2019-2020学年高中数学第3章概率3.3几何概型互动课堂学案苏教版必修3.doc

2019-2020学年高中数学第3章概率3.3几何概型互动课堂学案苏教

版必修3

疏导引导

1.几何概型的定义

在古典概型中,利用等可能性的概念,成功地计算了某一类问题的概率；不过,古典概型要求可能结果的总数必须有限.这不能不说是一个很大的限制,人们当然要竭力突破这个限制,以扩大自己的研究范围.因此历史上有不少人企图把这种做法推广到有无限多个结果而又有某种等可能性的场合.这类问题一般可以通过几何方法来求解.

对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.

对于这一定义也可以作以下理解：设在空间上有一区域D,又知区域d 包含在区域D 内（如下图所示）,而区域D 与d 都是可以度量的（可求面积、长度、体积等）,现随机地向D 内投掷一点M,假设点M 必落在D 中,且点M 可能落在区域D 的任何部分,那么落在区域d 内的概率只与d 的度量（长度、面积、体积等）成正比,而与d 的位置和形状无关.具有这种性质的随机试验（掷点）,称为几何概型.

2.几何概型的概率计算

一般地,在几何区域D 中随机地抽取一点,记“该点落在其内部的一个区域d 内”为事件A,则事件A 发生的概率 P(A)=的测度

的测度D d . 这里要求D 的测度不为0,其中“测度”的意义依D 确定,当D 分别是线段、平面图形和立体图形时,相应的“测度”分别是长度、面积和体积等.

疑难疏引 （1）几何概型的概率的取值范围

同古典概型概率的取值范围一样,几何概型的概率的取值范围也是0≤P(A)≤1.这是因为区域d 包含在区域D 内,则区域d 的“测度”不大于区域D 的“测度”.当区域d 的“测度”为0时,事件A 是不可能事件,此时P(A)=0；当区域d 的“测度”与区域D 的“测度”相等时,事件A 是必然事件,此时P(A)=1.

（2）求古典概型概率的步骤：

①求区域D 的“测度”；

②求区域d 的“测度”；

③代入计算公式.

（3）对于一个具体问题能否应用几何概率公式计算事件的概率,关键在于将问题几何化,也即可根据问题的情况,选取合适的参数,建立适当的坐标系,在此基础上,将试验的每一结果一一对应于该坐标系中的一点,使得全体结果构成一个区域,且是可度量的.

案例1 某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过（假设每一辆车带走站上的所有乘客）,乘客到达汽车站的任一时刻是任意的,求乘客候车时间不超过3分钟的概率.

【探究】这是一个与长度有关的几何概型问题.记A=“候车时间不超过3分钟”.以x 表示乘客到车站的时刻,以t 表示乘客到车站后来到的第一辆汽车的时刻,据题意,乘客必然在（t-5,t ］内来到车站,于是D={x|t-5＜x≤t}.

若乘客候车时间不超过3分钟,必须t-3≤x≤t,所以A={x|t-3≤x≤t}据几何概率公式得P （A ）=5

3=的长度的长度D d =0.6

规律总结 （1）把所求问题归结到x 轴上的一个区间内是解题的关键.然后寻找事件A 发生的区域,从而求得d 的测度.

（2）本题也可这样理解：乘客在时间段（0,5］内任意时刻到达,等待不超过3分钟,则到达的时间在区间［2,5］内.

案例2 甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时,假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达,试求这两艘船中至少有一艘在停靠时必须等待的概率.

【探究】这是一类与面积有关的几何概型问题.

设A={两艘船中至少有一艘停靠时等待}.建立平面直角坐标系,x 轴表示甲船到达的时间,y 轴表示乙船到达的时间,则（x,y ）表示的所有结果是以24为边长的正方形.

事件A 发生的条件是0＜x-y ＜6或0＜y-x ＜6,即图中阴影部分,则D 的面积为242,d 的

面积为242-182.

∴P（A ）=1672428242

22=-. 规律总结 (1)甲、乙两船都是在0—24小时内的任一时刻停靠,故每一个结果对应两个时间；分别用x,y 轴上的数表示,则每一个结果（x,y ）就对应于图中正方形内的任一点.

（2）找出事件A 发生的条件,并把它在图中的区域找出来,分别计算面积即可.

（3）这一类问题我们称为约会问题.

案例3 在长度为a 的线段上任取两点将线段分成三段,求它们可以构成三角形的概率.

【探究】解法一：假设x 、y 表示三段长度中的任意两个,因为是长度,所以应有x ＞0,y ＞0且x+y ＜a,即x 、y 的值在以（0,a ）、(a,0)和（0,0）为顶点的三角形内,如右图所示.

要形成三角形,由构成三角形的条件知,x 和y 都小于

2a ,且x+y ＞2

a (如图阴影部分). 又因为阴影部分的三角形的面积占形成总面积的41,故能够形成三角形的概率为41. 解法二：如右图,作等边三角形ABC,使其高为a,过各边中点作△DEF.△DEF 的面积占△ABC 的面积的

4

1.因为从△ABC 内任意一点P 到等边三角形三边的垂线段长度之和等于三角形的高（由等积法易知）,为了使这三条垂线线段中没有一条的长度大于2

a ,P 点必须落在阴影部分即△DEF 内（DM=2a ）.所以符合题意要求的情况占全部情况的41,即所求概率为41.

解法三：如下图,作一边长为a 的正方形,过相对两边的中点作两条斜线,阴影部分占整个正方形面积的

4

1.令AB 上距离底边为x 的点表示第一个截点的位置,则第二个截点一定落入阴影部分（y ＜2a ,z ＜2a ）.因此,符合题意要求的情况占全部情况的4

1. 所以所求的概率为41.

规律总结 解决此题的关键在于弄清三角形三边长之间的关系,由题意易知,三边长之和为定值a,且三边长分别小于a2.把握住了这两点,就能使问题准确获解.

3.随机数的产生与随机模拟方法

（1）随机数的产生

利用计算器或计算机产生［0,1］上的均匀随机数x 1=RAND,然后利用伸缩和平移变换,x=x 1*(b-a)+a,就可以得到［a,b ］内的均匀随机数,试验的结果是［a,b ］上的任何一个实数,并且任何一个实数都是等可能出现的.

（2）随机模拟试验

用频率估计概率时,需做大量的重复试验,费时费力,并且有些试验具有破坏性,有些试验无法进行,因而随机模拟试验就成为一种重要的方法,它可以在短时间内多次重复.用计算器或计算机模拟试验,首先需要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型,也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量.我们可以从以下几个方面考虑：

①由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数组数.如长度型、角度型（一维）只用一组,面积型（二维）需要用两组.