伸缩变换后，直线 2x＋4y＝1 变成直线 x′＋y′ ＝1.
(2)将①代入 x2＋y2＝4，得到经过伸缩变换后的图形的方程为 x′4 2＋y1′62＝4.
所以，圆 x2＋y2＝4 经过伸缩变换后变成椭圆x1′62＋y6′42＝1.
例4 把方程 y＝sin x 变为 y′＝12sin 4x′的伸缩变换公式为
y′＝23y
x′＝x＋1， D.y′＝y－1
题型1 轨迹探求
例1 线段 AB 的两个端点分别在两条互相垂直的直线上滑动，且
|AB|＝4，求 AB 中点 P 的轨迹方程．
分析：题目未给出坐标系，因此，应先建立适当 的坐标系，显然以互相垂直的两直线分别为 x 轴，y 轴最合适．
解析：解法一 以两条互相垂直的直线分别为 x 轴，y 轴， 建立直角坐标系，如图所示．
根据几何对象的特征，选取适当的__坐__标__系__，建立它的方 程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系，这就是 研究几何问题的__坐__标__法__．
3．伸缩变换．
设 P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换 φ：yx′ ′＝ ＝μλxy， ，μλ>>00， 的作用下，点 P(x，y)对应点 P′(x′，y′)，称为平面直角坐标系中
的___坐__标__伸___缩__变__换____，简称伸缩变换．
预习 思考
1．到直角坐标系两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是
_y_＝___x_或__y_＝___－__x__． 2．将点(2,3)变成点(3,2)的伸缩变换是( B )
x′＝23x， A.
y′＝32y
x′＝y， C.y′＝x
x′＝32x， B.
44 由图可知，点 P 为双曲线右支与 x 轴的交点时，|OP|最小， |OP|min＝32.
变式
训练
1．已知 M(－2,0)，N(2,0)，则以 MN 为斜边的直角
三角形的直角顶点 P 的轨迹方程是( D )
ห้องสมุดไป่ตู้
A．x2＋y2＝2
B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝2(x≠±2)
D．x2＋y2＝4(x≠±2)
例2 平面内有一固定线段 AB，|AB|＝4，动点 P 满足|PA|－|PB|
＝3，O 为 AB 中点，求|OP|的最小值． 解析：以 AB 的中点 O 为原点，AB 所在直线为 x 轴建立
平面直角坐标系，如右图， ∵|PA|－|PB|＝3＜|AB|，
则点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的双曲线的右支上． 由题意知 2c＝4，∴c＝2. 由题意知 2a＝3，∴a＝32. ∴b2＝c2－a2＝4－94＝74. ∴点 P 的轨迹方程为x92－y72＝1x≥32.
解析：设 P(x，y)为曲线 C 上任意一点，把xy′′＝＝4xy， 代入 x′2＋y1′62＝1，得 x2＋y2＝1.
故曲线 C 的方程为 x2＋y2＝1.
________．
解析：令变换公式为yx′′＝＝μλxy，，μλ>>00，.
x＝1λx′， ∴y＝μ1y′
代入 y＝sin x 得μ1y′＝sin 1λx′.
与 y′＝12sin 4x′比较知：
λ＝14， μ＝12.
x′＝14x，
∴
y′＝12y.
答案：
x′＝14x， y′＝12y
变式 训练
2．已知伸缩变换公式xy′′＝＝4xy，， 曲线 C 在此变换下变为 x′2＋y1′62＝1，求曲线 C 的方程．
第一讲 坐 标 系
1.1 平面直角坐标系
1.体会直角坐标系的作用，掌握平面直角坐标系中刻画 点的位置的方法和坐标法的解题步骤.
2.会运用坐标法解决实际问题与几何问题.
3.通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换下平 面图形的变化情况及作用.
1．平面直角坐标系．
在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并 确定度量单位和这两条直线的方向，就建立了 平__面__直__角__坐__标__系__．它使平面上任一点P都可以由_唯__一__的___实数 对(x，y)确定．
题型2 伸缩变换
例3 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经
过伸缩变换xy′′＝＝42yx， 后的图形．
(1)2x＋4y＝1；
(2)x2＋y2＝4.
解析：由伸缩变换式xy′′＝＝42yx，
得
x＝12x′， y＝14y′.
①
(1)将①代入 2x＋4y＝1，得到经过伸缩变换后的图形方程为 x′＋y′＝1.
设 P(x，y)，由于△OAB 是直角三角形，P 为 AB 的中点，所 以，|OP|＝21|AB|，即 x2＋y2＝12×4，即 x2＋y2＝4.
故点 P 的轨迹方程为 x2＋y2＝4. 解法二 建立直角坐标系同解法一． 设 P(x，y)，A(x1,0)，B(0，y2)， 则 x21＋y22＝16.① 又 P 为 AB 的中点，所以 x1＝2x，y2＝2y. 代入①，得 4x2＋4y2＝16. 故点 P 的轨迹方程为 x2＋y2＝4.
所以，经过伸缩变换后，直线 2x＋4y＝1 变成直线 x′＋y′ ＝1.
(2)将①代入 x2＋y2＝4，得到经过伸缩变换后的图形的方程为 x′4 2＋y1′62＝4.
所以，圆 x2＋y2＝4 经过伸缩变换后变成椭圆x1′62＋y6′42＝1.
例4 把方程 y＝sin x 变为 y′＝12sin 4x′的伸缩变换公式为
y′＝23y
x′＝x＋1， D.y′＝y－1
题型1 轨迹探求
例1 线段 AB 的两个端点分别在两条互相垂直的直线上滑动，且
|AB|＝4，求 AB 中点 P 的轨迹方程．
分析：题目未给出坐标系，因此，应先建立适当 的坐标系，显然以互相垂直的两直线分别为 x 轴，y 轴最合适．
解析：解法一 以两条互相垂直的直线分别为 x 轴，y 轴， 建立直角坐标系，如图所示．